Exercices – Chapitre 5

Évolution temporelle : loi de vitesse d'ordre 1 | Physique-Chimie | Terminale spécialité

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Ce que ces exercices font travailler :

Loi de vitesse d'ordre 1 : \(v = k\,[A]\) et constante de vitesse \(k\)
Équation différentielle et solution \([A](t)=[A]_0\,e^{-kt}\)
Temps de demi-réaction \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}\) et temps caractéristique \(\tau = 1/k\)

Exercice 1 — Loi de vitesse d'ordre 1

Une transformation suit une loi de vitesse d'ordre 1 : \(v = k\,[A]\), avec \(k = 2{,}0\times 10^{-2}\) s\(^{-1}\).

1. Quelle est l'unité de \(k\) pour un ordre 1 ? 2. Calcule la vitesse quand \([A] = 0{,}50\) mol·L\(^{-1}\).

1. \(v\) est en mol·L\(^{-1}\)·s\(^{-1}\) et \([A]\) en mol·L\(^{-1}\) : \(k\) s'exprime en s\(^{-1}\).

2. \(v = k\,[A] = 2{,}0\times 10^{-2}\times 0{,}50 = 1{,}0\times 10^{-2}\) mol·L\(^{-1}\)·s\(^{-1}\).

Exercice 2 — Évolution exponentielle

La concentration suit \([A](t)=[A]_0\,e^{-kt}\), avec \([A]_0 = 0{,}40\) mol·L\(^{-1}\) et \(k = 0{,}10\) s\(^{-1}\).

1. Calcule \([A]\) à \(t = 10\) s. 2. Vers quelle valeur tend \([A]\) quand \(t\) devient très grand ?

1. \([A](10)=0{,}40\times e^{-0{,}10\times 10}=0{,}40\times e^{-1}\approx 0{,}40\times 0{,}37=0{,}15\) mol·L\(^{-1}\).

2. Quand \(t\to\infty\), \(e^{-kt}\to 0\) : \([A]\to 0\). Le réactif est totalement consommé (asymptote horizontale).

Exercice 3 — Demi-vie et constante de vitesse

Pour une réaction d'ordre 1, \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}\).

1. Calcule \(t_{1/2}\) pour \(k = 0{,}10\) s\(^{-1}\). 2. Une autre réaction a \(t_{1/2}=5{,}0\) min : détermine sa constante \(k\) (en s\(^{-1}\)). 3. Pour l'ordre 1, \(t_{1/2}\) dépend-il de \([A]_0\) ?

1. \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{0{,}10}=\dfrac{0{,}69}{0{,}10}\approx 6{,}9\) s.

2. \(t_{1/2}=5{,}0\) min \(= 300\) s, donc \(k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}69}{300}\approx 2{,}3\times 10^{-3}\) s\(^{-1}\).

3. Non : pour l'ordre 1, \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}\) est indépendant de \([A]_0\) (c'est une propriété caractéristique de l'ordre 1).

Exercice 4 — Temps caractéristique τ

On définit le temps caractéristique \(\tau = \dfrac{1}{k}\). On donne \(k = 0{,}20\) s\(^{-1}\).

1. Calcule \(\tau\). 2. Que vaut le rapport \(\dfrac{[A]}{[A]_0}\) à \(t=\tau\) ? 3. Compare \(\tau\) et \(t_{1/2}\).

1. \(\tau = \dfrac{1}{0{,}20}=5{,}0\) s.

2. À \(t=\tau\) : \(\dfrac{[A]}{[A]_0}=e^{-k\tau}=e^{-1}\approx 0{,}37\) (soit 37 % du réactif restant).

3. \(t_{1/2}=\ln 2\times\tau\approx 0{,}69\,\tau\) : la demi-vie est un peu plus courte que \(\tau\). Ici \(t_{1/2}\approx 3{,}5\) s.

Exercice 5 — Vérifier la solution de l'équation différentielle

Pour l'ordre 1, la concentration vérifie l'équation différentielle \(\dfrac{\text{d}[A]}{\text{d}t}=-k\,[A]\).

Montre que \([A](t)=[A]_0\,e^{-kt}\) est bien solution de cette équation, et vérifie la condition initiale.

On dérive : \(\dfrac{\text{d}[A]}{\text{d}t}=[A]_0\times(-k)\,e^{-kt}=-k\left([A]_0\,e^{-kt}\right)=-k\,[A]\). L'équation est vérifiée.

Condition initiale : \([A](0)=[A]_0\,e^{0}=[A]_0\). ✔ La fonction est donc la solution.

Exercice 6 — Problème (type Bac)

La décomposition de l'eau oxygénée est d'ordre 1 avec \(k = 3{,}0\times 10^{-3}\) s\(^{-1}\) et \([\text{H}_2\text{O}_2]_0 = 0{,}80\) mol·L\(^{-1}\).

1. Calcule le temps de demi-réaction. 2. Détermine \([\text{H}_2\text{O}_2]\) au bout de 10 min. 3. Au bout de combien de temps 90 % de l'eau oxygénée est-elle décomposée ? (On donne \(\ln 10 \approx 2{,}3\).)

1. \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}=\dfrac{0{,}69}{3{,}0\times 10^{-3}}\approx 2{,}3\times 10^{2}\) s \(\approx\) 3,8 min.

2. \(t=10\) min \(=600\) s : \([\text{H}_2\text{O}_2]=0{,}80\,e^{-3{,}0\times 10^{-3}\times 600}=0{,}80\,e^{-1{,}8}\approx 0{,}80\times 0{,}165\approx 0{,}13\) mol·L\(^{-1}\).

3. 90 % décomposée ⇒ il reste 10 % : \(\dfrac{[A]}{[A]_0}=0{,}10=e^{-kt}\), donc \(kt=\ln 10\), \(t=\dfrac{\ln 10}{k}=\dfrac{2{,}3}{3{,}0\times 10^{-3}}\approx 7{,}7\times 10^{2}\) s \(\approx\) 13 min.