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Capteur de température et régulation d'un chauffage

Co-intervention Maths-Sciences | Seconde Bac Pro TNE | Numérique & pilotage — capteurs et régulation

Dernière mise à jour : 24 juin 2026

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Mise en service d'un thermostat de chaufferie piloté par une sonde

Un installateur en génie climatique met en service un thermostat de régulation intégré à la gestion technique de bâtiment (GTB) d'une chaufferie. Ce thermostat pilote le chauffage d'un logement (chaudière, plancher chauffant ou pompe à chaleur) à partir d'une sonde de température placée dans le séjour. La sonde ne « voit » pas directement les degrés : elle envoie au régulateur un signal électrique (une tension, en millivolts) qui dépend de la température de la pièce.

Le régulateur compare en permanence la température mesurée à la consigne programmée par le client (par exemple 19 °C) et décide d'allumer ou de couper la chaudière. Avant de remettre l'installation au client, le technicien doit répondre à plusieurs questions : « Quelle température lit le capteur d'après son signal ? À quel moment exact le chauffage s'allume-t-il et se coupe-t-il ? Combien la programmation jour/nuit fait-elle économiser ? »

2. Du capteur à la consigne

Définition — Capteur de température
Un capteur (ou sonde) transforme une grandeur physique — ici la température \(\theta\) (en °C) — en un signal électrique que le régulateur sait lire : une tension \(U\) (en V ou mV) ou une résistance (en Ω). Pour beaucoup de sondes, la relation entre les deux est affine : sur la plage utile, la tension augmente régulièrement avec la température. \[ U = a\,\theta + b \] où \(a\) est l'augmentation de tension par degré (sensibilité) et \(b\) la tension pour \(\theta = 0\) °C.
Propriété — Consigne et régulation tout-ou-rien (TOR)
La consigne est la température souhaitée par l'utilisateur (ex. 19 °C). En régulation tout-ou-rien, la chaudière n'a que deux états : allumée ou éteinte. L'écart entre le seuil bas et le seuil haut s'appelle le différentiel (ou hystérésis). Avec une consigne de 19 °C et un différentiel de 1 °C, on allume à 18,5 °C et on coupe à 19,5 °C. La température réelle oscille donc autour de la consigne.
Attention — Erreurs fréquentes

3. Exemple numérique complet

Une sonde linéaire et une régulation à 19 °C

Le régulateur reçoit le signal d'une sonde dont la tension (en mV) suit la relation affine : \[ U = 10\,\theta + 200 \qquad (U \text{ en mV},\ \theta \text{ en °C}) \] La tension augmente de 10 mV par degré ; à 0 °C, la sonde envoie 200 mV.

1. Quelle tension pour la consigne \(\theta = 19\) °C ? \[ U = 10 \times 19 + 200 = 190 + 200 = 390 \;\text{mV} \] 2. Quelle température si la sonde envoie \(U = 360\) mV ?
On résout l'équation \(10\theta + 200 = 360\) : \[ 10\theta = 360 - 200 = 160 \qquad \theta = \frac{160}{10} = 16 \;\text{°C} \] 3. Régulation TOR (consigne 19 °C, différentiel 1 °C)
Seuil bas \(= 19 - 0{,}5 = 18{,}5\) °C → le chauffage s'allume.
Seuil haut \(= 19 + 0{,}5 = 19{,}5\) °C → le chauffage se coupe.
En tension, cela correspond à : \[ U_{\text{bas}} = 10 \times 18{,}5 + 200 = 385 \;\text{mV} \qquad U_{\text{haut}} = 10 \times 19{,}5 + 200 = 395 \;\text{mV} \] Le régulateur allume tant que le signal est \(\lt 385\) mV et coupe dès qu'il dépasse 395 mV.

4. Lecture de la courbe de régulation

18 18,5 19 19,5 20 Température (°C) seuil bas 18,5 °C (allumage) seuil haut 19,5 °C (coupure) consigne 19 °C Temps (min) 0 20 40 60 chauffe refroidit

La température réelle (courbe verte) monte quand la chaudière chauffe, redescend quand elle est coupée, et reste bornée entre 18,5 °C et 19,5 °C : elle oscille autour de la consigne de 19 °C. Ici un cycle complet (montée + descente) dure environ 20 min.

5. Repères chiffrés

Température θTension U = 10θ + 200
16 °C360 mV
18,5 °C385 mV
19 °C390 mV
19,5 °C395 mV
21 °C410 mV
PériodeConsigne conseillée
Jour (présence)19 °C
Nuit (sommeil)16 – 17 °C
Absence prolongée16 °C

Règle d'ordre de grandeur : 1 °C de moins ≈ 7 % d'économie de chauffage.

6. Exercices

Socle Exercice 1 — Du degré au signal

Une sonde suit la relation \(U = 10\,\theta + 200\) (\(U\) en mV, \(\theta\) en °C). Un technicien de maintenance énergétique veut connaître le signal envoyé quand la pièce est à \(\theta = 21\) °C.
  1. Recopier la formule : \(U = 10 \times \text{……} + 200\)
  2. Calculer : \(U = 10 \times 21 + 200 = \text{……}\) mV
  1. \(U = 10 \times 21 + 200\)
  2. \(U = 210 + 200 = 410\) mV
Socle Exercice 2 — Lire la température sur la courbe

On observe la courbe de régulation du 4. Lecture de la courbe. La température réelle oscille entre deux valeurs.
  1. Quelle est la température la plus basse atteinte (seuil d'allumage) ?
  2. Quelle est la température la plus haute atteinte (seuil de coupure) ?
  3. Quelle est la consigne (ligne rouge pointillée) ?
  1. La plus basse : 18,5 °C (allumage).
  2. La plus haute : 19,5 °C (coupure).
  3. La consigne : 19 °C.
Socle Exercice 3 — Le chauffage est-il allumé ?

La consigne est 19 °C avec un différentiel de 1 °C : le chauffage s'allume à 18,5 °C et se coupe à 19,5 °C. Pour chaque température mesurée, dire si le chauffage doit chauffer ou rester éteint :
  1. La sonde mesure 18 °C.
  2. La sonde mesure 20 °C.
  3. La sonde mesure 18,5 °C (température au seuil bas).
  1. 18 °C est sous le seuil bas (18,5 °C) → le chauffage chauffe.
  2. 20 °C est au-dessus du seuil haut (19,5 °C) → le chauffage est éteint.
  3. 18,5 °C est le seuil bas → le chauffage s'allume (la pièce est trop froide).
Socle Exercice 4 — Économie d'un degré en moins

On retient la règle : 1 °C de moins ≈ 7 % d'économie de chauffage. Un client chauffait à 20 °C ; le technicien de maintenance énergétique règle la consigne à 19 °C.
  1. De combien de degrés la consigne a-t-elle baissé ?
  2. Quelle économie de chauffage cela représente-t-il (en %) ?
  3. Si la facture de chauffage était de 1000 € par an, quelle somme est économisée ?
  1. Baisse de \(20 - 19 = 1\) °C.
  2. 1 °C de moins ≈ 7 % d'économie.
  3. \(1000 \times \dfrac{7}{100} = 70\) € économisés par an.
Standard Exercice 5 — Du signal à la température (équation)

Un technicien GTB (régulation de chaufferie) relève sur le régulateur que la sonde \(U = 10\,\theta + 200\) (mV) envoie un signal de 375 mV.
  1. Écrire l'équation à résoudre pour trouver \(\theta\).
  2. Résoudre cette équation et donner la température lue.
  3. Avec une consigne de 19 °C (allumage à 18,5 °C), le chauffage est-il allumé à cet instant ?
  1. \(10\theta + 200 = 375\)
  2. \(10\theta = 375 - 200 = 175\) donc \(\theta = \dfrac{175}{10} = 17{,}5\) °C.
  3. 17,5 °C est sous le seuil d'allumage (18,5 °C) → le chauffage est allumé (il chauffe).
Standard Exercice 6 — Régler les seuils avec un différentiel

Le client souhaite une consigne de 20 °C. L'installateur en génie climatique programme un différentiel de 1 °C, réparti symétriquement autour de la consigne. La sonde suit \(U = 10\,\theta + 200\) (mV).
  1. Calculer la température d'allumage (seuil bas) et la température de coupure (seuil haut).
  2. Calculer la tension du capteur correspondant à chacun de ces deux seuils.
  1. Seuil bas \(= 20 - 0{,}5 = 19{,}5\) °C (allumage) ; seuil haut \(= 20 + 0{,}5 = 20{,}5\) °C (coupure).
  2. \(U_{\text{bas}} = 10 \times 19{,}5 + 200 = 395\) mV ; \(U_{\text{haut}} = 10 \times 20{,}5 + 200 = 405\) mV.
Standard Exercice 7 — Économie d'une programmation jour/nuit

Un installateur en génie climatique programme un abaissement de nuit : la consigne passe de 19 °C le jour à 16 °C la nuit. On admet la règle « 1 °C de moins ≈ 7 % d'économie » et on l'applique à la part de la facture concernée par la nuit. La facture annuelle de chauffage est de 1200 €, dont on estime que 40 % correspond aux heures de nuit.
  1. De combien de degrés la consigne de nuit a-t-elle baissé ?
  2. Quel pourcentage d'économie cela représente-t-il sur le chauffage de nuit ?
  3. Calculer la part de facture concernée par la nuit (40 % de 1200 €), puis l'économie réalisée en euros.
  1. Baisse de \(19 - 16 = 3\) °C.
  2. \(3 \times 7 = 21\) % d'économie sur le chauffage de nuit.
  3. Part nuit : \(1200 \times \dfrac{40}{100} = 480\) €. Économie : \(480 \times \dfrac{21}{100} = 100{,}80\) €, soit environ 101 € par an.
Approfondissement Exercice 8 — Exploiter la courbe de régulation

On reprend la courbe du 4. Lecture de la courbe. La température oscille entre 18,5 °C et 19,5 °C, et un cycle complet (une montée + une descente) dure 20 minutes.
  1. Quel est l'écart total entre la température la plus basse et la plus haute ?
  2. De combien la température réelle s'écarte-t-elle au maximum de la consigne de 19 °C ?
  3. Combien de cycles complets le chauffage effectue-t-il en 1 heure ?
  4. Combien de cycles en une journée de chauffe de 12 heures ?
  1. Écart total : \(19{,}5 - 18{,}5 = 1\) °C (c'est le différentiel).
  2. Écart maximal à la consigne : \(0{,}5\) °C (de part et d'autre de 19 °C).
  3. En 1 h = 60 min : \(\dfrac{60}{20} = 3\) cycles.
  4. En 12 h : \(3 \times 12 = 36\) cycles.
Approfondissement Exercice 9 — Retrouver la relation affine d'une sonde

Un technicien de maintenance énergétique étalonne une nouvelle sonde. Il relève deux mesures : à 10 °C la sonde envoie 300 mV, et à 30 °C elle envoie 500 mV. La relation est affine : \(U = a\,\theta + b\).
  1. Calculer la sensibilité \(a\) (variation de tension par degré) : \(a = \dfrac{\Delta U}{\Delta \theta}\).
  2. En utilisant le point (10 °C ; 300 mV), calculer \(b\).
  3. Écrire la relation complète, puis donner la tension envoyée à la consigne de 19 °C.
  1. \(a = \dfrac{500 - 300}{30 - 10} = \dfrac{200}{20} = 10\) mV/°C.
  2. Avec \(U = 10\theta + b\) et le point (10 ; 300) : \(300 = 10 \times 10 + b\), donc \(b = 300 - 100 = 200\) mV.
  3. \(U = 10\theta + 200\). À 19 °C : \(U = 10 \times 19 + 200 = 390\) mV.
Approfondissement Exercice 10 — Comparer deux programmations

Un technicien GTB compare deux réglages pour un logement dont la facture de chauffage serait de 1200 € par an à 21 °C en permanence. On applique la règle « 1 °C de moins ≈ 7 % d'économie » au prorata des heures concernées.
  1. Programmation A : la baisse est de 2 °C en permanence. Quel pourcentage d'économie ? Quelle facture obtient-on ?
  2. Programmation B, jour : baisse de 2 °C pendant 16 h sur 24, soit une fraction \(\dfrac{16}{24}\) de la journée. Calculer l'économie correspondante (en %, par rapport au total).
  3. Programmation B, nuit : baisse de 5 °C pendant 8 h sur 24, soit \(\dfrac{8}{24}\). Calculer l'économie correspondante (en %, par rapport au total).
  4. En déduire le pourcentage d'économie total de la programmation B, la facture obtenue, et l'économie de B par rapport à A (en €).
  1. A : baisse 2 °C → \(2 \times 7 = 14\) % d'économie. Facture : \(1200 \times (1 - 0{,}14) = 1200 \times 0{,}86 = 1032\) €.
  2. B jour : économie de \(2 \times 7 = 14\) % appliquée à \(\dfrac{16}{24}\) du temps, soit \(14 \times \dfrac{16}{24} = 14 \times \dfrac{2}{3} \approx 9{,}33\) % du total.
  3. B nuit : économie de \(5 \times 7 = 35\) % appliquée à \(\dfrac{8}{24}\) du temps, soit \(35 \times \dfrac{8}{24} = 35 \times \dfrac{1}{3} \approx 11{,}67\) % du total.
  4. Total B : \(9{,}33 + 11{,}67 = 21\) % d'économie. Facture : \(1200 \times (1 - 0{,}21) = 1200 \times 0{,}79 = 948\) €. Économie de B par rapport à A : \(1032 - 948 = \mathbf{84}\) € par an de plus que la programmation A.
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