Chapitre 6 – Exercices par capacités

Comme \(h_A = h_B\), le terme \(\rho g h\) disparaît :
\[p_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2\] \[p_B = p_A + \frac{1}{2}\rho(v_A^2 - v_B^2) = 2 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 1\,000 \times (1^2 - 3^2)\] \[= 200\,000 + 500 \times (1 - 9) = 200\,000 - 4\,000 = 196\,000 \text{ Pa}\] p_B = 196 000 Pa. La pression diminue quand la vitesse augmente.

Comme \(v_A = v_B\), le terme cinétique disparaît :
\[p_A + \rho g h_A = p_B + \rho g h_B\] \[p_B = p_A - \rho g (h_B - h_A) = 3 \times 10^5 - 1\,000 \times 9{,}81 \times 4 = 300\,000 - 39\,240 = 260\,760 \text{ Pa}\] p_B ≈ 260 760 Pa ≈ 2,61 bar.

Par l'équation de continuité, la vitesse augmente dans le rétrécissement (\(v_{\text{étroit}} > v_{\text{large}}\)). Selon Bernoulli (sur un plan horizontal), la somme \(p + \tfrac{1}{2}\rho v^2\) est constante. Si \(v\) augmente, \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) augmente, donc \(p\) doit diminuer. La pression est plus faible là où la vitesse est plus grande. Ce principe est utilisé dans les venturimètres pour mesurer le débit.

\[S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \times (0{,}01)^2 = \pi \times 10^{-4} \approx 3{,}14 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] \[Q_v = S \times v = 3{,}14 \times 10^{-4} \times 1{,}5 \approx 4{,}71 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}\] En L/min : \(4{,}71 \times 10^{-4} \times 1\,000 \times 60 \approx 28{,}3\) L/min.
Q_v ≈ 4,71 × 10⁻⁴ m³/s ≈ 28,3 L/min.

Conversion : \(Q_v = 1{,}5/3\,600 \approx 4{,}17 \times 10^{-4}\) m³/s et \(S = 2 \times 10^{-4}\) m².
\[v = \frac{Q_v}{S} = \frac{4{,}17 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-4}} \approx 2{,}08 \text{ m/s}\] v ≈ 2,08 m/s.

\[Q_v = 3/3\,600 \approx 8{,}33 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}\] \[S_{\min} = \frac{Q_v}{v_{\max}} = \frac{8{,}33 \times 10^{-4}}{1{,}5} \approx 5{,}56 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 5{,}56 \text{ cm}^2\] S_min ≈ 5,56 cm².

\[v_2 = v_1 \times \frac{S_1}{S_2} = 0{,}5 \times \frac{10}{2} = 0{,}5 \times 5 = 2{,}5 \text{ m/s}\] v_2 = 2,5 m/s.

\[S_1 = \pi (0{,}015)^2 \approx 7{,}07 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] \[Q_v = S_1 \times v_1 = 7{,}07 \times 10^{-4} \times 1 = 7{,}07 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}\] Chaque branche reçoit la moitié : \(Q_2 = 3{,}53 \times 10^{-4}\) m³/s
\[S_2 = \pi (0{,}01)^2 \approx 3{,}14 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] \[v_2 = \frac{Q_2}{S_2} = \frac{3{,}53 \times 10^{-4}}{3{,}14 \times 10^{-4}} \approx 1{,}12 \text{ m/s}\] v_2 ≈ 1,12 m/s dans chaque branche.

\[Q_v = 2/3\,600 \approx 5{,}56 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}\] \[S = \frac{Q_v}{v} = \frac{5{,}56 \times 10^{-4}}{1} = 5{,}56 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] \[S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \Rightarrow d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}} = 2\sqrt{\frac{5{,}56 \times 10^{-4}}{3{,}14}} = 2\sqrt{1{,}77 \times 10^{-4}} \approx 2 \times 0{,}0133 \approx 0{,}0266 \text{ m}\] d ≈ 26,6 mm. On choisira le diamètre normalisé supérieur, soit 28 mm ou 32 mm.

1. Coudes et courbes : le fluide change de direction, créant des turbulences.
2. Vannes et robinets : même partiellement ouverts, ils réduisent la section et perturbent l'écoulement.
3. Réductions de section : les changements brusques de diamètre génèrent des pertes d'énergie mécanique.

La puissance hydraulique est : \(P_{\text{hyd}} = \Delta p \times Q_v\)
\[P_{\text{hyd}} = 5\,000 \times 1{,}5 \times 10^{-3} = 7{,}5 \text{ W}\] P_hyd = 7,5 W. Le circulateur doit fournir au moins 7,5 W de puissance hydraulique.

Un coude à 90° brusque crée un changement de direction brutal, générant des turbulences et des décollements de l'écoulement qui dissipent de l'énergie. Un coude à grand rayon de courbure permet au fluide de changer de direction progressivement, réduisant les turbulences et donc les pertes singulières de pression.

\[Q_v = \frac{2{,}5}{3\,600} \approx 6{,}94 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}\] \[S = \frac{Q_v}{v} = \frac{6{,}94 \times 10^{-4}}{1} = 6{,}94 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] \[d = 2\sqrt{\frac{6{,}94 \times 10^{-4}}{\pi}} = 2\sqrt{2{,}21 \times 10^{-4}} \approx 2 \times 0{,}0149 \approx 0{,}0297 \text{ m} \approx 29{,}7 \text{ mm}\] On choisit le diamètre normalisé supérieur : 32 mm.

\[Q_v = \frac{1}{3\,600} \approx 2{,}78 \times 10^{-4} \text{ m}^3/\text{s}\] \[S = \pi \times (0{,}01)^2 \approx 3{,}14 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] \[v = \frac{Q_v}{S} = \frac{2{,}78 \times 10^{-4}}{3{,}14 \times 10^{-4}} \approx 0{,}89 \text{ m/s}\] La vitesse est 0,89 m/s, bien inférieure à 1,5 m/s. La canalisation de 20 mm convient.

Débit volumique : \(Q_v = \dfrac{\dot{m}}{\rho} = \dfrac{1\,500/3\,600}{1\,050} = \dfrac{0{,}417}{1\,050} \approx 3{,}97 \times 10^{-4}\) m³/s
\[S = \frac{Q_v}{v} = \frac{3{,}97 \times 10^{-4}}{1{,}2} \approx 3{,}31 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] \[d = 2\sqrt{\frac{3{,}31 \times 10^{-4}}{\pi}} = 2\sqrt{1{,}054 \times 10^{-4}} \approx 2 \times 0{,}01027 \approx 0{,}0205 \text{ m} \approx 20{,}5 \text{ mm}\] On choisit le diamètre normalisé supérieur : 25 mm.