Contexte professionnel — Location d'une nacelle pour un ravalement
Un économiste de la construction chiffre la location d'une nacelle élévatrice pour un chantier de ravalement de façade. Deux loueurs répondent, avec des prix hors taxes :
Loueur A — livraison et reprise : 420 €, puis 180 € par jour de location
Loueur B — livraison et reprise : 120 €, puis 230 € par jour
Le conducteur de travaux hésite encore sur la durée : entre quatre jours si le temps le permet, et une bonne dizaine si la pluie s'en mêle.
« Lequel des deux est le moins cher ? — Ça dépend de combien de jours. Justement : au-delà de combien de jours ? »
2. Deux parts dans un même tarif
Définition
Un tarif composé d'un montant fixe et d'un montant proportionnel à une quantité \(x\) s'écrit :
\(C(x) = a \times x + b\)
\(a\) est le prix unitaire (ici, par jour) ; \(b\) est la part fixe, payée une seule fois quelle que soit la durée.
Propriété
Une telle fonction est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite :
\(b\) est l'ordonnée à l'origine — le coût pour zéro jour, c'est-à-dire la seule livraison ;
\(a\) est le coefficient directeur — de combien le coût monte quand on ajoute un jour.
Attention — le piège du prix journalier
« 180 € par jour, c'est moins cher que 230 € » ne suffit pas à trancher : la part fixe change tout. Le loueur au tarif journalier le plus bas peut rester le plus cher sur une location courte, parce qu'on paie sa livraison une fois pour toutes.
Méthode — au-delà de quelle durée une offre devient-elle meilleure ?
On cherche la durée où les deux coûtent pareil : on résout l'équation \(C_A(x) = C_B(x)\).
À cette durée, les deux offres coûtent la même chose. Avant, l'offre à faible part fixe l'emporte ; au-delà, c'est celle au faible prix journalier.
3. Les deux tarifs en image
Les deux tarifs sont représentés dans un même repère : en abscisse la durée de location, graduée jour par jour de 0 à 12 ; en ordonnée le coût, de 0 à 3 000 €, avec une graduation tous les 100 €.
Coût de la location de la nacelle selon sa durée. En abscisse, la durée en jours ; en ordonnée, le coût en euros, gradué de 100 en 100 €. Trait plein : loueur A, qui part de 420 € ; tirets : loueur B, qui part de 120 €. Le point rouge marque le croisement des deux droites.
4. Exercices
SocleExercice 1 — Lire le tarif du loueur A
Exemple — sur d'autres valeurs Un loueur facture 150 € de livraison-reprise, puis 200 € par jour : C(x) = 200 × x + 150. Pour 2 jours : 200 × 2 + 150 = 400 + 150 = 550 €.
À toi de jouer.
Le loueur A facture 420 € de livraison-reprise, puis 180 € par jour.
Écrire le coût \(C_A(x)\) sous la forme \(a \times x + b\).
Exemple — sur d'autres valeurs Un loueur facture 100 € de livraison et 250 € par jour : pour 2 jours, 250 × 2 + 100 = 600 €. Un autre facture 50 € et 300 € par jour : 300 × 2 + 50 = 650 €. Pour 2 jours, le premier est le moins cher.
À toi de jouer.
Le loueur B facture 120 € de livraison-reprise, puis 230 € par jour.
Écrire le coût \(C_B(x)\) sous la forme \(a \times x + b\).
Calculer \(C_B(3)\) puis \(C_B(7)\).
Pour 3 jours, quel loueur est le moins cher ? Et pour 7 jours ?
Pour 3 jours, B est moins cher (810 € contre 960 €). Pour 7 jours, c'est A (1 680 € contre 1 730 €). Le classement s'inverse.
SocleExercice 3 — Reconnaître la part fixe
Exemple — sur d'autres valeurs Pour C(x) = 30x + 80, la part fixe est 80 € et le prix par jour 30 €. C(x) = 50x s'écrit aussi 50x + 0 : la part fixe est 0 €.
À toi de jouer.
Trois autres matériels sont proposés. Pour chacun, indiquer la part fixe et le prix par jour.
\(C(x) = 45x + 250\)
\(C(x) = 120x\)
\(C(x) = 300\)
Parmi ces trois tarifs, lequel ne coûte rien si l'on ne loue aucun jour ? Lequel coûte la même chose quelle que soit la durée ?
Part fixe 250 €, prix journalier 45 €.
Part fixe 0 €, prix journalier 120 € — pas de frais de livraison.
Part fixe 300 €, prix journalier 0 € — c'est un forfait.
Le deuxième ne coûte rien pour zéro jour. Le troisième coûte 300 € quelle que soit la durée : c'est une fonction constante. C'est encore une fonction affine, avec \(a = 0\) : sa droite est horizontale.
StandardExercice 4 — Le point de bascule
Exemple — sur d'autres valeurs Deux offres coûtent 100x + 300 et 150x + 100. On résout 100x + 300 = 150x + 100 : 300 − 100 = 150x − 100x, donc 200 = 50x et x = 200 ÷ 50 = 4 jours.
À toi de jouer.
On cherche la durée au-delà de laquelle le loueur A devient plus avantageux.
Écrire l'équation \(C_A(x) = C_B(x)\) avec les tarifs des deux loueurs.
La résoudre.
Interpréter le résultat en une phrase, en disant qui est le moins cher avant et après.
Vérifier en calculant les deux coûts pour cette durée.
\(180x + 420 = 230x + 120\)
\(420 - 120 = 230x - 180x\), donc \(300 = 50x\) et \(x = 300 \div 50 = \mathbf{6}\) jours.
À 6 jours, les deux offres coûtent exactement la même chose. En dessous de 6 jours, B est moins cher (sa livraison est moins chère) ; au-delà de 6 jours, A l'emporte (son tarif journalier est plus bas).
\(C_A(6) = 1\,080 + 420 = 1\,500\) € et \(C_B(6) = 1\,380 + 120 = 1\,500\) € : les deux coûts sont égaux.
StandardExercice 5 — Décider avec une durée incertaine
Exemple — sur d'autres valeurs Deux offres coûtent 100x + 300 et 150x + 100. Pour 2 jours : 500 € et 400 €, la seconde fait gagner 100 €. Pour 10 jours : 1 300 € et 1 600 €, la première fait gagner 300 €.
À toi de jouer.
Le conducteur de travaux annonce : « entre 4 et 12 jours, selon la météo ».
Calculer le coût des deux offres pour 4 jours, puis pour 12 jours.
Quelle offre choisir si le chantier dure 4 jours ? Et 12 jours ? Calculer à chaque fois la somme économisée.
L'économiste retient finalement le loueur A. À l'aide des sommes trouvées à la question 2, rédiger en une phrase l'argument qu'il peut donner au conducteur de travaux.
À 4 jours, B (100 € de moins). À 12 jours, A (300 € de moins).
Argument attendu : si le chantier ne dure que 4 jours, A coûte au plus 100 € de plus que B ; s'il dure 12 jours, A fait économiser 300 €. Sur la durée annoncée, on risque de perdre peu avec A et on peut gagner trois fois plus.
ApprofondissementExercice 6 — Ce que coûte vraiment une journée
Exemple — sur d'autres valeurs Un petit matériel coûte 60x + 100 et le budget est de 500 € : 60x + 100 ≤ 500, donc 60x ≤ 400 et x ≤ 400 ÷ 60 ≈ 6,67. Pour 2 jours, une journée revient en moyenne à (60 × 2 + 100) ÷ 2 = 220 ÷ 2 = 110 €.
À toi de jouer.
Le budget alloué à la location chez le loueur A est de 2 200 €.
Écrire l'inéquation traduisant « le coût ne dépasse pas 2 200 € », puis la résoudre.
Combien de jours entiers peut-on louer ? Justifier l'arrondi choisi — il n'est pas le même que d'habitude.
Calculer le coût moyen d'une journée pour une location de 3 jours, puis pour une location de 9 jours.
Le coût moyen par jour n'est pas constant alors que le tarif journalier, lui, l'est. Expliquer ce paradoxe apparent en deux phrases.
\(180x + 420 \leqslant 2\,200\), donc \(180x \leqslant 1\,780\) et \(x \leqslant \dfrac{1\,780}{180} \approx 9{,}89\).
9 jours. L'arrondi habituel donnerait 10, mais ici on arrondit à l'entier inférieur : un dixième jour ferait \(180 \times 10 + 420 = 2\,220\) €, au-dessus du budget. Le sens de l'arrondi se lit dans la situation, jamais dans la formule.
3 jours : \(960 \div 3 = \mathbf{320{,}00}\) €/jour. 9 jours : \(C_A(9) = 1\,620 + 420 = 2\,040\) €, et \(2\,040 \div 9 \approx \mathbf{226{,}67}\) €/jour.
Le tarif journalier est bien constant à 180 €, mais la livraison de 420 € est payée une seule fois : plus la location est longue, plus elle se répartit sur un grand nombre de jours. Le coût moyen se rapproche donc peu à peu de 180 € sans jamais l'atteindre.