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Trois ans de hausses : combien au total ?

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro ICCER | S2.5 — Coût de l'énergie

Dernière mise à jour : 24 août 2026, 19:24

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Conseiller un client sur sa facture

Un technicien en énergies renouvelables reçoit un client qui hésite à changer sa chaudière. Le client sort ses factures de gaz : 0,11 € le kWh en 2021, puis une hausse de 28 % en 2022, une nouvelle hausse de 15 % en 2023, et enfin une baisse de 8 % en 2024.

Données fournies pour cet exercice :

« Trois évolutions en trois ans. Ça fait combien, au total ? Et ma facture, elle est passée de combien à combien ? »

2. Enchaîner des évolutions

Coefficient multiplicateur Une évolution de \(t\ \%\) se traduit par un coefficient multiplicateur :
\(\text{CM} = 1 + \dfrac{t}{100}\)
Une hausse de 28 % donne 1,28 ; une baisse de 8 % donne 0,92. Multiplier par ce coefficient, c'est appliquer l'évolution.
Évolutions successives Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients :
\(\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2 \times \text{CM}_3\)
Le taux global se relit ensuite dans le coefficient : \(t = (\text{CM} - 1) \times 100\).
Attention — les pourcentages ne s'additionnent pas Deux hausses de 50 % ne font pas + 100 % mais + 125 % : \(1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\). La raison est simple : la seconde hausse porte sur un montant déjà augmenté. Plus les taux sont grands, plus l'écart avec l'addition se creuse — sur de petits taux, la somme donne un résultat presque juste, ce qui rend l'erreur d'autant plus difficile à repérer.
Méthode — retrouver un taux global
  1. traduire chaque évolution en coefficient ;
  2. les multiplier tous ;
  3. retrancher 1 et multiplier par 100 pour lire le taux global.
Pour une baisse à obtenir, la démarche est la même : le coefficient cherché est inférieur à 1.

3. Deux façons de faire, une seule juste

✗ additionner les pourcentages « +28 puis +15 puis −8, donc +35 » — faux, sauf coïncidence ✓ multiplier les coefficients chaque évolution devient un coefficient multiplicateur, on les enchaîne, puis on compare à la valeur de départ Une évolution s'applique toujours à ce qui précède, jamais au point de départ.

4. Exercices

Socle Exercice 1 — Traduire en coefficients

On reprend les trois évolutions : + 28 %, + 15 %, puis − 8 %.
  1. Écrire le coefficient de la hausse de 28 % : \(1 + \dfrac{28}{100} = \text{……}\)
  2. Écrire celui de la hausse de 15 % : \(\text{……}\)
  3. Écrire celui de la baisse de 8 % : \(1 - \dfrac{8}{100} = \text{……}\)
  1. \(\mathbf{1{,}28}\)
  2. \(\mathbf{1{,}15}\)
  3. \(\mathbf{0{,}92}\) — inférieur à 1, parce que c'est une baisse.
Socle Exercice 2 — Le prix après la première hausse

Le gaz valait 0,11 € le kWh en 2021.
  1. Calculer le prix en 2022 : \(0{,}11 \times 1{,}28 = \text{……}\) €
  2. De combien de centimes le kWh a-t-il augmenté ?
  1. \(0{,}11 \times 1{,}28 = \mathbf{0{,}1408}\) €, soit environ 14,1 centimes.
  2. \(0{,}1408 - 0{,}11 = 0{,}0308\) €, soit environ 3,1 centimes de plus par kWh.
Socle Exercice 3 — Les deux années suivantes

On continue à partir de 0,1408 €.
  1. Calculer le prix en 2023 : \(0{,}1408 \times 1{,}15 = \text{……}\) €
  2. Calculer le prix en 2024 : \(\text{……} \times 0{,}92 = \text{……}\) €
  3. Arrondir le prix de 2024 au millième d'euro.
  1. \(0{,}1408 \times 1{,}15 = \mathbf{0{,}16192}\) €
  2. \(0{,}16192 \times 0{,}92 = \mathbf{0{,}1489664}\) €
  3. Environ \(\mathbf{0{,}149}\) € le kWh.
Socle Exercice 4 — La facture du client

Le logement consomme 14 000 kWh par an, sans changement sur la période.
  1. Calculer la facture de 2021 : \(14\,000 \times 0{,}11 = \text{……}\) €
  2. Calculer la facture de 2024 : \(14\,000 \times 0{,}149 = \text{……}\) €
  3. De combien la facture a-t-elle augmenté, en euros ?
  1. \(14\,000 \times 0{,}11 = \mathbf{1\,540}\) €
  2. \(14\,000 \times 0{,}149 = \mathbf{2\,086}\) €
  3. \(2\,086 - 1\,540 = \mathbf{546}\) € de plus par an.
Standard Exercice 5 — Le taux global

On cherche l'évolution totale entre 2021 et 2024.
  1. Calculer le coefficient global : \(1{,}28 \times 1{,}15 \times 0{,}92\), arrondi au dix-millième.
  2. En déduire le taux global, arrondi au dixième de pourcent.
  3. Le client a retenu « 35 % ». Avait-il raison ?
  4. Que vaut la somme des trois taux, 28 + 15 − 8 ? Que remarque-t-on ?
  1. \(1{,}28 \times 1{,}15 \times 0{,}92 = \mathbf{1{,}3542}\)
  2. \((1{,}3542 - 1) \times 100 = \mathbf{35{,}4\ \%}\)
  3. Presque : le vrai taux est de 35,4 %, il annonçait 35 %. L'écart est de 0,4 point.
  4. \(28 + 15 - 8 = \mathbf{35}\). L'addition tombe presque juste — et c'est précisément le piège : sur des taux modérés elle donne un résultat plausible, ce qui empêche de voir qu'elle est fausse.
Standard Exercice 6 — Quand l'addition devient franchement fausse

On teste la méthode de l'addition sur des taux plus élevés.
  1. Un prix subit deux hausses de 50 %. Calculer le coefficient global et le taux global.
  2. Que donnerait l'addition des deux taux ?
  3. De combien de points l'addition se trompe-t-elle ?
  4. Expliquer en une phrase d'où vient l'écart.
  1. \(1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\), soit \((2{,}25 - 1) \times 100 = \mathbf{+125\ \%}\).
  2. L'addition donnerait \(50 + 50 = \mathbf{+100\ \%}\).
  3. 25 points d'écart.
  4. La seconde hausse porte sur un montant déjà augmenté de 50 % : les 50 % de la seconde année valent plus cher que ceux de la première.
Standard Exercice 7 — Réduire la consommation pour tenir le budget

Le client voudrait retrouver sa facture de 2021, soit 1 540 €, avec le prix de 2024 (0,149 € le kWh).
  1. Quelle consommation annuelle cela représente-t-il ? Arrondir au kWh.
  2. De combien de kWh doit-il réduire sa consommation ?
  3. Exprimer cette réduction en pourcentage de sa consommation actuelle, arrondi au dixième.
  4. Ce chiffre vous paraît-il atteignable par de simples gestes d'économie ?
  1. \(1\,540 \div 0{,}149 \approx \mathbf{10\,336}\) kWh.
  2. \(14\,000 - 10\,336 = \mathbf{3\,664}\) kWh.
  3. \(3\,664 \div 14\,000 = 0{,}2617\), soit − 26,2 %.
  4. Non. Réduire d'un quart sa consommation ne s'obtient pas en baissant le thermostat : cela demande une intervention sur le bâti — isolation, menuiseries — ou un changement de système.
Approfondissement Exercice 8 — Comparer le gaz et la pompe à chaleur

Le technicien chiffre l'alternative. Données fournies : une pompe à chaleur de COP 3,5 restitue 3,5 kWh de chaleur pour 1 kWh d'électricité consommé ; l'électricité est à 0,25 € le kWh ; le rendement de la chaudière gaz est de 90 %.
  1. Pour couvrir un besoin de chaleur de 14 000 kWh, quelle énergie la chaudière gaz consomme-t-elle réellement ? En déduire la facture au prix de 2024.
  2. Quelle électricité la pompe à chaleur consomme-t-elle pour le même besoin ? En déduire sa facture.
  3. Quelle économie annuelle la pompe à chaleur permet-elle ?
  4. L'installation coûte 14 000 € posée, dont 5 000 € d'aides. En combien d'années est-elle remboursée ?
  5. Le client objecte que « l'électricité augmente aussi ». Répondre en deux phrases.
  1. \(14\,000 \div 0{,}90 = 15\,556\) kWh de gaz, soit \(15\,556 \times 0{,}149 = \mathbf{2\,318}\) €.
  2. \(14\,000 \div 3{,}5 = 4\,000\) kWh d'électricité, soit \(4\,000 \times 0{,}25 = \mathbf{1\,000}\) €.
  3. \(2\,318 - 1\,000 = \mathbf{1\,318}\) € par an.
  4. Reste à charge : \(14\,000 - 5\,000 = 9\,000\) €. \(9\,000 \div 1\,318 \approx \mathbf{6{,}8}\) ans.
  5. Réponse attendue : c'est exact, mais la pompe à chaleur ne consomme que 4 000 kWh contre 15 556 pour le gaz — une hausse du prix de l'électricité pèse donc sur une quantité près de quatre fois plus faible. Ce n'est pas le prix du kWh qui protège le client, c'est le nombre de kWh qu'il achète.
Approfondissement Exercice 9 — Retrouver un taux manquant

Le technicien retrouve une facture de 2022 mais pas celle de 2023. Il sait que le prix est passé de 0,1408 € en 2022 à 0,149 € en 2024, et que la baisse de 2024 était bien de 8 %.
  1. Écrire l'équation vérifiée par le coefficient inconnu \(x\) de l'année 2023 : \(0{,}1408 \times x \times 0{,}92 = 0{,}149\).
  2. Résoudre cette équation, en arrondissant au millième.
  3. En déduire le taux d'évolution de 2023, arrondi au dixième de pourcent.
  4. Comparer à la valeur annoncée dans la situation. L'écart s'explique-t-il ?
  5. Pourquoi ne peut-on pas simplement faire 0,149 ÷ 0,1408 pour trouver la hausse de 2023 ?
  1. \(0{,}1408 \times 0{,}92 \times x = 0{,}149\), soit \(0{,}129536\,x = 0{,}149\).
  2. \(x = 0{,}149 \div 0{,}129536 \approx \mathbf{1{,}150}\).
  3. \((1{,}150 - 1) \times 100 = \mathbf{15{,}0\ \%}\).
  4. C'est exactement la valeur annoncée : la méthode retrouve bien le taux perdu. Le léger écart éventuel vient seulement des arrondis successifs.
  5. Parce que \(0{,}149 \div 0{,}1408 \approx 1{,}058\) mesure l'évolution de 2022 à 2024, donc les deux années à la fois — la hausse de 2023 et la baisse de 2024 mélangées. Il faut d'abord retirer l'effet de 2024.
Approfondissement Exercice 10 — Sur dix ans

Le technicien veut montrer l'effet d'une hausse régulière. On suppose que le prix du gaz augmente de 4 % par an pendant 10 ans, à partir de 0,149 €. Relation fournie : après \(n\) évolutions identiques de coefficient \(k\), le coefficient global vaut \(k^n\).
  1. Calculer le coefficient global sur 10 ans, arrondi au millième. (À la calculatrice : \(1{,}04^{10}\).)
  2. En déduire le prix du kWh au bout de 10 ans, arrondi au millième d'euro.
  3. Quel est le taux global sur les dix années ?
  4. L'addition naïve donnerait 4 × 10 = 40 %. De combien de points se trompe-t-elle ?
  5. Le client dit : « à 4 % par an, le prix double en 25 ans ». A-t-il raison ? Justifier.
  1. \(1{,}04^{10} \approx \mathbf{1{,}480}\)
  2. \(0{,}149 \times 1{,}480 \approx \mathbf{0{,}221}\) € le kWh.
  3. \((1{,}480 - 1) \times 100 = \mathbf{+48{,}0\ \%}\).
  4. 8 points : 48 % contre 40 % annoncés. Sur dix ans, l'écart devient impossible à négliger.
  5. Non, il double plus vite. \(1{,}04^{18} \approx 2{,}03\) : il faut environ 18 ans, pas 25. La règle rapide est de diviser 70 par le taux : \(70 \div 4 = 17{,}5\) ans.
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