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Chapitre 1 – Devoir Surveillé

Évaluer la puissance consommée  |  Terminale Bac Pro ICCER (Grpt 1)

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Durée55 minutes
Barème20 points
DocumentsNon autorisés (sauf fiche de formules fournie)
CalculatriceAutorisée
Socle
Exercice 1 Radiateur électrique d'un local technique 8 points

Un technicien chauffagiste installe un radiateur électrique dans un local technique de chaufferie. Le radiateur est branché sur une prise monophasée 230 V.
Données :

  • Tension efficace : U = 230 V
  • Intensité efficace : I = 8,7 A
  • Le radiateur est un appareil purement résistif : cos(φ) = 1
Formules utiles :
  • Puissance apparente : S = U × I  (en VA)
  • Puissance active : P = U × I × cos(φ)  (en W)
  • Puissance réactive : Q = U × I × sin(φ)  (en var)
  • Si cos(φ) = 1 alors sin(φ) = 0

1. Compléter le calcul de la puissance apparente :
S = U × I = 230 × ……… = ……… VA (1,5 pt)
2. Pour un radiateur, cos(φ) = 1. Compléter le calcul de la puissance active :
P = U × I × cos(φ) = 230 × 8,7 × ……… = ……… W (2 pts)
3. Comme sin(φ) = 0, que vaut la puissance réactive Q ? (1 pt)
4. Que remarque-t-on entre les valeurs de P et de S pour un appareil purement résistif ? (1 pt)
5. Le disjoncteur du circuit est un 10 A. Le radiateur peut-il fonctionner ? Comparer I au calibre. (1,5 pt)
6. Quel calibre de disjoncteur faut-il choisir parmi : 10 A, 16 A, 20 A ? (1 pt)

1. S = U × I = 230 × 8,7 = 2 001 VA

2. P = U × I × cos(φ) = 230 × 8,7 × 1 = 2 001 W

3. Q = U × I × sin(φ) = 230 × 8,7 × 0 = 0 var. La puissance réactive est nulle.

4. Pour un appareil purement résistif (cos φ = 1), on a P = S. Toute la puissance apparente est utile.

5. I = 8,7 A > 10 A ? Non : 8,7 A < 10 A → le radiateur peut fonctionner avec un disjoncteur 10 A.
Cependant, la marge est faible (10 − 8,7 = 1,3 A seulement).

6. Pour plus de sécurité, on choisit un disjoncteur 16 A (premier calibre supérieur confortable).

Exercice 2 Circulateur de chauffage 7 points

Un installateur thermique vérifie le circulateur d'un circuit de chauffage. La plaque signalétique indique :

  • Tension : U = 230 V
  • Intensité : I = 0,9 A
  • cos(φ) = 0,65
  • sin(φ) = 0,76
On rappelle les formules :
S = U × I  |  P = U × I × cos(φ)  |  Q = U × I × sin(φ)

1. Calculer la puissance apparente S en complétant :
S = U × I = ……… × ……… = ……… VA (1,5 pt)
2. Calculer la puissance active P en complétant :
P = U × I × cos(φ) = ……… × ……… × 0,65 = ……… W (2 pts)
3. Calculer la puissance réactive Q en complétant :
Q = U × I × sin(φ) = ……… × ……… × ……… = ……… var (2 pts)
4. Comparer P et S. Laquelle est la plus grande ? Pourquoi ? (1,5 pt)

1. S = U × I = 230 × 0,9 = 207 VA

2. P = U × I × cos(φ) = 230 × 0,9 × 0,65 = 134,6 W

3. Q = U × I × sin(φ) = 230 × 0,9 × 0,76 = 157,3 var

4. S = 207 VA > P = 134,6 W. La puissance apparente est plus grande car le circulateur a un moteur (cos φ < 1) : une partie de la puissance est réactive et ne produit pas de travail utile.

Exercice 3 Coût de fonctionnement d'un convecteur 5 points

Un technicien CVC évalue le coût de fonctionnement d'un convecteur électrique dans un bureau.
Données :

  • Puissance active du convecteur : P = 1 500 W = 1,5 kW
  • Durée de fonctionnement par jour : t = 8 h
  • Nombre de jours de fonctionnement par an : 180 jours
  • Prix du kWh : 0,2276 €
Formule : Énergie (en kWh) = Puissance (en kW) × temps (en h)

1. Calculer la durée totale de fonctionnement par an :
ttotal = 8 × ……… = ……… h (1 pt)
2. Calculer l'énergie consommée sur un an :
W = P × t = 1,5 × ……… = ……… kWh (2 pts)
3. Calculer le coût annuel :
Coût = W × prix = ……… × 0,2276 = ……… € (1 pt)
4. Si le convecteur est remplacé par un modèle de 1 000 W (1 kW), combien économise-t-on par an ? (1 pt)

1. ttotal = 8 × 180 = 1 440 h

2. W = P × t = 1,5 × 1 440 = 2 160 kWh

3. Coût = 2 160 × 0,2276 = 491,62 €

4. Énergie avec le nouveau modèle : W' = 1 × 1 440 = 1 440 kWh
Coût' = 1 440 × 0,2276 = 327,74 €
Économie = 491,62 − 327,74 = 163,88 € par an

TOTAL : 20 points
Standard
Exercice 1 Installation électrique d'un local chaufferie 8 points

Un technicien chauffagiste intervient sur l'installation électrique d'un local chaufferie alimenté en monophasé 230 V / 50 Hz. L'ensemble des équipements (brûleur, circulateurs, régulation) consomme un courant d'intensité I = 18 A avec un déphasage φ = 35° par rapport à la tension.
Données :

  • Tension efficace : U = 230 V
  • Intensité efficace : I = 18 A
  • Déphasage : φ = 35°
  • cos(35°) = 0,819  |  sin(35°) = 0,574

1. Rappeler la relation entre la période T et la fréquence f du courant alternatif. Calculer T pour f = 50 Hz. (1 pt)
2. Calculer la puissance apparente S de l'installation. Préciser son unité. (1,5 pt)
3. Calculer la puissance active P consommée par l'installation. Préciser son unité. (1,5 pt)
4. Calculer la puissance réactive Q. Préciser son unité. (1,5 pt)
5. Tracer le triangle des puissances en indiquant les valeurs de P, Q et S. (1,5 pt)
6. Le fournisseur d'électricité demande un facteur de puissance supérieur à 0,93. L'installation est-elle conforme ? Proposer une solution pour améliorer le facteur de puissance. (1 pt)

1. \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = \mathbf{0{,}02\text{ s} = 20\text{ ms}}\)

2. \(S = U \times I = 230 \times 18 = \mathbf{4\,140\text{ VA}}\)
L'unité de la puissance apparente est le voltampère (VA).

3. \(P = U \times I \times \cos(\varphi) = 230 \times 18 \times 0{,}819 = \mathbf{3\,390{,}7\text{ W}} \approx 3{,}39\text{ kW}\)
L'unité de la puissance active est le watt (W).

4. \(Q = U \times I \times \sin(\varphi) = 230 \times 18 \times 0{,}574 = \mathbf{2\,376{,}4\text{ var}}\)
L'unité de la puissance réactive est le voltampère réactif (var).

5. Triangle des puissances :
– côté horizontal : P = 3 390,7 W
– côté vertical : Q = 2 376,4 var
– hypoténuse : S = 4 140 VA
– angle φ = 35° entre P et S
Vérification : \(S^2 = P^2 + Q^2 = 3\,390{,}7^2 + 2\,376{,}4^2 \approx 11\,496\,847 + 5\,647\,277 \approx 17\,144\,124\)
\(\sqrt{17\,144\,124} \approx 4\,140\text{ VA}\) ✓

6. Le facteur de puissance est cos(φ) = cos(35°) = 0,819.
Or 0,819 < 0,93 → l'installation n'est pas conforme.
Solution : installer une batterie de condensateurs en parallèle pour compenser la puissance réactive et relever le facteur de puissance au-dessus de 0,93.

Exercice 2 Dimensionnement d'un disjoncteur pour une pompe à chaleur 7 points

Un installateur thermique doit raccorder une pompe à chaleur (PAC) air/eau dans un pavillon. La PAC fonctionne en monophasé 230 V et sa plaque signalétique indique :

  • Puissance active nominale : P = 2 800 W
  • Facteur de puissance : cos(φ) = 0,85
  • Courant de démarrage : Id = 3 × In
Calibres de disjoncteurs disponibles : 10 A, 16 A, 20 A, 25 A, 32 A, 40 A.

1. Calculer l'intensité nominale In absorbée par la PAC. (2 pts)
2. En déduire le courant de démarrage Id. (1 pt)
3. Choisir le calibre du disjoncteur adapté. Justifier. (1,5 pt)
4. Calculer la puissance apparente S de la PAC. (1 pt)
5. Un câble en cuivre de section 4 mm² supporte 27 A en installation encastrée. Ce câble convient-il ? Justifier. (1,5 pt)

1. \(P = U \times I_n \times \cos(\varphi)\) donc \(I_n = \dfrac{P}{U \times \cos(\varphi)} = \dfrac{2\,800}{230 \times 0{,}85} = \dfrac{2\,800}{195{,}5} \approx \mathbf{14{,}3\text{ A}}\)

2. \(I_d = 3 \times I_n = 3 \times 14{,}3 = \mathbf{42{,}9\text{ A}}\)

3. Le calibre du disjoncteur doit être supérieur à In = 14,3 A.
On choisit un disjoncteur de 16 A (premier calibre supérieur à 14,3 A).
Un disjoncteur courbe D tolère les pointes de démarrage (jusqu'à 10 × In), donc le courant de démarrage de 42,9 A ne déclenchera pas la protection.

4. \(S = U \times I_n = 230 \times 14{,}3 = \mathbf{3\,289\text{ VA}} \approx 3{,}29\text{ kVA}\)

5. Le câble supporte 27 A > In = 14,3 A → oui, le câble de 4 mm² convient.
Il assure une marge de sécurité suffisante (27 − 14,3 = 12,7 A de marge).

Exercice 3 Coût énergétique annuel d'un circulateur de chauffage 5 points

Un technicien CVC effectue un audit énergétique d'une installation de chauffage collectif. Le circulateur primaire fonctionne en continu pendant la saison de chauffe.
Données :

  • Puissance active du circulateur : P = 180 W
  • Durée de fonctionnement : 16 h/jour pendant 200 jours par an
  • Prix du kWh : 0,2276 € TTC

1. Calculer la durée totale de fonctionnement annuel en heures. (1 pt)
2. Calculer l'énergie consommée W en kWh sur une année. (2 pts)
3. En déduire le coût annuel de fonctionnement du circulateur. (1 pt)
4. Un circulateur à vitesse variable consomme 65 W en moyenne. Calculer l'économie annuelle réalisée en euros. (1 pt)

1. Durée annuelle = 16 × 200 = 3 200 h

2. \(W = P \times t = 180 \times 3\,200 = 576\,000\text{ Wh} = \mathbf{576\text{ kWh}}\)

3. Coût = W × prix = 576 × 0,2276 = 131,10 €

4. Énergie avec circulateur variable : \(W' = 65 \times 3\,200 = 208\,000\text{ Wh} = 208\text{ kWh}\)
Coût' = 208 × 0,2276 = 47,34 €
Économie = 131,10 − 47,34 = 83,76 € par an

TOTAL : 20 points
Approfondissement
Exercice 1 Bilan de puissance et compensation d'une chaufferie 10 points

Un technicien de maintenance énergétique réalise un bilan électrique sur la chaufferie d'un immeuble collectif. L'installation est alimentée en triphasé 400 V / 50 Hz et comporte les récepteurs suivants :

  • Brûleur fioul : \(P_1 = 2{,}5\) kW, \(\cos\varphi_1 = 0{,}85\)
  • Circulateur primaire : \(P_2 = 0{,}55\) kW, \(\cos\varphi_2 = 0{,}62\)
  • Circulateur secondaire : \(P_3 = 0{,}37\) kW, \(\cos\varphi_3 = 0{,}62\)
  • Régulation et automatismes : \(P_4 = 0{,}18\) kW, \(\cos\varphi_4 = 1\)
Le fournisseur d'électricité exige un facteur de puissance global \(\cos\varphi \geq 0{,}93\).

1. Calculer la puissance active totale \(P_T\) de l'installation. (1 pt)
2. Pour chaque récepteur, calculer la puissance réactive \(Q_i = P_i \times \tan\varphi_i\). En déduire \(Q_T\). (3 pts)
3. Calculer la puissance apparente \(S_T\) et le facteur de puissance global \(\cos\varphi_{\text{global}}\). L'installation est-elle conforme ? (2 pts)
4. Calculer la puissance réactive \(Q_C\) du condensateur nécessaire pour atteindre \(\cos\varphi = 0{,}93\). (2 pts)
5. Calculer le courant de ligne avant et après compensation. En déduire le pourcentage de réduction et expliquer l'intérêt pour l'exploitant. (2 pts)

1. \(P_T = 2{,}5 + 0{,}55 + 0{,}37 + 0{,}18 = \mathbf{3{,}60\ kW}\)

2.

Brûleur : \(\tan\varphi_1 = \dfrac{\sqrt{1-0{,}85^2}}{0{,}85} = \dfrac{0{,}527}{0{,}85} \approx 0{,}620 \Rightarrow Q_1 = 2{,}5 \times 0{,}620 = \mathbf{1{,}550\ kvar}\)

Circulateur primaire : \(\tan\varphi_2 = \dfrac{\sqrt{1-0{,}62^2}}{0{,}62} = \dfrac{0{,}785}{0{,}62} \approx 1{,}266 \Rightarrow Q_2 = 0{,}55 \times 1{,}266 = \mathbf{0{,}696\ kvar}\)

Circulateur secondaire : \(Q_3 = 0{,}37 \times 1{,}266 = \mathbf{0{,}468\ kvar}\)

Régulation : \(\cos\varphi_4 = 1 \Rightarrow Q_4 = \mathbf{0\ kvar}\)

\(Q_T = 1{,}550 + 0{,}696 + 0{,}468 + 0 = \mathbf{2{,}714\ kvar}\)

3. \(S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2} = \sqrt{3{,}60^2 + 2{,}714^2} = \sqrt{12{,}96 + 7{,}37} = \sqrt{20{,}33} \approx \mathbf{4{,}51\ kVA}\)

\(\cos\varphi_{\text{global}} = \dfrac{3{,}60}{4{,}51} \approx \mathbf{0{,}798}\)

Or \(0{,}798 < 0{,}93\) : l'installation n'est pas conforme.

4. \(\tan\varphi_{\text{cible}} = \dfrac{\sqrt{1-0{,}93^2}}{0{,}93} \approx 0{,}395\)

\(Q_C = P_T \times (\tan\varphi_{\text{actuel}} - \tan\varphi_{\text{cible}}) = 3{,}60 \times \left(\dfrac{2{,}714}{3{,}60} - 0{,}395\right) = 3{,}60 \times (0{,}754 - 0{,}395) = 3{,}60 \times 0{,}359 \approx \mathbf{1{,}29\ kvar}\)

5. Avant : \(I_1 = \dfrac{S_T}{\sqrt{3} \times U} = \dfrac{4\,510}{\sqrt{3} \times 400} = \dfrac{4\,510}{692{,}8} \approx \mathbf{6{,}51\ A}\)

Après : \(Q_T' = 2{,}714 - 1{,}29 = 1{,}424\ \text{kvar}\)

\(S_T' = \sqrt{3{,}60^2 + 1{,}424^2} = \sqrt{12{,}96 + 2{,}03} = \sqrt{14{,}99} \approx 3{,}87\ \text{kVA}\)

\(I_2 = \dfrac{3\,870}{692{,}8} \approx \mathbf{5{,}59\ A}\)

Réduction : \(\dfrac{6{,}51 - 5{,}59}{6{,}51} \times 100 \approx \mathbf{14{,}1\ \%}\)

Intérêt : réduction des pertes Joule (\(P_J = R \cdot I^2\)), possibilité d'utiliser des câbles de section inférieure, absence de pénalités du fournisseur d'énergie pour \(\cos\varphi\) insuffisant.

Exercice 2 Comparaison énergétique : convecteurs vs pompe à chaleur 10 points

Un technicien en énergies renouvelables conseille un client qui souhaite remplacer ses convecteurs électriques par une pompe à chaleur (PAC) air/eau. L'installation est alimentée en monophasé 230 V.

  • Solution actuelle : Convecteurs électriques, \(P_A = 5{,}5\) kW, \(\cos\varphi_A = 1\)
  • Solution proposée : PAC air/eau, puissance électrique absorbée \(P_B = 1{,}8\) kW, \(\cos\varphi_B = 0{,}80\), COP moyen = 3,2
  • Fonctionnement : 12 h/jour pendant 180 jours/an
  • Prix du kWh : 0,2276 €
  • Coût d'installation de la PAC : 8 500 €

1. Calculer la puissance thermique restituée par la PAC. Cette puissance est-elle suffisante pour remplacer les convecteurs ? (1,5 pt)
2. Calculer l'énergie électrique consommée par an pour chaque solution. (2 pts)
3. Calculer le coût annuel de fonctionnement pour chaque solution et l'économie annuelle réalisée. (2 pts)
4. Calculer le temps de retour sur investissement de la PAC (en années). (1 pt)
5. Calculer le courant absorbé par chaque solution. Comparer et commenter l'impact sur le dimensionnement de la protection électrique. (2 pts)
6. Calculer \(S_B\) et \(Q_B\) pour la PAC. Expliquer pourquoi la PAC dégrade le facteur de puissance de l'installation globale et proposer une solution. (1,5 pt)

1. \(P_{\text{th}} = \text{COP} \times P_B = 3{,}2 \times 1{,}8 = \mathbf{5{,}76\ kW}\)

\(5{,}76 > 5{,}5\) kW : la PAC restitue suffisamment de puissance thermique pour remplacer les convecteurs.

2. Durée annuelle : \(t = 12 \times 180 = 2\,160\ \text{h}\)

Convecteurs : \(W_A = 5{,}5 \times 2\,160 = \mathbf{11\,880\ kWh}\)

PAC : \(W_B = 1{,}8 \times 2\,160 = \mathbf{3\,888\ kWh}\)

3. Coût convecteurs : \(11\,880 \times 0{,}2276 = \mathbf{2\,703{,}89\ €}\)

Coût PAC : \(3\,888 \times 0{,}2276 = \mathbf{885{,}11\ €}\)

Économie annuelle : \(2\,703{,}89 - 885{,}11 = \mathbf{1\,818{,}78\ €}\)

4. Temps de retour = \(\dfrac{8\,500}{1\,818{,}78} \approx \mathbf{4{,}7\ \text{ans}}\)

L'investissement est rentabilisé en moins de 5 ans.

5. Convecteurs : \(I_A = \dfrac{5\,500}{230 \times 1} = \mathbf{23{,}9\ A}\) → disjoncteur 25 A ou 32 A

PAC : \(I_B = \dfrac{1\,800}{230 \times 0{,}80} = \dfrac{1\,800}{184} \approx \mathbf{9{,}78\ A}\) → disjoncteur 16 A

La PAC nécessite un disjoncteur de calibre bien inférieur. Le tableau électrique est moins sollicité et les câbles peuvent être de section plus faible.

6. \(S_B = \dfrac{P_B}{\cos\varphi_B} = \dfrac{1{,}8}{0{,}80} = \mathbf{2{,}25\ kVA}\)

\(\sin\varphi_B = \sqrt{1 - 0{,}80^2} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6\)

\(Q_B = S_B \times \sin\varphi_B = 2{,}25 \times 0{,}6 = \mathbf{1{,}35\ kvar}\)

Les convecteurs (\(\cos\varphi = 1\)) ne génèrent aucune puissance réactive. La PAC, avec son compresseur (moteur), introduit une puissance réactive de 1,35 kvar qui dégrade le \(\cos\varphi\) de l'installation globale. Si d'autres moteurs sont présents, l'installation risque de ne plus satisfaire l'exigence \(\cos\varphi \geq 0{,}93\). Solution : installer un condensateur de compensation en parallèle sur l'alimentation de la PAC.

TOTAL : 20 points