Obtenir de l'énergie mécanique à l'aide d'un moteur électrique | Terminale Bac Pro ICCER (Grpt 1)
Un moteur monophasé alimente la pompe de circulation d'un plancher chauffant. Il est raccordé au réseau 230 V. Le courant absorbé est \(I = 4\) A et le facteur de puissance est \(\cos\varphi = 0{,}9\).
1. Compléter la formule de la puissance électrique absorbée en monophasé :
\(P_{elec} = \boxed{\phantom{U}} \times \boxed{\phantom{I}} \times \boxed{\phantom{\cos\varphi}}\)
2. Remplacer chaque grandeur par sa valeur et calculer :
\(P_{elec} = \boxed{\phantom{230}} \times \boxed{\phantom{4}} \times \boxed{\phantom{0,9}} = \boxed{\phantom{828}} \text{ W}\)
3. Convertir en kilowatts. Rappel : 1 kW = 1 000 W.
\(P_{elec} = \dfrac{\boxed{\phantom{828}}}{1\,000} = \boxed{\phantom{0,828}} \text{ kW}\)
1. \(P_{elec} = U \times I \times \cos\varphi\)
2. \(P_{elec} = 230 \times 4 \times 0{,}9 = \mathbf{828\text{ W}}\)
3. \(P_{elec} = \dfrac{828}{1\,000} = \mathbf{0{,}828\text{ kW}}\)
Un moteur triphasé 400 V consomme une puissance électrique \(P_{elec} = 3\text{ kW}\). Son rendement est \(\eta = 0{,}88\).
1. QCM — Que signifie un rendement \(\eta = 0{,}88\) ?
2. Compléter le calcul de la puissance mécanique utile :
\(P_{mec} = P_{elec} \times \eta = \boxed{\phantom{3\,000}} \times \boxed{\phantom{0,88}} = \boxed{\phantom{2\,640}} \text{ W}\)
3. Compléter le calcul des pertes :
\(P_{pertes} = P_{elec} - P_{mec} = \boxed{\phantom{3\,000}} - \boxed{\phantom{2\,640}} = \boxed{\phantom{360}} \text{ W}\)
1. Réponse b) : le moteur transforme 88 % de l'énergie électrique en énergie mécanique. Les 12 % restants sont dissipés sous forme de chaleur (effet Joule, frottements).
2. \(P_{mec} = 3\,000 \times 0{,}88 = \mathbf{2\,640\text{ W}}\)
3. \(P_{pertes} = 3\,000 - 2\,640 = \mathbf{360\text{ W}}\)
Un moteur de ventilateur tourne à \(n = 1\,450\) tr/min.
1. Compléter la formule de la vitesse angulaire :
\(\omega = \dfrac{2\pi \times \boxed{\phantom{n}}}{60}\)
2. Remplacer n par sa valeur et calculer étape par étape :
Numérateur : \(2 \times 3{,}14 \times 1\,450 = \boxed{\phantom{9\,106}}\)
Division : \(\omega = \dfrac{\boxed{\phantom{9\,106}}}{60} = \boxed{\phantom{151,8}} \text{ rad/s}\)
3. QCM — Que mesure la vitesse angulaire \(\omega\) ?
1. \(\omega = \dfrac{2\pi \times n}{60}\)
2. Numérateur : \(2 \times 3{,}14 \times 1\,450 = 9\,106\)
\(\omega = \dfrac{9\,106}{60} \approx \mathbf{151{,}8\text{ rad/s}}\)
3. Réponse b) : \(\omega\) mesure l'angle parcouru par l'arbre du moteur par unité de temps, en radians par seconde.
Le moteur d'un sèche-linge domestique a une puissance électrique absorbée \(P_{elec} = 2\,400\) W. Un cycle de séchage dure 1 h 30 min.
1. Convertir la durée en heures :
\(t = 1\text{ h } 30\text{ min} = 1 + \dfrac{30}{60} = \boxed{\phantom{1,5}} \text{ h}\)
2. Compléter le calcul de l'énergie consommée :
\(W = P_{elec} \times t = \boxed{\phantom{2\,400}} \times \boxed{\phantom{1,5}} = \boxed{\phantom{3\,600}} \text{ Wh}\)
3. Convertir en kWh :
\(W = \dfrac{\boxed{\phantom{3\,600}}}{1\,000} = \boxed{\phantom{3,6}} \text{ kWh}\)
1. \(t = 1 + \dfrac{30}{60} = \mathbf{1{,}5\text{ h}}\)
2. \(W = 2\,400 \times 1{,}5 = \mathbf{3\,600\text{ Wh}}\)
3. \(W = \dfrac{3\,600}{1\,000} = \mathbf{3{,}6\text{ kWh}}\)
Un moteur monophasé alimente la pompe de circulation d'un plancher chauffant. Il est raccordé au réseau 230 V. Le courant absorbé est \(I = 4\) A et le facteur de puissance est \(\cos\varphi = 0{,}9\).
1. Rappeler la formule de la puissance électrique absorbée en monophasé.
2. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\).
3. Exprimer ce résultat en watts et en kilowatts.
1. En monophasé : \(P_{elec} = U \cdot I \cdot \cos\varphi\)
2. \(P_{elec} = 230 \times 4 \times 0{,}9 = \mathbf{828\text{ W}}\)
3. \(P_{elec} = 828\text{ W} = \mathbf{0{,}828\text{ kW}}\)
Un moteur triphasé 400 V consomme une puissance électrique \(P_{elec} = 3\text{ kW}\). Son rendement est \(\eta = 0{,}88\).
1. Rappeler la relation entre puissance mécanique, puissance électrique et rendement.
2. Calculer la puissance mécanique utile \(P_{mec}\) fournie sur l'arbre.
3. Calculer les pertes dans le moteur.
1. \(P_{mec} = P_{elec} \times \eta\)
2. \(P_{mec} = 3\,000 \times 0{,}88 = \mathbf{2\,640\text{ W}} = 2{,}64\text{ kW}\)
3. \(P_{pertes} = P_{elec} - P_{mec} = 3\,000 - 2\,640 = \mathbf{360\text{ W}}\)
Ces pertes se manifestent sous forme d'échauffement du moteur (effet Joule dans les bobinages, frottements mécaniques).
Un moteur de ventilateur tourne à \(n = 1\,450\) tr/min.
1. Rappeler la formule permettant de calculer la vitesse angulaire \(\omega\) en rad/s à partir de n en tr/min.
2. Calculer \(\omega\) pour \(n = 1\,450\) tr/min. Donner le résultat arrondi à 0,1 rad/s.
3. Quelle est la signification physique de \(\omega\) ?
1. \(\omega = \dfrac{2\pi n}{60}\)
2. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,450}{60} = \dfrac{2 \times 3{,}1416 \times 1\,450}{60} = \dfrac{9\,110{,}6}{60} \approx \mathbf{151{,}8\text{ rad/s}}\)
3. La vitesse angulaire \(\omega\) représente l'angle parcouru par l'arbre du moteur par unité de temps, exprimé en radians par seconde. Elle est directement liée au couple et à la puissance mécanique transmise.
Un moteur triphasé 400 V entraîne un compresseur de climatisation. Il fournit une puissance mécanique \(P_{mec} = 2{,}2\text{ kW}\). Son rendement est \(\eta = 0{,}85\) et son facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}80\).
Étape 1 : Calculer la puissance électrique absorbée.
On sait que \(P_{mec} = P_{elec} \times \eta\), donc :
\(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{\boxed{\phantom{2\,200}}}{\boxed{\phantom{0,85}}} = \boxed{\phantom{2\,588}} \text{ W}\)
Étape 2 : Calculer le courant de ligne I.
En triphasé : \(P_{elec} = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos\varphi\), donc :
\(I = \dfrac{P_{elec}}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{\boxed{\phantom{2\,588}}}{1{,}732 \times \boxed{\phantom{400}} \times \boxed{\phantom{0,80}}} = \boxed{\phantom{4,67}} \text{ A}\)
Étape 3 : Calculer l'énergie consommée en 8 heures.
\(W = P_{elec} \times t = \boxed{\phantom{2,59}} \text{ kW} \times \boxed{\phantom{8}} \text{ h} = \boxed{\phantom{20,7}} \text{ kWh}\)
Étape 4 : Calculer le coût à 0,18 EUR/kWh.
\(\text{Coût} = \boxed{\phantom{20,7}} \times 0{,}18 = \boxed{\phantom{3,73}} \text{ EUR}\)
Étape 1 : \(P_{elec} = \dfrac{2\,200}{0{,}85} \approx \mathbf{2\,588\text{ W}} \approx 2{,}59\text{ kW}\)
Étape 2 : \(I = \dfrac{2\,588}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}80} = \dfrac{2\,588}{553{,}6} \approx \mathbf{4{,}67\text{ A}}\)
Étape 3 : \(W = 2{,}59 \times 8 = \mathbf{20{,}7\text{ kWh}}\)
Étape 4 : \(\text{Coût} = 20{,}7 \times 0{,}18 = \mathbf{3{,}73\text{ EUR}}\) pour une journée de 8 h.
Un moteur triphasé 400 V entraîne un compresseur de climatisation. Il fournit une puissance mécanique \(P_{mec} = 2{,}2\text{ kW}\). Son rendement est \(\eta = 0{,}85\) et son facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}80\).
1. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\) à partir de \(P_{mec}\) et \(\eta\).
2. En déduire le courant de ligne I à partir de \(P_{elec} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos\varphi\).
3. Calculer l'énergie électrique consommée en 8 heures de fonctionnement, en kWh.
4. À 0,18 EUR/kWh, calculer le coût énergétique de cette journée de travail.
1. \(P_{mec} = P_{elec} \times \eta\), donc :
\(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{2\,200}{0{,}85} \approx \mathbf{2\,588\text{ W}} \approx 2{,}59\text{ kW}\)
2. \(P_{elec} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos\varphi\), donc :
\(I = \dfrac{P_{elec}}{\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\varphi} = \dfrac{2\,588}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}80} = \dfrac{2\,588}{553{,}6} \approx \mathbf{4{,}67\text{ A}}\)
3. \(W = P_{elec} \times t = 2{,}59 \times 8 = \mathbf{20{,}7\text{ kWh}}\)
4. \(\text{Coût} = 20{,}7 \times 0{,}18 = \mathbf{3{,}73\text{ EUR}}\) pour une journée de 8 h.
Un technicien CVC doit choisir un moteur monophasé 230 V pour entraîner un circulateur. Les deux moteurs fournissent la même puissance mécanique \(P_{mec} = 3\text{ kW}\) :
1. Compléter le tableau suivant :
| Grandeur | Formule | Moteur A | Moteur B |
|---|---|---|---|
| \(P_{elec}\) | \(\dfrac{P_{mec}}{\eta}\) | \(\dfrac{3\,000}{0{,}80} = \boxed{\phantom{3\,750}}\) W | \(\dfrac{3\,000}{0{,}88} = \boxed{\phantom{3\,409}}\) W |
| \(I\) | \(\dfrac{P_{elec}}{U \times \cos\varphi}\) | \(\dfrac{3\,750}{230 \times 0{,}75} = \boxed{\phantom{21,7}}\) A | \(\dfrac{3\,409}{230 \times 0{,}88} = \boxed{\phantom{16,8}}\) A |
2. QCM — Quel moteur le technicien doit-il choisir ?
1. Moteur A : \(P_{elec} = 3\,750\) W, \(I = 21{,}7\) A
Moteur B : \(P_{elec} = 3\,409\) W, \(I = 16{,}8\) A
2. Réponse b) : le moteur B est le meilleur choix. Il consomme moins d'énergie et absorbe moins de courant, ce qui permet d'utiliser des conducteurs de section plus petite.
Un technicien CVC doit choisir un moteur monophasé 230 V pour entraîner un circulateur. Il compare deux modèles capables de fournir la même puissance mécanique \(P_{mec} = 3\text{ kW}\) :
1. Calculer la puissance électrique absorbée par chaque moteur.
2. Calculer le courant absorbé par chaque moteur en 230 V monophasé.
3. Quel moteur consomme le moins d'énergie ? Quel moteur charge le moins les conducteurs électriques ?
4. Conclure sur le choix du technicien.
1. Puissances électriques :
Moteur A : \(P_{elecA} = \dfrac{3\,000}{0{,}80} = \mathbf{3\,750\text{ W}}\)
Moteur B : \(P_{elecB} = \dfrac{3\,000}{0{,}88} \approx \mathbf{3\,409\text{ W}}\)
2. Courants absorbés (\(I = \dfrac{P_{elec}}{U \cdot \cos\varphi}\)) :
Moteur A : \(I_A = \dfrac{3\,750}{230 \times 0{,}75} = \dfrac{3\,750}{172{,}5} \approx \mathbf{21{,}7\text{ A}}\)
Moteur B : \(I_B = \dfrac{3\,409}{230 \times 0{,}88} = \dfrac{3\,409}{202{,}4} \approx \mathbf{16{,}8\text{ A}}\)
3. Le moteur B consomme moins d'énergie (3 409 W contre 3 750 W) et absorbe moins de courant (16,8 A contre 21,7 A). Un courant plus faible réduit les pertes dans les câbles et permet d'utiliser des conducteurs de section plus petite.
4. Le technicien doit choisir le moteur B : meilleur rendement, meilleur facteur de puissance, courant plus faible. C'est une solution plus économique et moins contraignante pour l'installation électrique.
Un technicien relève la plaque signalétique d'un moteur asynchrone triphasé :
U = 400 V | f = 50 Hz | In = 8,5 A | cos φ = 0,82 | n = 1 450 tr/min | η = 0,87
1. Compléter le calcul de la puissance électrique absorbée :
\(P_{elec} = \sqrt{3} \times U \times I_n \times \cos\varphi = 1{,}732 \times \boxed{\phantom{400}} \times \boxed{\phantom{8,5}} \times \boxed{\phantom{0,82}} = \boxed{\phantom{4\,830}} \text{ W}\)
2. Compléter le calcul de la puissance mécanique :
\(P_{mec} = P_{elec} \times \eta = \boxed{\phantom{4\,830}} \times \boxed{\phantom{0,87}} = \boxed{\phantom{4\,202}} \text{ W}\)
3. Compléter le calcul de la vitesse angulaire :
\(\omega = \dfrac{2\pi \times \boxed{\phantom{1\,450}}}{60} = \boxed{\phantom{151,8}} \text{ rad/s}\)
4. Compléter le calcul du couple moteur :
\(C = \dfrac{P_{mec}}{\omega} = \dfrac{\boxed{\phantom{4\,202}}}{\boxed{\phantom{151,8}}} = \boxed{\phantom{27,7}} \text{ N·m}\)
1. \(P_{elec} = 1{,}732 \times 400 \times 8{,}5 \times 0{,}82 \approx \mathbf{4\,830\text{ W}}\)
2. \(P_{mec} = 4\,830 \times 0{,}87 \approx \mathbf{4\,202\text{ W}}\)
3. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,450}{60} \approx \mathbf{151{,}8\text{ rad/s}}\)
4. \(C = \dfrac{4\,202}{151{,}8} \approx \mathbf{27{,}7\text{ N·m}}\)
Un technicien relève la plaque signalétique d'un moteur asynchrone triphasé :
U = 400 V | f = 50 Hz | In = 8,5 A | cos φ = 0,82 | n = 1 450 tr/min | η = 0,87
1. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\).
2. Calculer la puissance mécanique utile \(P_{mec}\).
3. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) en rad/s.
4. Calculer le couple moteur \(C = \dfrac{P_{mec}}{\omega}\) en N·m.
1. \(P_{elec} = \sqrt{3} \times U \times I_n \times \cos\varphi = 1{,}732 \times 400 \times 8{,}5 \times 0{,}82\)
\(P_{elec} = 1{,}732 \times 400 \times 6{,}97 = \mathbf{4\,830\text{ W}} \approx 4{,}83\text{ kW}\)
2. \(P_{mec} = P_{elec} \times \eta = 4\,830 \times 0{,}87 \approx \mathbf{4\,202\text{ W}} \approx 4{,}2\text{ kW}\)
3. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,450}{60} = \dfrac{2 \times 3{,}1416 \times 1\,450}{60} \approx \mathbf{151{,}8\text{ rad/s}}\)
4. \(C = \dfrac{P_{mec}}{\omega} = \dfrac{4\,202}{151{,}8} \approx \mathbf{27{,}7\text{ N·m}}\)
Le couple moteur représente la force de rotation exercée sur l'arbre. Ici, à chaque tour, le moteur fournit environ 27,7 N·m de couple à la charge.
Un technicien CVC installe une pompe de circulation pour un circuit de chauffage collectif. La pompe est entraînée par un moteur triphasé 400 V dont les caractéristiques sont : \(P_{mec} = 750\text{ W}\), \(\eta = 0{,}82\), \(\cos\varphi = 0{,}78\).
1. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\) par le moteur.
2. Calculer le courant de ligne I.
3. Le technicien doit choisir un disjoncteur de protection parmi les calibres disponibles : 1 A, 2 A, 4 A, 6 A. Quel calibre choisir ? Justifier (le calibre doit être immédiatement supérieur au courant nominal).
1. \(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{750}{0{,}82} \approx \mathbf{915\text{ W}}\)
2. \(I = \dfrac{P_{elec}}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{915}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}78} = \dfrac{915}{540{,}4} \approx \mathbf{1{,}69\text{ A}}\)
3. Le courant nominal est d'environ 1,69 A. Le disjoncteur doit avoir un calibre immédiatement supérieur au courant nominal pour assurer la protection sans déclencher en fonctionnement normal.
Parmi les calibres proposés : 1 A (trop faible), 2 A (supérieur à 1,69 A), 4 A et 6 A (trop élevés).
Le technicien choisira le disjoncteur 2 A.
Un moteur de pompe tourne à \(n_1 = 1\,450\) tr/min à la fréquence \(f_1 = 50\) Hz. Il fournit une puissance mécanique \(P_{mec} = 2\text{ kW}\). On installe un variateur de fréquence qui fait passer la fréquence à \(f_2 = 70\) Hz.
1. Expliquer le principe du variateur de fréquence et pourquoi il permet de modifier la vitesse de rotation d'un moteur asynchrone.
2. La vitesse de rotation est proportionnelle à la fréquence. Calculer la nouvelle vitesse \(n_2\).
3. Calculer la vitesse angulaire \(\omega_1\) à 50 Hz et \(\omega_2\) à 70 Hz.
4. Si la puissance mécanique reste constante à \(P_{mec} = 2\text{ kW}\), calculer le couple à 50 Hz et le couple à 70 Hz. Comment évolue le couple quand la vitesse augmente ?
1. La vitesse d'un moteur asynchrone dépend de la fréquence du réseau : \(n_s = \dfrac{60 \times f}{p}\). Un variateur de fréquence transforme le courant alternatif du réseau (50 Hz fixe) en un courant alternatif dont la fréquence est réglable. En modifiant f, on modifie \(n_s\) et donc la vitesse du moteur.
2. \(\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{f_2}{f_1}\), donc \(n_2 = 1\,450 \times \dfrac{70}{50} = 1\,450 \times 1{,}4 = \mathbf{2\,030\text{ tr/min}}\)
3. \(\omega_1 = \dfrac{2\pi \times 1\,450}{60} \approx \mathbf{151{,}8\text{ rad/s}}\)
\(\omega_2 = \dfrac{2\pi \times 2\,030}{60} \approx \mathbf{212{,}6\text{ rad/s}}\)
4. \(C_1 = \dfrac{2\,000}{151{,}8} \approx \mathbf{13{,}2\text{ N·m}}\)
\(C_2 = \dfrac{2\,000}{212{,}6} \approx \mathbf{9{,}4\text{ N·m}}\)
Quand la vitesse augmente à puissance constante, le couple diminue. La relation \(P = C \times \omega\) montre que couple et vitesse angulaire sont inversement proportionnels à puissance constante.
Un technicien climatisation vérifie le moteur d'un ventilateur de VMC double flux. Les données sont : alimentation monophasée 230 V, \(I = 2{,}5\) A, \(\cos\varphi = 0{,}85\), \(\eta = 0{,}80\).
1. Compléter la chaîne énergétique du moteur :
Énergie \(\boxed{\phantom{\text{électrique}}}\) \(\longrightarrow\) Moteur \(\longrightarrow\) Énergie \(\boxed{\phantom{\text{mécanique}}}\) + \(\boxed{\phantom{\text{thermique (pertes)}}}\)
2. Calculer \(P_{elec}\) :
\(P_{elec} = 230 \times \boxed{\phantom{2,5}} \times \boxed{\phantom{0,85}} = \boxed{\phantom{489}} \text{ W}\)
3. Calculer \(P_{mec}\) :
\(P_{mec} = \boxed{\phantom{489}} \times \boxed{\phantom{0,80}} = \boxed{\phantom{391}} \text{ W}\)
4. Calculer les pertes :
\(P_{pertes} = \boxed{\phantom{489}} - \boxed{\phantom{391}} = \boxed{\phantom{98}} \text{ W}\)
1. Énergie électrique -> Moteur -> Énergie mécanique + Énergie thermique (pertes)
2. \(P_{elec} = 230 \times 2{,}5 \times 0{,}85 \approx \mathbf{489\text{ W}}\)
3. \(P_{mec} = 489 \times 0{,}80 \approx \mathbf{391\text{ W}}\)
4. \(P_{pertes} = 489 - 391 = \mathbf{98\text{ W}}\)
Un installateur de pompes à chaleur vérifie le moteur du compresseur d'une PAC air/eau. Les données relevées sont : alimentation triphasée 400 V, vitesse \(n = 2\,900\) tr/min, puissance mécanique \(P_{mec} = 4\text{ kW}\), rendement \(\eta = 0{,}90\), facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}85\).
1. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) en rad/s.
2. Calculer le couple moteur C.
3. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\).
4. Calculer le courant de ligne I.
5. L'installateur mesure un courant de 8,5 A sur site. Le moteur fonctionne-t-il normalement ? Quelle pourrait être la cause d'un courant plus élevé que prévu ?
1. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 2\,900}{60} \approx \mathbf{303{,}7\text{ rad/s}}\)
2. \(C = \dfrac{P_{mec}}{\omega} = \dfrac{4\,000}{303{,}7} \approx \mathbf{13{,}2\text{ N·m}}\)
3. \(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{4\,000}{0{,}90} \approx \mathbf{4\,444\text{ W}}\)
4. \(I = \dfrac{P_{elec}}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{4\,444}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}85} = \dfrac{4\,444}{588{,}9} \approx \mathbf{7{,}5\text{ A}}\)
5. Le courant calculé est d'environ 7,5 A. L'installateur mesure 8,5 A, soit environ 13 % de plus. Ce dépassement est significatif.
Causes possibles : surcharge mécanique du compresseur (problème de fluide frigorigène), condenseur ou évaporateur encrassé, température extérieure très basse augmentant la pression de condensation. L'installateur doit vérifier les pressions du circuit frigorifique.
Un bureau d'études CVC doit dimensionner le moteur d'un ventilateur centrifuge pour une centrale de traitement d'air (CTA) desservant un bâtiment tertiaire de 2 000 m2.
Cahier des charges :
1. Calculer la puissance électrique absorbée par le moteur.
2. Calculer le courant de ligne I. Le câble d'alimentation supporte 25 A : est-il suffisant ?
3. Calculer la vitesse angulaire et le couple moteur.
4. Calculer l'énergie annuelle consommée en kWh et le coût annuel.
5. Un moteur IE4 (haut rendement) de même puissance a un rendement \(\eta' = 0{,}95\). Calculer l'économie annuelle en euros par rapport au moteur initial. Au prix d'achat supérieur de 800 EUR, en combien d'années le surcoût est-il amorti ?
1. \(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{7\,500}{0{,}91} \approx \mathbf{8\,242\text{ W}} \approx 8{,}24\text{ kW}\)
2. \(I = \dfrac{P_{elec}}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{8\,242}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}86} = \dfrac{8\,242}{595{,}8} \approx \mathbf{13{,}8\text{ A}}\)
Le câble de 25 A est largement suffisant (13,8 A < 25 A).
3. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,450}{60} \approx 151{,}8\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{7\,500}{151{,}8} \approx \mathbf{49{,}4\text{ N·m}}\)
4. Durée annuelle : \(12 \times 250 = 3\,000\) h/an
\(W = 8{,}24 \times 3\,000 = \mathbf{24\,720\text{ kWh/an}}\)
Coût : \(24\,720 \times 0{,}2276 = \mathbf{5\,626\text{ EUR/an}}\)
5. Avec le moteur IE4 : \(P'_{elec} = \dfrac{7\,500}{0{,}95} \approx 7\,895\text{ W}\)
\(W' = 7{,}895 \times 3\,000 = 23\,685\text{ kWh/an}\)
Coût' = \(23\,685 \times 0{,}2276 = 5\,391\) EUR/an
Économie annuelle : \(5\,626 - 5\,391 = \mathbf{235\text{ EUR/an}}\)
Amortissement : \(\dfrac{800}{235} \approx \mathbf{3{,}4\text{ ans}}\). Le surcoût est amorti en moins de 4 ans, ce qui justifie le choix du moteur IE4.
Un installateur thermique étudie la chaîne énergétique complète d'un système de chauffage collectif comprenant :
1. Établir la chaîne de conversion d'énergie en identifiant chaque étape et les pertes associées.
2. Calculer la puissance utile transmise au fluide caloporteur dans le réseau.
3. Calculer le rendement global \(\eta_g\) de l'installation. Vérifier que \(\eta_g = \eta_m \times \eta_p \times \eta_r\).
4. Le technicien envisage de remplacer la pompe par un modèle à haut rendement (\(\eta_p' = 0{,}85\)). Calculer le nouveau rendement global et le gain relatif en pourcentage.
5. Pour un fonctionnement de 5 000 h/an à 0,2276 EUR/kWh, calculer l'économie annuelle réalisée grâce au remplacement de la pompe.
1. Chaîne de conversion :
Énergie électrique (4 200 W) -> Moteur (\(\eta_m = 0{,}87\)) -> Énergie mécanique -> Pompe (\(\eta_p = 0{,}72\)) -> Énergie hydraulique -> Réseau (\(\eta_r = 0{,}90\)) -> Énergie utile au fluide
À chaque étape, une partie de l'énergie est dissipée en chaleur (pertes Joule, frottements, pertes de charge).
2. \(P_{mec} = 4\,200 \times 0{,}87 = 3\,654\text{ W}\)
\(P_{hydr} = 3\,654 \times 0{,}72 = 2\,631\text{ W}\)
\(P_{utile} = 2\,631 \times 0{,}90 = \mathbf{2\,368\text{ W}}\)
3. \(\eta_g = \dfrac{P_{utile}}{P_{elec}} = \dfrac{2\,368}{4\,200} \approx \mathbf{0{,}564}\)
Vérification : \(0{,}87 \times 0{,}72 \times 0{,}90 = 0{,}5638 \approx 0{,}564\) .
4. Nouveau rendement : \(\eta'_g = 0{,}87 \times 0{,}85 \times 0{,}90 = \mathbf{0{,}665}\)
Gain relatif : \(\dfrac{0{,}665 - 0{,}564}{0{,}564} \approx 17{,}9\,\%\)
5. Avec l'ancienne pompe, pour fournir la même puissance utile \(P_{utile} = 2\,368\) W :
\(P_{elec} = \dfrac{2\,368}{0{,}564} = 4\,199\text{ W}\)
Avec la nouvelle pompe : \(P'_{elec} = \dfrac{2\,368}{0{,}665} = 3\,561\text{ W}\)
Économie de puissance : \(4\,199 - 3\,561 = 638\text{ W} = 0{,}638\text{ kW}\)
Économie annuelle : \(0{,}638 \times 5\,000 \times 0{,}2276 = \mathbf{726\text{ EUR/an}}\)
Un technicien chauffagiste propose d'équiper le ventilateur d'extraction d'une chaufferie collective d'un variateur de fréquence. Le ventilateur est entraîné par un moteur triphasé 400 V dont les caractéristiques sont :
Avec le variateur, la vitesse sera adaptée aux besoins réels :
| Régime | % vitesse | % du temps annuel |
|---|---|---|
| Pleine charge | 100 % | 15 % |
| Charge intermédiaire | 75 % | 45 % |
| Charge réduite | 50 % | 40 % |
Durée annuelle : 7 000 h. Prix du kWh : 0,2276 EUR. Coût du variateur installé : 2 500 EUR.
On rappelle la loi cubique pour les ventilateurs : \(P = P_{nom} \times \left(\dfrac{n'}{n}\right)^3\)
1. Calculer la puissance électrique absorbée à pleine charge.
2. En appliquant la loi cubique, calculer la puissance mécanique à 75 % et à 50 % de la vitesse nominale. En déduire les puissances électriques correspondantes.
3. Calculer l'énergie annuelle consommée sans variateur (100 % du temps à pleine charge).
4. Calculer l'énergie annuelle consommée avec variateur en tenant compte de la répartition du temps.
5. Calculer l'économie annuelle en euros et le temps de retour sur investissement du variateur.
1. \(P_{elec,100\%} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{5\,500}{0{,}87} \approx \mathbf{6\,322\text{ W}}\)
2. À 75 % : \(P_{mec,75\%} = 5\,500 \times 0{,}75^3 = 5\,500 \times 0{,}4219 = 2\,320\text{ W}\)
\(P_{elec,75\%} = \dfrac{2\,320}{0{,}87} \approx 2\,667\text{ W}\)
À 50 % : \(P_{mec,50\%} = 5\,500 \times 0{,}50^3 = 5\,500 \times 0{,}125 = 687{,}5\text{ W}\)
\(P_{elec,50\%} = \dfrac{687{,}5}{0{,}87} \approx 790\text{ W}\)
3. Sans variateur : \(W_1 = 6{,}322 \times 7\,000 = \mathbf{44\,254\text{ kWh/an}}\)
4. Avec variateur :
100 % : \(6{,}322 \times 0{,}15 \times 7\,000 = 6\,638\text{ kWh}\)
75 % : \(2{,}667 \times 0{,}45 \times 7\,000 = 8\,401\text{ kWh}\)
50 % : \(0{,}790 \times 0{,}40 \times 7\,000 = 2\,212\text{ kWh}\)
Total : \(W_2 = 6\,638 + 8\,401 + 2\,212 = \mathbf{17\,251\text{ kWh/an}}\)
5. Économie en énergie : \(44\,254 - 17\,251 = 27\,003\text{ kWh}\)
Économie en euros : \(27\,003 \times 0{,}2276 = \mathbf{6\,146\text{ EUR/an}}\)
Temps de retour : \(\dfrac{2\,500}{6\,146} \approx \mathbf{0{,}41\text{ an}} \approx 5\text{ mois}\)
L'investissement est très vite rentabilisé. La loi cubique montre qu'une réduction même modeste de la vitesse engendre une forte réduction de la consommation.
Une salle de sport dispose d'un tapis roulant entraîné par un moteur monophasé 230 V. La plaque signalétique indique : \(P_{mec} = 2{,}5\) kW, \(\eta = 0{,}82\), \(\cos\varphi = 0{,}90\). La vitesse maximale du tapis est de 20 km/h, obtenue à \(n = 3\,000\) tr/min.
1. Calculer la puissance électrique absorbée, le courant et le couple moteur à vitesse maximale.
2. Un sportif de 80 kg court à 12 km/h, ce qui nécessite une puissance mécanique de 1,5 kW. Calculer la nouvelle vitesse de rotation (proportionnelle à la vitesse du tapis), la vitesse angulaire et le couple correspondant.
3. Comparer les couples aux deux régimes. Expliquer physiquement pourquoi le couple est plus élevé à 12 km/h qu'à 20 km/h pour une puissance inférieure.
4. La salle possède 15 tapis identiques, utilisés en moyenne 10 h/jour pendant 300 jours/an avec une puissance moyenne absorbée de 2 kW par tapis. Calculer le coût annuel d'électricité à 0,2276 EUR/kWh.
1. \(P_{elec} = \dfrac{2\,500}{0{,}82} \approx 3\,049\text{ W}\)
\(I = \dfrac{3\,049}{230 \times 0{,}90} = \dfrac{3\,049}{207} \approx \mathbf{14{,}7\text{ A}}\)
\(\omega = \dfrac{2\pi \times 3\,000}{60} \approx 314{,}2\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{2\,500}{314{,}2} \approx \mathbf{8{,}0\text{ N·m}}\)
2. Nouvelle vitesse : \(n' = 3\,000 \times \dfrac{12}{20} = 1\,800\text{ tr/min}\)
\(\omega' = \dfrac{2\pi \times 1\,800}{60} \approx 188{,}5\text{ rad/s}\)
\(C' = \dfrac{1\,500}{188{,}5} \approx \mathbf{8{,}0\text{ N·m}}\)
3. Les deux couples sont quasiment identiques (8,0 N·m). Cela s'explique : la puissance et la vitesse ont toutes deux été réduites dans le même rapport (\(\times 0{,}6\)), donc leur rapport \(C = P/\omega\) reste constant. Si la charge mécanique (poids du coureur, résistance) avait été différente, le couple aurait varié.
4. Énergie annuelle : \(15 \times 2 \times 10 \times 300 = 90\,000\text{ kWh}\)
Coût : \(90\,000 \times 0{,}2276 = \mathbf{20\,484\text{ EUR/an}}\)
Un circulateur de chauffage est entraîné par un moteur qui fournit une puissance mécanique \(P_{mec} = 180\) W. Sa vitesse de rotation est \(n = 2\,800\) tr/min.
1. Compléter le calcul de la vitesse angulaire :
\(\omega = \dfrac{2\pi \times \boxed{\phantom{2\,800}}}{60} = \dfrac{\boxed{\phantom{17\,593}}}{60} = \boxed{\phantom{293,2}} \text{ rad/s}\)
2. Compléter la formule du couple moteur :
\(C = \dfrac{\boxed{\phantom{P_{mec}}}}{\boxed{\phantom{\omega}}}\)
3. Remplacer et calculer :
\(C = \dfrac{\boxed{\phantom{180}}}{\boxed{\phantom{293,2}}} = \boxed{\phantom{0,61}} \text{ N·m}\)
1. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 2\,800}{60} = \dfrac{17\,593}{60} \approx \mathbf{293{,}2\text{ rad/s}}\)
2. \(C = \dfrac{P_{mec}}{\omega}\)
3. \(C = \dfrac{180}{293{,}2} \approx \mathbf{0{,}61\text{ N·m}}\)
Un moteur asynchrone triphasé est alimenté à \(f = 50\) Hz. Il possède \(p = 2\) paires de pôles.
1. Compléter la formule de la vitesse de synchronisme :
\(n_s = \dfrac{60 \times \boxed{\phantom{f}}}{\boxed{\phantom{p}}}\)
2. Remplacer et calculer :
\(n_s = \dfrac{60 \times \boxed{\phantom{50}}}{\boxed{\phantom{2}}} = \boxed{\phantom{1\,500}} \text{ tr/min}\)
3. QCM — Le moteur tourne à 1 440 tr/min. Pourquoi ne tourne-t-il pas exactement à 1 500 tr/min ?
1. \(n_s = \dfrac{60 \times f}{p}\)
2. \(n_s = \dfrac{60 \times 50}{2} = \mathbf{1\,500\text{ tr/min}}\)
3. Réponse b) : un moteur asynchrone tourne toujours légèrement en dessous de la vitesse de synchronisme. Cet écart est appelé le glissement. C'est ce qui permet au moteur de créer un couple. Ici, le glissement est \(\dfrac{1\,500 - 1\,440}{1\,500} = 4\,\%\).
Un technicien de maintenance énergétique vérifie un extracteur d'air dans une chaufferie. Le moteur monophasé 230 V a les caractéristiques suivantes : \(I = 1{,}8\) A, \(\cos\varphi = 0{,}85\). L'extracteur fonctionne 24 h/24, 365 jours/an.
1. Calculer la puissance électrique absorbée :
\(P_{elec} = 230 \times \boxed{\phantom{1,8}} \times \boxed{\phantom{0,85}} = \boxed{\phantom{352}} \text{ W}\)
2. Convertir en kilowatts :
\(P_{elec} = \dfrac{\boxed{\phantom{352}}}{1\,000} = \boxed{\phantom{0,352}} \text{ kW}\)
3. Calculer le nombre d'heures de fonctionnement par an :
\(t = 24 \times 365 = \boxed{\phantom{8\,760}} \text{ h}\)
4. Calculer l'énergie consommée par an :
\(W = \boxed{\phantom{0,352}} \times \boxed{\phantom{8\,760}} = \boxed{\phantom{3\,084}} \text{ kWh}\)
5. Calculer le coût annuel à 0,18 EUR/kWh :
\(\text{Coût} = \boxed{\phantom{3\,084}} \times 0{,}18 = \boxed{\phantom{555}} \text{ EUR}\)
1. \(P_{elec} = 230 \times 1{,}8 \times 0{,}85 \approx \mathbf{352\text{ W}}\)
2. \(P_{elec} = \dfrac{352}{1\,000} = \mathbf{0{,}352\text{ kW}}\)
3. \(t = 24 \times 365 = \mathbf{8\,760\text{ h}}\)
4. \(W = 0{,}352 \times 8\,760 \approx \mathbf{3\,084\text{ kWh}}\)
5. \(\text{Coût} = 3\,084 \times 0{,}18 \approx \mathbf{555\text{ EUR/an}}\)
Un technicien en énergies renouvelables intervient sur la pompe de circulation d'un réseau géothermique. Le moteur triphasé 400 V a les caractéristiques suivantes : \(I = 3{,}2\) A, \(\cos\varphi = 0{,}83\), \(\eta = 0{,}86\), \(n = 2\,850\) tr/min.
1. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\).
2. Calculer la puissance mécanique utile \(P_{mec}\).
3. Calculer les pertes thermiques du moteur.
4. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) et le couple moteur \(C\).
5. Déterminer le nombre de paires de pôles du moteur sachant que \(f = 50\) Hz et que la vitesse de synchronisme est immédiatement supérieure à \(n\).
1. \(P_{elec} = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos\varphi = 1{,}732 \times 400 \times 3{,}2 \times 0{,}83 \approx \mathbf{1\,839\text{ W}}\)
2. \(P_{mec} = P_{elec} \times \eta = 1\,839 \times 0{,}86 \approx \mathbf{1\,582\text{ W}}\)
3. \(P_{pertes} = P_{elec} - P_{mec} = 1\,839 - 1\,582 = \mathbf{257\text{ W}}\)
4. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 2\,850}{60} \approx 298{,}5\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{1\,582}{298{,}5} \approx \mathbf{5{,}3\text{ N·m}}\)
5. La vitesse de synchronisme immédiatement supérieure à 2 850 tr/min est \(n_s = 3\,000\) tr/min.
\(n_s = \dfrac{60 \times f}{p}\), donc \(p = \dfrac{60 \times 50}{3\,000} = \mathbf{1}\) paire de pôles (moteur bipolaire).
Un technicien CVC met en service le moteur triphasé d'un ventilateur de centrale de traitement d'air (CTA). Les données de la plaque signalétique sont : \(f = 50\) Hz, \(p = 2\) paires de pôles, \(n = 1\,440\) tr/min, \(P_{mec} = 3\text{ kW}\).
1. Calculer la vitesse de synchronisme \(n_s\) du moteur.
2. Calculer le glissement \(g = \dfrac{n_s - n}{n_s}\) et l'exprimer en pourcentage.
3. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) et le couple moteur \(C\).
4. En fonctionnement normal, le glissement d'un moteur asynchrone est compris entre 2 % et 6 %. Le moteur fonctionne-t-il normalement ? Justifier.
1. \(n_s = \dfrac{60 \times f}{p} = \dfrac{60 \times 50}{2} = \mathbf{1\,500\text{ tr/min}}\)
2. \(g = \dfrac{n_s - n}{n_s} = \dfrac{1\,500 - 1\,440}{1\,500} = \dfrac{60}{1\,500} = 0{,}04 = \mathbf{4\,\%}\)
3. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,440}{60} \approx 150{,}8\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{3\,000}{150{,}8} \approx \mathbf{19{,}9\text{ N·m}}\)
4. Le glissement de 4 % est bien compris entre 2 % et 6 %. Le moteur fonctionne normalement. Un glissement trop élevé (> 6 %) indiquerait une surcharge mécanique ou un problème d'alimentation.
Un installateur thermique met en service un groupe de climatisation dans un bureau. Le compresseur est entraîné par un moteur triphasé 400 V dont les caractéristiques sont : \(P_{mec} = 5\text{ kW}\), \(\eta = 0{,}89\), \(\cos\varphi = 0{,}84\).
En saison chaude (mai à septembre), le compresseur fonctionne en moyenne 8 h/jour, 5 jours/semaine, pendant 22 semaines.
1. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\).
2. Calculer le courant de ligne \(I\).
3. Calculer le nombre total d'heures de fonctionnement sur la saison.
4. Calculer l'énergie consommée sur la saison en kWh et le coût associé à 0,2276 EUR/kWh.
1. \(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{5\,000}{0{,}89} \approx \mathbf{5\,618\text{ W}} \approx 5{,}62\text{ kW}\)
2. \(I = \dfrac{P_{elec}}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{5\,618}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}84} = \dfrac{5\,618}{582{,}0} \approx \mathbf{9{,}7\text{ A}}\)
3. Heures de fonctionnement : \(8 \times 5 \times 22 = \mathbf{880\text{ h}}\)
4. \(W = 5{,}62 \times 880 = 4\,946\text{ kWh}\)
Coût : \(4\,946 \times 0{,}2276 \approx \mathbf{1\,126\text{ EUR}}\) pour la saison.
Un plombier chauffagiste doit remplacer le moteur triphasé 400 V d'une pompe de circulation dans un immeuble collectif. La puissance mécanique nécessaire est \(P_{mec} = 1{,}5\) kW. Deux moteurs sont proposés :
La pompe fonctionne 6 000 h/an. Prix du kWh : 0,2276 EUR.
1. Calculer la puissance électrique absorbée par chaque moteur.
2. Calculer le courant de ligne pour chaque moteur.
3. Calculer le coût annuel de fonctionnement de chaque moteur.
4. Calculer la durée d'amortissement du surcoût du moteur IE3 par rapport au IE2.
1. IE2 : \(P_{elec} = \dfrac{1\,500}{0{,}84} \approx \mathbf{1\,786\text{ W}}\)
IE3 : \(P_{elec} = \dfrac{1\,500}{0{,}89} \approx \mathbf{1\,685\text{ W}}\)
2. IE2 : \(I = \dfrac{1\,786}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}80} = \dfrac{1\,786}{554{,}2} \approx \mathbf{3{,}22\text{ A}}\)
IE3 : \(I = \dfrac{1\,685}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}85} = \dfrac{1\,685}{588{,}9} \approx \mathbf{2{,}86\text{ A}}\)
3. IE2 : \(W = 1{,}786 \times 6\,000 = 10\,716\text{ kWh}\), coût = \(10\,716 \times 0{,}2276 = \mathbf{2\,439\text{ EUR/an}}\)
IE3 : \(W = 1{,}685 \times 6\,000 = 10\,110\text{ kWh}\), coût = \(10\,110 \times 0{,}2276 = \mathbf{2\,301\text{ EUR/an}}\)
4. Économie annuelle : \(2\,439 - 2\,301 = 138\text{ EUR/an}\)
Surcoût : \(580 - 420 = 160\text{ EUR}\)
Amortissement : \(\dfrac{160}{138} \approx \mathbf{1{,}2\text{ an}}\). Le surcoût est amorti en environ 14 mois.
Un ingénieur thermicien dimensionne une pompe à chaleur (PAC) air/eau pour un immeuble collectif. Le compresseur est entraîné par un moteur triphasé 400 V dont les caractéristiques sont :
La PAC a un coefficient de performance \(\text{COP} = 3{,}5\), défini par \(\text{COP} = \dfrac{P_{therm}}{P_{elec}}\) où \(P_{therm}\) est la puissance thermique fournie au bâtiment.
1. Calculer la puissance électrique absorbée \(P_{elec}\) par le moteur du compresseur.
2. Calculer la puissance thermique \(P_{therm}\) fournie au bâtiment.
3. Calculer la vitesse angulaire \(\omega\) et le couple \(C\) du moteur.
4. Le bâtiment nécessite un chauffage de 3 500 h/an. Calculer l'énergie électrique consommée et l'énergie thermique produite sur une saison de chauffe. Quel est le coût annuel à 0,2276 EUR/kWh ?
5. Une chaudière gaz classique de rendement 0,92 aurait fourni la même énergie thermique. Sachant que le prix du gaz est 0,12 EUR/kWh PCS, comparer les coûts annuels. Conclure.
1. \(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{8\,000}{0{,}92} \approx \mathbf{8\,696\text{ W}} \approx 8{,}70\text{ kW}\)
2. \(P_{therm} = \text{COP} \times P_{elec} = 3{,}5 \times 8\,696 \approx \mathbf{30\,435\text{ W}} \approx 30{,}4\text{ kW}\)
3. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 2\,920}{60} \approx 305{,}8\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{8\,000}{305{,}8} \approx \mathbf{26{,}2\text{ N·m}}\)
4. Énergie électrique : \(W_{elec} = 8{,}70 \times 3\,500 = 30\,450\text{ kWh}\)
Énergie thermique : \(W_{therm} = 30{,}4 \times 3\,500 = 106\,400\text{ kWh}\)
Coût annuel PAC : \(30\,450 \times 0{,}2276 = \mathbf{6\,930\text{ EUR/an}}\)
5. La chaudière gaz doit fournir \(106\,400\) kWh thermiques avec un rendement de 0,92 :
Énergie gaz nécessaire : \(\dfrac{106\,400}{0{,}92} = 115\,652\text{ kWh}\)
Coût gaz : \(115\,652 \times 0{,}12 = \mathbf{13\,878\text{ EUR/an}}\)
La PAC coûte environ 6 930 EUR/an contre 13 878 EUR/an pour la chaudière gaz, soit une économie d'environ 50 %. La pompe à chaleur est nettement plus avantageuse grâce à son COP qui lui permet de produire 3,5 kWh de chaleur pour 1 kWh d'électricité consommée.
Un technicien en énergies renouvelables installe un système solaire thermique pour la production d'eau chaude sanitaire d'un hôtel. Le circuit primaire est équipé d'une pompe de circulation entraînée par un moteur monophasé 230 V.
Données :
1. Pour chaque moteur, calculer la puissance électrique absorbée et le courant.
2. Calculer la vitesse angulaire et le couple moteur.
3. Calculer l'énergie annuelle consommée par chaque moteur et l'économie annuelle réalisée avec le moteur haut rendement.
4. Calculer le temps de retour sur investissement du surcoût.
5. Le moteur haut rendement absorbe un courant plus faible. Expliquer en quoi cela est avantageux pour le dimensionnement de la protection électrique et de la section des câbles.
1. Moteur standard : \(P_{elec} = \dfrac{120}{0{,}75} = 160\text{ W}\), \(I = \dfrac{160}{230 \times 0{,}72} = \dfrac{160}{165{,}6} \approx \mathbf{0{,}97\text{ A}}\)
Moteur HR : \(P'_{elec} = \dfrac{120}{0{,}88} \approx 136\text{ W}\), \(I' = \dfrac{136}{230 \times 0{,}90} = \dfrac{136}{207} \approx \mathbf{0{,}66\text{ A}}\)
2. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 2\,800}{60} \approx 293{,}2\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{120}{293{,}2} \approx \mathbf{0{,}41\text{ N·m}}\) (identique pour les deux, même \(P_{mec}\) et même vitesse)
3. Standard : \(W = 0{,}160 \times 2\,500 = 400\text{ kWh/an}\), coût = \(400 \times 0{,}2276 = 91{,}04\) EUR/an
HR : \(W' = 0{,}136 \times 2\,500 = 340\text{ kWh/an}\), coût = \(340 \times 0{,}2276 = 77{,}38\) EUR/an
Économie : \(91{,}04 - 77{,}38 = \mathbf{13{,}66\text{ EUR/an}}\)
4. Temps de retour : \(\dfrac{85}{13{,}66} \approx \mathbf{6{,}2\text{ ans}}\). Le surcoût est amorti en un peu plus de 6 ans, ce qui reste raisonnable pour un équipement durable.
5. Un courant plus faible (0,66 A au lieu de 0,97 A) permet de choisir un disjoncteur de calibre inférieur et d'utiliser des câbles de section plus petite, réduisant le coût de l'installation électrique. De plus, les pertes en ligne dans les câbles (\(P_{ligne} = R \times I^2\)) sont diminuées.
Un conducteur de travaux supervise l'installation d'un ascenseur dans un immeuble de 6 étages. L'ascenseur est entraîné par un moteur asynchrone triphasé 400 V / 50 Hz à \(p = 3\) paires de pôles.
Données du moteur : \(\eta = 0{,}90\), \(\cos\varphi = 0{,}85\), vitesse mesurée \(n = 960\) tr/min.
Données de l'ascenseur : la cabine (masse 600 kg) transporte au maximum 8 personnes de 75 kg. La vitesse de montée est de 1 m/s. On prend \(g = 9{,}81\) m/s2. Le rendement du système de transmission (câble + poulie) est \(\eta_t = 0{,}85\).
1. Calculer la vitesse de synchronisme \(n_s\) et le glissement \(g\) du moteur.
2. Calculer la masse totale soulevée (cabine + passagers) et le poids correspondant.
3. La puissance nécessaire pour soulever une charge à vitesse constante est \(P_{utile} = F \times v\). Calculer cette puissance utile.
4. En tenant compte du rendement de transmission, calculer la puissance mécanique que le moteur doit fournir sur son arbre : \(P_{mec} = \dfrac{P_{utile}}{\eta_t}\).
5. Calculer la puissance électrique absorbée, le courant de ligne et le couple moteur.
6. L'ascenseur effectue 150 courses par jour (montée seule), chacune durant 15 secondes en moyenne, sur 300 jours/an. Calculer l'énergie annuelle consommée en kWh et le coût à 0,2276 EUR/kWh.
1. \(n_s = \dfrac{60 \times 50}{3} = \mathbf{1\,000\text{ tr/min}}\)
\(g = \dfrac{1\,000 - 960}{1\,000} = 0{,}04 = \mathbf{4\,\%}\)
2. Masse totale : \(m = 600 + 8 \times 75 = 600 + 600 = \mathbf{1\,200\text{ kg}}\)
Poids : \(F = m \times g = 1\,200 \times 9{,}81 = \mathbf{11\,772\text{ N}}\)
3. \(P_{utile} = F \times v = 11\,772 \times 1 = \mathbf{11\,772\text{ W}} \approx 11{,}8\text{ kW}\)
4. \(P_{mec} = \dfrac{P_{utile}}{\eta_t} = \dfrac{11\,772}{0{,}85} \approx \mathbf{13\,849\text{ W}} \approx 13{,}85\text{ kW}\)
5. \(P_{elec} = \dfrac{P_{mec}}{\eta} = \dfrac{13\,849}{0{,}90} \approx \mathbf{15\,388\text{ W}} \approx 15{,}4\text{ kW}\)
\(I = \dfrac{15\,388}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}85} = \dfrac{15\,388}{588{,}9} \approx \mathbf{26{,}1\text{ A}}\)
\(\omega = \dfrac{2\pi \times 960}{60} \approx 100{,}5\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{13\,849}{100{,}5} \approx \mathbf{137{,}8\text{ N·m}}\)
6. Durée totale de fonctionnement par an : \(150 \times 15 \times 300 = 675\,000\text{ s} = \dfrac{675\,000}{3\,600} \approx 187{,}5\text{ h}\)
Énergie : \(W = 15{,}4 \times 187{,}5 \approx 2\,888\text{ kWh/an}\)
Coût : \(2\,888 \times 0{,}2276 \approx \mathbf{657\text{ EUR/an}}\)