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Ce que porte un plancher

Co-intervention Maths-Sciences | 2de Bac Pro — famille Bâtiment | Compétences C2 et C3.6

Dernière mise à jour : 22 août 2026, 11:25

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Réaménagement d'un étage de bureaux

Un technicien d'études examine le réaménagement d'un local situé au premier étage : 8,00 m sur 6,00 m. Le plancher est une dalle de béton armé de 20 cm d'épaisseur, reposant sur 4 poteaux.

Données fournies pour cet exercice :

Extrait du tableau des charges d'exploitation retenu par le bureau d'études, selon l'usage du local :

Usage du localCharge d'exploitation
Logement150 kg/m²
Bureau250 kg/m²
Salle de réunion400 kg/m²
Salle d'archives500 kg/m²
« Le client veut y installer ses archives papier. Est-ce que le plancher tient ? »

2. Deux charges, pas une

Charge permanente et charge d'exploitation La charge permanente est celle de l'ouvrage lui-même : la dalle, la chape, le revêtement. Elle ne bouge jamais.
La charge d'exploitation est celle de ce qu'on met dessus : personnes, mobilier, matériel. Elle dépend de l'usage du local, et c'est pour cela qu'elle est fixée par catégorie — un bureau, une salle d'archives et un entrepôt n'ont pas la même valeur.
Charge surfacique Une charge surfacique s'exprime en kg/m² : c'est la masse admise par mètre carré de plancher. La masse totale s'obtient par une simple proportionnalité :
\(m = \text{charge surfacique} \times \text{surface}\)
De la masse au poids Le poids est la force exercée par la pesanteur sur une masse :
\(P = m \times g\), avec \(m\) en kilogrammes, \(g\) en N/kg et \(P\) en newtons.
C'est le poids, et non la masse, que la structure doit reprendre.
Attention — masse et poids ne sont pas la même grandeur Une dalle de 23 tonnes a une masse de 23 000 kg et un poids d'environ 226 000 N. Sur un chantier, on entend souvent « le plancher supporte 250 kg au mètre carré » : c'est une masse par unité de surface, et le calcul de structure la convertira en force.

3. La descente de charges

charge d'exploitation — ce qu'on pose dessus dalle béton 20 cm 4 poteaux (les 2 arrière en pointillés) chacun reprend un quart fondations Coupe — schéma sans échelle

4. Exercices

Socle Exercice 1 — La surface et la charge d'exploitation

Le local mesure 8,00 m sur 6,00 m. La charge d'exploitation retenue est de 250 kg/m².
  1. Calculer la surface du local : \(\mathcal{A} = 8{,}00 \times \text{……} = \text{……} \; \text{m}^2\)
  2. Calculer la masse admise : \(m = 250 \times \text{……} = \text{……} \; \text{kg}\)
  3. Convertir en tonnes : \(\text{……}\) t
  1. \(8{,}00 \times 6{,}00 = \mathbf{48{,}00} \; \text{m}^2\)
  2. \(250 \times 48 = \mathbf{12\,000} \; \text{kg}\)
  3. \(12\,000 \; \text{kg} = \mathbf{12{,}00}\) t
Socle Exercice 2 — De la masse au poids

La charge d'exploitation représente une masse de 12 000 kg, et \(g = 9{,}81\) N/kg.
  1. Écrire la relation : \(P = \text{……} \times \text{……}\)
  2. Calculer le poids : \(P = 12\,000 \times 9{,}81 = \text{……} \; \text{N}\)
  3. Exprimer ce poids en kilonewtons (1 kN = 1 000 N) : \(\text{……}\) kN
  1. \(P = m \times g\)
  2. \(P = \mathbf{117\,720} \; \text{N}\)
  3. \(\approx \mathbf{117{,}7}\) kN
Socle Exercice 3 — Lire le tableau des usages

Le local mesure toujours 48,00 m². On utilise le tableau des charges d'exploitation de la mise en situation.
  1. Relever la charge d'exploitation d'un logement : \(\text{……}\) kg/m²
  2. Calculer la masse admise si le local était un logement : \(\text{……} \times 48 = \text{……}\) kg
  3. Même question pour une salle d'archives.
  4. Entre le logement et la salle d'archives, par combien la masse admise est-elle multipliée ?
  1. 150 kg/m²
  2. \(150 \times 48 = \mathbf{7\,200}\) kg
  3. \(500 \times 48 = \mathbf{24\,000}\) kg
  4. \(24\,000 \div 7\,200 = 500 \div 150 \approx \mathbf{3{,}3}\). Le même plancher doit porter plus de trois fois plus si l'on y range des archives : c'est l'usage qui commande, pas la surface.
Socle Exercice 4 — Changer d'unité sans se tromper

Compléter, en utilisant 1 t = 1 000 kg et 1 kN = 1 000 N.
  1. 12 000 kg = \(\text{……}\) t
  2. 23,04 t = \(\text{……}\) kg
  3. 117 720 N = \(\text{……}\) kN
  4. 85,9 kN = \(\text{……}\) N
  5. Parmi ces quatre valeurs, lesquelles sont des masses et lesquelles sont des forces ?
  1. 12,00 t
  2. 23 040 kg
  3. 117,72 kN
  4. 85 900 N
  5. Les kilogrammes et les tonnes mesurent des masses ; les newtons et les kilonewtons mesurent des forces. On passe des unes aux autres par \(P = m \times g\), jamais par une simple conversion.
Standard Exercice 5 — Le plancher se porte lui-même

La dalle mesure 48,00 m² sur 20 cm d'épaisseur ; le béton armé pèse 2 400 kg par m³.
  1. Calculer le volume de la dalle, en m³.
  2. En déduire sa masse, en kg puis en tonnes.
  3. Calculer la masse totale que reprend la structure : dalle + charge d'exploitation.
  4. Quelle part du total la dalle représente-t-elle ? Commenter en une phrase.
  1. \(48{,}00 \times 0{,}20 = \mathbf{9{,}60} \; \text{m}^3\)
  2. \(9{,}60 \times 2\,400 = \mathbf{23\,040} \; \text{kg}\), soit 23,04 t.
  3. \(23{,}04 + 12{,}00 = \mathbf{35{,}04}\) t.
  4. \(23{,}04 \div 35{,}04 \approx 66\ \%\). Les deux tiers de ce que porte la structure, c'est le plancher lui-même — bien avant ce qu'on posera dessus.
Standard Exercice 6 — Ce que reprend chaque poteau

La charge totale de 35,04 t descend dans 4 poteaux qui la reprennent également.
  1. Calculer la masse reprise par chaque poteau, en tonnes.
  2. Convertir cette masse en poids, en kN (arrondir au dixième).
  3. Le bureau d'études annonce 90 kN par poteau. Votre calcul le confirme-t-il ? Si l'écart existe, proposer une explication.
  1. \(35{,}04 \div 4 = \mathbf{8{,}76}\) t par poteau.
  2. \(8\,760 \times 9{,}81 = 85\,935{,}6\) N \(\approx \mathbf{85{,}9}\) kN.
  3. L'écart avec les 90 kN annoncés est d'environ 4 kN, soit 5 %. Explication attendue : notre calcul ne compte que la dalle nue et la charge d'exploitation — le bureau d'études ajoute la chape, le revêtement et les cloisons, qui font partie de la charge permanente. Un écart dans ce sens (l'étude annonce plus) est normal ; l'inverse serait inquiétant.
Standard Exercice 7 — Combien reste-t-il de marge ?

Le plancher est donné pour 800 kg/m² au total, charge permanente et charge d'exploitation confondues.
  1. Calculer la charge permanente par mètre carré apportée par la dalle (on connaît sa masse totale : 23 040 kg).
  2. Ajouter la charge d'exploitation du bureau. Quelle est la charge totale par mètre carré ?
  3. Quelle marge reste-t-il, en kg/m² puis en kg sur l'ensemble du local ?
  4. Cette marge représente quel pourcentage de la charge admissible ? Commenter en une phrase.
  1. \(23\,040 \div 48 = \mathbf{480} \; \text{kg/m}^2\).
  2. \(480 + 250 = \mathbf{730} \; \text{kg/m}^2\).
  3. \(800 - 730 = \mathbf{70} \; \text{kg/m}^2\), soit \(70 \times 48 = \mathbf{3\,360}\) kg sur tout le local.
  4. \(70 \div 800 = 0{,}0875\), soit 8,75 %. La marge est mince : moins d'un dixième. Tout ajout — une cloison, un coffre-fort, un serveur informatique — doit être vérifié avant d'être posé.
Approfondissement Exercice 8 — Les archives du client

Le client veut entreposer ses archives papier sur 20 m² du local, empilées sur 1,80 m de hauteur. Donnée fournie : le papier en cartons d'archives pèse environ 700 kg par m³.
  1. Calculer le volume occupé par les archives, puis leur masse.
  2. Calculer la charge surfacique correspondante, en kg/m².
  3. Comparer à la charge d'exploitation admise de 250 kg/m². Par quel facteur la dépasse-t-on ?
  4. Le client propose d'étaler les archives sur tout le local plutôt que sur 20 m². Cela résout-il le problème ? Calculer, puis conclure en une phrase.
  5. Le technicien d'études refuse. Rédiger en deux phrases ce qu'il écrit au client, en distinguant ce qui se règle par la disposition et ce qui relève de la structure.
  1. \(20 \times 1{,}80 = 36 \; \text{m}^3\) ; \(36 \times 700 = \mathbf{25\,200} \; \text{kg}\), soit 25,2 t.
  2. \(25\,200 \div 20 = \mathbf{1\,260} \; \text{kg/m}^2\).
  3. \(1\,260 \div 250 = \mathbf{5{,}04}\) : on dépasse la limite d'un facteur 5.
  4. Étalé sur 48 m² : \(25\,200 \div 48 = 525 \; \text{kg/m}^2\) — c'est deux fois moins, mais toujours plus du double de la limite. Étaler ne suffit donc pas.
  5. Réponse attendue : la disposition change la répartition mais pas la masse totale, et le local reste très au-delà de sa charge admissible. Une salle d'archives n'est pas un bureau : soit on renforce la structure après étude, soit on installe les archives au rez-de-chaussée, sur dallage porté par le sol.
Approfondissement Exercice 9 — Jusqu'à quelle épaisseur de dalle ?

Le bureau d'études hésite encore sur l'épaisseur de la dalle. Le plancher reste limité à 800 kg/m² au total, l'usage reste un bureau (250 kg/m²), et le béton armé pèse toujours 2 400 kg/m³.
  1. Exprimer la charge permanente par m² en fonction de l'épaisseur \(e\) de la dalle, en mètres.
  2. Écrire l'inégalité que doit vérifier \(e\) pour que le total reste sous 800 kg/m².
  3. Résoudre, et donner l'épaisseur maximale en centimètres.
  4. La dalle projetée fait 20 cm. De combien de centimètres dispose-t-on encore ? Cette marge vous paraît-elle confortable ?
  1. Un mètre carré de dalle d'épaisseur \(e\) occupe \(1 \times e = e\) m³, donc pèse \(2\,400 \times e\) kg. La charge permanente vaut \(2\,400\,e\) kg/m².
  2. \(2\,400\,e + 250 \le 800\).
  3. \(2\,400\,e \le 550\), donc \(e \le \dfrac{550}{2\,400} \approx 0{,}229\) m, soit environ 22,9 cm.
  4. \(22{,}9 - 20 = \mathbf{2{,}9}\) cm. C'est peu : moins de trois centimètres séparent le projet de la limite. Une reprise de dalle, une chape épaisse ou un ragréage généreux consommeraient cette marge sans que personne ne refasse le calcul.
Approfondissement Exercice 10 — Et si on en faisait une salle de réunion ?

Le client renonce aux archives, mais demande maintenant de transformer le bureau en salle de réunion. La dalle de 20 cm reste en place.
  1. Relever dans le tableau la charge d'exploitation d'une salle de réunion, puis calculer la charge totale par m².
  2. Le plancher tient-il ? De combien la limite est-elle dépassée ?
  3. Reprendre le raisonnement de l'exercice 9 : quelle épaisseur de dalle faudrait-il pour qu'une salle de réunion passe ?
  4. Le résultat de la question 3 est plus petit que l'épaisseur actuelle. Expliquer en deux phrases pourquoi on ne peut pas régler le problème en amincissant la dalle.
  5. Que faut-il faire, alors ? Proposer une réponse en une phrase, du point de vue du technicien d'études.
  1. Salle de réunion : 400 kg/m². Total : \(480 + 400 = \mathbf{880} \; \text{kg/m}^2\).
  2. Non : \(880 > 800\). La limite est dépassée de 80 kg/m², soit \(80 \times 48 = 3\,840\) kg sur le local.
  3. \(2\,400\,e + 400 \le 800\) donne \(e \le \dfrac{400}{2\,400} \approx 0{,}167\) m, soit environ 16,7 cm.
  4. Réponse attendue : amincir la dalle allégerait bien la charge permanente, mais la dalle n'est pas un simple poids — c'est elle qui porte. Une dalle plus fine reprend moins bien la flexion : on retirerait de la résistance en même temps que du poids, et le plancher serait plus faible, pas plus fort.
  5. Il faut renforcer la structure et non alléger la dalle : ajouter une poutre ou un poteau intermédiaire pour réduire la portée, après une étude. À défaut, refuser le changement d'usage — ou installer la salle de réunion au rez-de-chaussée.
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