Relier l'énergie interne d'un système à sa température et exploiter \(\Delta U = m\,c\,\Delta T\) pour un corps incompressible.
Énoncer et appliquer le premier principe \(\Delta U = W + Q\) ; réaliser un bilan d'énergie.
Distinguer les trois modes de transfert thermique : conduction, convection, rayonnement.
Définir le flux thermique et la résistance thermique d'une paroi ; exploiter \(\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}}\).
Exploiter la loi de refroidissement de Newton et la modéliser par une équation différentielle.
Simuler l'évolution d'une température par la méthode d'Euler.
Situation. Une tasse de café à \(80\,°\text{C}\) laissée sur une table refroidit peu à peu jusqu'à atteindre la température de la pièce. Une maison mal isolée voit sa chaleur s'échapper par les murs et la facture de chauffage grimper. Dans les deux cas, de l'énergie passe d'un corps chaud vers un corps froid : c'est un transfert thermique. La thermodynamique répond à deux questions concrètes : combien d'énergie faut-il pour chauffer un corps, et à quelle vitesse cette énergie se transfère-t-elle ? Ce chapitre construit les outils qui permettent d'y répondre : l'énergie interne, le premier principe, la résistance thermique d'une paroi et la loi de refroidissement.
1. Énergie interne et température
Un système thermodynamique — un litre d'eau, un bloc de métal, l'air d'une pièce — est constitué d'un très grand nombre de particules (atomes, molécules, ions) qui sont sans cesse en mouvement : elles vibrent, tournent, se déplacent, s'entrechoquent. À cette agitation microscopique correspond de l'énergie cinétique, et aux forces qui lient les particules entre elles correspond de l'énergie potentielle d'interaction. La somme de toutes ces énergies microscopiques est appelée énergie interne du système.
Définition — énergie interne
L'énergie interne \(U\) d'un système (en joules, J) est la somme des énergies cinétiques microscopiques de toutes ses particules et des énergies potentielles d'interaction entre elles. C'est une grandeur qui caractérise l'état du système ; on s'intéresse surtout à sa variation \(\Delta U = U_{final} - U_{initial}\).
Plus la température d'un corps est élevée, plus ses particules s'agitent vite : l'énergie cinétique moyenne d'une particule augmente avec la température. La température est donc, au niveau microscopique, une mesure de l'agitation thermique. C'est pourquoi chauffer un corps (augmenter sa température) revient à augmenter son énergie interne.
Pour un solide ou un liquide — un corps dit incompressible, dont le volume ne varie pratiquement pas — la variation d'énergie interne se calcule directement à partir de la variation de température.
Énergie interne d'un corps incompressible
Pour un solide ou un liquide de masse \(m\) qui passe de la température \(T_i\) à la température \(T_f\) sans changement d'état :
\(\Delta U = m\,c\,\Delta T \qquad \text{avec}\quad \Delta T = T_f - T_i\)
\(\Delta U\) en joules (J), \(m\) en kilogrammes (kg), \(\Delta T\) en kelvins (K) ou en degrés Celsius (°C — un écart de \(1\,°\text{C}\) vaut un écart de \(1\,\text{K}\)), et \(c\) la capacité thermique massique en \(\text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\).
La capacité thermique massique \(c\) indique l'énergie nécessaire pour élever de \(1\,°\text{C}\) la température de \(1\,\text{kg}\) de matière. L'eau possède une valeur très élevée (\(c = 4180\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\)) : il faut beaucoup d'énergie pour la chauffer, ce qui explique qu'elle mette du temps à bouillir mais conserve longtemps sa chaleur. Les métaux, au contraire, chauffent vite (\(c \approx 385\) pour le cuivre, \(897\) pour l'aluminium).
Exemple travaillé — chauffer de l'eau. On chauffe \(V = 1{,}5\ \text{L}\) d'eau de \(20\,°\text{C}\) à \(60\,°\text{C}\) dans une bouilloire. Quelle énergie faut-il fournir ?
La masse d'eau est \(m = 1{,}5\ \text{kg}\) (\(1\ \text{L}\) d'eau \(\approx 1\ \text{kg}\)). L'écart de température vaut \(\Delta T = 60 - 20 = 40\ \text{K}\).
\(\Delta U = m\,c\,\Delta T = 1{,}5 \times 4180 \times 40 \approx 2{,}5\times 10^{5}\ \text{J} = 251\ \text{kJ}\)
L'énergie interne de l'eau augmente d'environ \(251\ \text{kJ}\) : c'est l'énergie que la résistance de la bouilloire doit lui fournir.
Mini-exercice 1. Un bloc d'aluminium de masse \(m = 0{,}80\ \text{kg}\) passe de \(15\,°\text{C}\) à \(75\,°\text{C}\). Donnée : \(c_{\text{Al}} = 897\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}\). Calculer la variation d'énergie interne du bloc.
\(\Delta T = 75 - 15 = 60\ \text{K}\).
\(\Delta U = m\,c\,\Delta T = 0{,}80 \times 897 \times 60 = 4{,}3\times 10^{4}\ \text{J} \approx 43\ \text{kJ}\).
\(\Delta U \gt 0\) : l'énergie interne augmente, ce qui est cohérent avec l'échauffement du bloc.
2. Le premier principe de la thermodynamique
D'où vient l'énergie interne gagnée ou perdue par un système ? Elle ne se crée pas et ne se détruit pas : elle est échangée avec l'extérieur. Un système peut recevoir de l'énergie de deux façons — soit par un travail mécanique \(W\) (une force qui agit, un piston que l'on pousse, un moteur qui brasse), soit par un transfert thermique \(Q\) (de la chaleur qui traverse les parois à cause d'une différence de température). Le premier principe affirme que la variation d'énergie interne est exactement égale à la somme de ce que le système a reçu.
Premier principe de la thermodynamique
Pour un système au repos, la variation de son énergie interne entre deux états est égale à la somme du travail et du transfert thermique reçus de l'extérieur :
\(\boxed{\;\Delta U = W + Q\;}\)
où \(\Delta U\), \(W\) et \(Q\) sont exprimés en joules (J). C'est un bilan de conservation de l'énergie.
Convention de signe (essentielle)
On compte positivement ce que le système reçoit et négativement ce qu'il cède :
\(Q \gt 0\) : le système reçoit de la chaleur (il est chauffé) ; \(Q \lt 0\) : il en cède (il refroidit).
\(W \gt 0\) : le système reçoit un travail (on le comprime, on l'agite) ; \(W \lt 0\) : il fournit un travail.
Dans de très nombreuses situations courantes — chauffage d'un liquide, refroidissement d'un solide, échange de chaleur entre deux corps — aucun travail mécanique n'est échangé (\(W = 0\)). Le premier principe se réduit alors à \(\Delta U = Q\) : toute l'énergie interne gagnée ou perdue provient d'un transfert thermique. C'est le cas le plus fréquent au lycée.
Méthode — réaliser un bilan d'énergie
Délimiter clairement le système étudié (le café, le bloc, le gaz…).
Identifier tous les échanges : y a-t-il un travail \(W\) ? un transfert thermique \(Q\) ?
Affecter à chacun son signe selon qu'il est reçu (\(+\)) ou cédé (\(-\)).
Écrire \(\Delta U = W + Q\), puis remplacer \(\Delta U\) par \(m\,c\,\Delta T\) si l'on cherche une température (corps incompressible).
Exemple travaillé — bilan sur un gaz. Un gaz enfermé dans un cylindre reçoit un transfert thermique \(Q = +350\ \text{J}\) d'une plaque chauffante. En se dilatant, il pousse le piston et fournit un travail de \(120\ \text{J}\) à l'extérieur. Que vaut sa variation d'énergie interne ?
Le gaz reçoit la chaleur : \(Q = +350\ \text{J}\). Il fournit un travail : le système cède donc \(W = -120\ \text{J}\).
\(\Delta U = W + Q = (-120) + (+350) = +230\ \text{J}\)
Malgré le travail fourni, l'énergie interne du gaz augmente de \(230\ \text{J}\) : le chauffage l'emporte.
Mini-exercice 2. On comprime un gaz : l'extérieur lui fournit un travail \(W = +80\ \text{J}\). Pendant l'opération, le gaz cède \(50\ \text{J}\) de chaleur au milieu extérieur. Calculer \(\Delta U\) et dire si le gaz se réchauffe ou se refroidit.
Travail reçu : \(W = +80\ \text{J}\). Chaleur cédée : \(Q = -50\ \text{J}\).
\(\Delta U = W + Q = 80 + (-50) = +30\ \text{J}\).
\(\Delta U \gt 0\) : l'énergie interne augmente, donc le gaz se réchauffe (la compression le chauffe plus qu'il ne perd de chaleur).
3. Les trois modes de transfert thermique
Le premier principe indique combien d'énergie est échangée, mais pas comment. Un transfert thermique \(Q\) se produit toujours spontanément du corps chaud vers le corps froid, et il peut emprunter trois voies différentes : la conduction, la convection et le rayonnement. Savoir les distinguer est essentiel pour comprendre l'isolation d'un bâtiment ou le fonctionnement d'un radiateur.
Conduction
Transfert de chaleur à travers un milieu matériel, sans déplacement de matière : l'agitation se transmet de proche en proche par les chocs entre particules. C'est le mode dominant dans les solides. Exemple : le manche métallique d'une casserole qui devient brûlant. Les métaux sont de bons conducteurs, l'air et le polystyrène de bons isolants.
Convection
Transfert de chaleur par déplacement d'ensemble d'un fluide (liquide ou gaz) : le fluide chaud, moins dense, monte, tandis que le fluide froid descend, créant des courants qui brassent l'énergie. Exemple : l'air chaud qui s'élève au-dessus d'un radiateur et réchauffe toute la pièce.
Rayonnement
Transfert de chaleur par ondes électromagnétiques (infrarouges surtout), sans aucun support matériel : il se propage même dans le vide. Exemple : la chaleur du Soleil qui nous parvient à travers l'espace, ou celle que l'on ressent face à un feu.
Mini-exercice 3. Pour chaque situation, indiquer le mode de transfert thermique dominant :
(a) une cuillère en inox chauffe dans une casserole de soupe ; (b) on se réchauffe les mains devant une cheminée sans les toucher ; (c) l'air d'une pièce est brassé par un convecteur électrique.
(a) Conduction : la chaleur remonte dans le métal solide de la cuillère.
(b) Rayonnement : la chaleur des flammes parvient aux mains par ondes infrarouges, sans contact.
(c) Convection : l'air chaud monte et circule, brassant l'énergie dans toute la pièce.
4. Flux thermique et résistance thermique d'une paroi
Pour dimensionner une isolation, il ne suffit pas de connaître l'énergie perdue : il faut savoir à quelle vitesse elle s'échappe. On introduit pour cela le flux thermique, c'est-à-dire l'énergie qui traverse une paroi par unité de temps.
Flux thermique
Le flux thermique \(\Phi\) est l'énergie thermique qui traverse une paroi pendant une durée \(\Delta t\), rapportée à cette durée :
\(\Phi = \dfrac{Q}{\Delta t}\)
\(\Phi\) s'exprime en watts (W), \(Q\) en joules (J) et \(\Delta t\) en secondes (s). C'est donc une puissance thermique.
L'expérience montre que le flux qui traverse un mur augmente avec l'écart de température entre les deux faces, et diminue si le mur est épais ou isolant. On regroupe ces propriétés de la paroi dans une seule grandeur : la résistance thermique. Plus une paroi « résiste » au passage de la chaleur, plus elle est isolante.
Résistance thermique
La résistance thermique \(R_{th}\) d'une paroi caractérise son opposition au passage de la chaleur. Pour une paroi plane d'épaisseur \(e\), de surface \(S\) et de conductivité thermique \(\lambda\) :
\(R_{th} = \dfrac{e}{\lambda\,S}\)
\(R_{th}\) en \(\text{K·W}^{-1}\), \(e\) en m, \(S\) en m², \(\lambda\) en \(\text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}\). Un bon isolant a un \(\lambda\) faible (donc un \(R_{th}\) élevé).
Loi du flux — analogie avec la loi d'Ohm
Le flux thermique traversant une paroi est proportionnel à l'écart de température \(\Delta T\) entre ses deux faces et inversement proportionnel à sa résistance :
\(\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}}\)
On retrouve la forme de la loi d'Ohm \(I = \dfrac{U}{R}\) : la différence de température joue le rôle de la tension, le flux celui du courant, et \(R_{th}\) celui de la résistance électrique.
Exemple travaillé — déperdition par un mur isolé. Un mur de surface \(S = 10\ \text{m}^2\) est isolé par une couche de polystyrène d'épaisseur \(e = 0{,}10\ \text{m}\) et de conductivité \(\lambda = 0{,}040\ \text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}\). Il fait \(20\,°\text{C}\) à l'intérieur et \(0\,°\text{C}\) dehors. Calculer la résistance thermique et le flux thermique perdu.
Résistance thermique :
Le mur laisse échapper \(80\ \text{W}\), soit \(80\ \text{J}\) chaque seconde. Doubler l'épaisseur d'isolant doublerait \(R_{th}\) et diviserait le flux par deux.
Mini-exercice 4. Une vitre simple de surface \(S = 2{,}0\ \text{m}^2\), d'épaisseur \(e = 4{,}0\ \text{mm}\), a une conductivité \(\lambda = 1{,}0\ \text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}\). L'écart de température entre les deux faces est \(\Delta T = 15\ \text{K}\). Calculer \(R_{th}\) puis le flux thermique perdu par la vitre.
Reprenons la tasse de café. Elle perd de la chaleur vers l'air de la pièce, et l'on constate qu'elle refroidit d'abord très vite (quand elle est brûlante), puis de plus en plus lentement à mesure qu'elle se rapproche de la température ambiante. Newton a modélisé cette observation : plus l'écart de température entre le corps et son milieu est grand, plus le flux thermique échangé est important.
Loi de refroidissement de Newton
Le flux thermique échangé entre un corps de température \(T\) et un milieu extérieur de température \(T_{ext}\) est proportionnel à l'écart de température :
\(\Phi = h\,S\,(T - T_{ext})\)
où \(h\) est un coefficient d'échange (en \(\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}\)) et \(S\) la surface d'échange. Quand \(T \gt T_{ext}\), le corps cède de la chaleur ; l'échange s'annule lorsque \(T = T_{ext}\).
On peut alors établir l'équation qui régit l'évolution de la température. Pendant une durée \(\text{d}t\), le corps (incompressible, sans travail) perd l'énergie \(Q\), donc son énergie interne varie de \(\text{d}U = m\,c\,\text{d}T\). Comme le corps cède de la chaleur, le premier principe s'écrit \(\text{d}U = -\Phi\,\text{d}t\), d'où :
Sa solution, avec la température initiale \(T_0\) à \(t = 0\), est une décroissance exponentielle vers \(T_{ext}\) :
\(T(t) = T_{ext} + (T_0 - T_{ext})\,e^{-k\,t}\)
La grandeur \(\tau = \dfrac{1}{k} = \dfrac{m\,c}{h\,S}\) est le temps caractéristique (en s) : au bout de \(\tau\), l'écart de température a été réduit d'environ 63 %.
Exemple travaillé — le café qui refroidit. Un café à \(T_0 = 80\,°\text{C}\) refroidit dans une pièce à \(T_{ext} = 20\,°\text{C}\). On mesure un temps caractéristique \(\tau = 600\ \text{s}\) (soit \(k = 1/600\ \text{s}^{-1}\)). Quelle est sa température au bout de \(10\) minutes ?
À \(t = 600\ \text{s}\), on a \(k\,t = 1\), donc \(e^{-kt} = e^{-1} \approx 0{,}368\).
Le café est passé de \(80\,°\text{C}\) à environ \(42\,°\text{C}\) : il a perdu près des deux tiers de son écart initial, conformément au temps caractéristique.
Mini-exercice 5. Une pièce métallique sortie du four est à \(T_0 = 200\,°\text{C}\) dans un atelier à \(T_{ext} = 20\,°\text{C}\), avec \(k = 0{,}010\ \text{s}^{-1}\). Calculer sa température au bout de \(t = 100\ \text{s}\). Donnée : \(e^{-1} \approx 0{,}37\).
\(k\,t = 0{,}010 \times 100 = 1\), donc \(e^{-kt} = e^{-1} \approx 0{,}37\).
\(T(100) = 20 + (200 - 20)\times 0{,}37 = 20 + 180 \times 0{,}37 = 20 + 66{,}6 \approx 87\,°\text{C}\).
La pièce a fortement refroidi car l'écart de départ (\(180\,°\text{C}\)) était très grand.
6. Simuler l'évolution : la méthode d'Euler
Quand on ne dispose pas de la solution exponentielle — par exemple si \(T_{ext}\) varie, ou pour vérifier un résultat — on peut calculer la température pas à pas à l'aide d'un ordinateur. C'est la méthode d'Euler, qui exploite directement l'équation différentielle : elle remplace la dérivée \(\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t}\) par un petit taux de variation sur un intervalle de temps \(\Delta t\).
Méthode d'Euler pour le refroidissement
On découpe le temps en pas réguliers de durée \(\Delta t\). En approchant \(\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} \approx \dfrac{T_{n+1} - T_n}{\Delta t}\) dans l'équation \(\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} = -k\,(T - T_{ext})\), on obtient la relation de récurrence :
\(T_{n+1} = T_n - k\,(T_n - T_{ext})\,\Delta t\)
On part de \(T_0\) connu, puis on calcule \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\)… de proche en proche. Plus \(\Delta t\) est petit, plus la simulation est précise.
Exemple travaillé — deux pas d'Euler. On reprend le café : \(T_0 = 80\,°\text{C}\), \(T_{ext} = 20\,°\text{C}\), \(k = 1/600\ \text{s}^{-1}\), avec un pas \(\Delta t = 60\ \text{s}\). On a \(k\,\Delta t = \dfrac{60}{600} = 0{,}10\).
Premier pas : \(T_1 = T_0 - k\,\Delta t\,(T_0 - T_{ext}) = 80 - 0{,}10\times(80 - 20) = 80 - 6 = 74\,°\text{C}\).
Deuxième pas : \(T_2 = 74 - 0{,}10\times(74 - 20) = 74 - 5{,}4 = 68{,}6\,°\text{C}\).
On voit que la baisse ralentit (\(6\,°\text{C}\) puis \(5{,}4\,°\text{C}\)) : le modèle reproduit bien un refroidissement de plus en plus lent.
Mini-exercice 6. Avec \(T_0 = 100\,°\text{C}\), \(T_{ext} = 25\,°\text{C}\), \(k = 0{,}020\ \text{s}^{-1}\) et un pas \(\Delta t = 5\ \text{s}\), calculer \(T_1\) et \(T_2\) par la méthode d'Euler.
En Python, cette récurrence se programme en quelques lignes avec une boucle qui, à chaque itération, met à jour la température selon la formule \(T_{n+1} = T_n - k(T_n - T_{ext})\,\Delta t\) et enregistre les valeurs pour tracer la courbe.
7. Erreurs fréquentes
Erreurs fréquentes
❌ Se tromper de signe dans \(\Delta U = W + Q\) : compter positif un travail fourni ou une chaleur cédée → ✅ le système reçoit = \(+\), cède = \(-\).
❌ Oublier de convertir les unités : masse en g au lieu de kg, épaisseur en cm ou mm au lieu de m → ✅ tout en unités SI avant le calcul.
❌ Confondre convection et conduction : un fluide qui bouge n'est pas de la conduction → ✅ conduction = solide sans déplacement ; convection = fluide en mouvement.
❌ Penser qu'un bon isolant a un \(R_{th}\) faible → ✅ un isolant résiste à la chaleur : \(\lambda\) petit donc \(R_{th}\) grand, et flux \(\Phi\) petit.
❌ Écrire la loi de Newton avec le mauvais signe et prévoir un corps qui se réchauffe tout seul → ✅ le flux échangé fait toujours tendre \(T\) vers \(T_{ext}\).
❌ Oublier que \(\Phi\) est une puissance (W), pas une énergie (J) : \(\Phi\) est une énergie par seconde.
8. Applications
Où retrouve-t-on ces notions ?
Isolation des bâtiments : le calcul de \(R_{th}\) permet de choisir l'épaisseur d'isolant et de prévoir les déperditions ; c'est la base des diagnostics de performance énergétique (DPE).
Double vitrage : la lame d'air (ou d'argon) entre deux vitres ajoute une forte résistance thermique et réduit le flux de chaleur perdu.
Refroidissement industriel : la loi de Newton modélise le temps de refroidissement d'une pièce sortie d'un four ou d'un métal après moulage.
Cuisine et sécurité : anticiper le temps qu'un plat met à atteindre une température sûre, ou qu'un café devienne buvable.
Chauffage domestique : un radiateur combine les trois modes — conduction dans le métal, convection de l'air, rayonnement infrarouge.
Météorologie et énergie solaire : le rayonnement du Soleil, seul mode capable de traverser le vide spatial, chauffe la Terre et alimente les panneaux thermiques.
À retenir
Énergie interne \(U\) : énergie microscopique du système ; elle croît avec la température. Corps incompressible : \(\Delta U = m\,c\,\Delta T\).
Premier principe : \(\Delta U = W + Q\) (conservation de l'énergie) ; convention reçu \(+\), cédé \(-\). Sans travail : \(\Delta U = Q\).
Trois modes de transfert : conduction (solide, sans déplacement), convection (fluide en mouvement), rayonnement (ondes, même dans le vide).
Flux thermique \(\Phi = \dfrac{Q}{\Delta t}\) (en W). Résistance d'une paroi \(R_{th} = \dfrac{e}{\lambda\,S}\) et loi \(\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}}\) (analogue à la loi d'Ohm).
Loi de Newton : \(\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} = -k\,(T - T_{ext})\) → \(T(t) = T_{ext} + (T_0 - T_{ext})\,e^{-kt}\), temps caractéristique \(\tau = 1/k\).
Méthode d'Euler : \(T_{n+1} = T_n - k\,(T_n - T_{ext})\,\Delta t\), calcul pas à pas de la température.