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Chapitre 6 – Devoir Surveillé

Décrire un fluide en mouvement  |  Terminale Bac Pro ICCER (Grpt 1)

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
Durée55 minutes
Barème20 points
DocumentsNon autorisés (sauf fiche de formules fournie)
CalculatriceAutorisée
Socle
Exercice 1 QCM – Fluides en mouvement 5 points

Pour chaque question, entourer la bonne réponse. (1 pt par question)

1. La formule du débit volumique est :

  a) \(Q_v = \rho \times v\)   b) \(Q_v = v \times S\)   c) \(Q_v = m \times v\)

2. L'unité du débit massique dans le système international est :

  a) L/s   b) m³/s   c) kg/s

3. Si la section d'un tuyau diminue et que le débit est conservé, la vitesse du fluide :

  a) diminue   b) reste constante   c) augmente

4. Pour convertir 720 L/h en L/s, on divise par :

  a) 60   b) 3 600   c) 1 000

5. La section d'un tuyau circulaire se calcule avec :

  a) \(S = 2\pi r\)   b) \(S = \pi r^2\)   c) \(S = \pi D\)

1. b) \(Q_v = v \times S\)

2. c) kg/s

3. c) augmente (conservation du débit : \(v_1 S_1 = v_2 S_2\))

4. b) 3 600 (car 1 h = 3 600 s)

5. b) \(S = \pi r^2\)

Socle
Exercice 2 Circuit de chauffage — calculs guidés 8 points

Un plombier chauffagiste installe un circuit de chauffage. La conduite a un diamètre \(D = 20\ \text{mm} = 0{,}020\ \text{m}\). L'eau (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)) circule avec un débit volumique \(Q_v = 360\ \text{L/h}\).

1. Convertir le débit volumique en m³/s. Compléter : (1 pt)

\(Q_v = \dfrac{360}{1\,000} \div \boxed{\phantom{3\,600}} = \boxed{\phantom{1{,}0 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^3/\text{s}\)

2. Calculer le rayon puis la section du tuyau. Compléter : (1,5 pt)

\(r = \dfrac{D}{2} = \dfrac{0{,}020}{2} = \boxed{\phantom{0{,}010}}\ \text{m}\)

\(S = \pi \times r^2 = \pi \times (\boxed{\phantom{0{,}010}})^2 \approx \boxed{\phantom{3{,}14 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^2\)

3. Calculer la vitesse de l'eau. Compléter : (1,5 pt)

\(v = \dfrac{Q_v}{S} = \dfrac{\boxed{\phantom{1{,}0 \times 10^{-4}}}}{\boxed{\phantom{3{,}14 \times 10^{-4}}}} \approx \boxed{\phantom{0{,}318}}\ \text{m/s}\)

4. Calculer le débit massique. Compléter : (1 pt)

\(Q_m = \rho \times Q_v = \boxed{\phantom{1\,000}} \times \boxed{\phantom{1{,}0 \times 10^{-4}}} = \boxed{\phantom{0{,}1}}\ \text{kg/s}\)

5. L'écart de température est \(\Delta T = 10\ \text{°C}\) et \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\). Calculer la puissance thermique. Compléter : (2 pts)

\(P_{\text{th}} = Q_m \times c \times \Delta T = \boxed{\phantom{0{,}1}} \times \boxed{\phantom{4\,186}} \times \boxed{\phantom{10}} \approx \boxed{\phantom{4\,186}}\ \text{W}\)

6. Cette puissance est-elle suffisante pour chauffer une pièce de 20 m² (besoin estimé : 2 000 W) ? (1 pt)

1. \(Q_v = 0{,}360 \div 3\,600 = \mathbf{1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)

2. \(r = 0{,}010\ \text{m}\), \(S = \pi \times (0{,}010)^2 \approx \mathbf{3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)

3. \(v = \dfrac{1{,}0 \times 10^{-4}}{3{,}14 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}318\ \text{m/s}}\)

4. \(Q_m = 1\,000 \times 1{,}0 \times 10^{-4} = \mathbf{0{,}1\ \text{kg/s}}\)

5. \(P_{\text{th}} = 0{,}1 \times 4\,186 \times 10 = \mathbf{4\,186\ \text{W} \approx 4{,}2\ \text{kW}}\)

6. Oui, \(4\,186\ \text{W} > 2\,000\ \text{W}\) : la puissance est largement suffisante pour chauffer la pièce.

Socle
Exercice 3 Conservation du débit — rétrécissement 7 points

Une conduite de diamètre \(D_1 = 40\ \text{mm}\) se rétrécit en une conduite de diamètre \(D_2 = 20\ \text{mm}\). L'eau circule à \(v_1 = 0{,}5\ \text{m/s}\) dans la grosse conduite.

1. Calculer la section \(S_1\). Compléter : (1,5 pt)

\(S_1 = \pi \times \left(\dfrac{0{,}040}{2}\right)^2 = \pi \times (\boxed{\phantom{0{,}020}})^2 \approx \boxed{\phantom{1{,}257 \times 10^{-3}}}\ \text{m}^2\)

2. Calculer la section \(S_2\). Compléter : (1,5 pt)

\(S_2 = \pi \times \left(\dfrac{0{,}020}{2}\right)^2 = \pi \times (\boxed{\phantom{0{,}010}})^2 \approx \boxed{\phantom{3{,}14 \times 10^{-4}}}\ \text{m}^2\)

3. Écrire l'équation de continuité. (1 pt)
4. Calculer la vitesse \(v_2\). Compléter : (2 pts)

\(v_2 = \dfrac{v_1 \times S_1}{S_2} = \dfrac{\boxed{\phantom{0{,}5}} \times \boxed{\phantom{1{,}257 \times 10^{-3}}}}{\boxed{\phantom{3{,}14 \times 10^{-4}}}} \approx \boxed{\phantom{2{,}0}}\ \text{m/s}\)

5. Compléter : « Le diamètre est divisé par \(\boxed{\phantom{2}}\), la section est divisée par \(\boxed{\phantom{4}}\), la vitesse est multipliée par \(\boxed{\phantom{4}}\). » (1 pt)

1. \(S_1 = \pi \times (0{,}020)^2 \approx \mathbf{1{,}257 \times 10^{-3}\ \text{m}^2}\)

2. \(S_2 = \pi \times (0{,}010)^2 \approx \mathbf{3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2}\)

3. \(v_1 \times S_1 = v_2 \times S_2\)

4. \(v_2 = \dfrac{0{,}5 \times 1{,}257 \times 10^{-3}}{3{,}14 \times 10^{-4}} = \mathbf{2{,}0\ \text{m/s}}\)

5. Le diamètre est divisé par 2, la section est divisée par 4, la vitesse est multipliée par 4.

TOTAL SOCLE : 20 points
Standard
Exercice 1 Station de pompage agricole 8 points

Une station de pompage irrigue des terres agricoles. La conduite principale (diamètre \(D_1 = 60\ \text{mm}\)) se divise en deux conduites secondaires (diamètre \(D_2 = 40\ \text{mm}\) chacune). La pompe délivre un débit \(Q_v = 18\ \text{m}^3/\text{h}\) d'eau (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)).

1. Convertir \(Q_v\) en m³/s. (0,5 pt)
2. Calculer la section \(S_1\) de la conduite principale. (1 pt)
3. Calculer la vitesse \(v_1\) dans la conduite principale. (1,5 pt)
4. Calculer la section \(S_2\) d'une conduite secondaire. (1 pt)
5. Quel est le débit dans chaque conduite secondaire (par symétrie) ? (0,5 pt)
6. Calculer la vitesse \(v_2\) dans chaque conduite secondaire. (1,5 pt)
7. Calculer le débit massique total \(Q_m\). (1 pt)
8. Pourquoi est-il important que la vitesse ne soit pas trop élevée dans les conduites ? (1 pt)

1. \(Q_v = 18 / 3\,600 = \mathbf{5 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}}\)

2. \(S_1 = \pi \times (0{,}030)^2 \approx \mathbf{2{,}83 \times 10^{-3}\ \text{m}^2}\)

3. \(v_1 = \dfrac{5 \times 10^{-3}}{2{,}83 \times 10^{-3}} \approx \mathbf{1{,}77\ \text{m/s}}\)

4. \(S_2 = \pi \times (0{,}020)^2 \approx \mathbf{1{,}257 \times 10^{-3}\ \text{m}^2}\)

5. \(Q_{v2} = Q_v / 2 = \mathbf{2{,}5 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}}\)

6. \(v_2 = \dfrac{2{,}5 \times 10^{-3}}{1{,}257 \times 10^{-3}} \approx \mathbf{1{,}99\ \text{m/s}}\)

7. \(Q_m = \rho \times Q_v = 1\,000 \times 5 \times 10^{-3} = \mathbf{5\ \text{kg/s}}\)

8. Une vitesse trop élevée engendre des pertes de charge importantes, des bruits et vibrations, une usure prématurée et peut provoquer des coups de bélier.

Standard
Exercice 2 Installation de climatisation – Bernoulli 7 points

Un technicien climaticien vérifie une installation. L'eau glacée (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)) circule horizontalement. En A (grosse conduite) : \(v_A = 1\ \text{m/s}\), \(P_A = 180\,000\ \text{Pa}\). En B (zone rétrécie) : \(v_B = 5\ \text{m/s}\).

1. Écrire l'équation de Bernoulli simplifiée entre A et B (même altitude, fluide parfait). (1,5 pt)
2. Calculer \(P_B\). (2,5 pts)
3. Comparer \(P_A\) et \(P_B\). Quel phénomène illustre ce résultat ? (1 pt)
4. Dans la réalité, la pression \(P_B\) mesurée est légèrement inférieure à la valeur calculée. Pourquoi ? (1 pt)
5. Calculer le débit volumique si la section en A est \(S_A = 15\ \text{cm}^2\). (1 pt)

1. \(P_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 = P_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2\)

2. \(P_B = P_A + \dfrac{1}{2}\rho(v_A^2 - v_B^2) = 180\,000 + 500 \times (1 - 25) = 180\,000 - 12\,000 = \mathbf{168\,000\ \text{Pa}}\)

3. \(P_B < P_A\) : la pression diminue quand la vitesse augmente. C'est l'effet Venturi.

4. Le fluide réel a une viscosité, donc des pertes de charge viennent réduire encore la pression mesurée.

5. \(Q_v = S_A \times v_A = 15 \times 10^{-4} \times 1 = \mathbf{1{,}5 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s} = 5{,}4\ \text{m}^3/\text{h}}\)

Standard
Exercice 3 Puissance thermique d'un circuit de chauffage 5 points

Un installateur thermique dimensionne un circuit de chauffage. Le débit volumique est \(Q_v = 500\ \text{L/h}\). L'eau entre à \(T_1 = 60\ \text{°C}\) et ressort à \(T_2 = 45\ \text{°C}\).
Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).

1. Convertir \(Q_v\) en m³/s. (0,5 pt)
2. Calculer le débit massique \(Q_m\). (1 pt)
3. Calculer l'écart de température \(\Delta T\). (0,5 pt)
4. Calculer la puissance thermique transportée \(P_{\text{th}}\) en W puis en kW. (2 pts)
5. Cette puissance peut-elle chauffer un appartement de 60 m² (besoin estimé : 60 W/m²) ? Justifier. (1 pt)

1. \(Q_v = \dfrac{500 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx \mathbf{1{,}39 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}}\)

2. \(Q_m = 1\,000 \times 1{,}39 \times 10^{-4} = \mathbf{0{,}139\ \text{kg/s}}\)

3. \(\Delta T = 60 - 45 = \mathbf{15\ \text{°C}}\)

4. \(P_{\text{th}} = 0{,}139 \times 4\,186 \times 15 \approx \mathbf{8\,728\ \text{W} \approx 8{,}73\ \text{kW}}\)

5. Besoin = \(60 \times 60 = 3\,600\ \text{W}\). \(P_{\text{th}} = 8\,728\ \text{W} > 3\,600\ \text{W}\) : oui, la puissance est largement suffisante.

TOTAL STANDARD : 20 points
Approfondissement
Exercice 1 Réseau hydraulique ramifié 8 points

Un technicien CVC dimensionne le réseau hydraulique d'un immeuble. La conduite principale (\(D_1 = 50\ \text{mm}\)) se divise en trois branches : deux branches identiques (\(D_2 = 25\ \text{mm}\)) et une branche plus grosse (\(D_3 = 32\ \text{mm}\)). La pompe délivre \(Q_v = 2\,500\ \text{L/h}\) d'eau (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)). Les deux petites branches desservent chacune 20 % du débit total, la grosse branche dessert le reste.

1. Convertir \(Q_v\) en m³/s et calculer la vitesse \(v_1\) dans la conduite principale. (2 pts)
2. Déterminer le débit volumique dans chaque branche (en m³/s et en L/h). (1,5 pt)
3. Calculer la vitesse dans chaque type de branche. (2 pts)
4. La vitesse maximale recommandée est 1,5 m/s. Toutes les branches sont-elles conformes ? Si non, proposer un diamètre adapté. (1,5 pt)
5. Vérifier que la somme des débits des branches est bien égale au débit total (conservation). (1 pt)

1. \(Q_v = \dfrac{2\,500 \times 10^{-3}}{3\,600} \approx 6{,}94 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}\)

\(S_1 = \pi \times (0{,}025)^2 \approx 1{,}963 \times 10^{-3}\ \text{m}^2\)

\(v_1 = \dfrac{6{,}94 \times 10^{-4}}{1{,}963 \times 10^{-3}} \approx \mathbf{0{,}354\ \text{m/s}}\)

2. Petite branche : \(Q_{v2} = 0{,}20 \times 6{,}94 \times 10^{-4} = \mathbf{1{,}39 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s} \approx 500\ \text{L/h}}\)

Grosse branche : \(Q_{v3} = 0{,}60 \times 6{,}94 \times 10^{-4} = \mathbf{4{,}17 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s} \approx 1\,500\ \text{L/h}}\)

3. Petite branche : \(S_2 = \pi \times (0{,}0125)^2 \approx 4{,}91 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\), \(v_2 = \dfrac{1{,}39 \times 10^{-4}}{4{,}91 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}283\ \text{m/s}}\)

Grosse branche : \(S_3 = \pi \times (0{,}016)^2 \approx 8{,}04 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\), \(v_3 = \dfrac{4{,}17 \times 10^{-4}}{8{,}04 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}519\ \text{m/s}}\)

4. Toutes les vitesses sont inférieures à 1,5 m/s : toutes les branches sont conformes.

5. \(2 \times Q_{v2} + Q_{v3} = 2 \times 1{,}39 \times 10^{-4} + 4{,}17 \times 10^{-4} = 6{,}95 \times 10^{-4} \approx Q_v\). La conservation du débit est vérifiée.

Approfondissement
Exercice 2 Bernoulli et débitmètre venturi 7 points

Un débitmètre à venturi est installé sur un circuit d'eau glacée (\(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\)). La conduite a une section \(S_1 = 50\ \text{cm}^2\) et le col du venturi a une section \(S_2 = 10\ \text{cm}^2\). Un manomètre différentiel mesure \(\Delta P = P_1 - P_2 = 24\,000\ \text{Pa}\).

1. Exprimer \(v_2\) en fonction de \(v_1\) à l'aide de l'équation de continuité. (1 pt)
2. Écrire l'équation de Bernoulli (même altitude) et montrer que \(\Delta P = \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 \left[\left(\dfrac{S_1}{S_2}\right)^2 - 1\right]\). (2 pts)
3. En déduire \(v_1\) puis \(v_2\). (2 pts)
4. Calculer le débit volumique en m³/h. (1 pt)
5. Expliquer pourquoi ce type de débitmètre ne nécessite aucune pièce mobile. (1 pt)

1. Continuité : \(v_1 S_1 = v_2 S_2\) donc \(v_2 = v_1 \times \dfrac{S_1}{S_2} = v_1 \times \dfrac{50}{10} = 5\,v_1\)

2. Bernoulli : \(P_1 + \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \dfrac{1}{2}\rho v_2^2\)

\(\Delta P = P_1 - P_2 = \dfrac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2) = \dfrac{1}{2}\rho (25\,v_1^2 - v_1^2) = \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 \times 24 = \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 \left[\left(\dfrac{S_1}{S_2}\right)^2 - 1\right]\)

3. \(v_1^2 = \dfrac{2 \times \Delta P}{\rho \times \left[\left(\dfrac{S_1}{S_2}\right)^2 - 1\right]} = \dfrac{2 \times 24\,000}{1\,000 \times 24} = 2\)

\(v_1 = \sqrt{2} \approx \mathbf{1{,}41\ \text{m/s}}\), \(v_2 = 5 \times 1{,}41 \approx \mathbf{7{,}07\ \text{m/s}}\)

4. \(Q_v = v_1 \times S_1 = 1{,}41 \times 50 \times 10^{-4} = 7{,}07 \times 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\)

\(Q_v = 7{,}07 \times 10^{-3} \times 3\,600 \approx \mathbf{25{,}5\ \text{m}^3/\text{h}}\)

5. Le débitmètre venturi mesure une différence de pression entre deux sections connues. Le débit se déduit directement par le calcul (Bernoulli + continuité). Aucune pièce mobile n'est nécessaire, ce qui le rend robuste, sans usure et sans entretien.

Approfondissement
Exercice 3 Comparaison de deux régimes de chauffage 5 points

Un bureau d'études compare deux configurations pour délivrer \(P_{\text{th}} = 8\ \text{kW}\) :
Config. A (haute température) : \(\Delta T = 20\ \text{°C}\), tube \(D = 20\ \text{mm}\).
Config. B (basse température) : \(\Delta T = 5\ \text{°C}\), tube \(D = 25\ \text{mm}\).
Données : \(\rho = 1\,000\ \text{kg/m}^3\), \(c = 4\,186\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).

1. Pour chaque configuration, calculer \(Q_m\), \(Q_v\) (en L/h) et la vitesse dans le tube. (3 pts)
2. Les deux configurations respectent-elles la limite \(v < 1{,}5\ \text{m/s}\) ? (0,5 pt)
3. Rédiger un paragraphe comparatif analysant avantages et inconvénients de chaque configuration (confort, pertes, dimensionnement pompe, type d'émetteur). (1,5 pt)

1.

Config. A : \(Q_m = \dfrac{8\,000}{4\,186 \times 20} \approx 0{,}0956\ \text{kg/s}\), \(Q_v \approx 344\ \text{L/h}\)

\(S_A = \pi \times (0{,}010)^2 \approx 3{,}14 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\), \(v_A = \dfrac{9{,}56 \times 10^{-5}}{3{,}14 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}30\ \text{m/s}}\)

Config. B : \(Q_m = \dfrac{8\,000}{4\,186 \times 5} \approx 0{,}382\ \text{kg/s}\), \(Q_v \approx 1\,376\ \text{L/h}\)

\(S_B = \pi \times (0{,}0125)^2 \approx 4{,}91 \times 10^{-4}\ \text{m}^2\), \(v_B = \dfrac{3{,}82 \times 10^{-4}}{4{,}91 \times 10^{-4}} \approx \mathbf{0{,}78\ \text{m/s}}\)

2. Les deux vitesses sont inférieures à 1,5 m/s : les deux sont conformes.

3. La config. A (haute température) nécessite un débit 4 fois plus faible, donc une pompe moins puissante et des pertes de charge réduites. En revanche, les pertes thermiques dans les conduites sont plus importantes (eau plus chaude), et le confort est moindre (risque de points chauds).

La config. B (basse température) offre un meilleur confort thermique (température homogène, compatible plancher chauffant) et des pertes thermiques réduites. Mais elle nécessite un débit 4 fois plus élevé, un tube plus gros et une pompe plus puissante. C'est la solution recommandée en construction neuve pour les systèmes basse consommation.

TOTAL APPROFONDISSEMENT : 20 points