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Combien de bennes pour ce chantier ?

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétence C4

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 17:00

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Fin de chantier de rénovation

Un chantier de rénovation se termine. Le conducteur de travaux doit commander les bennes qui évacueront les gravats. Deux déchets sont concernés :

Données fournies : coefficient de foisonnement 1,4 pour le plâtre, 1,5 pour le béton ; bennes de 8 m³.

Tarifs de la déchetterie professionnelle : benne de plâtre 320 €, benne de béton 180 €, benne en tout-venant non trié 540 €.

« Trier, ça prend du temps aux compagnons. Est-ce que ça vaut le coup ? »

2. Le foisonnement

Foisonnement Un matériau démoli occupe plus de place que le même matériau en place : il est cassé, il y a de l'air entre les morceaux. On appelle coefficient de foisonnement le nombre par lequel on multiplie le volume en place pour obtenir le volume à évacuer :
\(V_{\text{foisonné}} = V_{\text{en place}} \times k\)
Volume d'une couche Une dalle, une cloison, une chape : ce sont des pavés très plats. Leur volume est
\(V = \mathcal{A} \times e\) — surface multipliée par épaisseur, dans la même unité.
Une épaisseur donnée en centimètres se convertit donc en mètres avant le calcul : 12 cm = 0,12 m.
Attention — le nombre de bennes s'arrondit toujours vers le haut 10,38 m³ à évacuer avec des bennes de 8 m³, cela fait \(10{,}38 \div 8 = 1{,}30\) : on ne commande pas 1,3 benne, on en commande 2. On arrondit par excès, jamais au plus proche — les gravats qui restent, personne ne vient les chercher.
Méthode — de la surface à la commande
  1. convertir l'épaisseur en mètres ;
  2. volume en place : \(\mathcal{A} \times e\) ;
  3. volume foisonné : \(\times k\) ;
  4. nombre de bennes : diviser par la contenance, arrondir par excès.

3. Le tri à la source

Tri à la source chaque matériau dans sa benne plâtre tarif plâtre béton tarif béton combien de bennes ? à quel prix ? Tout-venant tout dans la même benne mélange tarif mélange … combien de bennes ? à quel prix ? Même volume de gravats, deux organisations Schéma sans échelle

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Le volume de plâtre en place

Les cloisons déposées représentent 42,00 m² de carreaux de plâtre sur 10 cm d'épaisseur.
  1. Convertir l'épaisseur en mètres : \(10 \; \text{cm} = \text{……} \; \text{m}\)
  2. Calculer le volume : \(V = 42{,}00 \times \text{……} = \text{……} \; \text{m}^3\)
  1. \(10 \; \text{cm} = \mathbf{0{,}10} \; \text{m}\)
  2. \(42{,}00 \times 0{,}10 = \mathbf{4{,}20} \; \text{m}^3\)
Socle Exercice 2 — Le foisonnement du plâtre

Le volume en place est de 4,20 m³ et le coefficient de foisonnement du plâtre vaut 1,4.
  1. Calculer le volume foisonné : \(V = 4{,}20 \times \text{……} = \text{……} \; \text{m}^3\)
  2. Une benne contient 8 m³. Ce volume tient-il dans une seule benne ? Répondre par une phrase.
  1. \(4{,}20 \times 1{,}4 = \mathbf{5{,}88} \; \text{m}^3\)
  2. 5,88 m³ est inférieur à 8 m³ : oui, une seule benne suffit pour le plâtre.
Socle Exercice 3 — Pourquoi le tas grossit

Un massif de béton représente 2,00 m³ en place. Après démolition, on applique le coefficient de foisonnement 1,5.
  1. Calculer le volume foisonné : \(2{,}00 \times \text{……} = \text{……} \; \text{m}^3\)
  2. De combien de m³ le tas a-t-il grossi ?
  3. Expliquer en une phrase pourquoi un matériau démoli occupe plus de place qu'en place.
  1. \(2{,}00 \times 1{,}5 = \mathbf{3{,}00} \; \text{m}^3\)
  2. \(3{,}00 - 2{,}00 = \mathbf{1{,}00} \; \text{m}^3\) de plus, soit la moitié du volume initial.
  3. Le béton démoli est cassé en morceaux irréguliers : il reste de l'air entre les blocs. Le matériau n'a pas changé de masse, seulement de volume apparent.
Socle Exercice 4 — Compter les bennes

Un autre chantier produit 22 m³ de gravats déjà foisonnés. Les bennes contiennent 8 m³.
  1. Calculer \(22 \div 8 = \text{……}\)
  2. Combien de bennes faut-il commander ?
  3. Si on n'en commandait que 2, quel volume de gravats resterait-il sur le chantier ?
  1. \(22 \div 8 = \mathbf{2{,}75}\)
  2. On arrondit par excès : il faut 3 bennes.
  3. \(2 \times 8 = 16\) m³ évacués, donc \(22 - 16 = \mathbf{6} \; \text{m}^3\) resteraient sur place — presque une benne entière.
Standard Exercice 5 — Le béton, puis le total

Le dallage démoli représente 25,00 m² sur 12 cm d'épaisseur ; le coefficient de foisonnement du béton vaut 1,5.
  1. Calculer le volume de béton en place, puis son volume foisonné.
  2. Calculer le volume foisonné total du chantier.
  3. En évacuant tout mélangé, combien de bennes de 8 m³ faut-il commander ? Justifier l'arrondi.
  1. \(25{,}00 \times 0{,}12 = \mathbf{3{,}00} \; \text{m}^3\) en place ; \(3{,}00 \times 1{,}5 = \mathbf{4{,}50} \; \text{m}^3\) foisonnés.
  2. \(5{,}88 + 4{,}50 = \mathbf{10{,}38} \; \text{m}^3\).
  3. \(10{,}38 \div 8 = 1{,}2975\). On arrondit par excès : il faut 2 bennes. Une seule laisserait 2,38 m³ de gravats sur le chantier.
Standard Exercice 6 — Trier, ça coûte ou ça rapporte ?

Rappel des tarifs : benne de plâtre 320 €, benne de béton 180 €, benne de tout-venant 540 €.
  1. Scénario A — tri à la source. Combien de bennes de chaque type ? Calculer le coût total.
  2. Scénario B — tout-venant. Reprendre le nombre de bennes de l'exercice 3 et calculer le coût total.
  3. Calculer l'écart entre les deux scénarios, en euros puis en pourcentage du scénario B.
  1. 5,88 m³ de plâtre → 1 benne ; 4,50 m³ de béton → 1 benne. Coût : \(320 + 180 = \mathbf{500}\) €.
  2. 2 bennes de tout-venant : \(2 \times 540 = \mathbf{1\,080}\) €.
  3. Écart : \(1\,080 - 500 = \mathbf{580}\) €, soit \(580 \div 1\,080 \approx \mathbf{54\ \%}\) d'économie.
Standard Exercice 7 — Des bennes bien remplies ?

On paie la benne, pas le volume qu'on met dedans. Une benne contient 8 m³.
  1. Calculer le taux de remplissage de la benne de plâtre (5,88 m³), puis celui de la benne de béton (4,50 m³), en pourcentage arrondi au dixième.
  2. En tout-venant, les 10,38 m³ se répartissent également dans 2 bennes. Calculer le taux de remplissage de chacune.
  3. Dans quel scénario les bennes sont-elles le mieux remplies ?
  4. Ce scénario est-il pour autant le moins cher ? Expliquer en une phrase ce que ce taux ne dit pas.
  1. Plâtre : \(5{,}88 \div 8 = 0{,}735\), soit 73,5 %. Béton : \(4{,}50 \div 8 = 0{,}5625\), soit 56,3 %.
  2. \(10{,}38 \div 2 = 5{,}19\) m³ par benne ; \(5{,}19 \div 8 = 0{,}649\), soit 64,9 % chacune.
  3. La benne de plâtre est la mieux remplie (73,5 %), mais en moyenne les deux scénarios se valent : 64,9 % en tout-venant contre 64,9 % en trié \(\left(\frac{10{,}38}{16}\right)\) — c'est le même volume dans le même nombre de bennes.
  4. Non. Le taux de remplissage ne dit rien du tarif : deux bennes également remplies coûtent 500 € si elles sont triées et 1 080 € si elles ne le sont pas. C'est la nature du chargement qui fait le prix, pas son volume.
Approfondissement Exercice 8 — Le temps de tri

Le tri à la source demande environ 4 heures de travail à deux compagnons. Donnée fournie : le coût horaire d'un compagnon, charges comprises, est de 38 €.
  1. Calculer le coût du temps de tri.
  2. En tenant compte de ce coût, le tri reste-t-il avantageux ? De combien ?
  3. Le conducteur de travaux hésite encore. Citer deux raisons, autres que le prix, qui justifient le tri.
  4. Le chantier suivant ne produit que du béton : 60 m² sur 15 cm. Calculer le volume foisonné, le nombre de bennes, et dire pourquoi la question du tri ne se pose pas ici.
  5. Sur ce chantier de béton seul, quelle surface pourrait-on démolir au maximum sans dépasser une seule benne de 8 m³ ? Donner la réponse au m² près, par défaut.
  1. \(4 \times 2 \times 38 = \mathbf{304}\) €.
  2. \(500 + 304 = 804\) € contre 1 080 € : le tri reste avantageux de 276 €.
  3. Deux raisons parmi : c'est une obligation réglementaire pour les déchets du bâtiment ; le plâtre mélangé au béton rend le lot non valorisable ; le béton trié est recyclé en granulats ; le plâtre en décharge non contrôlée dégage du sulfure d'hydrogène ; la traçabilité (bordereau de suivi) est exigée sur les marchés publics.
  4. \(60 \times 0{,}15 = 9{,}00 \; \text{m}^3\) en place ; \(\times 1{,}5 = \mathbf{13{,}50} \; \text{m}^3\) ; \(13{,}50 \div 8 = 1{,}6875\) → 2 bennes. Il n'y a qu'un seul matériau : le chargement est déjà trié, la question ne se pose pas.
  5. On cherche \(\mathcal{A}\) tel que \(\mathcal{A} \times 0{,}15 \times 1{,}5 \le 8\), soit \(\mathcal{A} \le 8 \div 0{,}225 \approx 35{,}6\). La surface maximale est de 35 m² (arrondi par défaut : 36 m² donneraient 8,10 m³, au-delà de la benne).
Approfondissement Exercice 9 — À partir de quel prix le tri cesse-t-il d'être rentable ?

Le tri à la source revient à 804 € tout compris (500 € de bennes + 304 € de main-d'œuvre). Le tout-venant demande 2 bennes, dont on note \(p\) le prix unitaire.
  1. Exprimer le coût du scénario tout-venant en fonction de \(p\).
  2. Écrire l'équation traduisant « les deux scénarios coûtent la même chose », puis la résoudre.
  3. Le prix réel d'une benne de tout-venant est de 540 €. Le tri est-il rentable ? De combien la benne devrait-elle baisser pour que ce ne soit plus le cas ?
  4. Le loueur propose une remise de 20 % sur le tout-venant. Cela change-t-il la décision ? Calculer.
  1. Coût du tout-venant : \(2p\).
  2. \(2p = 804\), donc \(p = \mathbf{402}\) €.
  3. À 540 € la benne, le tout-venant coûte 1 080 € : le tri reste rentable. Il faudrait que la benne descende sous 402 €, soit une baisse de \(540 - 402 = \mathbf{138}\) € — près de 26 %.
  4. Avec 20 % de remise : \(540 \times 0{,}80 = 432\) € la benne, soit \(2 \times 432 = 864\) €. C'est encore plus que 804 € : la décision ne change pas. La remise de 20 % ne suffit pas, il en faudrait 26 %.
Approfondissement Exercice 10 — Et si on prenait une plus grande benne ?

Le loueur propose aussi des bennes de 15 m³, facturées 780 € en tout-venant. Le chantier produit toujours 10,38 m³ foisonnés.
  1. Combien de bennes de 15 m³ faut-il ? Quel est le coût ?
  2. Comparer aux trois scénarios déjà étudiés : tout-venant en petites bennes, tri seul, tri avec le temps de main-d'œuvre.
  3. Classer les quatre scénarios du moins cher au plus cher. Lequel gagne ?
  4. Le résultat de la question 3 est gênant. Rédiger en trois phrases ce que le conducteur de travaux répond, en distinguant ce que dit le prix et ce que dit la réglementation.
  1. \(10{,}38 \le 15\) : une seule benne suffit, pour 780 €.
  2. Tout-venant en petites bennes : 1 080 €. Tri seul : 500 €. Tri avec main-d'œuvre : 804 €. Grande benne : 780 €.
  3. Du moins cher au plus cher : tri seul 500 € · grande benne 780 € · tri avec main-d'œuvre 804 € · petites bennes 1 080 €. Une fois le temps des compagnons compté, la grande benne en tout-venant passe devant le tri, de 24 €.
  4. Réponse attendue : sur le seul critère du prix, la grande benne l'emporte de 24 € — un écart de 3 %, inférieur à l'incertitude sur le temps de tri. Mais le tri des déchets du bâtiment est une obligation réglementaire, pas une option d'optimisation : le prix ne tranche pas cette question-là. Et 24 € d'écart ne pèsent rien face au risque d'un lot refusé en déchetterie ou d'un bordereau de suivi impossible à produire sur un marché public.
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