Distinguer un signal analogique d'un signal numérique
Décrire la numérisation : échantillonnage (fréquence) et quantification (nombre de bits, résolution)
Évaluer la taille d'un fichier numérique (son, image)
Exploiter un signal échantillonné (tableau de mesures, script Python)
Décrire l'effet Doppler et exploiter le décalage pour déterminer une vitesse
Citer des applications : radar, astrophysique, imagerie médicale
Situation. Une chanson enregistrée par un microphone est d'abord une tension électrique qui varie continûment dans le temps. Pourtant, sur votre téléphone, elle est stockée sous forme d'une suite de nombres — des 0 et des 1. Entre les deux, un composant électronique a « traduit » le son : c'est la numérisation. De la même manière, un radar de gendarmerie mesure la vitesse d'une voiture sans la toucher, et un astronome sait qu'une galaxie s'éloigne de nous rien qu'en analysant sa lumière : les deux exploitent le même phénomène, l'effet Doppler. Ce chapitre explique comment un signal se transforme en fichier numérique, et comment le mouvement d'une source modifie la fréquence de l'onde qu'elle émet.
1. Signal analogique et signal numérique
Un signal transporte une information (un son, une image, une température…) grâce à une grandeur physique qui varie. Selon la façon dont cette grandeur prend ses valeurs, on distingue deux grandes familles de signaux, qu'il faut absolument savoir reconnaître.
Définition
Un signal analogique est un signal qui varie de façon continue : à chaque instant il possède une valeur, et cette valeur peut prendre une infinité de niveaux différents. La tension délivrée par un microphone, l'aiguille d'un cadran, le son d'un instrument sont des signaux analogiques.
Définition
Un signal numérique est un signal qui ne prend ses valeurs qu'à des instants séparés (discrets) et parmi un nombre limité de niveaux. Il est représenté par une suite de nombres, eux-mêmes codés en binaire (des 0 et des 1). Un fichier MP3, une photo JPEG, l'affichage d'un thermomètre digital sont numériques.
La différence est fondamentale : le signal analogique est une courbe lisse, le signal numérique est une suite de points (ou d'« escaliers »). Pour être traité, transmis sans dégradation et stocké par un ordinateur, un signal analogique doit d'abord être transformé en signal numérique. Cette opération, réalisée par un convertisseur analogique-numérique (CAN), s'appelle la numérisation.
Mini-exercice 1. Classer chaque cas en « analogique » ou « numérique » : (a) l'aiguille d'un vieux compteur de vitesse ; (b) l'heure affichée par une montre à chiffres ; (c) la tension aux bornes d'un micro qui capte une voix ; (d) une photo stockée sur une carte mémoire.
(a) analogique (l'aiguille glisse continûment) ; (b) numérique (affichage par valeurs discrètes) ; (c) analogique (tension continue) ; (d) numérique (suite de pixels codés en binaire).
2. La numérisation : échantillonnage
Numériser un signal, c'est le remplacer par une suite de nombres. Cela se fait en deux étapes successives : d'abord on choisit à quels instants on regarde le signal (l'échantillonnage), ensuite on décide avec quelle précision on code chaque valeur (la quantification, étudiée au paragraphe 3).
Définition
L'échantillonnage consiste à mesurer la valeur du signal à intervalles de temps réguliers. La durée qui sépare deux mesures est la période d'échantillonnage \(T_e\) (en s). Le nombre de mesures effectuées chaque seconde est la fréquence d'échantillonnage \(f_e\) (en hertz, Hz).
Plus la fréquence d'échantillonnage est élevée, plus les points de mesure sont rapprochés, et mieux la suite de points « colle » à la courbe d'origine. Si au contraire on échantillonne trop lentement, on rate les variations rapides du signal et l'information est perdue : la reconstitution donne alors une courbe fausse.
Condition de Shannon
Pour reconstituer fidèlement un signal dont la fréquence la plus élevée est \(f_{max}\), la fréquence d'échantillonnage doit vérifier :
\(f_e\ge 2\,f_{max}\)
C'est pourquoi le CD audio échantillonne à \(44{,}1\text{ kHz}\) : l'oreille humaine perçoit jusqu'à \(20\) kHz, et \(2\times20=40\) kHz, on prend donc un peu plus de marge.
Exemple travaillé. Un capteur numérise une température en prenant une mesure toutes les \(T_e=2{,}0\text{ ms}\). Quelle est la fréquence d'échantillonnage ?
On applique \(f_e=\dfrac{1}{T_e}=\dfrac{1}{2{,}0\times10^{-3}}=500\text{ Hz}\). Le capteur effectue donc \(500\) mesures par seconde.
Mini-exercice 2. Une carte son échantillonne à \(f_e=48\text{ kHz}\). Calculer la période d'échantillonnage \(T_e\). Cette carte respecte-t-elle la condition de Shannon pour un son audible (\(f_{max}=20\text{ kHz}\)) ?
\(T_e=\dfrac{1}{f_e}=\dfrac{1}{48\,000}\approx 2{,}1\times10^{-5}\text{ s}=21\ \mu\text{s}\).
Condition de Shannon : il faut \(f_e\ge 2\times20=40\text{ kHz}\). Or \(48\text{ kHz}\gt 40\text{ kHz}\) : la condition est respectée, le son sera fidèlement reconstitué.
3. La numérisation : quantification
Une fois l'instant de mesure choisi, il faut coder la valeur de l'échantillon par un nombre. Or un ordinateur ne dispose que d'un nombre fini de « cases » : on arrondit donc chaque valeur mesurée au niveau autorisé le plus proche. C'est la quantification.
Définition
La quantification consiste à arrondir la valeur de chaque échantillon à l'un des niveaux disponibles. Avec un codage sur \(n\) bits (chiffres binaires), le nombre de niveaux possibles est :
\(N=2^{\,n}\)
Un bit vaut \(0\) ou \(1\). Avec \(n\) bits on peut donc former \(2^n\) combinaisons différentes, donc coder \(2^n\) niveaux. Par exemple, \(8\) bits donnent \(2^8=256\) niveaux, et \(16\) bits donnent \(2^{16}=65\,536\) niveaux.
Définition — résolution
La résolution (ou pas de quantification) \(p\) est le plus petit écart de valeur que l'on peut distinguer. Elle vaut environ la plage totale de mesure divisée par le nombre de niveaux :
\(p\approx\dfrac{U_{max}-U_{min}}{2^{\,n}}\)
Plus \(n\) est grand, plus \(p\) est petit, donc plus la numérisation est précise.
Exemple travaillé. Un capteur mesure une tension entre \(0\) et \(5\text{ V}\). Comparons deux convertisseurs.
• Sur \(n=3\) bits : \(N=2^3=8\) niveaux, résolution \(p\approx\dfrac{5}{8}=0{,}625\text{ V}\). C'est grossier : on ne distingue pas mieux que \(0{,}6\text{ V}\).
• Sur \(n=12\) bits : \(N=2^{12}=4096\) niveaux, résolution \(p\approx\dfrac{5}{4096}\approx1{,}2\times10^{-3}\text{ V}=1{,}2\text{ mV}\). La précision est \(512\) fois meilleure.
Mini-exercice 3. Un microcontrôleur numérise sur \(n=8\) bits une tension comprise entre \(0\) et \(10\text{ V}\). Combien de niveaux sont disponibles ? Quelle est la résolution ?
Nombre de niveaux : \(N=2^8=256\).
Résolution : \(p\approx\dfrac{10-0}{256}\approx3{,}9\times10^{-2}\text{ V}\approx39\text{ mV}\). Deux tensions séparées de moins de \(39\text{ mV}\) seront codées par le même nombre.
4. Taille d'un fichier numérique
Une fois numérisé, un signal devient une longue suite de bits. Sa taille dépend directement du nombre d'échantillons et du nombre de bits utilisés pour coder chacun. Savoir l'estimer permet de comprendre pourquoi une musique « pèse » quelques mégaoctets et une vidéo bien davantage.
Rappel des unités
Un octet (o) vaut \(8\) bits. On utilise ensuite les multiples : \(1\text{ ko}=10^3\text{ o}\), \(1\text{ Mo}=10^6\text{ o}\), \(1\text{ Go}=10^9\text{ o}\).
Méthode — taille d'un fichier son
Nombre d'échantillons \(=f_e\times\) durée (en s).
Taille en bits \(=\) nombre d'échantillons \(\times\ n\ \times\) nombre de voies (1 = mono, 2 = stéréo).
Diviser par \(8\) pour obtenir des octets, puis convertir en ko / Mo.
\(\text{Taille (bits)}=f_e\times t\times n\times(\text{nombre de voies})\)
Exemple travaillé — un extrait de musique CD. Un CD audio utilise \(f_e=44\,100\text{ Hz}\), un codage sur \(n=16\text{ bits}\), en stéréo (\(2\) voies). Quelle est la taille d'un morceau de \(3\text{ min}\), soit \(t=180\text{ s}\) ?
Débit par seconde : \(44\,100\times16\times2=1\,411\,200\text{ bits/s}\).
Sur \(180\text{ s}\) : \(1\,411\,200\times180=2{,}54\times10^{8}\text{ bits}\).
En octets : \(\dfrac{2{,}54\times10^{8}}{8}=3{,}18\times10^{7}\text{ o}\approx31{,}8\text{ Mo}\).
Un morceau non compressé pèse donc une trentaine de mégaoctets : c'est ce que la compression MP3 réduit ensuite d'un facteur \(10\) environ.
Mini-exercice 4. Un enregistrement vocal mono dure \(10\text{ s}\), avec \(f_e=8\,000\text{ Hz}\) et un codage sur \(n=8\text{ bits}\). Calculer sa taille en kilooctets.
Taille en bits : \(8\,000\times10\times8\times1=640\,000\text{ bits}\).
En octets : \(\dfrac{640\,000}{8}=80\,000\text{ o}=80\text{ ko}\).
Cas d'une image
Pour une image, chaque pixel est codé sur un certain nombre de bits (la profondeur de couleur). En couleurs vraies, chaque pixel utilise \(24\text{ bits}\) (\(8\) bits pour le rouge, \(8\) pour le vert, \(8\) pour le bleu). La taille vaut :
\(\text{Taille (bits)}=(\text{largeur}\times\text{hauteur})\times(\text{bits par pixel})\)
Exemple travaillé — une photo. Une image de \(1920\times1080\) pixels en couleurs \(24\text{ bits}\) :
Nombre de pixels : \(1920\times1080=2\,073\,600\).
Taille en bits : \(2\,073\,600\times24\approx4{,}98\times10^{7}\text{ bits}\).
En octets : \(\dfrac{4{,}98\times10^{7}}{8}\approx6{,}2\times10^{6}\text{ o}\approx6{,}2\text{ Mo}\) (sans compression).
Mini-exercice 5. Une image de \(800\times600\) pixels est codée en couleurs \(24\text{ bits}\). Calculer sa taille en mégaoctets (sans compression).
Pixels : \(800\times600=480\,000\).
Taille en bits : \(480\,000\times24=11\,520\,000\text{ bits}\).
En octets : \(\dfrac{11\,520\,000}{8}=1\,440\,000\text{ o}=1{,}44\text{ Mo}\).
5. Exploiter un signal échantillonné
Une fois numérisé, un signal se présente comme un tableau de valeurs : à chaque instant \(t_k=k\times T_e\) correspond une mesure \(u_k\). On peut alors l'analyser sans oscilloscope, simplement en lisant le tableau — par exemple pour retrouver la période et la fréquence du signal.
Exemple travaillé — lire une période. Un signal sonore est échantillonné à \(f_e=10\,000\text{ Hz}\), soit \(T_e=0{,}10\text{ ms}\). Le tableau ci-dessous donne les premiers échantillons.
indice \(k\)
0
10
20
30
40
\(u_k\) (V)
0
+1,0
0
−1,0
0
Le motif se répète : le signal repasse par \(0\) en montant à \(k=0\) puis à \(k=40\). La période dure donc \(40\) échantillons, soit \(T=40\times T_e=40\times0{,}10\text{ ms}=4{,}0\text{ ms}\). La fréquence vaut \(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{4{,}0\times10^{-3}}=250\text{ Hz}\).
En pratique, on confie ce travail à un programme Python. Le signal est stocké dans deux listes (les instants et les valeurs) ; on peut le tracer et repérer la période. Le script ci-dessous montre le principe.
# Signal échantillonné : instants (t) et mesures (u)import matplotlib.pyplot as plt
fe = 10000# fréquence d'échantillonnage (Hz)
Te = 1 / fe # période d'échantillonnage (s)
u = [0, 1.0, 0, -1.0, 0, 1.0, 0, -1.0, 0] # valeurs mesurées
t = [k * Te for k inrange(len(u))] # instants correspondants
plt.plot(t, u, "o-") # affiche les points reliés
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("u (V)")
plt.show()
Mini-exercice 6. Un signal échantillonné à \(f_e=5\,000\text{ Hz}\) revient au même point du motif tous les \(25\) échantillons. Déterminer sa période \(T\) puis sa fréquence \(f\).
Période d'échantillonnage : \(T_e=\dfrac{1}{5000}=2{,}0\times10^{-4}\text{ s}\).
Période du signal : \(T=25\times T_e=25\times2{,}0\times10^{-4}=5{,}0\times10^{-3}\text{ s}\).
Fréquence : \(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{5{,}0\times10^{-3}}=200\text{ Hz}\).
6. L'effet Doppler
Changeons complètement de sujet — l'analyse d'un signal ne se limite pas à sa numérisation. Vous avez sûrement remarqué que le son d'une sirène d'ambulance semble plus aigu quand le véhicule s'approche, puis plus grave dès qu'il s'éloigne. Pourtant, la sirène émet toujours la même note. Ce changement apparent de fréquence porte un nom : l'effet Doppler.
Définition
L'effet Doppler est la variation de la fréquence d'une onde perçue par un récepteur, due au mouvement relatif entre la source et le récepteur.
Source et récepteur se rapprochent → les ondes sont « tassées », la fréquence perçue augmente (son plus aigu).
Source et récepteur s'éloignent → les ondes sont « étirées », la fréquence perçue diminue (son plus grave).
L'explication est géométrique. Quand la source avance vers l'observateur, chaque nouvelle crête d'onde est émise un peu plus près que la précédente : les crêtes se resserrent, la longueur d'onde raccourcit et la fréquence monte. Derrière la source, c'est l'inverse : les crêtes s'espacent.
Relation pour une onde sonore (source mobile, récepteur fixe)
Si une source émettant la fréquence \(f\) se déplace à la vitesse \(v\) dans un milieu où le son se propage à la célérité \(c\) :
\(f'\) est la fréquence perçue. En rapprochement \(f'\gt f\) ; en éloignement \(f'\lt f\).
Exemple travaillé — la sirène. Une ambulance émet un son de fréquence \(f=680\text{ Hz}\) et roule à \(v=30\text{ m/s}\). Le son se propage à \(c=340\text{ m/s}\).
Quand elle s'approche : \(f'=680\times\dfrac{340}{340-30}=680\times\dfrac{340}{310}\approx 746\text{ Hz}\) (plus aigu).
Quand elle s'éloigne : \(f'=680\times\dfrac{340}{340+30}=680\times\dfrac{340}{370}\approx 625\text{ Hz}\) (plus grave).
Au passage de l'ambulance, l'oreille entend donc la note chuter d'environ \(746\) à \(625\text{ Hz}\) : c'est le « nyiiiuuu » caractéristique.
Mini-exercice 7. Une voiture de course klaxonne à \(f=500\text{ Hz}\) en fonçant vers un spectateur à \(v=50\text{ m/s}\) (\(c=340\text{ m/s}\)). Quelle fréquence le spectateur perçoit-il ?
Rapprochement : \(f'=f\times\dfrac{c}{c-v}=500\times\dfrac{340}{340-50}=500\times\dfrac{340}{290}\approx 586\text{ Hz}\). Le son perçu est plus aigu que \(500\text{ Hz}\).
7. Exploiter le décalage pour mesurer une vitesse
L'effet Doppler ne sert pas qu'à expliquer le son des sirènes : c'est un formidable outil de mesure. Si l'on connaît la fréquence (ou la longueur d'onde) émise et qu'on mesure celle reçue, on remonte à la vitesse de la source — sans jamais la toucher.
Décalage et vitesse (cas des faibles vitesses)
Lorsque la vitesse \(v\) reste petite devant la célérité \(c\) de l'onde (\(v\ll c\)), le décalage relatif de fréquence, ou de longueur d'onde, est proportionnel à la vitesse :
\(\dfrac{\Delta f}{f}=\dfrac{v}{c}\qquad\text{ou de façon équivalente}\qquad\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=\dfrac{v}{c}\)
On en tire la vitesse : \(v=c\times\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}\). Un décalage vers les grandes longueurs d'onde (vers le rouge, « redshift ») signale un éloignement ; vers les petites (vers le bleu), un rapprochement.
Exemple travaillé — vitesse d'une galaxie. Dans le spectre d'une galaxie, une raie de l'hydrogène émise à \(\lambda_0=656{,}3\text{ nm}\) au laboratoire est observée à \(\lambda=662{,}9\text{ nm}\). Célérité de la lumière : \(c=3{,}00\times10^{8}\text{ m/s}\).
Décalage : \(\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=662{,}9-656{,}3=6{,}6\text{ nm}\). Il est positif : la raie est décalée vers le rouge, la galaxie s'éloigne.
Vitesse : \(v=c\times\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0}=3{,}00\times10^{8}\times\dfrac{6{,}6}{656{,}3}\approx3{,}0\times10^{6}\text{ m/s}\), soit environ \(3\,000\text{ km/s}\).
On vérifie que \(v\ll c\) (\(v\) vaut \(1\%\) de \(c\)), la relation approchée est bien justifiée.
Mini-exercice 8. Une raie émise à \(\lambda_0=486{,}1\text{ nm}\) est reçue à \(\lambda=485{,}3\text{ nm}\) pour une étoile. La longueur d'onde a-t-elle augmenté ou diminué ? L'étoile s'approche-t-elle ou s'éloigne-t-elle ? Calculer sa vitesse radiale (\(c=3{,}00\times10^{8}\text{ m/s}\)).
\(\Delta\lambda=485{,}3-486{,}1=-0{,}8\text{ nm}\) : la longueur d'onde a diminué (décalage vers le bleu), donc l'étoile s'approche.
Vitesse : \(v=c\times\dfrac{|\Delta\lambda|}{\lambda_0}=3{,}00\times10^{8}\times\dfrac{0{,}8}{486{,}1}\approx4{,}9\times10^{5}\text{ m/s}\approx490\text{ km/s}\).
8. Applications de l'effet Doppler
L'effet Doppler est utilisé chaque fois qu'on veut mesurer une vitesse à distance, quel que soit le type d'onde (son, ultrasons, ondes radio, lumière).
Trois grands domaines.
Radar routier. Le radar émet une onde radio vers le véhicule ; l'onde renvoyée revient avec une fréquence décalée par le mouvement de la voiture. Comme l'onde fait l'aller et le retour, le décalage est doublé : \(\Delta f=\dfrac{2\,f\,v}{c}\). L'appareil en déduit instantanément la vitesse.
Astrophysique. Le décalage vers le rouge de la lumière des galaxies (« redshift ») montre qu'elles s'éloignent presque toutes de nous : c'est l'une des preuves de l'expansion de l'Univers. On mesure aussi la vitesse des étoiles et on détecte des exoplanètes par le léger va-et-vient qu'elles imposent à leur étoile.
Imagerie médicale. L'échographie Doppler envoie des ultrasons vers les globules rouges en mouvement dans un vaisseau ; le décalage de fréquence de l'écho donne la vitesse du sang, ce qui permet de repérer une artère rétrécie ou un caillot.
Erreurs fréquentes
❌ Confondre \(f_e\) (fréquence d'échantillonnage) et \(f\) (fréquence du signal) → ✅ \(f_e\) est le rythme des mesures ; \(f\) est la fréquence du son ou de la vibration étudiée.
❌ Croire que \(n\) bits donnent \(n\) niveaux → ✅ ils donnent \(2^n\) niveaux (\(8\) bits → \(256\), pas \(8\)).
❌ Oublier de diviser par \(8\) pour passer des bits aux octets, ou multiplier au lieu de diviser → ✅ \(1\text{ octet}=8\text{ bits}\), donc taille(o) = taille(bits) ÷ 8.
❌ Penser qu'un rapprochement diminue la fréquence perçue → ✅ un rapprochement augmente \(f'\) (son plus aigu), un éloignement la diminue.
❌ Croire que la source change réellement de fréquence → ✅ la source émet toujours la même \(f\) ; c'est la fréquence perçue \(f'\) qui change, à cause du mouvement.
❌ Utiliser \(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}=\dfrac{v}{c}\) quand \(v\) est proche de \(c\) → ✅ cette relation n'est valable que pour \(v\ll c\).