Décrire et caractériser la diffraction d'une onde par une fente ou un obstacle
Exploiter la relation \(\theta=\dfrac{\lambda}{a}\) et connaître les conditions d'observation
Décrire les interférences de deux ondes cohérentes ; conditions constructives et destructives
Exploiter la différence de marche \(\delta\) et l'interfrange des trous d'Young \(i=\dfrac{\lambda D}{b}\)
Relier diffraction et interférences au caractère ondulatoire de la lumière
Situation. Pointez un laser rouge vers un cheveu tendu, puis vers un mur : au lieu d'une simple ombre, vous obtenez une série de taches lumineuses alignées. Regardez la surface d'un CD sous une lampe : elle décompose la lumière blanche en toutes les couleurs de l'arc-en-ciel. Ces deux phénomènes — la lumière qui « contourne » un obstacle minuscule et la lumière qui, en se superposant à elle-même, crée des zones sombres — ne peuvent pas s'expliquer si l'on imagine la lumière comme un jet de petites billes. Ils prouvent que la lumière est une onde. Ce chapitre étudie les deux signatures caractéristiques de toute onde : la diffraction et les interférences.
1. Rappel : onde et longueur d'onde
Une onde est la propagation d'une perturbation qui transporte de l'énergie sans transport de matière. Une onde périodique se répète identiquement à elle-même dans l'espace : la longueur d'onde \(\lambda\) (en mètres) est la plus petite distance séparant deux points qui vibrent de la même façon (deux « crêtes » consécutives, par exemple). Elle est reliée à la fréquence \(f\) et à la célérité \(v\) de l'onde par \(\lambda=\dfrac{v}{f}\).
Pour la lumière dans le vide (ou dans l'air), la célérité vaut \(c=3{,}00\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}\) et la longueur d'onde de la lumière visible est comprise entre \(400\ \text{nm}\) (violet) et \(700\ \text{nm}\) (rouge), soit des distances de l'ordre du micromètre. Ce sont ces valeurs extrêmement petites qui rendent la diffraction et les interférences de la lumière parfois difficiles à observer : il faut des obstacles ou des fentes eux aussi très petits.
Ordres de grandeur
\(1\ \text{nm}=10^{-9}\ \text{m}\) ; \(1\ \mu\text{m}=10^{-6}\ \text{m}\) ; \(1\ \text{mm}=10^{-3}\ \text{m}\). Une longueur d'onde visible (\(\sim 0{,}5\ \mu\text{m}\)) est environ 1000 fois plus petite qu'un dixième de millimètre.
2. La diffraction
Lorsqu'une onde rencontre une ouverture (une fente) ou un obstacle de petite dimension, elle ne se contente pas de poursuivre son chemin en ligne droite : elle s'étale au-delà, comme si l'ouverture était devenue une nouvelle source qui émet dans toutes les directions. Ce changement de direction, sans changement de milieu ni de longueur d'onde, s'appelle la diffraction.
Définition
La diffraction est le phénomène par lequel une onde s'étale (change de direction de propagation) lorsqu'elle rencontre une ouverture ou un obstacle dont la dimension est de l'ordre de grandeur de sa longueur d'onde. La longueur d'onde n'est pas modifiée par la diffraction.
Plus l'ouverture est étroite, plus l'onde s'étale largement après son passage : la diffraction est d'autant plus marquée que l'ouverture \(a\) est petite devant \(\lambda\). À l'inverse, si l'ouverture est très grande devant la longueur d'onde (\(a\gg\lambda\)), l'onde traverse presque sans être déviée et la diffraction devient négligeable — c'est pourquoi on ne « voit » pas la lumière contourner une fenêtre ou une porte.
Condition d'observation
La diffraction est notable lorsque la dimension \(a\) de l'ouverture (ou de l'obstacle) est comparable à la longueur d'onde : \(a\approx\lambda\). Elle est d'autant plus marquée que \(a\) est petit. Elle devient négligeable dès que \(a\gg\lambda\).
2.1 Écart angulaire de diffraction
Pour une onde monochromatique de longueur d'onde \(\lambda\) qui traverse une fente rectangulaire de largeur \(a\), la lumière diffractée se concentre principalement dans une large tache centrale, entourée de taches secondaires beaucoup moins lumineuses. On caractérise l'étalement par le demi-angle \(\theta\) (aussi appelé écart angulaire), mesuré entre l'axe central et la direction de la première extinction.
Relation de la diffraction
Le demi-angle de diffraction \(\theta\) (en radians) est donné par :
\(\theta=\dfrac{\lambda}{a}\)
avec \(\theta\) en rad, \(\lambda\) la longueur d'onde (m) et \(a\) la largeur de la fente (m). L'angle \(\theta\) est d'autant plus grand que la fente est fine : une fente étroite étale beaucoup la lumière.
Si l'on place un écran à la distance \(D\) de la fente, la tache centrale a une largeur \(L\). Comme l'angle \(\theta\) est très petit (quelques milliradians), on peut confondre l'angle et sa tangente : \(\tan\theta\approx\theta\). La demi-largeur de la tache vaut alors \(D\theta\), donc la largeur totale est :
\(L=2D\theta=\dfrac{2\lambda D}{a}\)
Cette relation est très utile : en mesurant \(L\) et \(D\) sur un écran, on peut remonter à la longueur d'onde \(\lambda\) de la lumière, ou bien mesurer une dimension \(a\) inaccessible directement (le diamètre d'un cheveu, l'épaisseur d'un fil).
Exemple travaillé — diffraction d'un laser par une fente. Un laser hélium-néon (\(\lambda=633\ \text{nm}\)) éclaire une fente de largeur \(a=0{,}10\ \text{mm}\). L'écran est à \(D=2{,}0\ \text{m}\).
1) Demi-angle. On convertit tout en mètres : \(\lambda=633\times10^{-9}\ \text{m}\), \(a=0{,}10\times10^{-3}=1{,}0\times10^{-4}\ \text{m}\).
\(\theta=\dfrac{\lambda}{a}=\dfrac{633\times10^{-9}}{1{,}0\times10^{-4}}=6{,}3\times10^{-3}\ \text{rad}\) (soit environ \(0{,}36°\) : l'angle est bien petit).
2) Largeur de la tache centrale. \(L=\dfrac{2\lambda D}{a}=\dfrac{2\times633\times10^{-9}\times2{,}0}{1{,}0\times10^{-4}}=2{,}5\times10^{-2}\ \text{m}\), soit \(L\approx 2{,}5\ \text{cm}\).
La tache centrale mesure donc environ \(2{,}5\) cm de large sur l'écran : un simple double décimètre suffit à la mesurer.
Mini-exercice 1. Une onde à la surface de l'eau, de longueur d'onde \(\lambda=1{,}5\ \text{cm}\), traverse une ouverture de largeur \(a=2{,}0\ \text{cm}\) dans une cuve à ondes. La diffraction sera-t-elle marquée ? Justifier.
On compare \(a\) et \(\lambda\) : \(a=2{,}0\ \text{cm}\) et \(\lambda=1{,}5\ \text{cm}\) sont du même ordre de grandeur (\(a\approx\lambda\)). La condition d'observation est remplie : la diffraction sera nettement visible, l'onde s'étalant largement après l'ouverture.
Mini-exercice 2. Un laser vert (\(\lambda=532\ \text{nm}\)) diffracte sur un fil vertical. Sur un écran à \(D=3{,}0\ \text{m}\), la tache centrale mesure \(L=4{,}0\ \text{cm}\). Déterminer l'épaisseur \(a\) du fil. (La relation de diffraction s'applique aussi à un obstacle, avec \(a\) sa largeur.)
On part de \(L=\dfrac{2\lambda D}{a}\), d'où \(a=\dfrac{2\lambda D}{L}\).
\(a=\dfrac{2\times532\times10^{-9}\times3{,}0}{4{,}0\times10^{-2}}=\dfrac{3{,}19\times10^{-6}}{4{,}0\times10^{-2}}=8{,}0\times10^{-5}\ \text{m}\), soit \(a\approx 80\ \mu\text{m}\) (l'épaisseur typique d'un cheveu).
3. La superposition de deux ondes : les interférences
Que se passe-t-il lorsque deux ondes se rencontrent en un même point ? Elles se superposent : le déplacement résultant est, à chaque instant, la somme des déplacements que produirait chaque onde seule. Selon la manière dont les deux ondes « tombent en phase » ou non, l'effet peut être un renforcement ou au contraire une annulation. Ce phénomène s'appelle les interférences.
Définition
Les interférences résultent de la superposition, en un même point de l'espace, de deux ondes de même nature. On observe une figure d'interférences stable uniquement si les deux ondes sont cohérentes : elles doivent avoir la même fréquence et présenter un déphasage constant dans le temps. En optique, on obtient deux sources cohérentes en dédoublant une même source (une seule et même lumière envoyée par deux chemins différents).
Deux situations extrêmes résument tout :
Les deux ondes arrivent « en phase » (crête sur crête, creux sur creux) : elles s'ajoutent, l'amplitude résultante est maximale. C'est l'interférence constructive — un point brillant en lumière, un son fort en acoustique.
Les deux ondes arrivent « en opposition de phase » (crête sur creux) : elles se compensent, l'amplitude résultante est minimale (nulle si les amplitudes sont égales). C'est l'interférence destructive — un point sombre, un silence.
3.1 Différence de marche
Ce qui décide entre constructif et destructif, c'est l'écart entre les longueurs de chemin parcourues par les deux ondes pour arriver au point d'observation. On appelle cet écart la différence de marche, notée \(\delta\).
Différence de marche
La différence de marche \(\delta\) en un point \(M\) est la différence des distances parcourues par les deux ondes issues des sources \(S_1\) et \(S_2\) pour atteindre \(M\) :
\(\delta=S_2M-S_1M\)
Elle s'exprime en mètres. C'est en la comparant à la longueur d'onde \(\lambda\) que l'on prévoit le type d'interférence.
Conditions d'interférences
Pour deux sources cohérentes en phase :
Interférence constructive (frange brillante) : la différence de marche est un nombre entier de longueurs d'onde
\(\delta=k\,\lambda\qquad (k\ \text{entier})\)
Interférence destructive (frange sombre) : la différence de marche est un nombre demi-entier de longueurs d'onde
L'idée est intuitive : si l'une des ondes a parcouru exactement une longueur d'onde de plus que l'autre (\(\delta=\lambda\)), elle « rattrape » un cycle complet et se retrouve de nouveau en phase avec la première — d'où le renforcement. Si elle a parcouru une demi-longueur d'onde de plus (\(\delta=\lambda/2\)), elle arrive en creux quand l'autre arrive en crête — d'où l'annulation.
Mini-exercice 3. Deux haut-parleurs identiques et en phase émettent un son de longueur d'onde \(\lambda=20\ \text{cm}\). En un point \(M\), les distances aux deux haut-parleurs sont \(S_1M=3{,}40\ \text{m}\) et \(S_2M=3{,}80\ \text{m}\). Le son y sera-t-il fort ou faible ?
Différence de marche : \(\delta=S_2M-S_1M=3{,}80-3{,}40=0{,}40\ \text{m}=40\ \text{cm}\).
On compare à \(\lambda=20\ \text{cm}\) : \(\delta=\dfrac{40}{20}\,\lambda=2\,\lambda=k\lambda\) avec \(k=2\) (entier). La condition constructive est vérifiée : le son est fort (interférence constructive).
Mini-exercice 4. Mêmes haut-parleurs (\(\lambda=20\ \text{cm}\)). En un autre point, \(\delta=30\ \text{cm}\). Interférence constructive ou destructive ?
\(\dfrac{\delta}{\lambda}=\dfrac{30}{20}=1{,}5=1+\tfrac{1}{2}=\left(k+\tfrac12\right)\) avec \(k=1\). C'est un nombre demi-entier de longueurs d'onde : interférence destructive, le son est faible (voire nul si les intensités sont égales).
4. Les trous d'Young
L'expérience historique de Thomas Young (1801) est la façon la plus simple de produire des interférences lumineuses. On éclaire, avec une source monochromatique (un laser), une plaque percée de deux fentes fines et très proches, distantes de \(b\). Chaque fente se comporte, par diffraction, comme une source secondaire ; comme elles proviennent de la même lumière initiale, elles sont cohérentes. Sur un écran placé à la distance \(D\), on observe une succession régulière de franges brillantes et sombres parallèles.
Au centre de l'écran, les deux chemins ont exactement la même longueur (\(\delta=0=0\times\lambda\)) : c'est une frange brillante. En s'écartant du centre, la différence de marche augmente régulièrement ; on passe alternativement par des valeurs entières de \(\lambda\) (franges brillantes) et demi-entières (franges sombres). Les franges brillantes sont donc équidistantes. La distance qui sépare deux franges brillantes (ou deux franges sombres) consécutives s'appelle l'interfrange \(i\).
Interfrange des trous d'Young
L'interfrange \(i\) est la distance entre deux franges brillantes consécutives :
\(i=\dfrac{\lambda D}{b}\)
avec \(i\) et \(D\) en mètres, \(b\) l'écart entre les deux fentes (m) et \(\lambda\) la longueur d'onde (m). L'interfrange est plus grand si l'écran est loin (\(D\) grand) ou si les fentes sont très rapprochées (\(b\) petit).
Ne pas confondre les deux grandeurs « a » et « b »
Dans \(\theta=\dfrac{\lambda}{a}\), la lettre \(a\) désigne la largeur d'une fente (diffraction). Dans \(i=\dfrac{\lambda D}{b}\), la lettre \(b\) désigne l'écart entre les deux fentes (interférences). Ce sont deux distances différentes du montage.
Exemple travaillé complet — mesurer une longueur d'onde avec des trous d'Young. Un laser éclaire deux fentes distantes de \(b=0{,}20\ \text{mm}\). Sur un écran à \(D=2{,}0\ \text{m}\), on mesure la largeur occupée par 10 interfranges : \(63\ \text{mm}\).
Étape 1 — interfrange. On mesure toujours plusieurs interfranges pour réduire l'incertitude : \(i=\dfrac{63\ \text{mm}}{10}=6{,}3\ \text{mm}=6{,}3\times10^{-3}\ \text{m}\).
Étape 2 — isoler \(\lambda\). De \(i=\dfrac{\lambda D}{b}\) on tire \(\lambda=\dfrac{i\,b}{D}\).
Étape 3 — application numérique (tout en mètres, \(b=0{,}20\times10^{-3}=2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}\)) :
\(\lambda=\dfrac{6{,}3\times10^{-3}\times2{,}0\times10^{-4}}{2{,}0}=6{,}3\times10^{-7}\ \text{m}=630\ \text{nm}\).
La longueur d'onde vaut \(\lambda\approx 630\ \text{nm}\) : c'est bien un laser rouge.
Mini-exercice 5. Avec le même dispositif (\(b=0{,}20\ \text{mm}\), \(D=2{,}0\ \text{m}\)), on remplace le laser rouge par un laser vert (\(\lambda=532\ \text{nm}\)). L'interfrange augmente-t-il ou diminue-t-il ? Le calculer.
\(i=\dfrac{\lambda D}{b}=\dfrac{532\times10^{-9}\times2{,}0}{2{,}0\times10^{-4}}=5{,}3\times10^{-3}\ \text{m}=5{,}3\ \text{mm}\).
La longueur d'onde du vert (\(532\) nm) est plus petite que celle du rouge (\(633\) nm) : comme \(i\) est proportionnel à \(\lambda\), l'interfrange diminue (\(5{,}3\) mm contre \(6{,}3\) mm). Les franges vertes sont plus serrées.
Mini-exercice 6. On souhaite doubler l'interfrange sans changer le laser ni les fentes. Sur quel paramètre agir, et comment ?
Comme \(i=\dfrac{\lambda D}{b}\), avec \(\lambda\) et \(b\) fixés, \(i\) est proportionnel à \(D\). Pour doubler \(i\), il faut doubler la distance \(D\) entre les fentes et l'écran : plus l'écran est éloigné, plus les franges s'écartent.
5. Diffraction et interférences prouvent le caractère ondulatoire de la lumière
Ces deux phénomènes ne sont pas de simples curiosités : ils ont un rôle fondamental dans l'histoire de la physique. Un modèle « corpusculaire » de la lumière (des petites billes voyageant en ligne droite) est incapable d'expliquer qu'une fente puisse étaler la lumière, ni surtout qu'en ajoutant de la lumière à de la lumière on puisse obtenir de l'obscurité (frange sombre). Seul un modèle ondulatoire rend compte de la diffraction et des interférences, car seules des ondes peuvent s'additionner ou s'annuler selon leur phase.
Conclusion
L'observation de la diffraction et des interférences de la lumière constitue une preuve expérimentale directe de son caractère ondulatoire. Ces phénomènes se retrouvent pour toutes les ondes : ondes mécaniques (eau, son), ondes électromagnétiques (lumière, ondes radio, rayons X).
6. Applications
Où rencontre-t-on diffraction et interférences ?
Mesure de très petites dimensions : par diffraction laser, on mesure l'épaisseur d'un cheveu, le diamètre d'un fil ou d'une fibre, sans contact, avec un simple écran et une règle.
Spectroscopie et CD/DVD : les fines pistes gravées d'un disque forment un réseau qui diffracte la lumière blanche et sépare ses couleurs — même principe que les réseaux utilisés pour analyser la composition de la lumière des étoiles.
Traitements antireflet des lunettes et objectifs : une fine couche produit des interférences destructives pour la lumière réfléchie, ce qui augmente la lumière transmise.
Casques à réduction de bruit : le casque génère une onde sonore en opposition de phase avec le bruit ambiant, créant des interférences destructives qui atténuent le son.
Limite de résolution des instruments : la diffraction par l'ouverture d'un télescope ou d'un microscope fixe la finesse maximale des détails observables.
7. Erreurs fréquentes
Erreurs fréquentes
❌ Oublier de convertir en mètres (mélanger nm, mm, m) dans \(\theta=\lambda/a\) ou \(i=\lambda D/b\) → ✅ tout convertir en unités SI (mètres) avant de calculer.
❌ Croire que la diffraction change la longueur d'onde ou la couleur → ✅ \(\lambda\) est inchangée ; seule la direction de propagation est modifiée.
❌ Penser que « plus la fente est large, plus ça diffracte » → ✅ c'est l'inverse : plus la fente est étroite (\(a\) petit), plus l'étalement \(\theta=\lambda/a\) est grand.
❌ Confondre \(a\) (largeur d'une fente, diffraction) et \(b\) (écart entre deux fentes, interférences) → ✅ ce sont deux distances distinctes du montage.
❌ Croire que \(\delta=\lambda/2\) donne une frange brillante → ✅ un nombre demi-entier de \(\lambda\) donne une frange sombre (destructive) ; un nombre entier donne une frange brillante.
❌ Mesurer un seul interfrange → ✅ mesurer la largeur de \(N\) interfranges puis diviser par \(N\), pour réduire l'incertitude.
À retenir
Diffraction : étalement d'une onde par une fente/obstacle ; notable si \(a\approx\lambda\), négligeable si \(a\gg\lambda\). Demi-angle \(\theta=\dfrac{\lambda}{a}\) (rad) ; largeur de la tache centrale \(L=\dfrac{2\lambda D}{a}\). \(\lambda\) inchangée.
Interférences : superposition de deux ondes cohérentes (même fréquence, déphasage constant). Différence de marche \(\delta=S_2M-S_1M\).