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Chapitre 11 – Mouvement dans un champ de gravitation (lois de Kepler)

Exercices par capacités · Terminale générale

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 11:16

Capacités travaillées

C1 — Force d'interaction gravitationnelle et champ de gravitation

Exercice 1

Calculer la norme de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune.

DonnéeValeur
Constante de gravitation G6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²
Masse de la Terre MT5,97 × 10²⁴ kg
Masse de la Lune ML7,35 × 10²² kg
Distance Terre–Lune d3,84 × 10⁸ m
  1. Rappeler l'expression de la force de gravitation entre deux corps ponctuels.
  2. Calculer sa norme pour le couple Terre–Lune.
  3. Comparer la force exercée par la Terre sur la Lune et celle exercée par la Lune sur la Terre.
  1. \(F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^2}\), force attractive portée par la droite joignant les deux centres.
  2. \(F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^{8})^2} = \dfrac{2{,}93 \times 10^{37}}{1{,}47 \times 10^{17}} \approx 2{,}0 \times 10^{20}\) N.
  3. D'après la troisième loi de Newton (actions réciproques), la Lune exerce sur la Terre une force de même norme et de sens opposé.
Exercice 2

Le champ de gravitation créé par un astre de masse \(M\) à la distance \(r\) de son centre a pour norme \(g = \dfrac{GM}{r^2}\).

  1. Calculer le champ de gravitation terrestre au niveau du sol (\(R_T = 6{,}37 \times 10^{6}\) m, \(M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\) kg).
  2. Calculer sa valeur à l'altitude de la Station spatiale internationale (\(h = 400\) km).
  3. Un astronaute en orbite est-il « en apesanteur » parce que la gravitation y est nulle ? Commenter.
  1. \(g_0 = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{(6{,}37 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3{,}98 \times 10^{14}}{4{,}06 \times 10^{13}} \approx 9{,}8\) N·kg⁻¹.
  2. \(r = R_T + h = 6{,}77 \times 10^{6}\) m : \(g = \dfrac{3{,}98 \times 10^{14}}{(6{,}77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3{,}98 \times 10^{14}}{4{,}58 \times 10^{13}} \approx 8{,}7\) N·kg⁻¹.
  3. Non : la gravitation y vaut encore près de 90 % de sa valeur au sol. L'« impesanteur » vient du fait que la station et l'astronaute sont en chute libre permanente autour de la Terre, pas d'une absence de gravitation.
Exercice 3

Sur Mars, une sonde mesure un champ de gravitation \(g_M = 3{,}71\) N·kg⁻¹ à la surface. Le rayon de Mars vaut \(R_M = 3{,}39 \times 10^{6}\) m.

  1. Exprimer la masse de Mars en fonction de \(g_M\), \(R_M\) et \(G\).
  2. Calculer cette masse.
  3. Calculer le poids d'un rover de 900 kg sur Mars et le comparer à son poids sur Terre (\(g_0 = 9{,}81\) N·kg⁻¹).
  1. De \(g_M = \dfrac{GM_M}{R_M^2}\) on tire \(M_M = \dfrac{g_M R_M^2}{G}\).
  2. \(M_M = \dfrac{3{,}71 \times (3{,}39 \times 10^{6})^2}{6{,}67 \times 10^{-11}} = \dfrac{3{,}71 \times 1{,}149 \times 10^{13}}{6{,}67 \times 10^{-11}} \approx 6{,}4 \times 10^{23}\) kg.
  3. \(P_M = m\,g_M = 900 \times 3{,}71 \approx 3{,}3 \times 10^{3}\) N contre \(P_T = 900 \times 9{,}81 \approx 8{,}8 \times 10^{3}\) N : le rover « pèse » environ 2,6 fois moins sur Mars (sa masse, elle, ne change pas).

C2 — Énoncer et exploiter les lois de Kepler

Exercice 4

Répondre aux questions suivantes :

  1. Énoncer les trois lois de Kepler pour les planètes du Système solaire.
  2. Où se trouve le Soleil sur l'orbite elliptique d'une planète ?
  3. D'après la deuxième loi, à quel endroit de son orbite une comète va-t-elle le plus vite ?
  1. 1re loi (orbites) : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. 2e loi (aires) : le segment Soleil–planète balaie des aires égales pendant des durées égales. 3e loi (périodes) : \(\dfrac{T^2}{a^3}\) est la même constante pour toutes les planètes (T période, a demi-grand axe).
  2. Le Soleil occupe l'un des deux foyers de l'ellipse (pas son centre).
  3. Au point le plus proche du Soleil (le périhélie) : pour balayer la même aire en un temps donné avec un rayon plus court, la comète doit parcourir plus de distance, donc aller plus vite.
Exercice 5

On donne les caractéristiques orbitales de deux planètes (a en unités astronomiques, T en années terrestres) :

Planètea (ua)T (an)
Terre1,001,00
Mars1,52à déterminer
Jupiter5,20à déterminer
  1. Écrire la troisième loi de Kepler avec ces unités (ua, an) en s'appuyant sur la ligne « Terre ».
  2. Calculer la période de révolution de Mars.
  3. Calculer celle de Jupiter.
  1. Pour la Terre, \(\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{1^2}{1^3} = 1\) : en années et ua, la loi s'écrit simplement \(T^2 = a^3\).
  2. \(T = a^{3/2} = 1{,}52^{1{,}5} = \sqrt{1{,}52^3} = \sqrt{3{,}51} \approx 1{,}87\) an (≈ 687 jours).
  3. \(T = 5{,}20^{1{,}5} = \sqrt{5{,}20^3} = \sqrt{140{,}6} \approx 11{,}9\) ans.
Exercice 6

Io, satellite de Jupiter, décrit une orbite quasi circulaire de rayon \(r = 4{,}22 \times 10^{8}\) m avec une période \(T = 1{,}77\) jour. La troisième loi de Kepler appliquée aux satellites de Jupiter s'écrit \(\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_J}\).

  1. Isoler \(M_J\) dans cette relation.
  2. Convertir la période en secondes puis calculer la masse de Jupiter (\(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\) N·m²·kg⁻²).
  3. Europe orbite à \(r' = 6{,}71 \times 10^{8}\) m. Sans nouveau calcul de masse, déterminer sa période.
  1. \(M_J = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}\).
  2. \(T = 1{,}77 \times 24 \times 3600 \approx 1{,}53 \times 10^{5}\) s. \(M_J = \dfrac{4\pi^2 \times (4{,}22 \times 10^{8})^3}{6{,}67 \times 10^{-11} \times (1{,}53 \times 10^{5})^2} = \dfrac{39{,}5 \times 7{,}52 \times 10^{25}}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}34 \times 10^{10}} \approx \dfrac{2{,}97 \times 10^{27}}{1{,}56}\approx 1{,}9 \times 10^{27}\) kg.
  3. \(\dfrac{T'^2}{r'^3} = \dfrac{T^2}{r^3}\) donc \(T' = T\left(\dfrac{r'}{r}\right)^{3/2} = 1{,}77 \times \left(\dfrac{6{,}71}{4{,}22}\right)^{1{,}5} = 1{,}77 \times 1{,}59^{1{,}5} \approx 1{,}77 \times 2{,}0 \approx 3{,}6\) jours.

C3 — Vitesse et période d'un satellite ; satellite géostationnaire

Exercice 7

Un satellite de masse \(m\) décrit une orbite circulaire de rayon \(r\) autour de la Terre (masse \(M_T\)). La seule force est la gravitation.

  1. À l'aide de la deuxième loi de Newton et de l'expression de l'accélération centripète (\(a = v^2/r\)), établir l'expression de la vitesse : \(v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}\).
  2. La vitesse dépend-elle de la masse du satellite ?
  3. En déduire l'expression de la période \(T\) du satellite.
  1. \(\sum\vec{F} = m\vec{a}\) avec \(F = \dfrac{GM_Tm}{r^2}\) et, pour un mouvement circulaire uniforme, \(a = \dfrac{v^2}{r}\) (centripète) : \(\dfrac{GM_Tm}{r^2} = m\,\dfrac{v^2}{r}\) d'où \(v^2 = \dfrac{GM_T}{r}\) et \(v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}\).
  2. Non : \(m\) s'est simplifiée. Tous les satellites sur la même orbite ont la même vitesse.
  3. Le satellite parcourt le périmètre \(2\pi r\) en une période : \(T = \dfrac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_T}}\).
Exercice 8

La Station spatiale internationale orbite à \(r = 6{,}77 \times 10^{6}\) m du centre de la Terre. Données : \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\) N·m²·kg⁻², \(M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\) kg.

  1. Calculer sa vitesse orbitale.
  2. Calculer sa période de révolution en secondes puis en minutes.
  3. Combien de tours de la Terre effectue-t-elle par 24 h ?
  1. \(v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{6{,}77 \times 10^{6}}} = \sqrt{5{,}88 \times 10^{7}} \approx 7{,}7 \times 10^{3}\) m·s⁻¹ (environ 27 600 km·h⁻¹).
  2. \(T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 6{,}77 \times 10^{6}}{7{,}67 \times 10^{3}} \approx 5{,}5 \times 10^{3}\) s \(\approx 92\) min.
  3. \(\dfrac{24 \times 60}{92} \approx 15{,}6\) : la station fait environ 15 à 16 tours de la Terre par jour.
Exercice 9

Un satellite géostationnaire reste en permanence à la verticale du même point de l'équateur. Données : \(GM_T = 3{,}98 \times 10^{14}\) m³·s⁻², jour sidéral \(T = 86\,164\) s, \(R_T = 6{,}37 \times 10^{6}\) m.

  1. Justifier que sa période doit être égale au jour sidéral et que son orbite est dans le plan équatorial.
  2. À partir de \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_T}}\), exprimer puis calculer le rayon de son orbite.
  3. En déduire son altitude.
  1. Pour rester au-dessus du même point, le satellite doit tourner à la même vitesse angulaire que la Terre (période = jour sidéral) et dans le même sens ; seule une orbite dans le plan de l'équateur permet de rester à la verticale d'un point fixe.
  2. \(r = \sqrt[3]{\dfrac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{3{,}98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{2{,}95 \times 10^{24}}{39{,}5}} = \sqrt[3]{7{,}48 \times 10^{22}} \approx 4{,}22 \times 10^{7}\) m.
  3. \(h = r - R_T = 4{,}22 \times 10^{7} - 6{,}37 \times 10^{6} \approx 3{,}58 \times 10^{7}\) m, soit environ 35 800 km d'altitude.