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Un devis est une fonction affine

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétence C3.6

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 17:04

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Location d'une nacelle pour un ravalement

Un économiste de la construction chiffre la location d'une nacelle élévatrice pour un chantier de ravalement. Deux loueurs répondent :

Le conducteur de travaux hésite encore sur la durée : entre quatre jours si le temps le permet, et une bonne dizaine si la pluie s'en mêle.

« Lequel des deux est le moins cher ? — Ça dépend de combien de jours. Justement : à partir de quand ? »

2. Deux parts dans un même tarif

Définition Un tarif composé d'un montant fixe et d'un montant proportionnel à une quantité \(x\) s'écrit :
\(C(x) = a \times x + b\)
\(a\) est le prix unitaire (ici, par jour) ; \(b\) est la part fixe, payée une seule fois quelle que soit la durée.
Propriété Une telle fonction est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite :
\(b\) est l'ordonnée à l'origine — le coût pour zéro jour, c'est-à-dire la seule livraison ;
\(a\) est le coefficient directeur — de combien le coût monte quand on ajoute un jour.
Attention — le piège du prix journalier « 65 € par jour, c'est moins cher que 80 € » ne suffit pas à trancher : la part fixe change tout. Le loueur au tarif journalier le plus bas peut rester le plus cher sur une location courte, parce qu'on paie sa livraison une fois pour toutes.
Méthode — à partir de quand une offre devient-elle meilleure ? On cherche la durée où les deux coûtent pareil : on résout l'équation \(C_A(x) = C_B(x)\).
Avant cette durée, l'offre à faible part fixe l'emporte ; après, c'est celle au faible prix journalier.

3. Les deux tarifs en image

Les deux tarifs sont représentés ci-dessous dans un même repère : en abscisse la durée de location, graduée à 0, 4, 8 et 12 jours ; en ordonnée le coût, gradué à 0, 300, 600 et 900 €.

0 4 8 12 durée de location (jours) 300 600 900 coût (€) 180 € 90 € loueur A loueur B à partir de quel jour A devient-il le moins cher ?

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Lire le tarif du loueur A

Le loueur A facture 180 € de livraison-reprise, puis 65 € par jour.
  1. Compléter : \(C_A(x) = \text{……} \times x + \text{……}\)
  2. Coût pour 3 jours : \(C_A(3) = 65 \times 3 + 180 = \text{……} + 180 = \text{……}\) €
  3. Coût pour 7 jours : \(C_A(7) = \text{……}\) €
  1. \(C_A(x) = \mathbf{65}x + \mathbf{180}\)
  2. \(195 + 180 = \mathbf{375}\) €
  3. \(65 \times 7 + 180 = 455 + 180 = \mathbf{635}\) €
Socle Exercice 2 — Le tarif du loueur B

Le loueur B facture 90 € de livraison-reprise, puis 80 € par jour.
  1. Écrire \(C_B(x) = \text{……} \times x + \text{……}\)
  2. Calculer \(C_B(3)\) puis \(C_B(7)\).
  3. Pour 3 jours, quel loueur est le moins cher ? Et pour 7 jours ?
  1. \(C_B(x) = \mathbf{80}x + \mathbf{90}\)
  2. \(C_B(3) = 240 + 90 = \mathbf{330}\) € ; \(C_B(7) = 560 + 90 = \mathbf{650}\) €
  3. Pour 3 jours, B est moins cher (330 € contre 375 €). Pour 7 jours, c'est A (635 € contre 650 €). Le classement s'inverse.
Socle Exercice 3 — Lire le graphique

On utilise le repère du paragraphe 3.
  1. Sur le graphique, lire approximativement le coût de chaque loueur pour 8 jours de location.
  2. Vérifier par le calcul : \(C_A(8) = 65 \times 8 + 180 = \text{……}\) € et \(C_B(8) = \text{……}\) €
  3. La lecture graphique et le calcul concordent-ils ?
  1. Environ 700 € pour A et 730 € pour B — la droite de B passe au-dessus à cet endroit.
  2. \(C_A(8) = 520 + 180 = \mathbf{700}\) € ; \(C_B(8) = 640 + 90 = \mathbf{730}\) €.
  3. Oui. Le graphique donne l'ordre de grandeur et le classement d'un coup d'œil ; le calcul donne la valeur exacte. On se sert des deux : le premier pour décider, le second pour chiffrer le devis.
Socle Exercice 4 — Reconnaître la part fixe

Trois autres matériels sont proposés. Pour chacun, indiquer la part fixe et le prix par jour.
  1. \(C(x) = 45x + 250\)
  2. \(C(x) = 120x\)
  3. \(C(x) = 300\)
  4. Parmi ces trois tarifs, lequel ne coûte rien si l'on ne loue aucun jour ? Lequel coûte la même chose quelle que soit la durée ?
  1. Part fixe 250 €, prix journalier 45 €.
  2. Part fixe 0 €, prix journalier 120 € — pas de frais de livraison.
  3. Part fixe 300 €, prix journalier 0 € — c'est un forfait.
  4. Le deuxième ne coûte rien pour zéro jour. Le troisième coûte 300 € quelle que soit la durée : ce n'est plus une fonction affine « ordinaire », c'est une fonction constante.
Standard Exercice 5 — Le point de bascule

On cherche la durée à partir de laquelle le loueur A devient plus avantageux.
  1. Écrire l'équation \(65x + 180 = 80x + 90\).
  2. La résoudre.
  3. Interpréter le résultat en une phrase, en disant qui est le moins cher avant et après.
  4. Vérifier en calculant les deux coûts pour cette durée.
  1. \(65x + 180 = 80x + 90\)
  2. \(180 - 90 = 80x - 65x\), donc \(90 = 15x\) et \(x = \mathbf{6}\) jours.
  3. À 6 jours les deux offres coûtent exactement la même chose. En dessous de 6 jours, B est moins cher (sa livraison est moins chère) ; au-delà, A l'emporte (son tarif journalier est plus bas).
  4. \(C_A(6) = 390 + 180 = 570\) € et \(C_B(6) = 480 + 90 = 570\) € ✔
Standard Exercice 6 — Décider avec une durée incertaine

Le conducteur de travaux annonce : « entre 4 et 12 jours, selon la météo ».
  1. Calculer le coût des deux offres pour 4 jours, puis pour 12 jours.
  2. Quelle offre choisir si le chantier dure 4 jours ? Et 12 jours ?
  3. L'économiste retient finalement le loueur A. Rédiger en une phrase l'argument qu'il peut donner au conducteur de travaux.
  1. 4 jours : \(C_A = 260 + 180 = 440\) € ; \(C_B = 320 + 90 = 410\) €.
    12 jours : \(C_A = 780 + 180 = 960\) € ; \(C_B = 960 + 90 = 1\,050\) €.
  2. À 4 jours, B (30 € de moins). À 12 jours, A (90 € de moins).
  3. Argument attendu : le chantier a plus de chances de dépasser 6 jours que de rester en dessous, et l'écart en faveur de A grandit avec chaque jour de retard, alors que l'avantage de B est petit et plafonné. Choisir A, c'est se protéger du mauvais temps.
Standard Exercice 7 — Un troisième loueur

Un loueur C se manifeste : pas de frais de livraison, mais 100 € par jour.
  1. Écrire \(C_C(x)\).
  2. Compléter le tableau des trois coûts pour 4, 5 et 8 jours, et entourer le moins cher de chaque colonne.
  3. À partir de quelle durée le loueur C cesse-t-il d'être le moins cher ? Résoudre \(100x = 80x + 90\).
  4. Résumer en une phrase : quel loueur choisir selon la durée du chantier ?
  1. \(C_C(x) = \mathbf{100}x\).
  2. 4 jours : A 440 € · B 410 € · C 400 €. — 5 jours : A 505 € · B 490 € · C 500 €. — 8 jours : A 700 € · B 730 € · C 800 €.
  3. \(100x = 80x + 90\) donne \(20x = 90\) et \(x = \mathbf{4{,}5}\) jours. Au-delà de 4 jours et demi, C n'est plus le meilleur.
  4. Jusqu'à 4 jours, C ; à 5 jours, B ; à partir de 6 jours, A. Plus la location est longue, plus il devient rentable de payer une livraison chère pour un tarif journalier bas.
Approfondissement Exercice 8 — Ce que coûte vraiment une journée

Le budget alloué à la location chez le loueur A est de 900 €.
  1. Écrire l'inéquation traduisant « le coût ne dépasse pas 900 € », puis la résoudre.
  2. Combien de jours entiers peut-on louer ? Justifier l'arrondi choisi — il n'est pas le même que d'habitude.
  3. Calculer le coût moyen d'une journée pour une location de 3 jours, puis pour une location de 11 jours.
  4. Le coût moyen par jour n'est pas constant alors que le tarif journalier, lui, l'est. Expliquer ce paradoxe apparent en deux phrases.
  1. \(65x + 180 \leqslant 900\), donc \(65x \leqslant 720\) et \(x \leqslant \dfrac{720}{65} \approx 11{,}08\).
  2. 11 jours. Ici on arrondit à l'entier inférieur : un douzième jour ferait \(65 \times 12 + 180 = 960\) €, au-dessus du budget. C'est l'inverse du réflexe pris sur les quantités à commander, où l'on arrondit au-dessus — le sens de l'arrondi se lit dans la situation, jamais dans la formule.
  3. 3 jours : \(375 \div 3 = \mathbf{125{,}00}\) €/jour. 11 jours : \(895 \div 11 \approx \mathbf{81{,}36}\) €/jour.
  4. Le tarif journalier est bien constant à 65 €, mais la livraison de 180 € est payée une seule fois : plus la location est longue, plus elle se répartit sur un grand nombre de jours. Le coût moyen se rapproche donc peu à peu de 65 € sans jamais l'atteindre.
Approfondissement Exercice 9 — La négociation

Pour emporter le marché, le loueur B propose de ramener sa livraison-reprise de 90 € à 40 €. Son tarif journalier ne change pas.
  1. Écrire le nouveau coût \(C_B(x)\).
  2. Calculer le nouveau point de bascule avec le loueur A, arrondi au dixième de jour.
  3. De combien de jours le point de bascule s'est-il déplacé ? Que gagne le loueur B à cette remise ?
  4. Le loueur A veut répliquer en baissant sa propre livraison, pour ramener la bascule à 6 jours. À quel montant doit-il descendre ?
  5. Une remise de 50 € sur la livraison déplace la bascule de plus de trois jours. Expliquer en une phrase pourquoi un petit changement sur la part fixe pèse autant.
  1. \(C_B(x) = 80x + 40\).
  2. \(65x + 180 = 80x + 40\) donne \(140 = 15x\), soit \(x \approx \mathbf{9{,}3}\) jours.
  3. La bascule passe de 6 à 9,3 jours : elle recule de 3,3 jours. B redevient le moins cher sur toute la fourchette annoncée par le conducteur de travaux (4 à 12 jours, sauf les trois derniers) — la remise lui rachète l'essentiel du marché.
  4. Il faut \(65 \times 6 + b = 80 \times 6 + 40\), soit \(390 + b = 520\) et \(b = \mathbf{130}\) €. A doit descendre de 180 € à 130 €, c'est-à-dire concéder 50 € lui aussi.
  5. Réponse attendue : la part fixe est payée une seule fois, alors que l'écart de tarif journalier (15 € ici) ne se creuse que jour après jour. Il faut donc \(50 \div 15 \approx 3{,}3\) jours pour que l'écart journalier rattrape la remise — d'où le déplacement.
Approfondissement Exercice 10 — La part fixe se dilue-t-elle jamais ?

On revient au loueur A, tarif d'origine : \(C_A(x) = 65x + 180\). On note \(c(x)\) le coût moyen d'une journée de location.
  1. Montrer que \(c(x) = 65 + \dfrac{180}{x}\).
  2. Calculer \(c(6)\), \(c(12)\) et \(c(20)\).
  3. Ce coût moyen peut-il descendre en dessous de 65 € ? Justifier.
  4. Résoudre \(65 + \dfrac{180}{x} = 70\). Combien de jours faudrait-il louer pour que la journée revienne à 70 € ?
  5. La fonction \(c\) est-elle affine ? Justifier, et dire ce que cela change pour l'économiste de la construction.
  1. \(c(x) = \dfrac{C_A(x)}{x} = \dfrac{65x + 180}{x} = \dfrac{65x}{x} + \dfrac{180}{x} = 65 + \dfrac{180}{x}\).
  2. \(c(6) = 65 + 30 = \mathbf{95}\) € · \(c(12) = 65 + 15 = \mathbf{80}\) € · \(c(20) = 65 + 9 = \mathbf{74}\) €.
  3. Non. \(\dfrac{180}{x}\) est toujours strictement positif, donc \(c(x)\) reste toujours au-dessus de 65 €. La livraison se dilue, mais ne disparaît jamais.
  4. \(\dfrac{180}{x} = 5\), donc \(x = \mathbf{36}\) jours. Il faudrait louer plus d'un mois pour que la journée revienne à 70 €.
  5. Non : \(c\) n'est pas affine, car \(x\) apparaît au dénominateur — sa représentation graphique n'est pas une droite mais une courbe qui s'aplatit. Pour l'économiste, cela veut dire que le coût moyen chute vite sur les premiers jours puis ne bouge presque plus : négocier un jour de plus n'a d'intérêt qu'au début.
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