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Chapitre 1 – Suivi par spectrophotométrie ; dosage par étalonnage

Exercices par capacités · Terminale générale

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités travaillées

C1 — Exploiter un spectre d'absorption et la couleur d'une solution

Exercice 1

Le spectre d'absorption d'une solution aqueuse de permanganate de potassium est donné ci-dessous.

400 470 530 620 700 λ (nm) A 1,2
Spectre d'absorption A = f(λ) de la solution de permanganate de potassium
  1. Déterminer graphiquement la longueur d'onde d'absorption maximale λmax.
  2. À quelle couleur du spectre visible correspond cette longueur d'onde ?
  3. En déduire la couleur perçue de la solution (couleurs complémentaires).
  1. Le maximum de la courbe est atteint pour λmax ≈ 530 nm.
  2. 530 nm correspond au vert du spectre visible.
  3. La solution absorbe le vert : elle transmet la couleur complémentaire du vert, le magenta (violet-rose). C'est bien la couleur observée d'une solution de permanganate de potassium.
Exercice 2

Une solution de sulfate de cuivre(II) apparaît bleu cyan. Le cercle chromatique associe les paires de couleurs complémentaires suivantes : bleu/orange, cyan/rouge, vert/magenta, jaune/violet.

  1. Quelle(s) couleur(s) la solution absorbe-t-elle principalement ?
  2. Dans quel domaine de longueurs d'onde se situe donc λmax : autour de 450 nm, de 550 nm ou de 700 nm ?
  1. Une solution perçue cyan absorbe la couleur complémentaire du cyan : le rouge (et une partie de l'orange).
  2. Le rouge correspond aux grandes longueurs d'onde du visible : λmax se situe autour de 700 nm (le maximum d'absorption des ions Cu²⁺ hydratés est effectivement vers 780-800 nm, en limite du visible).
Exercice 3

On veut suivre par spectrophotométrie une solution de diiode (jaune-brun, λmax ≈ 470 nm) en présence d'ions permanganate (λmax ≈ 530 nm).

  1. Rappeler pourquoi on règle en général le spectrophotomètre sur λmax de l'espèce étudiée.
  2. Ici, les deux spectres se recouvrent partiellement. Quel problème cela pose-t-il si l'on mesure l'absorbance à 500 nm ?
  1. À λmax, l'absorbance est maximale : la mesure est la plus sensible (une petite variation de concentration produit une variation d'absorbance nettement mesurable) et l'incertitude relative est plus faible.
  2. À 500 nm, les deux espèces absorbent : l'absorbance mesurée est la somme des deux contributions. On ne peut plus attribuer A à une seule espèce ; il faut choisir une longueur d'onde où seule l'espèce suivie absorbe de façon significative.

C2 — Établir et exploiter la loi de Beer-Lambert

Exercice 4

Une solution de concentration \(c = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \text{mol·L}^{-1}\) est placée dans une cuve de largeur \(\ell = 1{,}0\ \text{cm}\). À λ = 530 nm, le coefficient d'absorption molaire vaut \(\varepsilon = 2300\ \text{L·mol}^{-1}\text{·cm}^{-1}\).

DonnéeValeur
Concentration c2,0 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
Largeur de cuve ℓ1,0 cm
Coefficient ε (à 530 nm)2300 L·mol⁻¹·cm⁻¹
  1. Énoncer la loi de Beer-Lambert en précisant les unités de chaque grandeur.
  2. Calculer l'absorbance A de la solution.
  1. \(A = \varepsilon \cdot \ell \cdot c\), avec A sans unité, ε en L·mol⁻¹·cm⁻¹, ℓ en cm et c en mol·L⁻¹. Elle est valable pour les solutions diluées (A ≲ 1 à 2) et à longueur d'onde fixée.
  2. \(A = 2300 \times 1{,}0 \times 2{,}0 \times 10^{-4} = \mathbf{0{,}46}\) (sans unité).
Exercice 5

À 620 nm, dans une cuve de 1,0 cm, une solution de colorant bleu donne une absorbance A = 0,72. Le coefficient d'absorption molaire du colorant à cette longueur d'onde vaut ε = 1,2 × 10⁴ L·mol⁻¹·cm⁻¹.

  1. Exprimer la concentration c en fonction de A, ε et ℓ.
  2. Calculer c.
  1. D'après \(A = \varepsilon \ell c\) : \(c = \dfrac{A}{\varepsilon \, \ell}\).
  2. \(c = \dfrac{0{,}72}{1{,}2 \times 10^{4} \times 1{,}0} = \mathbf{6{,}0 \times 10^{-5}\ \text{mol·L}^{-1}}\).
Exercice 6

Un élève mesure l'absorbance de solutions de plus en plus concentrées d'un même colorant, dans la même cuve et à la même longueur d'onde.

c (mmol·L⁻¹)0,100,200,400,801,60
A0,150,300,601,201,85
  1. Vérifier si la loi de Beer-Lambert est respectée pour les quatre premières mesures.
  2. Que constate-t-on pour la dernière mesure ? Interpréter.
  1. On calcule le rapport A/c : 0,15/0,10 = 1,5 ; 0,30/0,20 = 1,5 ; 0,60/0,40 = 1,5 ; 1,20/0,80 = 1,5 (en L·mmol⁻¹). Le rapport est constant : A est proportionnelle à c, la loi de Beer-Lambert est respectée.
  2. Pour c = 1,60 mmol·L⁻¹, la proportionnalité donnerait A = 1,5 × 1,60 = 2,4, or on mesure 1,85. La courbe s'incurve : on sort du domaine de validité de la loi (solution trop concentrée, absorbance trop élevée). Il faudrait diluer la solution avant la mesure.

C3 — Déterminer une concentration par dosage par étalonnage

Exercice 7

Pour doser le colorant E131 d'un sirop, on prépare une gamme d'étalons et on mesure leur absorbance à 640 nm.

c (µmol·L⁻¹)2,04,06,08,010,0
A0,160,320,480,640,80

La solution de sirop diluée donne AS = 0,56.

  1. Justifier que la droite d'étalonnage A = f(c) passe par l'origine et donner son coefficient directeur.
  2. En déduire la concentration en colorant de la solution diluée de sirop.
  1. Le rapport A/c est constant : 0,16/2,0 = 0,080 ; 0,32/4,0 = 0,080 ; … ; 0,80/10,0 = 0,080 µmol⁻¹·L. A est proportionnelle à c (loi de Beer-Lambert) : la droite passe par l'origine, de coefficient directeur k = 0,080 L·µmol⁻¹.
  2. \(c_S = \dfrac{A_S}{k} = \dfrac{0{,}56}{0{,}080} = \mathbf{7{,}0\ \text{µmol·L}^{-1}}\).
Exercice 8

La droite d'étalonnage ci-dessous a été obtenue pour des solutions de β-carotène à 450 nm (cuve de 1,0 cm).

2 4 6 8 10 c (µmol·L⁻¹) 0,3 0,6 0,9 1,2 A
Droite d'étalonnage A = f(c) du β-carotène à 450 nm

Un jus de carotte dilué donne A = 0,75.

  1. Déterminer graphiquement la concentration en β-carotène du jus dilué.
  2. Vérifier ce résultat par le calcul à l'aide du coefficient directeur de la droite.
  1. On trace l'horizontale A = 0,75 jusqu'à la droite, puis la verticale vers l'axe des abscisses : on lit c ≈ 6,3 µmol·L⁻¹.
  2. La droite passe par l'origine et par le point (10 µmol·L⁻¹ ; 1,2) : k = 1,2/10 = 0,12 L·µmol⁻¹. Donc \(c = \dfrac{0{,}75}{0{,}12} = \mathbf{6{,}25 \approx 6{,}3\ \text{µmol·L}^{-1}}\) : cohérent avec la lecture graphique.
Exercice 9

Un contrôle qualité impose que la concentration en nitrite d'une eau reste inférieure à 2,2 × 10⁻⁶ mol·L⁻¹. Après réaction colorée, la droite d'étalonnage à 540 nm a pour équation A = 4,5 × 10⁴ × c (c en mol·L⁻¹). L'échantillon d'eau, traité sans dilution, donne A = 0,117.

  1. Calculer la concentration en nitrite de l'échantillon.
  2. L'eau est-elle conforme ?
  1. \(c = \dfrac{A}{4{,}5 \times 10^{4}} = \dfrac{0{,}117}{4{,}5 \times 10^{4}} = \mathbf{2{,}6 \times 10^{-6}\ \text{mol·L}^{-1}}\).
  2. 2,6 × 10⁻⁶ > 2,2 × 10⁻⁶ mol·L⁻¹ : l'eau n'est pas conforme au critère imposé.

C4 — Relier dilution et préparation d'une gamme d'étalons

Exercice 10

On dispose d'une solution mère de concentration c₀ = 1,0 × 10⁻³ mol·L⁻¹. On souhaite préparer 100,0 mL d'une solution fille de concentration c₁ = 2,0 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹.

  1. Calculer le facteur de dilution F.
  2. Quel volume de solution mère faut-il prélever ? Avec quelle verrerie ?
  1. \(F = \dfrac{c_0}{c_1} = \dfrac{1{,}0 \times 10^{-3}}{2{,}0 \times 10^{-4}} = \mathbf{5{,}0}\).
  2. Conservation de la quantité de matière : \(c_0 V_0 = c_1 V_1\), donc \(V_0 = \dfrac{V_1}{F} = \dfrac{100{,}0}{5{,}0} = \mathbf{20{,}0\ \text{mL}}\). On prélève 20,0 mL à la pipette jaugée de 20,0 mL et on complète à 100,0 mL dans une fiole jaugée de 100,0 mL avec de l'eau distillée (verrerie de précision indispensable).
Exercice 11

À partir d'une solution mère de concentration c₀ = 50 µmol·L⁻¹, on prépare une gamme de cinq étalons dans des fioles jaugées de 50,0 mL, en prélevant les volumes suivants de solution mère.

Étalon12345
Volume prélevé V₀ (mL)5,010,020,030,040,0

Calculer la concentration de chaque étalon.

Pour chaque étalon : \(c = \dfrac{c_0 V_0}{V_{\text{fiole}}} = \dfrac{50 \times V_0}{50{,}0}\) = c₀ × (V₀/50,0).

  • Étalon 1 : 50 × 5,0/50,0 = 5,0 µmol·L⁻¹
  • Étalon 2 : 50 × 10,0/50,0 = 10 µmol·L⁻¹
  • Étalon 3 : 50 × 20,0/50,0 = 20 µmol·L⁻¹
  • Étalon 4 : 50 × 30,0/50,0 = 30 µmol·L⁻¹
  • Étalon 5 : 50 × 40,0/50,0 = 40 µmol·L⁻¹
Exercice 12

Une boisson au sirop de menthe est trop concentrée pour une mesure directe : son absorbance dépasse 2. On la dilue 10 fois, et la solution diluée donne, par étalonnage, une concentration en colorant cdiluée = 8,4 µmol·L⁻¹.

  1. Pourquoi fallait-il diluer avant la mesure ?
  2. Calculer la concentration en colorant de la boisson d'origine.
  1. Pour A > 1 à 2, on sort du domaine de validité de la loi de Beer-Lambert (et de la gamme d'étalonnage) : la relation A = f(c) n'est plus linéaire, la mesure n'est pas exploitable. La dilution ramène l'absorbance dans le domaine linéaire.
  2. \(c_{\text{boisson}} = F \times c_{\text{diluée}} = 10 \times 8{,}4 = \mathbf{84\ \text{µmol·L}^{-1}}\) soit 8,4 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹.

C5 — Représenter un nuage de points et un modèle linéaire (capacité numérique)

Exercice 13

Une gamme d'étalons a donné les mesures suivantes, rangées dans deux tableaux numpy :

c = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0])   # mmol/L
A = np.array([0.11, 0.22, 0.33, 0.44, 0.55])
  1. Écrire l'instruction qui affiche le nuage de points \(A\) en fonction de \(c\).
  2. La droite modèle passe par l'origine. Écrire l'instruction qui calcule sa pente \(k\) au sens des moindres carrés, puis donner sa valeur.
  3. Écrire les deux lignes qui tracent la droite modèle par-dessus le nuage, de \(c = 0\) à \(c = 5\).
  1. plt.scatter(c, A). On emploie scatter et non plot : il s'agit de points de mesure indépendants, qu'il ne faut pas relier.
  2. k = np.sum(c * A) / np.sum(c * c). Ici tous les rapports \(A/c\) valent \(0{,}11\), donc \(k = 0{,}11\) L·mmol\(^{-1}\).
  3. c_mod = np.array([0.0, 5.0]) puis plt.plot(c_mod, k * c_mod). Deux points suffisent à tracer une droite.
Exercice 14

Le programme précédent est repris avec une autre gamme, dont une mesure est douteuse :

c = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0])
A = np.array([0.12, 0.24, 0.30, 0.48, 0.60])

k = np.sum(c * A) / np.sum(c * c)
print("k =", k)

Ax = 0.42
print("cx =", Ax / k)
  1. Quelle mesure s'écarte du modèle ? Chiffrer l'écart.
  2. Le calcul de la pente tient compte de ce point douteux. La valeur de \(k\) obtenue est-elle plus grande ou plus petite que celle qu'on aurait sans lui ? Justifier sans calcul.
  3. Que faut-il faire de ce point avant de publier le résultat ?
  1. Les rapports \(A/c\) valent \(0{,}12\) pour quatre points, mais \(0{,}30/3{,}0 = 0{,}10\) pour le troisième. Le modèle prévoirait \(A = 0{,}12\times3{,}0 = 0{,}36\) : l'écart vaut \(0{,}06\), soit \(17\ \%\) de la valeur attendue.
  2. Ce point est en dessous de la droite que donneraient les autres. En cherchant à passer au plus près de tous les points, la méthode des moindres carrés abaisse la droite : la pente obtenue est donc plus petite que \(0{,}12\). Et comme \(c_x = A_x/k\), la concentration calculée s'en trouve surestimée.
  3. Il faut refaire l'étalon et la mesure. Un point ne s'écarte pas du lot sans raison : préparation erronée, cuve sale ou mal placée, zéro non réglé. On ne l'élimine qu'après avoir identifié la cause, et on le signale dans le compte rendu — supprimer une mesure gênante sans explication, c'est fausser le résultat.