Chapitre 5 – Évolution temporelle : loi de vitesse d'ordre 1

Exercices par capacités · Terminale générale

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 11:06

Capacités travaillées

C1 — Établir et identifier une loi de vitesse d'ordre 1 (v = k·[A])
C2 — Exploiter l'équation différentielle et la solution [A](t) = [A]₀·e^(−kt)
C3 — Relier t½, τ et la constante de vitesse k

C1 — Établir et identifier une loi de vitesse d'ordre 1

Exercice 1

La disparition d'un réactif A suit une loi de vitesse d'ordre 1.

Écrire cette loi de vitesse et préciser l'unité de la constante de vitesse k si les concentrations sont en mol·L⁻¹ et le temps en secondes.
Par quel facteur la vitesse est-elle multipliée quand [A] double ?

Mes réponses :

\(v = k\,[A]\) : la vitesse volumique de disparition est proportionnelle à la concentration du réactif. Comme v s'exprime en mol·L⁻¹·s⁻¹ et [A] en mol·L⁻¹, k s'exprime en s⁻¹.
La vitesse est doublée (proportionnalité).

Exercice 2

Pour une transformation, on a mesuré la vitesse volumique initiale de disparition pour différentes concentrations initiales :

[A]₀ (mmol·L⁻¹)	2,0	4,0	8,0
v₀ (µmol·L⁻¹·s⁻¹)	1,6	3,2	6,4

Montrer que ces mesures sont compatibles avec une loi de vitesse d'ordre 1.
Déterminer la constante de vitesse k.

Mes réponses :

Le rapport v₀/[A]₀ est constant : 1,6/2,0 = 0,80 ; 3,2/4,0 = 0,80 ; 6,4/8,0 = 0,80 (en 10⁻³ s⁻¹). La vitesse est proportionnelle à la concentration : loi d'ordre 1.
\(k = \dfrac{v_0}{[A]_0} = \mathbf{8{,}0 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}}\) (attention aux unités : µmol/mmol = 10⁻³).

Exercice 3

Un suivi cinétique donne, à divers instants, la concentration [A] et la vitesse de disparition v (déterminée par les tangentes) :

t (min)	0	10	20	30
[A] (mmol·L⁻¹)	12,0	8,0	5,4	3,6
v (mmol·L⁻¹·min⁻¹)	0,48	0,32	0,22	0,14

Ces données sont-elles compatibles avec une loi d'ordre 1 ? Si oui, donner k.

Mes réponses :

On teste v/[A] à chaque instant : 0,48/12,0 = 0,040 ; 0,32/8,0 = 0,040 ; 0,22/5,4 ≈ 0,041 ; 0,14/3,6 ≈ 0,039 (min⁻¹).

Le rapport est constant aux incertitudes près : loi d'ordre 1 avec k ≈ 0,040 min⁻¹.

C2 — Exploiter l'équation différentielle et la solution exponentielle

Exercice 4

Un réactif A disparaît selon une loi d'ordre 1 de constante k.

Établir l'équation différentielle vérifiée par [A](t).
Vérifier que \([A](t) = [A]_0\, e^{-kt}\) est solution de cette équation.

Mes réponses :

Vitesse de disparition : \(v = -\dfrac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}\) et loi d'ordre 1 : \(v = k[A]\). D'où \(\dfrac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t} = -k\,[A]\) : équation différentielle linéaire du premier ordre.
Dérivons : \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big([A]_0 e^{-kt}\big) = -k\,[A]_0 e^{-kt} = -k\,[A](t)\) ✓. De plus \([A](0) = [A]_0 e^{0} = [A]_0\) : la condition initiale est vérifiée. C'est bien la solution.

Exercice 5

La décoloration d'un colorant suit une loi d'ordre 1 avec k = 2,3 × 10⁻³ s⁻¹ et [C]₀ = 5,0 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹.

Exprimer [C](t).
Calculer [C] à t = 300 s.
Au bout de quelle durée la concentration vaut-elle 1,0 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ ?

Mes réponses :

\([C](t) = 5{,}0 \times 10^{-5}\, e^{-2{,}3 \times 10^{-3}\, t}\) (t en s).
\([C](300) = 5{,}0 \times 10^{-5} \times e^{-0{,}69} = 5{,}0 \times 10^{-5} \times 0{,}50 = \mathbf{2{,}5 \times 10^{-5}\ \text{mol·L}^{-1}}\) (300 s correspond au temps de demi-réaction).
\(e^{-kt} = \dfrac{1{,}0 \times 10^{-5}}{5{,}0 \times 10^{-5}} = 0{,}20\) ⟹ \(t = \dfrac{\ln 5}{k} = \dfrac{1{,}61}{2{,}3 \times 10^{-3}} = \mathbf{7{,}0 \times 10^{2}\ \text{s}}\) (environ 11,7 min).

Exercice 6

Pour vérifier qu'une cinétique est d'ordre 1, un élève trace ln[A] en fonction du temps :

t (min)	0	5	10	15	20
ln([A]/mmol·L⁻¹)	2,30	1,90	1,50	1,10	0,70

Justifier que, pour un ordre 1, ln[A] est une fonction affine du temps. Préciser son coefficient directeur.
Montrer que les données sont compatibles avec un ordre 1 et déterminer k.

Mes réponses :

\([A](t) = [A]_0 e^{-kt}\) ⟹ \(\ln[A] = \ln[A]_0 - k\,t\) : fonction affine de t, de coefficient directeur −k.
La décroissance est régulière : −0,40 toutes les 5 min, soit un coefficient directeur constant de −0,080 min⁻¹. Les points sont alignés : ordre 1 confirmé, avec k = 0,080 min⁻¹ (= 1,3 × 10⁻³ s⁻¹).

C3 — Relier t½, τ et la constante de vitesse k

Exercice 7

Pour une cinétique d'ordre 1 de constante k :

Démontrer la relation \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}\).
Pourquoi dit-on que, pour l'ordre 1, t½ est indépendant de la concentration initiale ? Quel intérêt pratique ?

Mes réponses :

Par définition \([A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}\) : \([A]_0 e^{-k t_{1/2}} = \dfrac{[A]_0}{2}\) ⟹ \(e^{-k t_{1/2}} = \dfrac12\) ⟹ \(k\,t_{1/2} = \ln 2\) ⟹ \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}\).
La relation ne fait pas intervenir [A]₀ : quel que soit l'instant pris comme origine, la concentration est divisée par 2 au bout de la même durée. C'est un critère de reconnaissance de l'ordre 1 sur une courbe expérimentale (demi-vies successives égales).

Exercice 8

Une réaction d'ordre 1 a une constante de vitesse k = 4,6 × 10⁻⁴ s⁻¹.

Calculer le temps de demi-réaction t½.
Calculer le temps caractéristique τ = 1/k. Comparer à t½.
Quelle fraction de réactif reste-t-il à t = τ ?

Mes réponses :

\(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{0{,}693}{4{,}6 \times 10^{-4}} = \mathbf{1{,}5 \times 10^{3}\ \text{s}}\) (25 min).
\(\tau = \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{4{,}6 \times 10^{-4}} = \mathbf{2{,}2 \times 10^{3}\ \text{s}}\) (36 min). On a τ = t½/ln 2 ≈ 1,44 t½ > t½.
\([A](\tau) = [A]_0\, e^{-1} \approx 0{,}37\,[A]_0\) : il reste environ 37 % du réactif.

Exercice 9

La courbe [A] = f(t) d'une cinétique d'ordre 1 est donnée ci-dessous.

Décroissance de [A] au cours du temps

Lire graphiquement t½, puis vérifier le caractère d'ordre 1 en comparant les instants où [A] vaut 8 puis 4 mmol·L⁻¹.
En déduire la constante de vitesse k.

Mes réponses :

[A]₀ = 16 mmol·L⁻¹ ; [A] = 8 mmol·L⁻¹ à t ≈ 20 min : t½ ≈ 20 min. [A] = 4 mmol·L⁻¹ à t ≈ 40 min : la concentration est à nouveau divisée par 2 en 20 min. Les demi-vies successives sont égales : ordre 1 confirmé.
\(k = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{20} = \mathbf{3{,}5 \times 10^{-2}\ \text{min}^{-1}}\) (≈ 5,8 × 10⁻⁴ s⁻¹).

Exercice 10

La même réaction d'ordre 1 est étudiée à deux températures : à 20 °C, k = 1,2 × 10⁻³ s⁻¹ ; à 40 °C, k = 4,8 × 10⁻³ s⁻¹.

Calculer t½ à chaque température.
Commenter l'influence de la température sur k et sur la durée de la transformation.

Mes réponses :

À 20 °C : \(t_{1/2} = \dfrac{0{,}693}{1{,}2 \times 10^{-3}} = \mathbf{5{,}8 \times 10^{2}\ \text{s}}\) (≈ 9,6 min). À 40 °C : \(t_{1/2} = \dfrac{0{,}693}{4{,}8 \times 10^{-3}} = \mathbf{1{,}4 \times 10^{2}\ \text{s}}\) (≈ 2,4 min).
La constante de vitesse augmente avec la température (ici ×4 pour +20 °C) : la température est un facteur cinétique qui agit à travers k. Le temps de demi-réaction, inversement proportionnel à k, est divisé par 4 — la transformation est d'autant plus brève.