Exprimer le travail d'une force constante, du poids et d'une force électrique.
Énoncer et exploiter le théorème de l'énergie cinétique.
Définir l'énergie mécanique, établir sa conservation sans frottements et son évolution en leur présence.
Étudier un oscillateur mécanique : période propre, échange \(E_c \leftrightarrow E_p\), amortissement.
Suivre numériquement l'évolution des énergies au cours d'un mouvement.
Situation. Une voiture lancée à \(50\ \text{km/h}\) ne s'arrête pas sur la même distance qu'une voiture à \(100\ \text{km/h}\) : loin de doubler, la distance de freinage est multipliée par quatre. Pourquoi ? Parce que ce n'est pas la vitesse qui est en jeu, mais l'énergie de mouvement, qui varie comme le carré de la vitesse. Comprendre les transferts d'énergie — comment le mouvement se transforme en hauteur, en déformation d'un ressort, puis en chaleur dans les freins — permet de prévoir la vitesse d'un objet en tout point de sa trajectoire, de dimensionner un pare-chocs ou d'expliquer le balancement d'un pendule. C'est l'objet de ce chapitre : décrire la mécanique avec le langage de l'énergie.
1. Le travail d'une force
Une force ne produit un effet énergétique que si son point d'application se déplace. Un déménageur qui pousse un mur de toutes ses forces sans le faire bouger ne fournit, au sens de la physique, aucun travail. Le travail mesure précisément l'énergie qu'une force transfère à un système lorsque celui-ci se déplace.
Définition — travail d'une force constante
Le travail d'une force constante \(\vec{F}\) dont le point d'application subit un déplacement rectiligne \(\vec{AB}\) est le nombre :
\[W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F}\cdot\vec{AB} = F\times AB\times\cos\alpha\]
où \(F\) est la valeur de la force (en newtons N), \(AB\) la distance parcourue (en mètres m) et \(\alpha\) l'angle entre \(\vec{F}\) et le déplacement. Le travail s'exprime en joules (J).
Le facteur \(\cos\alpha\) traduit une idée simple : seule la composante de la force dans la direction du mouvement travaille. Trois cas se présentent selon l'orientation de la force.
Travail moteur, résistant ou nul
Si \(\alpha \lt 90^\circ\) alors \(\cos\alpha \gt 0\) : le travail est positif, la force est motrice (elle accélère, elle apporte de l'énergie).
Si \(\alpha \gt 90^\circ\) alors \(\cos\alpha \lt 0\) : le travail est négatif, la force est résistante (elle freine, elle retire de l'énergie) — c'est le cas des frottements.
Si \(\alpha = 90^\circ\) alors \(\cos\alpha = 0\) : le travail est nul. Une force perpendiculaire au mouvement ne travaille pas (ex. la réaction normale d'un support horizontal).
1.1 Travail du poids
Le poids \(\vec{P}\) d'un objet, de valeur \(P = mg\), est vertical et dirigé vers le bas. Lorsque l'objet passe d'un point \(A\) à un point \(B\), on montre que son travail ne dépend que de la variation d'altitude, pas du chemin suivi.
Travail du poids
Pour un déplacement d'un point \(A\) (altitude \(z_A\)) à un point \(B\) (altitude \(z_B\)), l'axe vertical étant orienté vers le haut :
\[W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A - z_B)\]
Il est positif à la descente (\(z_A \gt z_B\), le poids est moteur) et négatif à la montée. Sa valeur ne dépend pas du trajet mais seulement du dénivelé \(h = z_A - z_B\).
Cette propriété est remarquable : que l'objet descende en chute libre, glisse sur un toboggan ou emprunte une route en lacets, le poids fournit le même travail \(mgh\) pourvu que le dénivelé soit le même. On dit que le poids est une force conservative.
Exemple travaillé — chute d'un sac. Un sac de \(m = 12\ \text{kg}\) tombe d'une hauteur \(h = 3{,}0\ \text{m}\). Avec \(g = 9{,}81\ \text{N/kg}\), le travail du poids vaut :
\(W(\vec{P}) = m\,g\,h = 12 \times 9{,}81 \times 3{,}0 = 353\ \text{J}\) (positif : le poids est moteur pendant la descente).
Mini-exercice 1. Une caisse de \(m = 25\ \text{kg}\) est montée de \(2{,}5\ \text{m}\) par un monte-charge. Calculer le travail du poids. Est-il moteur ou résistant ? (\(g = 9{,}81\ \text{N/kg}\))
À la montée \(z_B \gt z_A\), donc \(W(\vec P)=m g (z_A-z_B)=-m g h=-25\times9{,}81\times2{,}5=-613\ \text{J}\). Le travail est négatif : le poids est résistant (il s'oppose à la montée).
1.2 Travail d'une force électrique
Entre deux plaques parallèles portées à des potentiels différents règne un champ électrique uniforme \(\vec{E}\) (vu au chapitre sur les champs). Une particule de charge \(q\) y subit une force électrique constante \(\vec{F} = q\,\vec{E}\), de valeur \(F = |q|\,E\). Comme cette force est constante, son travail se calcule de la même façon que celui du poids.
Travail de la force électrique (champ uniforme)
Pour une charge \(q\) qui se déplace de \(A\) à \(B\) dans un champ uniforme \(\vec E\) :
\[W_{AB}(\vec F) = q\,\vec E\cdot\vec{AB} = q\,U_{AB}\]
où \(U_{AB} = V_A - V_B\) est la tension entre les points \(A\) et \(B\) (en volts V), \(q\) en coulombs (C). Le travail est en joules.
Exemple travaillé — accélération d'un électron. Un électron (\(q = -1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}\)) traverse une tension accélératrice \(U_{AB} = -200\ \text{V}\). Le travail de la force électrique vaut :
\(W = q\,U_{AB} = (-1{,}6\times10^{-19})\times(-200) = 3{,}2\times10^{-17}\ \text{J}\) (positif : la force électrique accélère l'électron).
2. L'énergie cinétique et son théorème
Tout corps en mouvement possède une énergie liée à sa vitesse : l'énergie cinétique. C'est elle qui blesse lors d'un choc, qui entraîne une turbine ou qui doit être « évacuée » lors d'un freinage.
Définition — énergie cinétique
Un solide de masse \(m\) (kg) animé d'une vitesse \(v\) (m/s) possède l'énergie cinétique :
\[E_c = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 \quad (\text{en joules J})\]
Le point essentiel est la dépendance en \(v^2\) : si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par quatre. C'est la clé de la situation d'introduction. Représentée en fonction de la vitesse, l'énergie cinétique est une parabole.
Comment relier cette énergie aux forces qui agissent sur le corps ? La réponse est l'un des théorèmes les plus utiles de la mécanique.
Théorème de l'énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui s'exercent sur lui :
\[\Delta E_c = E_{c}(B) - E_{c}(A) = \tfrac{1}{2}mv_B^2 - \tfrac{1}{2}mv_A^2 = \sum W_{AB}(\vec F)\]
Méthode — appliquer le théorème de l'énergie cinétique
Choisir le système (le solide) et le référentiel (galiléen : terrestre en général).
Faire le bilan des forces et calculer le travail de chacune entre \(A\) et \(B\) (attention aux signes).
Écrire \(\tfrac12 m v_B^2 - \tfrac12 m v_A^2 = \sum W\).
Isoler l'inconnue (vitesse finale, distance, force de frottement…).
Exemple travaillé — distance de freinage. Une voiture de \(m = 1200\ \text{kg}\) roule à \(v_A = 90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}\). Les freins et frottements exercent une force résistante constante \(f = 6000\ \text{N}\) sur la distance de freinage \(d\), jusqu'à l'arrêt (\(v_B = 0\)). La route est horizontale (le poids et la réaction ne travaillent pas).
Théorème : \(0 - \tfrac12 m v_A^2 = -f\times d\), soit \(d = \dfrac{m v_A^2}{2f} = \dfrac{1200\times25^2}{2\times6000} = \dfrac{750\,000}{12\,000} = 62{,}5\ \text{m}\).
À \(45\ \text{km/h}\) (moitié), \(v_A^2\) est divisé par 4 : la distance devient \(15{,}6\ \text{m}\), soit quatre fois moins. La vitesse double, la distance quadruple.
Mini-exercice 2. Un palet de hockey de \(m = 0{,}17\ \text{kg}\) est lancé sur une glace parfaitement lisse (frottements négligés). Une force horizontale de \(F = 4{,}0\ \text{N}\) agit sur \(d = 0{,}80\ \text{m}\), le palet partant du repos. Quelle est sa vitesse finale ?
Seule \(F\) travaille : \(\tfrac12 m v^2 - 0 = F d\), donc \(v=\sqrt{\dfrac{2Fd}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times4{,}0\times0{,}80}{0{,}17}}=\sqrt{37{,}6}=6{,}1\ \text{m/s}\).
3. L'énergie potentielle
Un objet peut aussi posséder de l'énergie en réserve, du seul fait de sa position ou de sa déformation. Cette énergie « en attente », susceptible de se transformer en mouvement, s'appelle énergie potentielle. Deux cas sont au programme.
Énergie potentielle de pesanteur
Un solide de masse \(m\) à l'altitude \(z\) (axe vertical vers le haut) possède l'énergie potentielle de pesanteur :
\[E_{pp} = m\,g\,z \quad (\text{J})\]
Elle dépend d'un choix d'origine (\(z=0\)) : seules ses variations ont un sens physique. On retrouve d'ailleurs \(W(\vec P) = -\Delta E_{pp}\).
Énergie potentielle élastique
Un ressort de raideur \(k\) (N/m) allongé ou comprimé d'une longueur \(x\) par rapport à sa position au repos emmagasine l'énergie potentielle élastique :
\[E_{pe} = \tfrac{1}{2}\,k\,x^2 \quad (\text{J})\]
Comme l'énergie cinétique, elle varie comme le carré de la déformation.
4. L'énergie mécanique et sa conservation
Réunissons maintenant les deux formes d'énergie mécanique — le mouvement et la position — en une seule grandeur.
Définition — énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
\[E_m = E_c + E_p\]
Étudions le cas où seules des forces conservatives (poids, force élastique) travaillent, les frottements étant négligés. D'après le théorème de l'énergie cinétique \(\Delta E_c = W(\vec P) = -\Delta E_{pp}\), donc \(\Delta E_c + \Delta E_{pp} = 0\), c'est-à-dire \(\Delta E_m = 0\). L'énergie mécanique reste constante.
Conservation de l'énergie mécanique
En l'absence de frottements (forces non conservatives de travail nul), l'énergie mécanique se conserve :
\[E_m = E_c + E_p = \text{constante}\]
L'énergie cinétique et l'énergie potentielle s'échangent en permanence, mais leur somme ne varie pas. Quand \(E_c\) augmente, \(E_p\) diminue d'autant, et réciproquement.
Exemple travaillé — vitesse en bas d'un toboggan. Un enfant (\(m = 30\ \text{kg}\)) part du repos en haut d'un toboggan de hauteur \(h = 3{,}0\ \text{m}\). En négligeant les frottements, quelle vitesse atteint-il en bas ?
Conservation : \(E_m(\text{haut}) = E_m(\text{bas})\). En haut \(E_c=0\), \(E_p = mgh\). En bas \(E_p=0\), \(E_c = \tfrac12 mv^2\).
Donc \(\tfrac12 mv^2 = mgh \Rightarrow v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times9{,}81\times3{,}0} = 7{,}7\ \text{m/s}\).
Remarque : la masse se simplifie — la vitesse ne dépend pas de la masse (comme en chute libre).
Que se passe-t-il en présence de frottements ? Ceux-ci exercent une force résistante dont le travail est négatif : ils retirent de l'énergie au système mécanique (transformée en chaleur). L'énergie mécanique diminue.
Théorème de l'énergie mécanique
La variation d'énergie mécanique d'un système est égale à la somme des travaux des forces non conservatives (frottements, force motrice…) :
\[\Delta E_m = \sum W(\vec F_{\text{non conservatives}})\]
Pour des frottements seuls : \(\Delta E_m = W(\vec f) \lt 0\). L'énergie « perdue » par le système mécanique est dissipée sous forme thermique : \(E_{\text{dissipée}} = |{\Delta E_m}|\).
Exemple travaillé — énergie dissipée sur une piste. Une luge (\(m = 40\ \text{kg}\)) descend un dénivelé \(h = 5{,}0\ \text{m}\) et arrive en bas à \(v = 8{,}0\ \text{m/s}\). Quelle énergie a été dissipée par frottement ?
En haut (repos) : \(E_m^{i} = mgh = 40\times9{,}81\times5{,}0 = 1962\ \text{J}\).
En bas : \(E_m^{f} = \tfrac12 mv^2 = \tfrac12\times40\times8{,}0^2 = 1280\ \text{J}\).
\(\Delta E_m = 1280 - 1962 = -682\ \text{J}\). L'énergie dissipée par les frottements vaut donc \(682\ \text{J}\), transformée en chaleur.
Mini-exercice 3. Une balle de \(m = 0{,}15\ \text{kg}\) est lancée verticalement vers le haut à \(v_0 = 12\ \text{m/s}\). En négligeant l'air, quelle hauteur maximale atteint-elle ?
Conservation : au sommet \(v=0\) donc \(E_c=0\). \(mgh_{max}=\tfrac12 m v_0^2\Rightarrow h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{12^2}{2\times9{,}81}=7{,}3\ \text{m}\). (La masse se simplifie.)
Mini-exercice 4. Un skieur (\(m = 70\ \text{kg}\)) descend un dénivelé de \(h = 20\ \text{m}\) et arrive en bas à \(v = 15\ \text{m/s}\). Calculer l'énergie dissipée par frottement. (\(g = 9{,}81\ \text{N/kg}\))
Un oscillateur mécanique est un système qui, écarté de sa position d'équilibre puis lâché, effectue des allers-retours autour de cette position. Deux exemples classiques : le système masse-ressort (une masse accrochée à un ressort) et le pendule simple (une masse au bout d'un fil). Ces mouvements périodiques sont partout : suspension d'une voiture, balancier d'horloge, corde de guitare, séisme.
Période propre
La période propre \(T_0\) est la durée d'un aller-retour complet de l'oscillateur libre (sans frottement, sans excitation extérieure). Pour les deux oscillateurs du programme :
\[\text{masse-ressort : } T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \qquad \text{pendule simple : } T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\]
\(m\) en kg, \(k\) en N/m, \(L\) longueur du fil en m, \(g\) en m/s². \(T_0\) est en secondes.
Une propriété importante — l'isochronisme — apparaît sur ces formules : la période propre ne dépend pas de l'amplitude des oscillations (pour un pendule, tant que l'angle reste petit). Pour le masse-ressort, \(T_0\) ne dépend pas non plus de \(g\) : ce système oscillerait de la même façon en apesanteur. Pour le pendule au contraire, seule comptent la longueur et la pesanteur — pas la masse.
Exemple travaillé — réglage d'un pendule. On veut un pendule de période \(T_0 = 2{,}0\ \text{s}\) (le fameux « pendule qui bat la seconde », une seconde par demi-oscillation). Quelle longueur de fil ? De \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\), on tire \(L = \dfrac{g\,T_0^2}{4\pi^2} = \dfrac{9{,}81\times2{,}0^2}{4\pi^2} = \dfrac{39{,}2}{39{,}5} = 0{,}99\ \text{m}\). Il faut donc un fil d'environ \(1\ \text{m}\).
Pendant l'oscillation, l'énergie bascule sans cesse entre forme cinétique et forme potentielle. Au passage par la position d'équilibre, la vitesse est maximale : \(E_c\) est maximale et \(E_p\) nulle. Aux points extrêmes (élongation maximale), la vitesse s'annule un instant : \(E_c\) est nulle et \(E_p\) maximale. Sans frottement, l'énergie mécanique reste constante : les deux courbes \(E_c(t)\) et \(E_p(t)\) sont en opposition, leur somme est une droite horizontale.
En réalité, tout oscillateur réel subit des frottements (air, liaisons). L'énergie mécanique diminue progressivement : les oscillations s'affaiblissent — c'est l'amortissement. L'amplitude décroît à chaque aller-retour jusqu'à l'arrêt. On distingue trois régimes selon l'intensité des frottements.
Amortissement — les trois régimes
Régime pseudo-périodique (frottements faibles) : l'oscillateur oscille encore, mais l'amplitude décroît. On parle de pseudo-période \(T\) (proche de \(T_0\)).
Régime critique : le système revient à l'équilibre le plus vite possible sans osciller.
Régime apériodique (frottements forts) : retour lent à l'équilibre, sans oscillation.
Dans tous les cas, l'énergie mécanique est dissipée sous forme thermique.
Mini-exercice 5. Un système masse-ressort a une masse \(m = 0{,}20\ \text{kg}\) et un ressort de raideur \(k = 50\ \text{N/m}\). Calculer sa période propre \(T_0\).
Mini-exercice 6. On double la longueur du fil d'un pendule simple. Par quel facteur sa période propre est-elle multipliée ?
\(T_0=2\pi\sqrt{L/g}\) : la période varie comme \(\sqrt L\). Si \(L\) double, \(T_0\) est multipliée par \(\sqrt 2\approx1{,}41\).
6. Suivre les énergies au cours d'un mouvement (capacité numérique)
À partir d'une vidéo pointée (ou d'un tableur de positions), on dispose des coordonnées \(x(t)\), \(y(t)\) d'un mobile à intervalles de temps réguliers \(\Delta t\). On peut alors reconstituer l'évolution de chaque énergie et vérifier expérimentalement les théorèmes de ce chapitre.
Méthode — calculer les énergies point par point
Vitesse : entre deux points voisins, \(v_i \approx \dfrac{\sqrt{(x_{i+1}-x_{i-1})^2 + (y_{i+1}-y_{i-1})^2}}{2\,\Delta t}\) (vitesse au point \(i\)).
Énergie cinétique : \(E_c = \tfrac12 m v_i^2\) pour chaque point.
Énergie potentielle : \(E_{pp} = m g y_i\) (choisir l'origine \(y=0\)).
Énergie mécanique : \(E_m = E_c + E_{pp}\).
Tracer \(E_c\), \(E_p\) et \(E_m\) en fonction du temps et interpréter : \(E_m\) horizontale ⇒ pas de frottement ; \(E_m\) décroissante ⇒ dissipation.
En Python (bibliothèques usuelles), la boucle centrale s'écrit typiquement :
for i in range(1, N-1):
vx = (x[i+1] - x[i-1]) / (2*dt)
vy = (y[i+1] - y[i-1]) / (2*dt)
v = (vx**2 + vy**2)**0.5
Ec.append(0.5 * m * v**2)
Ep.append(m * g * y[i])
Em.append(Ec[-1] + Ep[-1])
L'interprétation du graphe obtenu est directe : si \(E_m\) reste constante, la modélisation « sans frottement » est validée ; si \(E_m\) diminue, on quantifie l'énergie dissipée par la baisse \(|\Delta E_m|\).
7. Applications
Où retrouve-t-on ces énergies ?
Sécurité routière : la distance de freinage en \(v^2\) justifie les limitations de vitesse ; l'énergie cinétique du véhicule doit être entièrement dissipée par les freins (échauffement des disques).
Barrage hydroélectrique : l'eau retenue en altitude stocke de l'énergie potentielle \(mgz\), convertie en énergie cinétique puis en électricité dans la turbine.
Suspensions et amortisseurs : un amortisseur de voiture est un oscillateur volontairement amorti (régime proche du critique) pour que la caisse ne rebondisse pas après une bosse.
Horlogerie : le pendule et le balancier exploitent l'isochronisme (période indépendante de l'amplitude) pour mesurer le temps.
Manèges et montagnes russes : la vitesse en bas d'une descente se prévoit par conservation de l'énergie mécanique, \(v=\sqrt{2gh}\).
8. Erreurs fréquentes
Erreurs fréquentes
❌ Oublier le \(\cos\alpha\) et écrire \(W = F\times d\) alors que la force est inclinée → ✅ \(W = F\,d\,\cos\alpha\) ; seule la composante dans le sens du mouvement travaille.
❌ Croire que doubler la vitesse double l'énergie cinétique → ✅ \(E_c \propto v^2\) : la vitesse double, \(E_c\) et la distance de freinage quadruplent.
❌ Confondre travail moteur (\(W \gt 0\)) et résistant (\(W \lt 0\)) → ✅ le signe vient du \(\cos\alpha\) ; les frottements donnent toujours \(W \lt 0\).
❌ Écrire \(E_m = \text{constante}\) en présence de frottements → ✅ sans frottement seulement ; sinon \(\Delta E_m = W(\vec f) \lt 0\).
❌ Utiliser \(g\) dans la période du masse-ressort ou la masse dans celle du pendule → ✅ \(T_0=2\pi\sqrt{m/k}\) (pas de \(g\)) ; \(T_0=2\pi\sqrt{L/g}\) (pas de \(m\)).
❌ Oublier les unités : \(E_c\) en joules exige \(m\) en kg et \(v\) en m/s → ✅ convertir les km/h en m/s (diviser par \(3{,}6\)) avant tout calcul.
À retenir
Travail d'une force constante : \(W = F\,d\,\cos\alpha\) (J). Poids : \(W(\vec P)=mgh\) (indépendant du chemin). Force électrique : \(W = qU\).
Énergie mécanique \(E_m=E_c+E_p\) : constante sans frottement ; \(\Delta E_m = W(\vec f) \lt 0\) avec frottements (dissipation thermique).
Oscillateur : période propre \(T_0=2\pi\sqrt{m/k}\) (ressort) ou \(2\pi\sqrt{L/g}\) (pendule), indépendante de l'amplitude ; \(E_c\) et \(E_p\) s'échangent ; les frottements amortissent.
Étude numérique : vitesse par différence de positions, puis \(E_c\), \(E_p\), \(E_m\) point par point pour tester la conservation.