Exercices | Terminale Bac Pro ICCER (Grpt 1) – Fluides en mouvement
Un fluide en mouvement transporte de la masse et du volume. Les grandeurs clés sont les débits et les vitesses d'écoulement.
Pour chaque question, entourer la bonne réponse.
1. L'unité du débit volumique dans le système international est :
a) L/h b) m³/s c) kg/s
2. La formule du débit volumique est :
a) \(Q_v = \rho \cdot v\) b) \(Q_v = v \cdot S\) c) \(Q_v = P \cdot S\)
3. Si le diamètre d'un tuyau double, la section est multipliée par :
a) 2 b) 4 c) 8
4. D'après la conservation du débit, quand la section diminue, la vitesse :
a) diminue b) reste constante c) augmente
5. L'effet Venturi décrit le fait que quand la vitesse augmente, la pression :
a) augmente b) diminue c) reste constante
1. b) m³/s
2. b) \(Q_v = v \cdot S\)
3. b) 4 (car \(S = \pi (D/2)^2\), le facteur \(D^2\) donne \(2^2 = 4\))
4. c) augmente (conservation : \(v_1 S_1 = v_2 S_2\))
5. b) diminue (effet Venturi)
Un plombier chauffagiste installe un tuyau de diamètre \(D = 20\ \text{mm} = 0{,}020\ \text{m}\). L'eau y circule à la vitesse \(v = 1{,}5\ \text{m/s}\).
1. Calculer le rayon du tuyau :
\(r = \dfrac{D}{2} = \dfrac{0{,}020}{2} = \boxed{\phantom{0{,}010}}\ \text{m}\)
2. Calculer la section du tuyau. Compléter :
\(S = \pi \times r^2 = \pi \times (\boxed{\phantom{0{,}010}})^2 = \pi \times \boxed{\phantom{10^{-4}}} \approx \boxed{\phantom{3{,}14 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^2\)
3. Calculer le débit volumique. Compléter :
\(Q_v = v \times S = \boxed{\phantom{1{,}5}} \times \boxed{\phantom{3{,}14 \times 10^{-4}}} \approx \boxed{\phantom{4{,}71 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^3/\text{s}\)
4. Convertir en L/s (rappel : 1 m³ = 1 000 L) :
\(Q_v = \boxed{\phantom{4{,}71 \times 10^{-4}}} \times 1\,000 \approx \boxed{\phantom{0{,}471}}\ \text{L/s}\)
1. \(r = 0{,}010\ \text{m}\)
2. \(S = \pi \times (0{,}010)^2 = \pi \times 10^{-4} \approx \mathbf{3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)
3. \(Q_v = 1{,}5 \times 3{,}14 \times 10^{-4} \approx \mathbf{4{,}71 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
4. \(Q_v = 4{,}71 \times 10^{-4} \times 1\,000 \approx \mathbf{0{,}471\ \text{L/s}}\)
Un circuit de chauffage transporte de l'eau (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)) avec un débit volumique \(Q_v = 0{,}5\ \text{L/s}\).
1. Quelle formule relie le débit massique au débit volumique ? Compléter :
\(Q_m = \boxed{\phantom{\rho}} \times \boxed{\phantom{Q_v}}\)
2. Convertir le débit volumique en m³/s. Compléter :
\(Q_v = 0{,}5\ \text{L/s} = 0{,}5 \times \boxed{\phantom{10^{-3}}}\ \text{m}^3/\text{s} = \boxed{\phantom{5 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^3/\text{s}\)
3. Calculer le débit massique. Compléter :
\(Q_m = 1\,000 \times \boxed{\phantom{5 \times 10^{-4}}} = \boxed{\phantom{0{,}5}}\ \text{kg/s}\)
1. \(Q_m = \rho \times Q_v\)
2. \(Q_v = 0{,}5 \times 10^{-3} = \mathbf{5 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
3. \(Q_m = 1\,000 \times 5 \times 10^{-4} = \mathbf{0{,}5\ \text{kg/s}}\)
Pour l'eau, le débit massique (kg/s) est numériquement égal au débit volumique (L/s), car \(\rho_{\text{eau}} = 1\ \text{kg/L}\).
Un technicien CVC observe une conduite qui se rétrécit : le diamètre passe de \(D_1 = 30\ \text{mm}\) à \(D_2 = 15\ \text{mm}\). La vitesse en amont est \(v_1 = 1{,}0\ \text{m/s}\).
1. Calculer la section \(S_1\). Compléter :
\(S_1 = \pi \times \left(\dfrac{0{,}030}{2}\right)^2 = \pi \times (0{,}015)^2 \approx \boxed{\phantom{7{,}07 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^2\)
2. Calculer la section \(S_2\). Compléter :
\(S_2 = \pi \times \left(\dfrac{0{,}015}{2}\right)^2 = \pi \times (\boxed{\phantom{0{,}0075}})^2 \approx \boxed{\phantom{1{,}77 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^2\)
3. Écrire l'équation de continuité :
\(\boxed{\phantom{v_1}} \times \boxed{\phantom{S_1}} = \boxed{\phantom{v_2}} \times \boxed{\phantom{S_2}}\)
4. Calculer \(v_2\). Compléter :
\(v_2 = \dfrac{v_1 \times S_1}{S_2} = \dfrac{1{,}0 \times 7{,}07 \times 10^{-4}}{1{,}77 \times 10^{-4}} \approx \boxed{\phantom{4{,}0}}\ \text{m/s}\)
5. Compléter la phrase : « La section est divisée par \(\boxed{\phantom{4}}\), donc la vitesse est multipliée par \(\boxed{\phantom{4}}\). »
1. \(S_1 \approx 7{,}07 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
2. \(S_2 = \pi \times (0{,}0075)^2 \approx 1{,}77 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
3. \(v_1 \times S_1 = v_2 \times S_2\)
4. \(v_2 \approx \mathbf{4{,}0\ \text{m/s}}\)
5. La section est divisée par 4, donc la vitesse est multipliée par 4.
Compléter les conversions suivantes.
1. Convertir \(Q_v = 720\ \text{L/h}\) en L/s :
\(Q_v = \dfrac{720}{3\,600} = \boxed{\phantom{0{,}2}}\ \text{L/s}\)
2. Convertir \(Q_v = 0{,}2\ \text{L/s}\) en m³/s :
\(Q_v = 0{,}2 \times \boxed{\phantom{10^{-3}}} = \boxed{\phantom{2 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^3/\text{s}\)
3. Convertir \(Q_v = 5 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\) en L/h :
\(Q_v = 5 \times 10^{-4} \times 1\,000 \times 3\,600 = \boxed{\phantom{1\,800}}\ \text{L/h}\)
4. Le diamètre d'un tuyau est \(D = 25\ \text{mm}\). Convertir en mètres :
\(D = 25 \times \boxed{\phantom{10^{-3}}} = \boxed{\phantom{0{,}025}}\ \text{m}\)
1. \(Q_v = \dfrac{720}{3\,600} = \mathbf{0{,}2\ \text{L/s}}\)
2. \(Q_v = 0{,}2 \times 10^{-3} = \mathbf{2 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
3. \(Q_v = 5 \times 10^{-4} \times 1\,000 \times 3\,600 = \mathbf{1\,800\ \text{L/h}}\)
4. \(D = 25 \times 10^{-3} = \mathbf{0{,}025\ \text{m}}\)
Un technicien chauffagiste mesure un débit d'eau de \(Q_v = 360\ \text{L/h}\) dans un circuit de chauffage. L'eau entre dans le radiateur à \(T_1 = 60\ \text{°C}\) et en sort à \(T_2 = 50\ \text{°C}\). On donne \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\) et \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
1. Calculer l'écart de température. Compléter :
\(\Delta T = T_1 - T_2 = 60 - 50 = \boxed{\phantom{10}}\ \text{°C}\)
2. Convertir le débit volumique en m³/s. Compléter :
\(Q_v = \dfrac{360}{3\,600} \times 10^{-3} = \boxed{\phantom{10^{-4}}}\ \text{m}^3/\text{s}\)
3. Calculer le débit massique. Compléter :
\(Q_m = \rho \times Q_v = 1\,000 \times \boxed{\phantom{10^{-4}}} = \boxed{\phantom{0{,}1}}\ \text{kg/s}\)
4. Calculer la puissance thermique. Compléter :
\(P_{\text{th}} = Q_m \times c \times \Delta T = 0{,}1 \times 4\,186 \times \boxed{\phantom{10}} = \boxed{\phantom{4\,186}}\ \text{W}\)
1. \(\Delta T = 60 - 50 = \mathbf{10\ \text{°C}}\)
2. \(Q_v = \dfrac{360}{3\,600} \times 10^{-3} = \mathbf{10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
3. \(Q_m = 1\,000 \times 10^{-4} = \mathbf{0{,}1\ \text{kg/s}}\)
4. \(P_{\text{th}} = 0{,}1 \times 4\,186 \times 10 = \mathbf{4\,186\ \text{W} \approx 4{,}2\ \text{kW}}\)
Le radiateur fournit environ 4,2 kW de puissance thermique à la pièce.
Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse et corriger si nécessaire.
1. Le débit volumique s'exprime en kg/s dans le système international.
2. Quand la section d'une conduite diminue, la vitesse du fluide augmente.
3. Le débit massique est le produit du débit volumique par la vitesse.
4. D'après l'effet Venturi, quand la vitesse augmente, la pression diminue.
5. Doubler le diamètre d'un tuyau multiplie la section par 2.
1. Faux. Le débit volumique s'exprime en m³/s. C'est le débit massique qui s'exprime en kg/s.
2. Vrai. C'est la conservation du débit : \(v_1 S_1 = v_2 S_2\).
3. Faux. Le débit massique est \(Q_m = \rho \times Q_v\) (masse volumique × débit volumique).
4. Vrai. C'est l'effet Venturi, conséquence du théorème de Bernoulli.
5. Faux. Doubler le diamètre multiplie la section par 4 car \(S = \pi (D/2)^2\) et \(2^2 = 4\).
Un installateur thermique observe le schéma suivant d'un circuit de chauffage :
1. Quel est l'écart de température \(\Delta T\) entre l'aller et le retour ?
\(\Delta T = T_1 - T_2 = \boxed{\phantom{70}} - \boxed{\phantom{55}} = \boxed{\phantom{15}}\ \text{°C}\)
2. Convertir le diamètre en mètres :
\(D = \boxed{\phantom{0{,}022}}\ \text{m}\)
3. Calculer le rayon :
\(r = \dfrac{D}{2} = \dfrac{0{,}022}{2} = \boxed{\phantom{0{,}011}}\ \text{m}\)
4. Quel appareil permet de mesurer le débit dans un circuit de chauffage ?
1. \(\Delta T = 70 - 55 = \mathbf{15\ \text{°C}}\)
2. \(D = \mathbf{0{,}022\ \text{m}}\)
3. \(r = \mathbf{0{,}011\ \text{m}}\)
4. On utilise un débitmètre (à ultrasons, à turbine ou électromagnétique) pour mesurer le débit dans un circuit de chauffage.
Un plombier chauffagiste vérifie la vitesse de l'eau dans un tuyau de diamètre \(D = 16\ \text{mm}\). Le débit volumique mesuré est \(Q_v = 180\ \text{L/h}\).
1. Convertir \(Q_v\) en m³/s. Compléter :
\(Q_v = \dfrac{180}{3\,600} \times 10^{-3} = \boxed{\phantom{5 \times 10^{-5}}}\ \text{m}^3/\text{s}\)
2. Calculer la section du tuyau. Compléter :
\(S = \pi \times \left(\dfrac{0{,}016}{2}\right)^2 = \pi \times (0{,}008)^2 \approx \boxed{\phantom{2{,}01 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^2\)
3. En déduire la vitesse. Compléter :
\(v = \dfrac{Q_v}{S} = \dfrac{\boxed{\phantom{5 \times 10^{-5}}}}{\boxed{\phantom{2{,}01 \times 10^{-4}}}} \approx \boxed{\phantom{0{,}25}}\ \text{m/s}\)
4. La vitesse recommandée est comprise entre 0,3 et 1,5 m/s. La vitesse est-elle conforme ?
1. \(Q_v = \dfrac{180}{3\,600} \times 10^{-3} = \mathbf{5 \times 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
2. \(S = \pi \times (0{,}008)^2 \approx \mathbf{2{,}01 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)
3. \(v = \dfrac{5 \times 10^{-5}}{2{,}01 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}25\ \text{m/s}}\)
4. \(0{,}25 < 0{,}3\ \text{m/s}\) : la vitesse est légèrement inférieure à la recommandation. Le débit est un peu faible, ce qui peut favoriser les dépôts dans la conduite.
Un installateur thermique raccorde un radiateur avec un tuyau de diamètre \(D = 20\ \text{mm}\). L'eau y circule à \(v = 1{,}5\ \text{m/s}\).
1. Calculer la section \(S\) du tuyau en m².
2. Calculer le débit volumique \(Q_v = v \cdot S\) en m³/s.
3. Convertir \(Q_v\) en L/s puis en L/h.
1. \(r = 0{,}010\ \text{m}\), \(S = \pi \times (0{,}010)^2 \approx \mathbf{3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)
2. \(Q_v = 1{,}5 \times 3{,}14 \times 10^{-4} \approx \mathbf{4{,}71 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
3. \(Q_v \approx 0{,}471\ \text{L/s} \approx 0{,}471 \times 3\,600 \approx \mathbf{1\,696\ \text{L/h}}\)
Une pompe de circulation alimente un circuit de chauffage avec un débit volumique \(Q_v = 200\ \text{L/h}\) dans un tuyau de diamètre \(D = 20\ \text{mm}\). L'eau a une masse volumique \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\) et une capacité thermique \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\). L'écart de température entre l'aller et le retour est \(\Delta T = 10\ \text{°C}\).
1. Convertir \(Q_v = 200\ \text{L/h}\) en m³/s.
2. Calculer la section \(S\) du tuyau, puis la vitesse \(v\) de l'eau.
3. Calculer le débit massique \(Q_m\) en kg/s.
4. Calculer la puissance thermique transportée \(P_{\text{th}} = Q_m \cdot c \cdot \Delta T\) en W.
1. \(Q_v = \dfrac{200 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx \mathbf{5{,}56 \times 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
2. \(S = \pi \times (0{,}010)^2 \approx 3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(v = \dfrac{Q_v}{S} = \dfrac{5{,}56 \times 10^{-5}}{3{,}14 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}177\ \text{m/s}}\)
Cette vitesse est faible et typique des circuits de chauffage basse température.
3. \(Q_m = \rho \cdot Q_v = 1\,000 \times 5{,}56 \times 10^{-5} \approx \mathbf{0{,}0556\ \text{kg/s}}\)
4. \(P_{\text{th}} = 0{,}0556 \times 4\,186 \times 10 \approx \mathbf{2\,327\ \text{W} \approx 2{,}33\ \text{kW}}\)
Dans une conduite horizontale, l'eau circule avec une section \(S_1 = 100\ \text{cm}^2\), une vitesse \(v_1 = 2\ \text{m/s}\) et une pression \(P_1 = 3\ \text{bar}\). La conduite se réduit à \(S_2 = 25\ \text{cm}^2\). On prend \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\).
1. Appliquer la continuité pour calculer \(v_2\).
2. Calculer les termes de pression dynamique \(\dfrac{1}{2}\rho v_1^2\) et \(\dfrac{1}{2}\rho v_2^2\) en Pa.
3. Appliquer l'équation de Bernoulli pour calculer \(P_2\) en Pa, puis en bar.
4. La pression augmente ou diminue quand la vitesse augmente ? Quel est le nom de cet effet ?
1. \(v_2 = \dfrac{v_1 \cdot S_1}{S_2} = \dfrac{2 \times 100}{25} = \mathbf{8\ \text{m/s}}\)
2. \(\dfrac{1}{2}\rho v_1^2 = \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times 4 = \mathbf{2\,000\ \text{Pa}}\)
\(\dfrac{1}{2}\rho v_2^2 = \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times 64 = \mathbf{32\,000\ \text{Pa}}\)
3. \(P_2 = P_1 + \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 - \dfrac{1}{2}\rho v_2^2 = 300\,000 + 2\,000 - 32\,000 = \mathbf{270\,000\ \text{Pa} = 2{,}70\ \text{bar}}\)
4. La pression diminue quand la vitesse augmente : c'est l'effet Venturi.
Un technicien CVC pose une VMC dans un bâtiment. La gaine principale a un diamètre \(D = 200\ \text{mm}\) et l'air y circule à \(v = 3\ \text{m/s}\) (\(\rho_{\text{air}} = 1{,}2\ \text{kg/m}^3\)). La gaine se divise en 4 branches identiques de diamètre \(D_{\text{br}} = 100\ \text{mm}\).
1. Calculer la section de la gaine principale \(S\) en m².
2. Calculer le débit volumique principal \(Q_{v,\text{total}}\) en m³/s, puis en L/s.
3. Calculer le débit volumique par branche \(Q_{v,\text{br}}\) en L/s.
4. Calculer la section d'une branche \(S_{\text{br}}\), puis la vitesse de l'air dans chaque branche. Commenter.
1. \(S = \pi \times (0{,}100)^2 \approx \mathbf{3{,}14 \times 10^{-2}\ \text{m}^2}\)
2. \(Q_{v,\text{total}} = 3 \times 3{,}14 \times 10^{-2} \approx \mathbf{0{,}0942\ \text{m}^3/\text{s} \approx 94{,}2\ \text{L/s}}\)
3. \(Q_{v,\text{br}} = 94{,}2 / 4 \approx \mathbf{23{,}6\ \text{L/s}}\)
4. \(S_{\text{br}} = \pi \times (0{,}050)^2 \approx 7{,}85 \times 10^{-3}\ \text{m}^2\)
\(v_{\text{br}} = \dfrac{23{,}6 \times 10^{-3}}{7{,}85 \times 10^{-3}} \approx \mathbf{3{,}0\ \text{m/s}}\)
La vitesse dans les branches est identique à celle de la gaine principale. La section totale des 4 branches (\(4 \times S_{\text{br}} \approx 3{,}14 \times 10^{-2}\ \text{m}^2\)) est égale à la section de la gaine principale : la continuité est respectée.
Un installateur thermique doit transporter un débit volumique \(Q_v = 300\ \text{L/h}\) d'eau dans un circuit de chauffage. La vitesse maximale recommandée est \(v_{\text{max}} = 1{,}5\ \text{m/s}\).
1. Convertir \(Q_v\) en m³/s.
2. Calculer la section minimale \(S_{\text{min}} = Q_v / v_{\text{max}}\).
3. En déduire le diamètre minimal \(D_{\text{min}}\) à partir de \(S = \pi (D/2)^2\).
4. Choisir le diamètre commercial parmi : 15 mm, 20 mm, 25 mm. Justifier et vérifier que la vitesse est conforme.
1. \(Q_v = \dfrac{300 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx \mathbf{8{,}33 \times 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
2. \(S_{\text{min}} = \dfrac{8{,}33 \times 10^{-5}}{1{,}5} \approx \mathbf{5{,}56 \times 10^{-5}\ \text{m}^2}\)
3. \(D = 2\sqrt{\dfrac{S}{\pi}} = 2\sqrt{\dfrac{5{,}56 \times 10^{-5}}{\pi}} \approx \mathbf{8{,}4\ \text{mm}}\)
4. On choisit \(D = \mathbf{15\ \text{mm}}\) (premier diamètre commercial supérieur à 8,4 mm).
Vérification : \(S = \pi \times (0{,}0075)^2 \approx 1{,}77 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\), \(v = Q_v/S \approx 0{,}47\ \text{m/s} < 1{,}5\ \text{m/s}\). Conforme.
Le sang (\(\rho = 1\,060\ \text{kg/m}^3\)) circule dans l'aorte de diamètre \(D = 25\ \text{mm}\) à la vitesse \(v = 0{,}30\ \text{m/s}\).
1. Calculer la section de l'aorte.
2. Calculer le débit volumique en m³/s puis en L/min.
3. Calculer le débit massique en kg/s.
4. L'aorte se ramifie en artères plus petites dont la section totale est \(S_{\text{art}} = 20\ \text{cm}^2\). Quelle est la vitesse du sang dans ces artères ?
1. \(S = \pi \times (0{,}0125)^2 \approx \mathbf{4{,}91 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)
2. \(Q_v = 0{,}30 \times 4{,}91 \times 10^{-4} \approx 1{,}47 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(Q_v = 1{,}47 \times 10^{-4} \times 1\,000 \times 60 \approx \mathbf{8{,}8\ \text{L/min}}\)
3. \(Q_m = 1\,060 \times 1{,}47 \times 10^{-4} \approx \mathbf{0{,}156\ \text{kg/s}}\)
4. \(v_{\text{art}} = \dfrac{Q_v}{S_{\text{art}}} = \dfrac{1{,}47 \times 10^{-4}}{20 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}074\ \text{m/s}}\)
La vitesse diminue car la section totale augmente (continuité). Le sang ralentit dans les artères pour favoriser les échanges avec les organes.
Un installateur thermique dimensionne le circulateur d'un circuit de chauffage. Le réseau comporte 120 m de tuyauterie en cuivre de diamètre \(D = 22\ \text{mm}\) avec une perte de charge linéaire de \(15\ \text{Pa/m}\). Le débit volumique est \(Q_v = 400\ \text{L/h}\).
1. Calculer la perte de charge totale \(\Delta P\) en Pa, puis en bar.
2. Convertir \(Q_v\) en m³/s et calculer la section du tuyau.
3. Calculer la vitesse de l'eau dans la conduite. Est-elle conforme à la recommandation (entre 0,3 et 1,5 m/s) ?
4. Calculer la hauteur manométrique \(h = \dfrac{\Delta P}{\rho g}\) que la pompe doit vaincre (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\)).
1. \(\Delta P = 15 \times 120 = \mathbf{1\,800\ \text{Pa} = 0{,}018\ \text{bar}}\)
2. \(Q_v = \dfrac{400 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx 1{,}11 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(S = \pi \times (0{,}011)^2 \approx 3{,}80 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
3. \(v = \dfrac{1{,}11 \times 10^{-4}}{3{,}80 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}29\ \text{m/s}}\). Légèrement en dessous de 0,3 m/s : limite basse.
4. \(h = \dfrac{1\,800}{1\,000 \times 9{,}81} \approx \mathbf{0{,}18\ \text{m}}\) de colonne d'eau. Un petit circulateur suffit.
Un plombier chauffagiste installe un ballon d'eau chaude sanitaire de capacité \(V = 200\ \text{L}\). L'arrivée d'eau froide se fait par un tuyau de diamètre \(D = 15\ \text{mm}\) avec une vitesse \(v = 1{,}2\ \text{m/s}\).
1. Calculer la section du tuyau d'arrivée en m².
2. Calculer le débit volumique \(Q_v\) en m³/s, puis en L/s.
3. Calculer le temps nécessaire pour remplir le ballon de 200 L. Donner le résultat en secondes puis en minutes.
4. Calculer le débit massique en kg/s (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)) et la masse totale d'eau dans le ballon plein.
1. \(S = \pi \times (0{,}0075)^2 \approx \mathbf{1{,}77 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)
2. \(Q_v = 1{,}2 \times 1{,}77 \times 10^{-4} \approx 2{,}12 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s} \approx \mathbf{0{,}212\ \text{L/s}}\)
3. \(t = \dfrac{V}{Q_v} = \dfrac{200}{0{,}212} \approx \mathbf{943\ \text{s} \approx 15{,}7\ \text{min}}\)
4. \(Q_m = 1\,000 \times 2{,}12 \times 10^{-4} \approx \mathbf{0{,}212\ \text{kg/s}}\). Masse totale : \(m = \rho \times V = 1\,000 \times 0{,}200 = \mathbf{200\ \text{kg}}\).
Dans une installation de climatisation, une conduite horizontale transporte de l'eau glacée (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)). La conduite passe d'un diamètre \(D_1 = 40\ \text{mm}\) à \(D_2 = 20\ \text{mm}\). En amont, la vitesse est \(v_1 = 1{,}0\ \text{m/s}\) et la pression \(P_1 = 2{,}0\ \text{bar}\).
1. Calculer les sections \(S_1\) et \(S_2\) en m².
2. Calculer le rapport \(S_1 / S_2\). En déduire la vitesse \(v_2\) dans la partie rétrécie.
3. Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer \(P_2\). Exprimer en Pa et en bar.
4. La pression a-t-elle augmenté ou diminué ? Nommer cet effet.
1. \(S_1 = \pi \times (0{,}020)^2 \approx \mathbf{1{,}26 \times 10^{-3}\ \text{m}^2}\)
\(S_2 = \pi \times (0{,}010)^2 \approx \mathbf{3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)
2. \(\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{1{,}26 \times 10^{-3}}{3{,}14 \times 10^{-4}} = 4\). Donc \(v_2 = 4 \times v_1 = \mathbf{4{,}0\ \text{m/s}}\).
3. \(P_2 = P_1 + \dfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = 200\,000 + \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times (1 - 16)\)
\(P_2 = 200\,000 - 7\,500 = \mathbf{192\,500\ \text{Pa} = 1{,}925\ \text{bar}}\)
4. La pression a diminué (de 2,0 à 1,925 bar). C'est l'effet Venturi.
Un technicien de maintenance énergétique vérifie le bon fonctionnement d'une pompe à chaleur air-eau. Le circuit d'eau chaude a un débit volumique \(Q_v = 600\ \text{L/h}\). L'eau entre dans le condenseur à \(T_1 = 30\ \text{°C}\) et en sort à \(T_2 = 40\ \text{°C}\). La conduite a un diamètre \(D = 25\ \text{mm}\).
Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
1. Convertir \(Q_v\) en m³/s.
2. Calculer le débit massique \(Q_m\) en kg/s.
3. Calculer la puissance thermique fournie par le condenseur.
4. Le COP de la pompe à chaleur est 4. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{\text{élec}} = P_{\text{th}} / \text{COP}\).
1. \(Q_v = \dfrac{600 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx \mathbf{1{,}67 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
2. \(Q_m = 1\,000 \times 1{,}67 \times 10^{-4} \approx \mathbf{0{,}167\ \text{kg/s}}\)
3. \(P_{\text{th}} = 0{,}167 \times 4\,186 \times 10 \approx \mathbf{6\,991\ \text{W} \approx 7{,}0\ \text{kW}}\)
4. \(P_{\text{élec}} = \dfrac{7\,000}{4} = \mathbf{1\,750\ \text{W} = 1{,}75\ \text{kW}}\)
La pompe à chaleur fournit 7 kW de chauffage pour seulement 1,75 kW de consommation électrique.
Un installateur thermique raccorde un collecteur de chauffage qui alimente 3 radiateurs identiques. La conduite principale a un diamètre \(D = 25\ \text{mm}\) et transporte un débit \(Q_{v,\text{total}} = 900\ \text{L/h}\). Chaque branche de radiateur a un diamètre \(D_{\text{br}} = 12\ \text{mm}\).
1. Calculer le débit volumique dans chaque branche (répartition uniforme).
2. Convertir ce débit en m³/s.
3. Calculer la section d'une branche et la vitesse de l'eau dans chaque branche.
4. Calculer la vitesse de l'eau dans la conduite principale. Comparer avec la vitesse dans les branches.
1. \(Q_{v,\text{br}} = \dfrac{900}{3} = \mathbf{300\ \text{L/h}}\)
2. \(Q_{v,\text{br}} = \dfrac{300 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx \mathbf{8{,}33 \times 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
3. \(S_{\text{br}} = \pi \times (0{,}006)^2 \approx 1{,}13 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(v_{\text{br}} = \dfrac{8{,}33 \times 10^{-5}}{1{,}13 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}74\ \text{m/s}}\)
4. \(S = \pi \times (0{,}0125)^2 \approx 4{,}91 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(Q_{v,\text{total}} = \dfrac{900 \times 10^{-3}}{3\,600} = 2{,}50 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(v = \dfrac{2{,}50 \times 10^{-4}}{4{,}91 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}51\ \text{m/s}}\)
La vitesse dans les branches (0,74 m/s) est supérieure à celle dans la conduite principale (0,51 m/s) car les branches ont une section plus petite.
Un technicien chauffagiste vérifie l'alimentation en gaz naturel d'une chaudière. Le gaz (\(\rho = 0{,}72\ \text{kg/m}^3\)) circule dans une conduite de diamètre \(D = 30\ \text{mm}\) à la vitesse \(v = 2{,}5\ \text{m/s}\).
1. Calculer la section de la conduite en m².
2. Calculer le débit volumique en m³/s, puis en m³/h.
3. Calculer le débit massique en kg/s, puis en kg/h.
4. Le pouvoir calorifique du gaz est \(\text{PCI} = 10{,}5\ \text{kWh/m}^3\). Calculer la puissance thermique maximale de la chaudière \(P = Q_v \times \text{PCI}\).
1. \(S = \pi \times (0{,}015)^2 \approx \mathbf{7{,}07 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)
2. \(Q_v = 2{,}5 \times 7{,}07 \times 10^{-4} \approx 1{,}77 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(Q_v = 1{,}77 \times 10^{-3} \times 3\,600 \approx \mathbf{6{,}37\ \text{m}^3/\text{h}}\)
3. \(Q_m = 0{,}72 \times 1{,}77 \times 10^{-3} \approx \mathbf{1{,}27 \times 10^{-3}\ \text{kg/s} \approx 4{,}58\ \text{kg/h}}\)
4. \(P = 6{,}37 \times 10{,}5 \approx \mathbf{66{,}9\ \text{kW}}\). C'est la puissance maximale disponible pour cette chaudière.
Un plombier chauffagiste dimensionne un circuit de plancher chauffant pour une pièce de 25 m². Le tube PER utilisé a un diamètre intérieur \(D = 16\ \text{mm}\). L'eau entre à \(T_{\text{aller}} = 35\ \text{°C}\) et ressort à \(T_{\text{retour}} = 30\ \text{°C}\). La longueur totale du circuit est \(L = 100\ \text{m}\) et la perte de charge linéaire est \(\Delta P_{\text{lin}} = 10\ \text{Pa/m}\).
Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
1. Le cahier des charges impose une puissance de chauffage \(P_{\text{th}} = 2\,500\ \text{W}\). Déterminer le débit massique \(Q_m\) nécessaire.
2. En déduire le débit volumique \(Q_v\) en m³/s puis en L/h.
3. Calculer la vitesse de l'eau dans le tube. La recommandation pour un plancher chauffant est \(v < 0{,}8\ \text{m/s}\). Le dimensionnement est-il conforme ?
4. Calculer la perte de charge totale \(\Delta P_{\text{total}}\) en Pa et en bar. Quelle hauteur manométrique la pompe doit-elle vaincre ?
5. Calculer la puissance surfacique de chauffage en W/m². Comparer à la norme (environ 100 W/m² max pour un plancher chauffant basse température).
1. \(P_{\text{th}} = Q_m \cdot c \cdot \Delta T\) donc \(Q_m = \dfrac{P_{\text{th}}}{c \cdot \Delta T} = \dfrac{2\,500}{4\,186 \times 5} \approx \mathbf{0{,}119\ \text{kg/s}}\)
2. \(Q_v = \dfrac{Q_m}{\rho} = \dfrac{0{,}119}{1\,000} = 1{,}19 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(Q_v = 1{,}19 \times 10^{-4} \times 3\,600 \times 1\,000 \approx \mathbf{429\ \text{L/h}}\)
3. \(S = \pi \times (0{,}008)^2 \approx 2{,}01 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(v = \dfrac{Q_v}{S} = \dfrac{1{,}19 \times 10^{-4}}{2{,}01 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}59\ \text{m/s}}\)
\(0{,}59 < 0{,}8\ \text{m/s}\) : le dimensionnement est conforme.
4. \(\Delta P_{\text{total}} = 10 \times 100 = \mathbf{1\,000\ \text{Pa} = 0{,}01\ \text{bar}}\)
\(h = \dfrac{\Delta P}{\rho g} = \dfrac{1\,000}{1\,000 \times 9{,}81} \approx \mathbf{0{,}10\ \text{m}}\) de colonne d'eau. Une petite pompe de circulation suffit.
5. \(p = \dfrac{P_{\text{th}}}{A} = \dfrac{2\,500}{25} = \mathbf{100\ \text{W/m}^2}\). On est à la limite de la norme : le dimensionnement est juste acceptable.
Un installateur en énergies renouvelables dimensionne un chauffe-eau solaire. Le capteur de surface \(S_c = 4\ \text{m}^2\) reçoit une irradiance solaire \(E = 850\ \text{W/m}^2\). L'eau entre à \(T_1 = 15\ \text{°C}\) et doit sortir à \(T_2 = 50\ \text{°C}\). Le rendement annoncé par le fabricant est \(\eta = 0{,}65\).
Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
1. Calculer la puissance solaire reçue \(P_{\text{sol}} = E \times S_c\).
2. En déduire la puissance utile \(P_{\text{utile}} = \eta \times P_{\text{sol}}\).
3. Déterminer le débit massique maximal \(Q_m\) permettant d'atteindre \(\Delta T = 35\ \text{°C}\).
4. En déduire le débit volumique en L/h. Commenter : est-ce un débit réaliste pour un chauffe-eau solaire domestique ?
5. Si le technicien augmente le débit à \(Q_v = 150\ \text{L/h}\), quel sera le nouvel écart de température \(\Delta T\) ? Commenter l'intérêt d'augmenter le débit.
1. \(P_{\text{sol}} = 850 \times 4 = \mathbf{3\,400\ \text{W}}\)
2. \(P_{\text{utile}} = 0{,}65 \times 3\,400 = \mathbf{2\,210\ \text{W}}\)
3. \(Q_m = \dfrac{P_{\text{utile}}}{c \cdot \Delta T} = \dfrac{2\,210}{4\,186 \times 35} \approx \mathbf{0{,}0151\ \text{kg/s}}\)
4. \(Q_v = \dfrac{Q_m}{\rho} = 1{,}51 \times 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{s} = 1{,}51 \times 10^{-5} \times 3{,}6 \times 10^6 \approx \mathbf{54\ \text{L/h}}\)
C'est un débit réaliste pour un chauffe-eau solaire domestique (typiquement 30 à 80 L/h).
5. \(Q_m = \dfrac{150 \times 10^{-3}}{3\,600} \times 1\,000 \approx 0{,}0417\ \text{kg/s}\)
\(\Delta T = \dfrac{P_{\text{utile}}}{Q_m \cdot c} = \dfrac{2\,210}{0{,}0417 \times 4\,186} \approx \mathbf{12{,}7\ \text{°C}}\)
En augmentant le débit, l'écart de température diminue. L'eau sort moins chaude (27,7 °C au lieu de 50 °C) mais la puissance totale transférée reste la même. Il faut trouver le bon compromis entre débit et température de sortie.
Un technicien climaticien vérifie une installation de climatisation. L'eau glacée (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)) circule horizontalement dans une conduite dont la section passe de \(S_1 = 80\ \text{cm}^2\) à \(S_2 = 20\ \text{cm}^2\) (venturi). En amont : \(v_1 = 1{,}5\ \text{m/s}\), \(P_1 = 2{,}5\ \text{bar}\).
1. Calculer le débit volumique \(Q_v\) et le débit massique \(Q_m\).
2. Calculer la vitesse \(v_2\) dans le venturi.
3. Appliquer le théorème de Bernoulli pour déterminer la pression \(P_2\) dans le venturi. Exprimer en Pa et en bar.
4. La pression de vapeur saturante de l'eau à 5 °C est \(P_{\text{vap}} \approx 872\ \text{Pa}\). Y a-t-il un risque de cavitation ? Justifier.
5. Proposer une modification de l'installation pour réduire ce risque.
1. \(Q_v = v_1 \times S_1 = 1{,}5 \times 80 \times 10^{-4} = \mathbf{1{,}2 \times 10^{-2}\ \text{m}^3/\text{s}}\)
\(Q_m = \rho \times Q_v = 1\,000 \times 1{,}2 \times 10^{-2} = \mathbf{12\ \text{kg/s}}\)
2. \(v_2 = \dfrac{v_1 \times S_1}{S_2} = \dfrac{1{,}5 \times 80}{20} = \mathbf{6\ \text{m/s}}\)
3. \(P_2 = P_1 + \dfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2)\)
\(P_2 = 250\,000 + \dfrac{1}{2} \times 1\,000 \times (1{,}5^2 - 6^2) = 250\,000 + 500 \times (2{,}25 - 36)\)
\(P_2 = 250\,000 - 16\,875 = \mathbf{233\,125\ \text{Pa} \approx 2{,}33\ \text{bar}}\)
4. \(P_2 = 233\,125\ \text{Pa} \gg P_{\text{vap}} = 872\ \text{Pa}\). Il n'y a pas de risque de cavitation car la pression dans le venturi reste très largement supérieure à la pression de vapeur saturante.
5. Pour réduire le risque de cavitation dans d'autres conditions, on pourrait : augmenter la section \(S_2\) (réduire le rapport de rétrécissement), diminuer le débit, ou augmenter la pression en amont.
Un bureau d'études compare deux configurations de circuit de chauffage pour un bâtiment nécessitant \(P_{\text{th}} = 10\ \text{kW}\).
| Circuit A (haute température) | Circuit B (basse température) | |
|---|---|---|
| \(\Delta T\) | 20 °C | 5 °C |
| Diamètre \(D\) | 20 mm | 25 mm |
Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
1. Pour chaque circuit, calculer le débit massique \(Q_m\) nécessaire.
2. Pour chaque circuit, calculer le débit volumique \(Q_v\) en L/h.
3. Pour chaque circuit, calculer la vitesse de l'eau dans la conduite.
4. Comparer les deux circuits. Quel est l'avantage et l'inconvénient de chaque configuration ?
5. La vitesse maximale recommandée est 1,5 m/s. Le circuit B est-il conforme ? Si non, quel diamètre minimal faudrait-il utiliser ?
1.
Circuit A : \(Q_m = \dfrac{10\,000}{4\,186 \times 20} \approx \mathbf{0{,}119\ \text{kg/s}}\)
Circuit B : \(Q_m = \dfrac{10\,000}{4\,186 \times 5} \approx \mathbf{0{,}478\ \text{kg/s}}\)
2.
Circuit A : \(Q_v = 0{,}119 \times 10^{-3} \times 3{,}6 \times 10^6 \div 1\,000 \approx \mathbf{429\ \text{L/h}}\)
Circuit B : \(Q_v = 0{,}478 \times 10^{-3} \times 3{,}6 \times 10^6 \div 1\,000 \approx \mathbf{1\,720\ \text{L/h}}\)
3.
Circuit A : \(S_A = \pi \times (0{,}010)^2 \approx 3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\), \(v_A = \dfrac{1{,}19 \times 10^{-4}}{3{,}14 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}38\ \text{m/s}}\)
Circuit B : \(S_B = \pi \times (0{,}0125)^2 \approx 4{,}91 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\), \(v_B = \dfrac{4{,}78 \times 10^{-4}}{4{,}91 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}97\ \text{m/s}}\)
4.
5. \(v_B \approx 0{,}97\ \text{m/s} < 1{,}5\ \text{m/s}\) : le circuit B est conforme.
Si la vitesse n'était pas conforme, il faudrait \(S_{\text{min}} = Q_v / v_{\text{max}}\) et \(D_{\text{min}} = 2\sqrt{S_{\text{min}}/\pi}\).
Un technicien en énergies renouvelables dimensionne le réseau d'eau chaude sanitaire (ECS) d'un petit immeuble. La chaudière à condensation fournit un débit \(Q_v = 1\,200\ \text{L/h}\). Le réseau se divise en deux branches :
L'eau entre à \(T_1 = 60\ \text{°C}\), la température de retour est \(T_2 = 45\ \text{°C}\). Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
1. Vérifier que \(Q_{v,A} + Q_{v,B} = Q_{v,\text{total}}\) (conservation du débit).
2. Calculer la vitesse de l'eau dans chaque branche. Les vitesses sont-elles conformes (entre 0,5 et 1,5 m/s) ?
3. Calculer la puissance thermique totale fournie par la chaudière.
4. La chaudière a un rendement \(\eta = 0{,}95\). Calculer la puissance de combustion nécessaire \(P_{\text{comb}} = P_{\text{th}} / \eta\).
5. Quel diamètre minimal devrait avoir la conduite principale pour que la vitesse reste inférieure à 1,5 m/s ?
1. \(800 + 400 = 1\,200\ \text{L/h} = Q_{v,\text{total}}\). La conservation du débit est vérifiée.
2. Branche A : \(S_A = \pi \times (0{,}0125)^2 \approx 4{,}91 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(Q_{v,A} = \dfrac{800 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx 2{,}22 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(v_A = \dfrac{2{,}22 \times 10^{-4}}{4{,}91 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}45\ \text{m/s}}\) — légèrement sous la recommandation.
Branche B : \(S_B = \pi \times (0{,}010)^2 \approx 3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(Q_{v,B} = \dfrac{400 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx 1{,}11 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(v_B = \dfrac{1{,}11 \times 10^{-4}}{3{,}14 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}35\ \text{m/s}}\) — sous la recommandation.
3. \(Q_{v,\text{total}} = \dfrac{1\,200 \times 10^{-3}}{3\,600} = 3{,}33 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(Q_m = 1\,000 \times 3{,}33 \times 10^{-4} = 0{,}333\ \text{kg/s}\)
\(P_{\text{th}} = 0{,}333 \times 4\,186 \times 15 \approx \mathbf{20\,929\ \text{W} \approx 20{,}9\ \text{kW}}\)
4. \(P_{\text{comb}} = \dfrac{20\,900}{0{,}95} \approx \mathbf{22\,000\ \text{W} = 22{,}0\ \text{kW}}\)
5. \(S_{\text{min}} = \dfrac{Q_v}{v_{\text{max}}} = \dfrac{3{,}33 \times 10^{-4}}{1{,}5} \approx 2{,}22 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(D_{\text{min}} = 2\sqrt{\dfrac{S}{\pi}} = 2\sqrt{\dfrac{2{,}22 \times 10^{-4}}{\pi}} \approx \mathbf{16{,}8\ \text{mm}}\). On choisit un diamètre commercial de 20 mm minimum.
Un installateur de panneaux solaires thermiques étudie l'influence du débit sur les performances d'un capteur de surface \(S_c = 5\ \text{m}^2\). L'irradiance solaire est \(E = 900\ \text{W/m}^2\), le rendement optique du capteur est \(\eta_0 = 0{,}72\). L'eau entre à \(T_{\text{entrée}} = 20\ \text{°C}\).
Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
1. Calculer la puissance solaire reçue \(P_{\text{sol}}\) et la puissance utile \(P_{\text{utile}}\).
2. Pour un débit \(Q_v = 60\ \text{L/h}\), calculer la température de sortie \(T_{\text{sortie}}\).
3. Pour un débit \(Q_v = 120\ \text{L/h}\), calculer la nouvelle température de sortie.
4. Pour un débit \(Q_v = 240\ \text{L/h}\), calculer la température de sortie.
5. Tracer (ou décrire) la courbe \(T_{\text{sortie}}\) en fonction du débit. Quel compromis faut-il trouver entre débit et température ?
1. \(P_{\text{sol}} = 900 \times 5 = 4\,500\ \text{W}\)
\(P_{\text{utile}} = 0{,}72 \times 4\,500 = \mathbf{3\,240\ \text{W}}\)
2. \(Q_m = \dfrac{60 \times 10^{-3}}{3\,600} \times 1\,000 \approx 0{,}0167\ \text{kg/s}\)
\(\Delta T = \dfrac{P_{\text{utile}}}{Q_m \times c} = \dfrac{3\,240}{0{,}0167 \times 4\,186} \approx 46{,}4\ \text{°C}\)
\(T_{\text{sortie}} = 20 + 46{,}4 = \mathbf{66{,}4\ \text{°C}}\)
3. \(Q_m = 0{,}0333\ \text{kg/s}\), \(\Delta T = \dfrac{3\,240}{0{,}0333 \times 4\,186} \approx 23{,}2\ \text{°C}\)
\(T_{\text{sortie}} = 20 + 23{,}2 = \mathbf{43{,}2\ \text{°C}}\)
4. \(Q_m = 0{,}0667\ \text{kg/s}\), \(\Delta T = \dfrac{3\,240}{0{,}0667 \times 4\,186} \approx 11{,}6\ \text{°C}\)
\(T_{\text{sortie}} = 20 + 11{,}6 = \mathbf{31{,}6\ \text{°C}}\)
5. Quand le débit double, \(\Delta T\) est divisé par 2 (relation inversement proportionnelle). À faible débit, l'eau sort très chaude mais le volume produit est faible. À fort débit, l'eau sort tiède. Le compromis dépend de l'usage : ECS (besoin de T > 45 °C) ou plancher chauffant (T ≈ 30 °C suffisent).
Un bureau d'études dimensionne un réseau de géothermie. La pompe à chaleur nécessite une puissance thermique côté source froide de \(P_{\text{géo}} = 8\ \text{kW}\). L'eau glycolée (\(\rho = 1\,040\ \text{kg/m}^3\), \(c = 3\,800\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\)) circule dans un tube de diamètre \(D = 32\ \text{mm}\) avec un écart de température \(\Delta T = 4\ \text{°C}\) entre l'aller et le retour.
1. Calculer le débit massique \(Q_m\) nécessaire.
2. Calculer le débit volumique en m³/s puis en L/h.
3. Calculer la vitesse du fluide dans la conduite. Est-elle dans la plage recommandée (0,5 à 1,5 m/s) ?
4. La longueur totale du réseau enterré est \(L = 200\ \text{m}\) avec une perte de charge linéaire de \(8\ \text{Pa/m}\). Calculer la perte de charge totale et la hauteur manométrique correspondante.
5. La puissance de la pompe de circulation est \(P_{\text{pompe}} = Q_v \times \Delta P / \eta_{\text{pompe}}\) avec \(\eta_{\text{pompe}} = 0{,}60\). Calculer cette puissance en W.
1. \(Q_m = \dfrac{P_{\text{géo}}}{c \times \Delta T} = \dfrac{8\,000}{3\,800 \times 4} \approx \mathbf{0{,}526\ \text{kg/s}}\)
2. \(Q_v = \dfrac{Q_m}{\rho} = \dfrac{0{,}526}{1\,040} \approx 5{,}06 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)
\(Q_v = 5{,}06 \times 10^{-4} \times 3{,}6 \times 10^6 \approx \mathbf{1\,821\ \text{L/h}}\)
3. \(S = \pi \times (0{,}016)^2 \approx 8{,}04 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\)
\(v = \dfrac{5{,}06 \times 10^{-4}}{8{,}04 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}63\ \text{m/s}}\). Conforme (entre 0,5 et 1,5 m/s).
4. \(\Delta P = 8 \times 200 = \mathbf{1\,600\ \text{Pa} = 0{,}016\ \text{bar}}\)
\(h = \dfrac{1\,600}{1\,040 \times 9{,}81} \approx \mathbf{0{,}16\ \text{m}}\) de colonne de fluide.
5. \(P_{\text{pompe}} = \dfrac{5{,}06 \times 10^{-4} \times 1\,600}{0{,}60} \approx \mathbf{1{,}35\ \text{W}}\). La puissance de pompage est très faible par rapport à la puissance thermique transportée.
Un technicien climaticien vérifie une centrale de traitement d'air (CTA). L'air (\(\rho_{\text{air}} = 1{,}2\ \text{kg/m}^3\), \(c_{\text{air}} = 1\,006\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\)) circule dans une gaine rectangulaire de section \(40\ \text{cm} \times 30\ \text{cm}\) à la vitesse \(v = 4\ \text{m/s}\). L'air est refroidi de \(T_1 = 32\ \text{°C}\) à \(T_2 = 18\ \text{°C}\).
1. Calculer la section de la gaine en m².
2. Calculer le débit volumique en m³/s et en m³/h.
3. Calculer le débit massique d'air en kg/s.
4. Calculer la puissance frigorifique de la CTA \(P_{\text{froid}} = Q_m \times c_{\text{air}} \times \Delta T\).
5. L'échangeur de la CTA est alimenté en eau glacée (\(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\)) avec un \(\Delta T_{\text{eau}} = 5\ \text{°C}\). Quel débit massique d'eau glacée est nécessaire ?
1. \(S = 0{,}40 \times 0{,}30 = \mathbf{0{,}12\ \text{m}^2}\)
2. \(Q_v = 4 \times 0{,}12 = \mathbf{0{,}48\ \text{m}^3/\text{s} = 1\,728\ \text{m}^3/\text{h}}\)
3. \(Q_m = 1{,}2 \times 0{,}48 = \mathbf{0{,}576\ \text{kg/s}}\)
4. \(P_{\text{froid}} = 0{,}576 \times 1\,006 \times (32 - 18) = 0{,}576 \times 1\,006 \times 14 \approx \mathbf{8\,112\ \text{W} \approx 8{,}1\ \text{kW}}\)
5. La puissance frigorifique est transférée de l'air à l'eau glacée :
\(Q_{m,\text{eau}} = \dfrac{P_{\text{froid}}}{c_{\text{eau}} \times \Delta T_{\text{eau}}} = \dfrac{8\,112}{4\,186 \times 5} \approx \mathbf{0{,}388\ \text{kg/s}}\)
Le débit d'eau glacée nécessaire est d'environ 0,39 kg/s, soit environ 1\,400 L/h.
Un ingénieur thermicien étudie un réseau de chaleur urbain. L'eau surchauffée (\(\rho = 960\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,200\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\)) circule dans une conduite de diamètre \(D = 150\ \text{mm}\) à la vitesse \(v = 2{,}0\ \text{m/s}\). L'eau part de la chaufferie à \(T_1 = 110\ \text{°C}\) et revient à \(T_2 = 70\ \text{°C}\). Le réseau mesure \(L = 2\ \text{km}\).
1. Calculer la section de la conduite et le débit volumique en m³/s puis en m³/h.
2. Calculer le débit massique en kg/s.
3. Calculer la puissance thermique transportée par le réseau.
4. La perte de charge linéaire est \(250\ \text{Pa/m}\). Calculer la perte de charge totale en Pa et en bar. Calculer la hauteur manométrique correspondante.
5. Exprimer l'énergie thermique transportée en une heure en kWh, puis en MWh. Combien de logements ce réseau peut-il alimenter si chaque logement consomme en moyenne 5 kW de chauffage ?
1. \(S = \pi \times (0{,}075)^2 \approx \mathbf{1{,}77 \times 10^{-2}\ \text{m}^2}\)
\(Q_v = 2{,}0 \times 1{,}77 \times 10^{-2} \approx 3{,}53 \times 10^{-2}\ \text{m}^3/\text{s} \approx \mathbf{127\ \text{m}^3/\text{h}}\)
2. \(Q_m = 960 \times 3{,}53 \times 10^{-2} \approx \mathbf{33{,}9\ \text{kg/s}}\)
3. \(P_{\text{th}} = 33{,}9 \times 4\,200 \times 40 \approx \mathbf{5\,695\,200\ \text{W} \approx 5\,695\ \text{kW} \approx 5{,}7\ \text{MW}}\)
4. \(\Delta P = 250 \times 2\,000 = \mathbf{500\,000\ \text{Pa} = 5{,}0\ \text{bar}}\)
\(h = \dfrac{500\,000}{960 \times 9{,}81} \approx \mathbf{53\ \text{m}}\) de colonne d'eau. La pompe de circulation doit être très puissante.
5. Énergie en 1 h : \(E = P_{\text{th}} \times t = 5\,695 \times 1 = \mathbf{5\,695\ \text{kWh} \approx 5{,}7\ \text{MWh}}\)
Nombre de logements : \(n = \dfrac{5\,695}{5} \approx \mathbf{1\,139\ \text{logements}}\).
Un réseau de chaleur urbain avec une conduite de DN150 peut alimenter plus de 1 000 logements en chauffage.