Chapitre 1 – Suivi d'une transformation par spectrophotométrie ; dosage par étalonnage
Thème 1 : Constitution et transformations de la matière | Physique-Chimie | Terminale générale (spécialité)
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
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Objectifs du chapitre :
Relier la couleur d'une solution aux radiations qu'elle absorbe (couleurs complémentaires, étoile chromatique).
Définir l'absorbance \(A\) et exploiter un spectre d'absorption \(A=f(\lambda)\).
Énoncer et utiliser la loi de Beer-Lambert \(A=\varepsilon\,\ell\,c\) et connaître son domaine de validité.
Réaliser un dosage par étalonnage : gamme d'étalons, droite \(A=f(c)\), détermination d'une concentration inconnue.
Relier la préparation d'une gamme à la dilution.
Représenter, avec un langage de programmation (Python), un nuage de points et son modèle linéaire.
Situation. Dans un laboratoire de contrôle qualité, une technicienne doit vérifier la teneur en colorant d'un sirop, ou la quantité de fer dissous dans une eau de rivière. Elle ne pèse rien, ne fait précipiter aucun solide : elle mesure simplement combien de lumière la solution absorbe. Plus une solution est concentrée en espèce colorée, plus elle absorbe : c'est le principe de la spectrophotométrie. À partir d'une simple mesure d'absorbance et d'une droite d'étalonnage, on remonte à une concentration inconnue. C'est une méthode rapide, non destructive, utilisée du contrôle agroalimentaire à l'analyse médicale et environnementale.
1. Lumière colorée et couleur des solutions
Définition — lumière blanche et spectre visible
La lumière blanche (celle du Soleil ou d'une lampe) est la superposition de toutes les radiations colorées, du violet au rouge. Chaque radiation est caractérisée par sa longueur d'onde \(\lambda\), exprimée en nanomètres (nm). L'œil humain perçoit les radiations dont la longueur d'onde est comprise environ entre 400 nm (violet) et 780 nm (rouge) : c'est le domaine visible.
Définition — couleur d'une solution
Une solution colorée doit sa couleur au fait qu'elle absorbe une partie des radiations de la lumière blanche qui la traverse. Les radiations non absorbées sont transmises : ce sont elles qui parviennent à l'œil et donnent à la solution sa couleur. Une solution qui n'absorbe rien est incolore (elle transmet toute la lumière).
Exemple. Une solution de sulfate de cuivre paraît bleue : elle absorbe surtout les radiations rouge-orangé et laisse passer le bleu. Une solution de permanganate de potassium paraît violette : elle absorbe surtout le vert.
Mini-exercice 1. Une solution laisse passer (transmet) uniquement les radiations vertes et absorbe toutes les autres. De quelle couleur apparaît-elle à l'œil ? Que se passerait-il pour une solution qui n'absorbe aucune radiation ?
Seul le vert est transmis jusqu'à l'œil : la solution paraît verte. Une solution qui n'absorbe aucune radiation transmet toute la lumière blanche : elle est incolore (transparente).
2. Absorbance et spectre d'absorption
Définition — absorbance
L'absorbance \(A\) mesure la capacité d'une solution à absorber la lumière à une longueur d'onde donnée. Si \(I_0\) est l'intensité lumineuse incidente et \(I\) l'intensité transmise (avec \(I\lt I_0\)), l'absorbance est définie par :
\(A=\log\!\left(\dfrac{I_0}{I}\right)\)
C'est une grandeur sans unité (un rapport d'intensités). Plus la solution absorbe, plus \(I\) est faible et plus \(A\) est grande. Une solution transparente qui transmet tout (\(I=I_0\)) a une absorbance \(A=0\).
Définition — spectrophotomètre
Un spectrophotomètre est l'appareil qui mesure l'absorbance. Une source éclaire la solution ; un dispositif (le monochromateur) sélectionne une seule longueur d'onde \(\lambda\) ; la lumière traverse une cuve contenant la solution ; un détecteur compare l'intensité transmise \(I\) à l'intensité incidente \(I_0\) et affiche directement l'absorbance \(A\).
Définition — spectre d'absorption
Le spectre d'absorption d'une solution est la courbe donnant l'absorbance \(A\) en fonction de la longueur d'onde \(\lambda\) : \(A=f(\lambda)\). La longueur d'onde pour laquelle l'absorbance est maximale est notée \(\lambda_{max}\). C'est la couleur la plus absorbée par la solution.
Choix de la longueur d'onde de travail
Pour un dosage, on règle toujours le spectrophotomètre sur \(\lambda_{max}\). En effet, c'est à cette longueur d'onde que l'absorbance varie le plus fortement avec la concentration : la mesure est alors la plus sensible et la plus précise.
Mini-exercice 2. Sur le spectre d'absorption ci-dessus, le maximum d'absorbance se situe vers 525 nm, dans le vert. Sur quelle longueur d'onde faut-il régler le spectrophotomètre pour doser cette solution ? Pourquoi ?
On règle l'appareil sur \(\lambda_{max}\approx 525\) nm. À cette longueur d'onde l'absorbance est maximale : c'est là qu'elle varie le plus avec la concentration, donc la mesure est la plus sensible et la plus précise.
3. Couleur perçue et couleur absorbée
Couleurs complémentaires
La couleur perçue d'une solution est la couleur complémentaire de la couleur qu'elle absorbe le plus (celle qui correspond à \(\lambda_{max}\)). Deux couleurs complémentaires sont diamétralement opposées sur l'étoile chromatique (ou cercle chromatique).
Exemple travaillé — le permanganate de potassium. Son spectre montre \(\lambda_{max}\approx 525\) nm : la solution absorbe surtout le vert. Sur l'étoile chromatique, la couleur opposée au vert est le magenta : la solution paraît donc violette (magenta), ce qui correspond bien à l'observation.
Exemple — le sulfate de cuivre. Une solution de sulfate de cuivre absorbe surtout dans le rouge-orangé. La couleur complémentaire de l'orange/rouge est le bleu-cyan : la solution paraît bleue.
Mini-exercice 3. Le spectre d'absorption d'un colorant alimentaire présente un maximum vers 450 nm (bleu absorbé). En utilisant l'étoile chromatique, prévoir la couleur de la solution.
La solution absorbe le bleu (450 nm). La couleur complémentaire du bleu est le jaune : la solution paraît donc jaune.
4. La loi de Beer-Lambert
Avant d'énoncer la loi, comprenons comment elle se construit. On part d'une remarque simple : quand la lumière traverse la solution, chaque « tranche » de liquide absorbe une part de la lumière qui lui parvient. Deux idées permettent d'établir la loi.
Établissement — 1. Les absorbances s'ajoutent (effet de l'épaisseur \(\ell\))
Imaginons deux cuves identiques (même solution, même concentration) placées l'une derrière l'autre. La première reçoit l'intensité \(I_0\) et transmet \(I_1\) ; son absorbance est \(A_1=\log(I_0/I_1)\). La seconde reçoit \(I_1\) et transmet \(I_2\) ; son absorbance est \(A_2=\log(I_1/I_2)\). L'absorbance de l'ensemble vaut :
Grâce à la propriété du logarithme \(\log(a\times b)=\log a+\log b\), les absorbances s'ajoutent. Deux cuves identiques empilées revient à doubler l'épaisseur traversée et donne \(A=2A_1\) : l'absorbance est donc proportionnelle à l'épaisseur \(\ell\).
Établissement — 2. Effet de la concentration \(c\)
Le même raisonnement s'applique à la concentration. Doubler la concentration, c'est mettre deux fois plus de molécules absorbantes sur le trajet de la lumière : c'est équivalent, pour la lumière, à traverser deux fois plus de matière absorbante. L'absorbance double elle aussi. L'absorbance est donc aussi proportionnelle à la concentration \(c\).
En rassemblant les deux effets, \(A\) est proportionnelle à la fois à \(\ell\) et à \(c\), ce qui s'écrit \(A\propto \ell\,c\). En introduisant un coefficient de proportionnalité \(\varepsilon\) (qui dépend de l'espèce et de \(\lambda\)), on obtient la loi de Beer-Lambert.
Définition — loi de Beer-Lambert
Pour une solution diluée d'une espèce colorée, à une longueur d'onde donnée, l'absorbance est proportionnelle à la concentration de l'espèce absorbante :
\(A=\varepsilon\,\ell\,c\)
\(A\) : absorbance, sans unité ;
\(\varepsilon\) : coefficient d'absorption molaire, en \(\text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\). Il dépend de l'espèce chimique, de la longueur d'onde et du solvant ;
\(\ell\) : longueur de solution traversée (largeur de la cuve), en cm (souvent \(\ell=1{,}0\) cm) ;
\(c\) : concentration de l'espèce colorée, en mol·L\(^{-1}\).
Proportionnalité \(A \propto c\)
À \(\lambda\) et \(\ell\) fixés, \(\varepsilon\,\ell\) est une constante : l'absorbance est proportionnelle à la concentration. Le graphique \(A=f(c)\) est donc une droite passant par l'origine, de coefficient directeur \(\varepsilon\,\ell\). Doubler la concentration double l'absorbance.
Domaine de validité
La loi de Beer-Lambert n'est valable que pour des solutions diluées : en pratique on l'utilise tant que l'absorbance reste faible (typiquement \(A\lt 1{,}5\)). Pour les fortes concentrations, la proportionnalité n'est plus respectée (la courbe s'écarte de la droite) : il faut alors diluer la solution avant de mesurer.
Exemple travaillé — calcul direct de \(A\). Une solution d'espèce colorée a une concentration \(c=1{,}5\times10^{-4}\ \text{mol·L}^{-1}\). Le coefficient d'absorption molaire à \(\lambda_{max}\) vaut \(\varepsilon=2400\ \text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\) et la cuve mesure \(\ell=1{,}0\) cm.
On applique la loi de Beer-Lambert :
L'absorbance est bien sans unité : \(\text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\times\text{cm}\times\text{mol·L}^{-1}\) → les unités se simplifient.
Mini-exercice 4. Avec \(\varepsilon=6200\ \text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\) et une cuve de \(\ell=1{,}0\) cm, calculer l'absorbance d'une solution de concentration \(c=8{,}0\times10^{-5}\ \text{mol·L}^{-1}\).
Exemple travaillé — calcul inverse de \(c\). On mesure \(A=0{,}60\) pour une solution, avec \(\varepsilon=2400\ \text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\) et \(\ell=1{,}0\) cm. On isole \(c\) dans la loi de Beer-Lambert :
Mini-exercice 5. On mesure \(A=0{,}84\) pour une solution colorée, avec \(\varepsilon=4200\ \text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\) et \(\ell=1{,}0\) cm. Déterminer la concentration \(c\).
Définition — dosage par étalonnageDoser une espèce, c'est déterminer sa concentration dans une solution. Un dosage par étalonnage consiste à comparer la solution inconnue à une série de solutions de concentrations connues (les étalons) grâce à une grandeur physique mesurable — ici l'absorbance. Le dosage est non destructif : la solution n'est pas transformée par la mesure.
Définition — gamme d'étalonnage
La gamme d'étalonnage (ou échelle de teintes) est l'ensemble des solutions étalons, de concentrations connues croissantes, préparées le plus souvent par dilution d'une même solution mère. On mesure l'absorbance de chacune à \(\lambda_{max}\).
Méthode — dosage par étalonnage spectrophotométrique
Tracer (ou lire) le spectre d'absorption pour repérer \(\lambda_{max}\) et régler l'appareil.
Préparer une gamme d'étalons de concentrations connues (par dilution de la solution mère).
Mesurer l'absorbance de chaque étalon à \(\lambda_{max}\).
Tracer la droite d'étalonnage \(A=f(c)\) : elle passe par l'origine (loi de Beer-Lambert).
Mesurer l'absorbance \(A_x\) de la solution inconnue, dans les mêmes conditions.
Reporter \(A_x\) sur la droite (ou utiliser son équation) pour lire la concentration \(c_x\).
Exploitation de la droite d'étalonnage
La droite d'étalonnage a pour équation \(A=k\,c\), où le coefficient directeur \(k=\varepsilon\,\ell\) se lit sur le graphique. On en déduit la concentration inconnue :
\(c_x=\dfrac{A_x}{k}\)
On peut aussi lire directement \(c_x\) en projetant \(A_x\) sur la droite puis sur l'axe des concentrations.
Exemple travaillé complet. On dose une espèce colorée. La gamme d'étalons, mesurée à \(\lambda_{max}\) dans une cuve de \(\ell=1{,}0\) cm, donne :
\(c\) (mmol·L⁻¹)
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
\(A\)
0,12
0,24
0,36
0,48
0,60
Étape 1 — droite d'étalonnage. Les points sont alignés et passent par l'origine : \(A=k\,c\). Le coefficient directeur se calcule sur un point, par exemple \(k=\dfrac{0{,}60}{5{,}0}=0{,}12\ \text{L·mmol}^{-1}\).
Étape 2 — mesure de l'inconnue. Dans les mêmes conditions, la solution inconnue donne \(A_x=0{,}42\).
Étape 3 — concentration inconnue.
On retrouve bien la valeur lue graphiquement sur la droite d'étalonnage.
Lien avec la dilution
Préparer un étalon, c'est diluer la solution mère : la quantité de matière de soluté prélevée se conserve, donc \(c_{mère}\times V_{prélevé}=c_{fille}\times V_{fille}\). Si la solution inconnue est trop concentrée (absorbance hors de la gamme, \(A\) trop grande), on la dilue d'un facteur \(F\) connu avant de mesurer, puis on multiplie le résultat par \(F\) pour revenir à la concentration réelle.
Exemple — préparer un étalon par dilution. On veut \(V_{fille}=50{,}0\) mL d'étalon à \(c_{fille}=2{,}0\ \text{mmol·L}^{-1}\) à partir d'une solution mère à \(c_{mère}=10{,}0\ \text{mmol·L}^{-1}\). Le volume à prélever est :
On prélève 10,0 mL de solution mère à la pipette jaugée, versés dans une fiole jaugée de 50,0 mL, complétée jusqu'au trait de jauge.
Mini-exercice 6. Une solution inconnue trop concentrée donne \(A=1{,}8\) (hors du domaine de validité). On la dilue 4 fois puis on mesure \(A=0{,}45\). La droite d'étalonnage a pour équation \(A=0{,}12\,c\) (avec \(c\) en mmol·L⁻¹). Déterminer la concentration de la solution initiale.
Concentration de la solution diluée : \(c_{dil}=\dfrac{A}{0{,}12}=\dfrac{0{,}45}{0{,}12}=3{,}75\ \text{mmol·L}^{-1}\). Comme on a dilué 4 fois (\(F=4\)), la solution initiale est 4 fois plus concentrée : \(c_{initiale}=4\times3{,}75=15\ \text{mmol·L}^{-1}\).
6. Modéliser la droite d'étalonnage avec Python
Tracer la droite d'étalonnage « à la main » sur papier millimétré fonctionne, mais un langage de programmation comme Python permet de le faire plus vite et plus précisément : on représente le nuage de points \((c_i\,;\,A_i)\) mesurés, puis on cherche le modèle linéaire \(A=k\,c\) qui passe au plus près de ces points. C'est exactement ce que fait la fonction de régression linéaire.
Méthode — représenter un nuage de points et son modèle linéaire
Ranger les mesures dans deux listes : les concentrations c (abscisses) et les absorbances A (ordonnées).
Afficher le nuage de points avec plt.scatter(c, A).
Chercher la droite modèle \(A=k\,c\) : ici la droite passe par l'origine, on estime la pente par \(k=\overline{A}/\overline{c}\) (moyennes), ou avec numpy.polyfit pour une régression classique.
Tracer la droite modèle par-dessus le nuage avec plt.plot.
Utiliser le modèle pour prévoir la concentration inconnue : \(c_x=A_x/k\).
Voici un programme qui reprend la gamme d'étalons de l'exemple traité (les mêmes valeurs \(c=1{,}0\) à \(5{,}0\) mmol·L⁻¹, \(A=0{,}12\) à \(0{,}60\)), représente le nuage de points, calcule la pente et trace le modèle :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Mesures de la gamme d'etalons
c = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]) # concentrations (mmol/L)
A = np.array([0.12, 0.24, 0.36, 0.48, 0.60]) # absorbances (sans unite)
# Modele lineaire A = k * c passant par l'origine
k = np.sum(c * A) / np.sum(c * c) # pente au sens des moindres carres
print("pente k =", k) # -> 0.12 L/mmol
# Trace du nuage de points et de la droite modele
plt.scatter(c, A, color="black", label="points mesures")
c_modele = np.array([0.0, 5.0])
plt.plot(c_modele, k * c_modele, color="indigo", label="modele A = k*c")
# Concentration inconnue a partir de A_x = 0.42
Ax = 0.42
cx = Ax / k
print("cx =", cx, "mmol/L") # -> 3.5 mmol/L
plt.xlabel("c (mmol/L)")
plt.ylabel("A")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
À l'exécution, le programme affiche pente k = 0.12 et cx = 3.5 mmol/L : on retrouve exactement les résultats obtenus graphiquement au paragraphe 5. La figure produite ressemble à ceci — les points mesurés (le nuage) et la droite modèle qui les résume :
Mini-exercice 7. On dispose de la gamme d'étalons suivante : c = [0.5, 1.0, 1.5, 2.0] (en mmol·L⁻¹) et A = [0.10, 0.20, 0.30, 0.40]. (a) Quelle instruction Python affiche le nuage de points ? (b) Quelle est la valeur de la pente \(k\) du modèle \(A=k\,c\) ? (c) Le programme mesure \(A_x=0{,}26\) : quelle concentration \(c_x\) va-t-il afficher ?
(a) plt.scatter(c, A). (b) Les points sont alignés et passent par l'origine : \(k=\dfrac{A}{c}=\dfrac{0{,}40}{2{,}0}=0{,}20\ \text{L·mmol}^{-1}\). (c) \(c_x=\dfrac{A_x}{k}=\dfrac{0{,}26}{0{,}20}=1{,}3\ \text{mmol·L}^{-1}\).
7. Applications
La spectrophotométrie au quotidien et dans les métiers.
Contrôle qualité agroalimentaire : doser un colorant dans un sirop ou une boisson, vérifier la concentration en sucre ou en additif — la couleur trahit la concentration.
Analyse médicale (biologie) : mesurer la glycémie ou le taux de certaines protéines dans le sang à partir de l'absorbance d'une réaction colorée.
Environnement : doser le fer, les nitrates ou le phosphore dans une eau de rivière pour surveiller la pollution ; un réactif rend l'ion recherché coloré, puis on mesure l'absorbance.
Suivi d'une transformation chimique : lorsqu'un réactif ou un produit est coloré, on suit l'évolution de sa concentration au cours du temps en mesurant l'absorbance à intervalles réguliers, sans prélever ni détruire le mélange.
Traitement des eaux, cosmétique, pharmacie : vérifier qu'un principe actif ou un pigment est présent à la bonne concentration.
Erreurs fréquentes
❌ Croire que l'absorbance a une unité → ✅ \(A\) est sans unité (c'est le coefficient \(\varepsilon\) qui porte les unités \(\text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\)).
❌ Mesurer à n'importe quelle longueur d'onde → ✅ on se place à \(\lambda_{max}\) pour une mesure sensible et fiable.
❌ Confondre couleur absorbée et couleur perçue → ✅ la couleur perçue est la complémentaire de la couleur absorbée (opposée sur l'étoile chromatique).
❌ Appliquer la loi de Beer-Lambert à une solution trop concentrée → ✅ elle n'est valable qu'en solution diluée ; sinon on dilue avant de mesurer.
❌ Oublier de convertir \(\ell\) en cm ou \(c\) en mol·L⁻¹ → ✅ respecter les unités : \(A=\varepsilon\,\ell\,c\) n'est cohérente qu'avec \(\varepsilon\) en \(\text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\), \(\ell\) en cm, \(c\) en mol·L⁻¹.
❌ Oublier de multiplier par le facteur de dilution après avoir dilué l'échantillon inconnu → ✅ \(c_{réelle}=F\times c_{mesurée}\).
À retenir
Une solution colorée absorbe certaines radiations ; sa couleur perçue est la complémentaire de la couleur absorbée (étoile chromatique).
Absorbance \(A=\log(I_0/I)\) : sans unité, mesurée par le spectrophotomètre ; le spectre d'absorption \(A=f(\lambda)\) donne \(\lambda_{max}\).
Loi de Beer-Lambert : \(A=\varepsilon\,\ell\,c\) (solutions diluées). \(A\) proportionnelle à \(c\) → droite passant par l'origine, pente \(\varepsilon\,\ell\).
Dosage par étalonnage : gamme d'étalons → droite \(A=f(c)\) → on lit \(c_x=A_x/k\) pour la solution inconnue.
Les étalons se préparent par dilution : \(c_{mère}V_{prélevé}=c_{fille}V_{fille}\).
En Python : plt.scatter(c, A) représente le nuage de points et plt.plot la droite modèle \(A=k\,c\) ; on en déduit \(c_x=A_x/k\).