Modéliser une lentille mince convergente et construire l'image d'un objet
Exploiter la relation de conjugaison et le grandissement
Modéliser une lunette astronomique afocale et exprimer son grossissement
Décrire la lumière comme un flux de photons d'énergie \(E=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}\)
Interpréter l'effet photoélectrique et l'aspect corpusculaire de la lumière
Situation. Un observateur pointe une lunette astronomique vers Jupiter : à l'œil nu la planète n'est qu'un point, mais dans l'instrument elle devient un petit disque entouré de ses lunes. Comment quelques morceaux de verre parviennent-ils à agrandir un astre situé à des centaines de millions de kilomètres ? Et lorsque cette même lumière frappe le capteur électronique de la caméra, elle arrache des électrons au silicium : la lumière se comporte alors comme un flux de grains d'énergie. Ce chapitre relie ces deux visages de la lumière — l'optique géométrique qui forme les images, et le photon qui explique son action sur la matière.
1. La lentille mince convergente
Une lentille est un bloc de verre (ou de plastique) transparent limité par deux faces dont au moins une est bombée. Lorsqu'un rayon de lumière traverse le verre, il change de direction (réfraction) à l'entrée et à la sortie. Une lentille dont le centre est plus épais que les bords fait converger les rayons : c'est une lentille convergente. On la reconnaît à sa forme renflée et on la symbolise par un segment vertical terminé par deux pointes de flèche tournées vers l'extérieur.
Pour décrire simplement le trajet de la lumière, on utilise le modèle de la lentille mince : on suppose l'épaisseur négligeable devant les autres distances, de sorte que toute la déviation se produit dans le plan de la lentille. Toute la géométrie se rapporte alors à un axe de symétrie horizontal, l'axe optique, et à quelques points remarquables.
Définition — éléments d'une lentille mince convergente
Le centre optique \(O\) : point de la lentille sur l'axe optique. Tout rayon passant par \(O\) traverse la lentille sans être dévié.
Le foyer image \(F'\) : point de l'axe où convergent les rayons entrés parallèles à l'axe.
Le foyer objet \(F\) : point de l'axe, symétrique de \(F'\) par rapport à \(O\), tel qu'un rayon passant par \(F\) ressort parallèle à l'axe.
La distance focale \(f'=\overline{OF'}\) (en mètres), toujours positive pour une lentille convergente.
À chaque lentille on associe une grandeur qui mesure son « pouvoir de courber la lumière » : plus une lentille est bombée, plus sa distance focale est courte, et plus elle fait converger fortement les rayons.
Vergence
La vergence \(C\) d'une lentille mince est l'inverse de sa distance focale :
\(C=\dfrac{1}{f'}\)
\(f'\) est en mètres (m), \(C\) en dioptries (symbole δ ou D). Une lentille convergente a une vergence positive. Une vergence élevée signale une lentille très convergente (focale courte).
Exemple travaillé. Une loupe a une distance focale \(f'=5{,}0\text{ cm}=0{,}050\text{ m}\). Sa vergence vaut
\(C=\dfrac{1}{0{,}050}=20\text{ D}\). Une lentille de \(f'=25\text{ cm}=0{,}25\text{ m}\) aurait \(C=\dfrac{1}{0{,}25}=4{,}0\text{ D}\) : elle est moins convergente.
Mini-exercice 1. Un opticien monte une lentille convergente de vergence \(C=8{,}0\text{ D}\). Quelle est sa distance focale, en cm ?
Plaçons un objet lumineux \(AB\) devant la lentille : \(A\) sur l'axe optique, \(B\) au sommet de la flèche. Chaque point de l'objet envoie de la lumière dans toutes les directions ; la lentille récupère un faisceau issu de \(B\) et le fait reconverger en un point unique \(B'\), l'image de \(B\). Pour trouver \(B'\), il suffit de suivre deux rayons particuliers dont on connaît le trajet de sortie — leur intersection donne l'image. On en trace souvent un troisième pour vérifier.
Méthode — les trois rayons utiles issus de B
Le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par le foyer image \(F'\).
Le rayon passant par le centre optique \(O\) n'est pas dévié (il continue tout droit).
Le rayon passant par le foyer objet \(F\) ressort parallèle à l'axe.
L'image \(B'\) est à l'intersection des rayons émergents ; \(A'\) est son projeté sur l'axe. L'image \(A'B'\) est perpendiculaire à l'axe.
Sur la figure, l'objet est placé au-delà de \(F\). Les rayons émergents se croisent réellement de l'autre côté de la lentille : l'image est dite réelle (on peut la recueillir sur un écran) et elle est renversée (tête en bas). C'est ce type d'image que forme l'objectif d'un appareil photo sur son capteur.
Selon la position de l'objet
Si l'objet est placé entre \(F\) et \(O\) (plus près que la distance focale), les rayons émergents divergent : ils ne se croisent pas réellement. En les prolongeant vers l'arrière, on obtient une image virtuelle, droite et agrandie, du même côté que l'objet. C'est le principe de la loupe.
Mini-exercice 2. Un objet est placé exactement au foyer objet \(F\) d'une lentille convergente. Que deviennent les rayons émergents ? Une image se forme-t-elle ?
Le rayon parallèle à l'axe ressort par \(F'\), et le rayon passant par \(O\) n'est pas dévié : ces deux rayons émergents sont parallèles entre eux. Ils ne se croisent jamais : aucune image n'est formée (on dit que l'image est « à l'infini »). C'est cette propriété qui sera exploitée dans la lunette astronomique.
3. Relation de conjugaison et grandissement
La construction graphique donne l'image, mais pour obtenir des valeurs précises on utilise deux relations algébriques. On oriente d'abord l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite) et on choisit un axe vertical orienté vers le haut. Les positions et hauteurs deviennent alors des mesures algébriques (avec un signe) : \(\overline{OA}\) est négatif car l'objet est à gauche de \(O\), \(\overline{OA'}\) est positif pour une image réelle à droite.
Elle relie la position de l'objet \(\overline{OA}\), celle de l'image \(\overline{OA'}\) et la distance focale \(f'\) (toutes en mètres). Connaissant deux de ces grandeurs, on calcule la troisième.
Grandissement
Le grandissement \(\gamma\) (sans unité) compare la taille de l'image à celle de l'objet :
Exemple entièrement traité. Un objet de hauteur \(AB=2{,}0\text{ cm}\) est placé à \(30\text{ cm}\) devant une lentille de distance focale \(f'=10\text{ cm}\). Déterminons la position, la taille et la nature de l'image.
Données algébriques : \(\overline{OA}=-30\text{ cm}\) (objet à gauche), \(f'=+10\text{ cm}\).
Position de l'image. On isole \(\dfrac{1}{\overline{OA'}}\) :
d'où \(\overline{OA'}=\dfrac{30}{2}=+15\text{ cm}\). L'image est à \(15\text{ cm}\) derrière la lentille : elle est réelle.
Grandissement. \(\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{+15}{-30}=-0{,}50\). Le signe négatif indique une image renversée ; \(|\gamma|=0{,}5\lt 1\) : l'image est réduite de moitié.
Taille de l'image. \(\overline{A'B'}=\gamma\times\overline{AB}=-0{,}50\times 2{,}0=-1{,}0\text{ cm}\) : l'image mesure \(1{,}0\text{ cm}\) et pointe vers le bas.
Mini-exercice 3. Un objet est placé à \(15\text{ cm}\) devant une lentille de vergence \(C=5{,}0\text{ D}\). Déterminer \(\overline{OA'}\) puis le grandissement, et conclure sur la nature de l'image.
\(f'=\dfrac{1}{5{,}0}=0{,}20\text{ m}=20\text{ cm}\), \(\overline{OA}=-15\text{ cm}\).
\(\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{-15}=\dfrac{3}{60}-\dfrac{4}{60}=-\dfrac{1}{60}\) → \(\overline{OA'}=-60\text{ cm}\).
\(\gamma=\dfrac{-60}{-15}=+4{,}0\). Image virtuelle (\(\overline{OA'}\lt 0\), du même côté que l'objet), droite (\(\gamma\gt 0\)) et agrandie 4 fois : c'est le fonctionnement de la loupe (objet en deçà du foyer).
4. La lunette astronomique afocale
Pour observer un astre, on associe deux lentilles convergentes montées sur le même axe optique. La première, tournée vers le ciel, est l'objectif (grande focale \(f'_1\)) ; la seconde, côté œil, est l'oculaire (petite focale \(f'_2\)). Une étoile est si lointaine que ses rayons arrivent parallèles entre eux ; l'objectif en forme une image réelle dans son plan focal image. Il suffit alors de placer l'oculaire de façon qu'il regarde cette image « comme une loupe ».
Définition — lunette afocale
Une lunette est réglée en afocale lorsque le foyer image de l'objectif \(F'_1\) coïncide avec le foyer objet de l'oculaire \(F_2\). L'image intermédiaire, formée dans ce plan focal commun, est alors renvoyée à l'infini par l'oculaire : l'œil, qui observe naturellement à l'infini, n'a aucun effort à faire (aucune accommodation). La longueur du tube vaut \(f'_1+f'_2\).
Pourquoi voit-on l'astre « plus gros » ? L'œil n'apprécie pas les tailles réelles mais les angles sous lesquels il voit les objets. L'étoile est vue à l'œil nu sous un très petit angle \(\alpha\) ; après la lunette, elle est vue sous un angle \(\alpha'\) nettement plus grand. On mesure ce gain par le grossissement.
Grossissement d'une lunette afocale
Le grossissement \(G\) est le rapport de l'angle sous lequel on voit l'objet à travers la lunette (\(\alpha'\)) à l'angle à l'œil nu (\(\alpha\)) :
\(G=\dfrac{\alpha'}{\alpha}=\dfrac{f'_1}{f'_2}\)
Pour grossir davantage, on choisit un objectif de grande focale et un oculaire de courte focale. \(G\) est un nombre sans unité (souvent noté « ×30 »).
Exemple travaillé. Une lunette a un objectif de focale \(f'_1=90\text{ cm}\) et un oculaire de focale \(f'_2=3{,}0\text{ cm}\).
Grossissement : \(G=\dfrac{f'_1}{f'_2}=\dfrac{90}{3{,}0}=30\) → l'astre est vu 30 fois plus grand (×30).
Longueur du tube : \(L=f'_1+f'_2=90+3{,}0=93\text{ cm}\).
Mini-exercice 4. On dispose d'un objectif de focale \(80\text{ cm}\) et de deux oculaires, l'un de \(2{,}0\text{ cm}\), l'autre de \(4{,}0\text{ cm}\). Quel oculaire donne le plus fort grossissement ? Calculer les deux valeurs de \(G\).
\(G_1=\dfrac{80}{2{,}0}=40\) (×40) et \(G_2=\dfrac{80}{4{,}0}=20\) (×20). C'est l'oculaire de plus courte focale (2,0 cm) qui grossit le plus, conformément à \(G=\dfrac{f'_1}{f'_2}\).
5. Le modèle du photon
L'optique géométrique décrit très bien la formation des images, mais elle est muette sur ce qui se passe quand la lumière frappe la matière — par exemple un capteur électronique. Pour ces échanges d'énergie, on adopte un autre modèle, complémentaire : la lumière est un flux de particules appelées photons. Chaque photon transporte un grain d'énergie indivisible, d'autant plus grand que la lumière est de haute fréquence.
Énergie d'un photon
Une radiation lumineuse de fréquence \(\nu\) (en hertz) et de longueur d'onde \(\lambda\) (en mètres) est un flux de photons d'énergie
\(E=h\,\nu=\dfrac{h\,c}{\lambda}\)
avec \(h=6{,}63\times10^{-34}\text{ J·s}\) (constante de Planck) et \(c=3{,}00\times10^{8}\text{ m·s}^{-1}\). L'énergie s'exprime en joules (J), souvent convertie en électronvolts : \(1\text{ eV}=1{,}60\times10^{-19}\text{ J}\).
La relation \(E=\dfrac{hc}{\lambda}\) montre que les photons du violet (courte longueur d'onde) sont plus énergétiques que ceux du rouge, et que les ultraviolets ou les rayons X transportent beaucoup plus d'énergie que la lumière visible — d'où leur dangerosité pour les cellules.
Exemple entièrement traité. Calculons l'énergie d'un photon de lumière verte, \(\lambda=500\text{ nm}=500\times10^{-9}\text{ m}\).
En électronvolts : \(E=\dfrac{3{,}98\times10^{-19}}{1{,}60\times10^{-19}}=2{,}49\text{ eV}\). Un flux lumineux ordinaire contient un nombre gigantesque de tels photons, ce qui explique qu'on ne perçoive pas leur caractère « granulaire ».
Mini-exercice 5. Un laser rouge émet à \(\lambda=650\text{ nm}\). Calculer l'énergie d'un de ses photons en joules puis en eV. Est-elle plus grande ou plus petite que celle d'un photon vert ?
\(E=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}}{650\times10^{-9}}=3{,}06\times10^{-19}\text{ J}\).
En eV : \(\dfrac{3{,}06\times10^{-19}}{1{,}60\times10^{-19}}=1{,}91\text{ eV}\). C'est plus petit que pour le vert (2,49 eV) : la longueur d'onde est plus grande, donc l'énergie \(E=\dfrac{hc}{\lambda}\) est plus faible.
Mini-exercice 6. Un pointeur laser vert émet à \(\lambda=532\text{ nm}\) une puissance \(P=1{,}0\text{ mW}\). Sachant qu'un photon vert a une énergie voisine de \(3{,}7\times10^{-19}\text{ J}\), combien de photons quittent le laser chaque seconde ?
La puissance est l'énergie émise par seconde : \(P=1{,}0\times10^{-3}\text{ J·s}^{-1}\). Le nombre de photons par seconde est
\(N=\dfrac{P}{E}=\dfrac{1{,}0\times10^{-3}}{3{,}7\times10^{-19}}\approx 2{,}7\times10^{15}\) photons par seconde. Un nombre colossal : voilà pourquoi la lumière paraît continue.
6. L'effet photoélectrique et l'aspect corpusculaire
Comment prouver que la lumière est vraiment faite de grains d'énergie, et pas seulement d'ondes continues ? L'expérience décisive est l'effet photoélectrique : lorsqu'on éclaire une plaque métallique, elle peut éjecter des électrons. On observe un fait surprenant, inexplicable par le seul modèle ondulatoire :
Observation — effet de seuil
L'émission d'électrons ne se produit que si la fréquence de la lumière dépasse une valeur seuil \(\nu_0\) (donc si \(\lambda\lt\lambda_0\)). En dessous de ce seuil, aucun électron n'est éjecté, même si la lumière est très intense. Au-dessus du seuil, l'émission est immédiate, même pour une lumière faible.
Le modèle ondulatoire prévoirait l'inverse : une onde très intense (même rouge) devrait finir par arracher des électrons. L'expérience le contredit. L'explication (Einstein, 1905) repose entièrement sur le photon : un électron ne peut être arraché que s'il reçoit d'un seul photon assez d'énergie pour vaincre l'attraction du métal. Cette énergie minimale s'appelle le travail d'extraction \(W_0=h\nu_0\).
Condition d'émission
Un électron est éjecté du métal si l'énergie du photon incident est au moins égale au travail d'extraction :
L'énergie reçue en excès devient l'énergie cinétique de l'électron éjecté. Augmenter l'intensité n'augmente pas l'énergie de chaque photon (donc pas la vitesse des électrons), mais seulement leur nombre : c'est bien la signature d'un comportement corpusculaire.
Exemple entièrement traité. Le césium possède un travail d'extraction \(W_0=3{,}0\times10^{-19}\text{ J}\).
Longueur d'onde seuil. À la limite \(E=W_0\), donc \(\lambda_0=\dfrac{hc}{W_0}=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}}{3{,}0\times10^{-19}}=6{,}6\times10^{-7}\text{ m}=660\text{ nm}\).
Toute lumière de longueur d'onde inférieure à \(660\text{ nm}\) (jaune, vert, bleu, violet, UV) éjecte des électrons ; le rouge profond (\(\lambda\gt 660\text{ nm}\)) n'en éjecte pas, quelle que soit son intensité.
Mini-exercice 7. Un métal a une longueur d'onde seuil \(\lambda_0=540\text{ nm}\). On l'éclaire successivement avec une lumière bleue (\(\lambda=450\text{ nm}\)) puis rouge (\(\lambda=650\text{ nm}\)). Dans quel(s) cas des électrons sont-ils éjectés ?
L'émission a lieu si \(\lambda\leq\lambda_0=540\text{ nm}\).
Bleu : \(450\text{ nm}\leq 540\text{ nm}\) ✓ → électrons éjectés.
Rouge : \(650\text{ nm}\gt 540\text{ nm}\) ✗ → aucun électron, même en augmentant l'intensité.
C'est bien l'énergie de chaque photon (liée à \(\lambda\)), et non l'intensité, qui décide de l'émission.
7. Applications
Où retrouve-t-on ce chapitre ?
Instruments d'optique : appareil photo et œil (lentille formant une image réelle sur le capteur ou la rétine), loupe, microscope, lunettes de vue.
Astronomie : lunettes et télescopes ; le choix objectif/oculaire fixe le grossissement observé.
Capteurs et énergie solaire : les cellules photovoltaïques convertissent les photons en courant électrique — application directe de l'effet photoélectrique. Un photon trop peu énergétique n'est pas exploité.
Santé et sécurité : les photons UV et X, très énergétiques, ionisent la matière vivante (protection solaire, radioprotection) ; les capteurs CCD/CMOS des caméras comptent des photons.
8. Erreurs fréquentes
Erreurs fréquentes
❌ Oublier les signes des mesures algébriques dans la relation de conjugaison (\(\overline{OA}\) est négatif pour un objet réel) → ✅ orienter l'axe et affecter un signe à chaque distance.
❌ Confondre grandissement \(\gamma\) (lentille seule, rapport de tailles) et grossissement \(G\) (instrument afocal, rapport d'angles) → ✅ \(\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}\), \(G=\dfrac{f'_1}{f'_2}\).
❌ Écrire \(G=\dfrac{f'_2}{f'_1}\) → ✅ c'est l'objectif (grande focale) au numérateur : \(G=\dfrac{f'_1}{f'_2}\).
❌ Oublier de convertir \(\lambda\) en mètres avant \(E=\dfrac{hc}{\lambda}\) (nm → \(\times10^{-9}\text{ m}\)) → ✅ tout en unités SI.
❌ Croire qu'une lumière intense mais sous le seuil finira par éjecter des électrons → ✅ seule l'énergie \(h\nu\) de chaque photon compte ; l'intensité ne change que leur nombre.
À retenir
Lentille mince convergente : centre \(O\), foyers \(F\) et \(F'\), distance focale \(f'\gt 0\), vergence \(C=\dfrac{1}{f'}\) (en dioptries).
Image : intersection de deux rayons particuliers (∥ axe → \(F'\) ; par \(O\) non dévié ; par \(F\) → ∥ axe).