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Chapitre 9 – Décrire un mouvement : vecteurs vitesse et accélération

Exercices par capacités · Terminale générale

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités travaillées

C1 — Établir les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération

Exercice 1

Un chariot se déplace sur une table horizontale. Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unités SI), sa position est donnée par :

\(x(t) = 2{,}0\,t + 1{,}0\)  ;  \(y(t) = 3{,}0\)

  1. Établir les coordonnées du vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\).
  2. Établir les coordonnées du vecteur accélération \(\vec{a}(t)\).
  3. Qualifier le mouvement du chariot.
  1. Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : \(v_x = \dfrac{dx}{dt} = 2{,}0\) m·s⁻¹ ; \(v_y = \dfrac{dy}{dt} = 0\). Donc \(\vec{v}\,(2{,}0\ ;\ 0)\) m·s⁻¹, constant.
  2. \(a_x = \dfrac{dv_x}{dt} = 0\) ; \(a_y = \dfrac{dv_y}{dt} = 0\). Le vecteur accélération est nul : \(\vec{a} = \vec{0}\).
  3. Trajectoire rectiligne (y constant) et vitesse constante : le mouvement est rectiligne uniforme.
Exercice 2

Une balle est lancée. Dans le plan vertical \((O;\vec{i},\vec{j})\), sa position (en mètres, t en secondes) est :

\(x(t) = 5{,}0\,t\)  ;  \(y(t) = -4{,}9\,t^2 + 2{,}0\,t\)

  1. Établir les coordonnées de \(\vec{v}(t)\) puis de \(\vec{a}(t)\).
  2. Montrer que le vecteur accélération est constant ; donner sa norme et sa direction.
  3. Calculer la norme de la vitesse à \(t = 0\).
  1. Par dérivation : \(v_x = 5{,}0\) m·s⁻¹ ; \(v_y = -9{,}8\,t + 2{,}0\) m·s⁻¹. Puis \(a_x = 0\) ; \(a_y = -9{,}8\) m·s⁻².
  2. Les coordonnées de \(\vec{a}\) ne dépendent pas du temps : \(\vec{a}\) est constant, de norme \(a = 9{,}8\) m·s⁻², vertical et dirigé vers le bas. On reconnaît l'accélération de pesanteur \(\vec{g}\).
  3. À \(t=0\) : \(v_x = 5{,}0\) m·s⁻¹ et \(v_y = 2{,}0\) m·s⁻¹, donc \(v_0 = \sqrt{5{,}0^2 + 2{,}0^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}4\) m·s⁻¹.
Exercice 3

Un point M décrit un cercle de rayon \(R = 0{,}50\) m à la vitesse angulaire constante \(\omega = 2{,}0\) rad·s⁻¹ :

\(x(t) = R\cos(\omega t)\)  ;  \(y(t) = R\sin(\omega t)\)

  1. Établir les coordonnées de \(\vec{v}(t)\) et montrer que sa norme est constante. La calculer.
  2. Établir les coordonnées de \(\vec{a}(t)\) et montrer que \(\vec{a} = -\omega^2\,\overrightarrow{OM}\). Que peut-on en déduire sur sa direction ?
  3. Calculer la norme de l'accélération et vérifier que \(a = \dfrac{v^2}{R}\).
  1. \(v_x = -R\omega\sin(\omega t)\) ; \(v_y = R\omega\cos(\omega t)\). Norme : \(v = R\omega\sqrt{\sin^2 + \cos^2} = R\omega = 0{,}50 \times 2{,}0 = 1{,}0\) m·s⁻¹, constante.
  2. \(a_x = -R\omega^2\cos(\omega t)\) ; \(a_y = -R\omega^2\sin(\omega t)\), soit \(\vec{a} = -\omega^2\,\overrightarrow{OM}\) : l'accélération est dirigée de M vers le centre O du cercle. Elle est centripète.
  3. \(a = R\omega^2 = 0{,}50 \times 2{,}0^2 = 2{,}0\) m·s⁻². Vérification : \(\dfrac{v^2}{R} = \dfrac{1{,}0^2}{0{,}50} = 2{,}0\) m·s⁻². Cohérent.

C2 — Exploiter un pointage (approche discrète)

Exercice 4

Un mobile autoporteur est filmé sur une table horizontale. Le pointage donne les abscisses suivantes (intervalle \(\Delta t = 0{,}100\) s entre deux positions) :

PointM₁M₂M₃
t (s)0,1000,2000,300
x (m)0,000,250,60
  1. Rappeler l'expression approchée de la vitesse au point M₂ (méthode des points encadrants).
  2. Calculer \(v_2\).
  3. Le mouvement est-il uniforme ? Justifier à partir des distances parcourues.
  1. \(v_2 \approx \dfrac{x_3 - x_1}{t_3 - t_1} = \dfrac{x_3 - x_1}{2\Delta t}\).
  2. \(v_2 = \dfrac{0{,}60 - 0{,}00}{2 \times 0{,}100} = \dfrac{0{,}60}{0{,}200} = 3{,}0\) m·s⁻¹.
  3. Les distances parcourues pendant des durées égales augmentent (0,25 m puis 0,35 m) : le mouvement est accéléré, donc non uniforme.
Exercice 5

Pour le même type d'étude, on a déjà calculé les normes des vitesses en trois points successifs d'un mouvement rectiligne (\(\Delta t = 0{,}100\) s entre deux points) :

PointM₁M₂M₃
v (m·s⁻¹)2,02,63,2
  1. Donner l'expression approchée de l'accélération au point M₂.
  2. Calculer \(a_2\).
  3. Le vecteur accélération a-t-il le même sens que le vecteur vitesse ? Justifier.
  1. \(a_2 \approx \dfrac{v_3 - v_1}{2\Delta t}\).
  2. \(a_2 = \dfrac{3{,}2 - 2{,}0}{2 \times 0{,}100} = \dfrac{1{,}2}{0{,}200} = 6{,}0\) m·s⁻².
  3. Le mouvement est rectiligne et la vitesse augmente : \(\vec{a}\) est colinéaire à \(\vec{v}\) et de même sens (mouvement accéléré).
Exercice 6

La chronophotographie ci-dessous représente la chute d'une bille (positions repérées toutes les \(\Delta t = 40\) ms, échelle réelle indiquée).

M₀ (t = 0) M₁ M₂ M₃ M₄ 6,3 cm
Chute d'une bille — une position toutes les 40 ms (distance M₁M₂ réelle : 6,3 cm)
  1. Décrire qualitativement l'évolution de la vitesse au cours de la chute.
  2. Calculer la vitesse moyenne entre M₁ et M₂.
  3. Quelle est la direction et le sens du vecteur accélération ? Justifier.
  1. Les positions sont de plus en plus espacées pour des durées égales : la vitesse augmente au cours de la chute (mouvement accéléré).
  2. \(v = \dfrac{M_1M_2}{\Delta t} = \dfrac{6{,}3 \times 10^{-2}}{40 \times 10^{-3}} \approx 1{,}6\) m·s⁻¹.
  3. Le mouvement est rectiligne vertical et accéléré vers le bas : \(\vec{a}\) est vertical, dirigé vers le bas (même sens que \(\vec{v}\)) — c'est l'accélération de pesanteur.

C3 — Caractériser l'accélération des mouvements de référence

Exercice 7

Pour chacun des mouvements suivants, caractériser le vecteur accélération (nul ? constant ? direction ? sens ?) :

  1. Un train roulant en ligne droite à vitesse constante 300 km·h⁻¹.
  2. Une voiture qui freine en ligne droite de façon uniforme.
  3. Un cheval de manège tournant à vitesse constante.
  1. Mouvement rectiligne uniforme : \(\vec{v}\) constant, donc \(\vec{a} = \vec{0}\) (même à grande vitesse !).
  2. Mouvement rectiligne uniformément varié : \(\vec{a}\) constant, colinéaire à \(\vec{v}\) mais de sens opposé (la vitesse diminue).
  3. Mouvement circulaire uniforme : la norme de \(\vec{v}\) est constante mais sa direction change ; \(\vec{a}\) n'est pas nul, il est centripète (dirigé vers le centre), de norme \(v^2/R\).
Exercice 8

Un TGV passe de 0 à 320 km·h⁻¹ en 6,0 min sur une voie rectiligne, avec une accélération supposée constante.

  1. Convertir la vitesse finale en m·s⁻¹.
  2. Calculer la norme de l'accélération.
  3. Comparer à l'accélération de pesanteur \(g = 9{,}81\) m·s⁻².
  1. \(v = \dfrac{320}{3{,}6} \approx 88{,}9\) m·s⁻¹.
  2. Mouvement rectiligne uniformément varié : \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{88{,}9 - 0}{6{,}0 \times 60} = \dfrac{88{,}9}{360} \approx 0{,}25\) m·s⁻².
  3. \(\dfrac{a}{g} = \dfrac{0{,}25}{9{,}81} \approx 0{,}025\) : l'accélération vaut environ 2,5 % de \(g\), très confortable pour les passagers.
Exercice 9

La Station spatiale internationale décrit une orbite quasi circulaire de rayon \(r = 6{,}77 \times 10^{6}\) m autour du centre de la Terre, à la vitesse constante \(v = 7{,}7 \times 10^{3}\) m·s⁻¹.

  1. Qualifier le mouvement de la station dans le référentiel géocentrique.
  2. Donner la direction et le sens de son vecteur accélération.
  3. Calculer la norme de cette accélération. Commenter la valeur obtenue.
  1. Trajectoire circulaire, vitesse de norme constante : mouvement circulaire uniforme.
  2. \(\vec{a}\) est centripète : porté par le rayon, dirigé vers le centre de la Terre.
  3. \(a = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{(7{,}7 \times 10^{3})^2}{6{,}77 \times 10^{6}} = \dfrac{5{,}93 \times 10^{7}}{6{,}77 \times 10^{6}} \approx 8{,}8\) m·s⁻². Cette valeur est proche de \(g\) au sol : à 400 km d'altitude, la pesanteur reste presque aussi intense qu'à la surface — c'est elle qui « courbe » la trajectoire de la station.

C4 — Représenter les vecteurs d'un pointage avec Python (capacité numérique)

Exercice 10

Un pointage vidéo fournit trois tableaux t, x et y de même longueur \(N\), à intervalles réguliers. On veut calculer les coordonnées du vecteur vitesse par la méthode centrée.

vx = np.full(len(t), np.nan)
vy = np.full(len(t), np.nan)

for i in range(…, …):
    dt = t[i+1] - t[i-1]
    vx[i] = …
    vy[i] = …
  1. Compléter les deux bornes de la boucle range, puis les deux lignes de calcul.
  2. Pourquoi initialiser les tableaux avec np.nan plutôt qu'avec des zéros ?
  3. Combien de vecteurs vitesse obtient-on pour \(N = 9\) points ? Et combien de vecteurs accélération, si on les calcule ensuite de la même façon à partir des vitesses ?
  1. for i in range(1, len(t) - 1): puis vx[i] = (x[i+1] - x[i-1]) / dt et vy[i] = (y[i+1] - y[i-1]) / dt. La durée dt vaut \(2\tau\) : c'est bien l'écart entre les deux instants utilisés.
  2. Parce qu'aux deux extrémités la vitesse n'est pas calculable : il manque le point précédent ou le point suivant. Un zéro serait une fausse mesure — il affirmerait que le mobile est à l'arrêt — alors que np.nan signale une valeur indéfinie, que matplotlib laisse simplement de côté.
  3. Pour \(N = 9\) : les vitesses existent aux indices 1 à 7, soit 7 vecteurs vitesse. Les accélérations demandent une vitesse avant et une vitesse après : indices 2 à 6, soit 5 vecteurs accélération. On perd un point à chaque bout, à chaque dérivation.
Exercice 11

On veut maintenant représenter les vecteurs sur le graphique du pointage. Un élève écrit :

graph.quiver(x, y, vx, vy, angles="xy", scale_units="xy", scale=1/0.08, color="blue")
graph.quiver(x, y, ax, ay, angles="xy", scale_units="xy", scale=1/0.08, color="red")
graph.set_aspect("auto")

Les vitesses valent quelques m·s⁻¹ et les accélérations une dizaine de m·s⁻².

  1. Citer deux défauts de ce tracé et expliquer ce que l'élève verra à l'écran.
  2. Proposer une correction pour chacun.
  3. Pourquoi set_aspect("equal") est-il indispensable ici ?
  1. Une seule échelle pour deux grandeurs différentes : avec scale=1/0.08 dans les deux cas, les flèches d'accélération seront environ cinq fois plus longues que celles de vitesse et sortiront du cadre. Et tous les points sont passés à quiver, y compris ceux où la valeur est indéfinie.
  2. Deux échelles distinctes, chacune annoncée par un quiverkey — par exemple \(0{,}08\) m par m·s⁻¹ et \(0{,}015\) m par m·s⁻² — et un découpage des tableaux sur les points réellement calculés : x[1:-1] pour les vitesses, x[2:-2] pour les accélérations.
  3. Sans set_aspect("equal"), les deux axes n'ont pas la même échelle : une flèche dessinée n'a plus la direction du vecteur qu'elle représente. La direction lue sur le graphique serait fausse — or c'est exactement ce que la figure doit montrer.