Mouvement dans un champ de gravitation (lois de Kepler) | Physique-Chimie | Terminale spécialité
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 00:45
Un satellite de masse \(m\) décrit une orbite circulaire de rayon \(r = 7{,}0\times 10^{6}\) m autour de la Terre. On néglige toute autre force que l'attraction terrestre.
1. Exprime la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite. (2 pts)
2. En appliquant la deuxième loi de Newton, montre que la vitesse vaut \(v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}\). (4 pts)
3. Calcule la valeur de \(v\). (2 pts)
1. \(F=\dfrac{G\,M_T\,m}{r^2}\), dirigée du satellite vers le centre de la Terre.
2. Mouvement circulaire uniforme : \(a=\dfrac{v^2}{r}\). La 2ᵉ loi projetée sur la normale donne \(\dfrac{G\,M_T\,m}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}\), d'où \(v^2=\dfrac{G\,M_T}{r}\) et \(v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}\).
3. \(v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times 10^{-11}\times 6{,}0\times 10^{24}}{7{,}0\times 10^{6}}}\approx\sqrt{5{,}7\times 10^{7}}\approx 7{,}6\times 10^{3}\) m·s\(^{-1}\).
Pour les planètes du système solaire en orbite quasi circulaire de rayon \(r\) et de période \(T\), la troisième loi de Kepler s'écrit \(\dfrac{T^2}{r^3}=\text{constante}\).
1. Énonce les trois lois de Kepler. (3 pts)
2. À partir de \(v=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\) et de \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\), retrouve la relation \(\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}\). (3 pts)
3. Une planète plus éloignée a-t-elle une période plus grande ou plus petite ? Justifie. (2 pts)
1. (1) Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est un foyer. (2) Loi des aires : le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales. (3) \(\dfrac{T^2}{r^3}\) (ou \(a^3\)) est la même pour toutes les planètes.
2. \(\dfrac{2\pi r}{T}=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\Rightarrow\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}=\dfrac{G\,M}{r}\Rightarrow T^2=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,M}\Rightarrow\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}\).
3. \(T^2\) croît avec \(r^3\) : une planète plus éloignée (\(r\) plus grand) a une période \(T\) plus grande.
Une comète décrit une orbite très elliptique autour du Soleil.
1. Que dit la deuxième loi de Kepler sur les aires balayées ? (2 pts)
2. La comète va-t-elle plus vite au périhélie (au plus près du Soleil) ou à l'aphélie (au plus loin) ? Justifie. (2 pts)
1. Le segment Soleil-comète balaie des aires égales pendant des durées égales (la vitesse aréolaire est constante).
2. Près du Soleil, le rayon vecteur est court : pour balayer la même aire dans le même temps, la comète doit parcourir un arc plus long, donc aller plus vite au périhélie.