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Chapitre 3 – Devoir Surveillé

Obtenir de l'énergie mécanique à l'aide d'un moteur électrique  |  Terminale Bac Pro ICCER (Grpt 1)

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Durée55 minutes
Barème20 points
DocumentsNon autorisés (fiche de formules fournie)
CalculatriceAutorisée
Exercice 1 Moteur d'un ventilateur de CTA — calculs guidés 8 points Socle

Un technicien CVC intervient sur le moteur asynchrone triphasé d'un ventilateur équipant une centrale de traitement d'air (CTA). Il relève la plaque signalétique suivante :

MOTEUR ASYNCHRONE TRIPHASÉ
P = 5,5 kW  |  400 V / 50 Hz
I = 11,2 A  |  cos φ = 0,82
n = 1 440 tr/min  |  η = 0,87
1. QCM — La puissance P = 5,5 kW indiquée sur la plaque est : (1 pt)
  • a) La puissance électrique absorbée par le moteur
  • b) La puissance mécanique utile fournie sur l'arbre
  • c) La puissance perdue en chaleur
2. Compléter le calcul de la puissance électrique absorbée : (2 pts)

\(P_a = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos\varphi = 1{,}732 \times \boxed{\phantom{400}} \times \boxed{\phantom{11,2}} \times \boxed{\phantom{0,82}} = \boxed{\phantom{6\,362}} \text{ W}\)

3. Compléter le calcul du rendement pour vérifier la plaque : (1,5 pt)

\(\eta = \dfrac{P_u}{P_a} = \dfrac{\boxed{\phantom{5\,500}}}{\boxed{\phantom{6\,362}}} = \boxed{\phantom{0,87}}\)

4. Compléter le calcul des pertes : (1,5 pt)

\(P_{pertes} = P_a - P_u = \boxed{\phantom{6\,362}} - \boxed{\phantom{5\,500}} = \boxed{\phantom{862}} \text{ W}\)

5. La vitesse de synchronisme est \(n_s = 1\,500\) tr/min. Compléter le calcul du glissement : (2 pts)

\(g = \dfrac{n_s - n}{n_s} = \dfrac{\boxed{\phantom{1\,500}} - \boxed{\phantom{1\,440}}}{\boxed{\phantom{1\,500}}} = \dfrac{\boxed{\phantom{60}}}{\boxed{\phantom{1\,500}}} = \boxed{\phantom{0,04}} = \boxed{\phantom{4}} \%\)

1. Réponse b) : c'est la puissance mécanique utile. Sur une plaque signalétique, la puissance indiquée est toujours la puissance utile.

2. \(P_a = 1{,}732 \times 400 \times 11{,}2 \times 0{,}82 \approx \mathbf{6\,362\text{ W}}\)

3. \(\eta = \dfrac{5\,500}{6\,362} \approx \mathbf{0{,}865 \approx 0{,}87}\)

4. \(P_{pertes} = 6\,362 - 5\,500 = \mathbf{862\text{ W}}\)

5. \(g = \dfrac{1\,500 - 1\,440}{1\,500} = \dfrac{60}{1\,500} = \mathbf{0{,}04 = 4\,\%}\)

Exercice 2 Circulateur de chauffage — bilan guidé 7 points Socle

Un installateur thermique réalise le bilan énergétique d'un circulateur de chauffage entraîné par un moteur monophasé.
Données : \(P_a = 850\) W, rendement moteur \(\eta_m = 0{,}82\), rendement pompe \(\eta_p = 0{,}65\).

1. Compléter le calcul de la puissance mécanique : (1,5 pt)

\(P_{meca} = P_a \times \eta_m = \boxed{\phantom{850}} \times \boxed{\phantom{0,82}} = \boxed{\phantom{697}} \text{ W}\)

2. Compléter le calcul des pertes dans le moteur : (1 pt)

\(P_{pertes,m} = P_a - P_{meca} = \boxed{\phantom{850}} - \boxed{\phantom{697}} = \boxed{\phantom{153}} \text{ W}\)

3. Compléter le calcul de la puissance hydraulique utile : (1,5 pt)

\(P_{hydr} = P_{meca} \times \eta_p = \boxed{\phantom{697}} \times \boxed{\phantom{0,65}} = \boxed{\phantom{453}} \text{ W}\)

4. Compléter le calcul des pertes dans la pompe : (1 pt)

\(P_{pertes,p} = P_{meca} - P_{hydr} = \boxed{\phantom{697}} - \boxed{\phantom{453}} = \boxed{\phantom{244}} \text{ W}\)

5. Compléter le calcul du rendement global : (2 pts)

\(\eta_g = \dfrac{P_{hydr}}{P_a} = \dfrac{\boxed{\phantom{453}}}{\boxed{\phantom{850}}} = \boxed{\phantom{0,533}}\)

Vérification : \(\eta_m \times \eta_p = \boxed{\phantom{0,82}} \times \boxed{\phantom{0,65}} = \boxed{\phantom{0,533}}\)

1. \(P_{meca} = 850 \times 0{,}82 = \mathbf{697\text{ W}}\)

2. \(P_{pertes,m} = 850 - 697 = \mathbf{153\text{ W}}\)

3. \(P_{hydr} = 697 \times 0{,}65 = \mathbf{453\text{ W}}\)

4. \(P_{pertes,p} = 697 - 453 = \mathbf{244\text{ W}}\)

5. \(\eta_g = \dfrac{453}{850} = \mathbf{0{,}533}\). Vérification : \(0{,}82 \times 0{,}65 = 0{,}533\).

Exercice 3 Énergie et coût de fonctionnement — QCM et calcul 5 points Socle

Un ventilateur d'extraction fonctionne pendant 6 000 h/an. Sa puissance électrique absorbée est \(P_a = 5\,500\) W. Le prix du kWh est 0,2276 EUR.

1. QCM — Pour calculer l'énergie en kWh, il faut : (1 pt)
  • a) Multiplier la puissance en watts par le temps en secondes
  • b) Multiplier la puissance en kW par le temps en heures
  • c) Diviser la puissance par le temps
2. Convertir la puissance en kW : (1 pt)

\(P_a = \dfrac{5\,500}{1\,000} = \boxed{\phantom{5,5}} \text{ kW}\)

3. Calculer l'énergie annuelle : (1,5 pt)

\(W = P_a \times t = \boxed{\phantom{5,5}} \times \boxed{\phantom{6\,000}} = \boxed{\phantom{33\,000}} \text{ kWh}\)

4. Calculer le coût annuel : (1,5 pt)

\(\text{Coût} = \boxed{\phantom{33\,000}} \times 0{,}2276 = \boxed{\phantom{7\,511}} \text{ EUR}\)

1. Réponse b) : on multiplie la puissance en kW par le temps en heures pour obtenir des kWh.

2. \(P_a = \dfrac{5\,500}{1\,000} = \mathbf{5{,}5\text{ kW}}\)

3. \(W = 5{,}5 \times 6\,000 = \mathbf{33\,000\text{ kWh}}\)

4. \(\text{Coût} = 33\,000 \times 0{,}2276 = \mathbf{7\,511\text{ EUR}}\)

TOTAL : 20 points
Durée55 minutes
Barème20 points
DocumentsNon autorisés (sauf fiche de formules fournie)
CalculatriceAutorisée
Exercice 1 Ventilateur d'une centrale de traitement d'air 7 points Standard

Un technicien CVC intervient sur le moteur asynchrone triphasé d'un ventilateur équipant une centrale de traitement d'air (CTA). Il relève la plaque signalétique suivante :

MOTEUR ASYNCHRONE TRIPHASÉ
P = 5,5 kW  |  400 V / 50 Hz
I = 11,2 A  |  cos φ = 0,82
n = 1 440 tr/min  |  η = 0,87

1. Identifier la puissance P = 5,5 kW indiquée sur la plaque : s'agit-il de la puissance absorbée ou de la puissance utile ? Justifier. (1 pt)
2. Calculer la puissance absorbée Pa par le moteur à partir de la tension, de l'intensité et du facteur de puissance. On rappelle : \(P_a = U \times I \times \sqrt{3} \times \cos(\varphi)\). (2 pts)
3. Vérifier la valeur du rendement η à partir du rapport Pu/Pa. (1,5 pt)
4. Calculer les pertes totales du moteur : Ppertes = Pa − Pu. (1 pt)
5. La vitesse de synchronisme d'un moteur à 2 paires de pôles alimenté en 50 Hz est ns = 1 500 tr/min. Calculer le glissement g du moteur. On rappelle : \(g = \dfrac{n_s - n}{n_s}\). (1,5 pt)

1. La puissance P = 5,5 kW est la puissance utile (mécanique) délivrée sur l'arbre du moteur. Sur une plaque signalétique, la puissance indiquée est toujours la puissance utile.

2. \(P_a = U \times I \times \sqrt{3} \times \cos(\varphi) = 400 \times 11{,}2 \times 1{,}732 \times 0{,}82\)
\(P_a \approx \mathbf{6\,362\text{ W}} \approx 6{,}36\text{ kW}\)

3. \(\eta = \dfrac{P_u}{P_a} = \dfrac{5\,500}{6\,362} \approx \mathbf{0{,}865 \approx 0{,}87}\)
On retrouve bien la valeur de la plaque signalétique.

4. \(P_{pertes} = P_a - P_u = 6\,362 - 5\,500 = \mathbf{862\text{ W}}\)
Ces pertes se dissipent sous forme de chaleur (pertes Joule, pertes fer, pertes mécaniques).

5. \(g = \dfrac{n_s - n}{n_s} = \dfrac{1\,500 - 1\,440}{1\,500} = \dfrac{60}{1\,500} = \mathbf{0{,}04 = 4\,\%}\)
Le glissement de 4 % est une valeur normale pour un moteur asynchrone en charge.

Exercice 2 Bilan de puissance d'un circulateur 7 points Standard

Un installateur thermique réalise le bilan énergétique d'un circulateur de chauffage entraîné par un moteur asynchrone monophasé.
Données :

  • Puissance électrique absorbée par le moteur : Pa = 850 W
  • Rendement du moteur : ηm = 0,82
  • Rendement de la pompe (circulateur) : ηp = 0,65

1. Calculer la puissance mécanique Pméca transmise par le moteur à la pompe. (1,5 pt)
2. Calculer les pertes dans le moteur. (1 pt)
3. Calculer la puissance hydraulique Phydr utile fournie par le circulateur au fluide. (1,5 pt)
4. Calculer les pertes dans la pompe. (1 pt)
5. Calculer le rendement global ηg de l'ensemble moteur + pompe. Vérifier que ηg = ηm × ηp. (2 pts)

1. \(P_{m\acute{e}ca} = P_a \times \eta_m = 850 \times 0{,}82 = \mathbf{697\text{ W}}\)

2. Pertes moteur = Pa − Pméca = 850 − 697 = 153 W

3. \(P_{hydr} = P_{m\acute{e}ca} \times \eta_p = 697 \times 0{,}65 = \mathbf{453\text{ W}}\)

4. Pertes pompe = Pméca − Phydr = 697 − 453 = 244 W

5. \(\eta_g = \dfrac{P_{hydr}}{P_a} = \dfrac{453}{850} \approx \mathbf{0{,}533}\)
Vérification : \(\eta_m \times \eta_p = 0{,}82 \times 0{,}65 = 0{,}533\)
Le rendement global est bien le produit des rendements individuels. Seulement 53 % de l'énergie électrique est convertie en énergie hydraulique utile.

Exercice 3 Économie d'énergie avec un variateur de fréquence 6 points Standard

Un technicien chauffagiste propose d'installer un variateur de fréquence sur le ventilateur d'extraction d'une chaufferie collective. Le ventilateur tourne actuellement à pleine vitesse en permanence (n = 1 440 tr/min) et sa puissance absorbée est P100% = 5 500 W.
Avec le variateur, la vitesse sera réduite à 70 % de la vitesse nominale pendant 80 % du temps de fonctionnement.
On rappelle la loi cubique : \(P_{r\acute{e}duit} = P_{100\%} \times \left(\dfrac{n'}{n}\right)^3\)
Durée de fonctionnement : 6 000 h/an. Prix du kWh : 0,2276 EUR.

1. Calculer la puissance absorbée lorsque le ventilateur tourne à 70 % de sa vitesse. (2 pts)
2. Calculer l'énergie annuelle consommée sans variateur. (1 pt)
3. Calculer l'énergie annuelle consommée avec variateur (80 % du temps à 70 % de vitesse, 20 % à pleine vitesse). (2 pts)
4. En déduire l'économie annuelle en euros. (1 pt)

1. \(P_{70\%} = P_{100\%} \times \left(\dfrac{70}{100}\right)^3 = 5\,500 \times 0{,}7^3 = 5\,500 \times 0{,}343 = \mathbf{1\,886{,}5\text{ W}}\)

2. Sans variateur : \(W_1 = P_{100\%} \times t = 5\,500 \times 6\,000 = 33\,000\,000\text{ Wh} = \mathbf{33\,000\text{ kWh}}\)

3. Avec variateur :
– 80 % du temps à vitesse réduite : \(W_{70\%} = 1\,886{,}5 \times (0{,}8 \times 6\,000) = 1\,886{,}5 \times 4\,800 = 9\,055\,200\text{ Wh}\)
– 20 % du temps à pleine vitesse : \(W_{100\%} = 5\,500 \times (0{,}2 \times 6\,000) = 5\,500 \times 1\,200 = 6\,600\,000\text{ Wh}\)
Total : \(W_2 = 9\,055\,200 + 6\,600\,000 = 15\,655\,200\text{ Wh} = \mathbf{15\,655\text{ kWh}}\)

4. Économie en énergie : 33 000 − 15 655 = 17 345 kWh
Économie en euros : 17 345 × 0,2276 = 3 947,72 EUR/an
Le variateur de fréquence permet une économie considérable grâce à la loi cubique : réduire la vitesse de 30 % divise la puissance par presque 3.

TOTAL : 20 points
Durée55 minutes
Barème20 points
DocumentsNon autorisés (sauf fiche de formules fournie)
CalculatriceAutorisée
Exercice 1 Audit énergétique d'une chaufferie collective 10 points Approfondissement

Un technicien de maintenance énergétique réalise l'audit d'une chaufferie collective équipée de deux moteurs asynchrones triphasés 400 V / 50 Hz :

  • Moteur 1 (ventilateur CTA) : plaque signalétique : P = 5,5 kW, I = 11,2 A, cos φ = 0,82, n = 1 440 tr/min, η = 0,87
  • Moteur 2 (pompe de circulation) : plaque signalétique : P = 3,0 kW, I = 6,8 A, cos φ = 0,78, n = 2 880 tr/min, η = 0,84

La pompe de circulation a un rendement hydraulique \(\eta_p = 0{,}68\). Les deux moteurs fonctionnent 5 500 h/an. Prix du kWh : 0,2276 EUR.

1. Pour chaque moteur, calculer la puissance électrique absorbée, la vitesse angulaire et le couple moteur. Présenter les résultats dans un tableau comparatif. (4 pts)
2. Pour le moteur 2 (pompe), calculer la puissance hydraulique utile transmise au fluide. En déduire le rendement global de l'ensemble moteur + pompe. (2 pts)
3. Calculer l'énergie totale annuelle consommée par les deux moteurs et le coût correspondant. (2 pts)
4. Le technicien propose de remplacer les deux moteurs par des moteurs IE4 (haut rendement) : \(\eta'_1 = 0{,}93\) et \(\eta'_2 = 0{,}91\). Calculer la nouvelle consommation annuelle et l'économie réalisée. Si le surcoût total des moteurs IE4 est de 1 400 EUR, calculer le temps de retour sur investissement. (2 pts)

1. Tableau comparatif :

Grandeur Moteur 1 (ventilateur) Moteur 2 (pompe)
\(P_{elec}\) \(\dfrac{5\,500}{0{,}87} \approx 6\,322\) W \(\dfrac{3\,000}{0{,}84} \approx 3\,571\) W
\(\omega\) \(\dfrac{2\pi \times 1\,440}{60} \approx 150{,}8\) rad/s \(\dfrac{2\pi \times 2\,880}{60} \approx 301{,}6\) rad/s
\(C\) \(\dfrac{5\,500}{150{,}8} \approx 36{,}5\) N·m \(\dfrac{3\,000}{301{,}6} \approx 9{,}9\) N·m

2. \(P_{hydr} = P_{mec,2} \times \eta_p = 3\,000 \times 0{,}68 = \mathbf{2\,040\text{ W}}\)
\(\eta_{g} = \dfrac{P_{hydr}}{P_{elec,2}} = \dfrac{2\,040}{3\,571} \approx \mathbf{0{,}571}\)
Vérification : \(0{,}84 \times 0{,}68 = 0{,}571\)

3. \(W_{totale} = (6{,}322 + 3{,}571) \times 5\,500 = 9{,}893 \times 5\,500 = \mathbf{54\,412\text{ kWh/an}}\)
Coût : \(54\,412 \times 0{,}2276 = \mathbf{12\,384\text{ EUR/an}}\)

4. Avec moteurs IE4 :
\(P'_{elec,1} = \dfrac{5\,500}{0{,}93} = 5\,914\text{ W}\)
\(P'_{elec,2} = \dfrac{3\,000}{0{,}91} = 3\,297\text{ W}\)
\(W'_{totale} = (5{,}914 + 3{,}297) \times 5\,500 = 50\,661\text{ kWh/an}\)
Économie : \((54\,412 - 50\,661) \times 0{,}2276 = 3\,751 \times 0{,}2276 = \mathbf{854\text{ EUR/an}}\)
Temps de retour : \(\dfrac{1\,400}{854} \approx \mathbf{1{,}6\text{ an}}\). L'investissement est amorti en moins de 2 ans.

Exercice 2 Optimisation par variateur de fréquence — étude complète 10 points Approfondissement

Un bureau d'études CVC étudie l'installation d'un variateur de fréquence sur le ventilateur d'extraction d'une chaufferie. Le ventilateur est entraîné par un moteur triphasé 400 V : \(P_{mec} = 5{,}5\) kW, \(\eta = 0{,}87\), \(\cos\varphi = 0{,}82\), \(n = 1\,440\) tr/min.
Le profil de fonctionnement annuel est le suivant (durée totale : 7 000 h/an) :

Saison Durée (h) Vitesse
Hiver (pleine charge)2 000100 %
Mi-saison3 00070 %
Été (charge réduite)2 00040 %

On rappelle la loi cubique : \(P = P_{nom} \times \left(\dfrac{n'}{n}\right)^3\). Prix du kWh : 0,2276 EUR. Coût du variateur installé : 3 200 EUR.

1. Calculer la puissance électrique absorbée à pleine charge et le courant de ligne. (2 pts)
2. Calculer le couple moteur à pleine charge. (1 pt)
3. En appliquant la loi cubique, calculer la puissance mécanique puis la puissance électrique absorbée à 70 % et à 40 % de la vitesse nominale. (2 pts)
4. Calculer l'énergie annuelle consommée sans variateur (100 % du temps à pleine charge) et avec variateur (profil saisonnier). (3 pts)
5. Calculer l'économie annuelle en euros et le temps de retour sur investissement. Rédiger une conclusion argumentée pour le client. (2 pts)

1. \(P_{elec} = \dfrac{5\,500}{0{,}87} \approx \mathbf{6\,322\text{ W}}\)
\(I = \dfrac{6\,322}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}82} = \dfrac{6\,322}{568{,}1} \approx \mathbf{11{,}1\text{ A}}\)

2. \(\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,440}{60} \approx 150{,}8\text{ rad/s}\)
\(C = \dfrac{5\,500}{150{,}8} \approx \mathbf{36{,}5\text{ N·m}}\)

3. À 70 % : \(P_{mec,70\%} = 5\,500 \times 0{,}70^3 = 5\,500 \times 0{,}343 = 1\,887\text{ W}\)
\(P_{elec,70\%} = \dfrac{1\,887}{0{,}87} \approx \mathbf{2\,169\text{ W}}\)
À 40 % : \(P_{mec,40\%} = 5\,500 \times 0{,}40^3 = 5\,500 \times 0{,}064 = 352\text{ W}\)
\(P_{elec,40\%} = \dfrac{352}{0{,}87} \approx \mathbf{405\text{ W}}\)

4. Sans variateur : \(W_1 = 6{,}322 \times 7\,000 = \mathbf{44\,254\text{ kWh/an}}\)
Avec variateur :
Hiver : \(6{,}322 \times 2\,000 = 12\,644\text{ kWh}\)
Mi-saison : \(2{,}169 \times 3\,000 = 6\,507\text{ kWh}\)
Été : \(0{,}405 \times 2\,000 = 810\text{ kWh}\)
Total : \(W_2 = 12\,644 + 6\,507 + 810 = \mathbf{19\,961\text{ kWh/an}}\)

5. Économie : \(44\,254 - 19\,961 = 24\,293\text{ kWh}\)
Économie en euros : \(24\,293 \times 0{,}2276 = \mathbf{5\,529\text{ EUR/an}}\)
Temps de retour : \(\dfrac{3\,200}{5\,529} \approx \mathbf{0{,}58\text{ an}} \approx 7\text{ mois}\)
Conclusion : L'installation d'un variateur de fréquence permet de réduire la consommation de 55 % grâce à la loi cubique. L'investissement de 3 200 EUR est amorti en 7 mois seulement. Au-delà de l'économie financière, la réduction de vitesse diminue le bruit, l'usure mécanique et prolonge la durée de vie du moteur. C'est un investissement très rentable et recommandé.

TOTAL : 20 points