Ch04 – Vitesse et accélération

Q1. \( t_{soudure} = \dfrac{L}{v} = \dfrac{1{,}5}{0{,}2} = 7{,}5\ \text{s} \)

Q2. \( t_{cycle} = 7{,}5 + 3 + 2 = 12{,}5\ \text{s par cordon} \)

Q3. \( t_{pièce} = 6 \times 12{,}5 = 75\ \text{s} = 1\ \text{min}\ 15\ \text{s} \)

Q4. 7 h = 25 200 s. Nombre de pièces = \( \lfloor 25\ 200 / 75 \rfloor = 336\ \text{pièces} \)

Q5. Cadence actuelle : 336 pièces/7h. Cadence souhaitée : \(336 \times 1{,}2 = 403{,}2 \rightarrow 403\ \text{pièces}\).
Nouveau \(t_{pièce} = 25\ 200 / 403 \approx 62{,}5\ \text{s}\).
Nouveau \(t_{cycle} = 62{,}5 / 6 \approx 10{,}42\ \text{s}\).
Nouveau \(t_{soudure} = 10{,}42 - 3 - 2 = 5{,}42\ \text{s}\).
\( v_{nouvelle} = 1{,}5 / 5{,}42 \approx 0{,}277\ \text{m/s} \approx 16{,}6\ \text{cm/s} \)
Il faudra vérifier que la vitesse de soudage accrue ne dégrade pas la qualité du cordon (paramètres procédé MIG).

Q1. \( v_0 = 6 / 3{,}6 = 1{,}667\ \text{m/s} \)

Q2. \( v^2 = v_0^2 - 2 \cdot a \cdot d \) avec \(v = 0\), \(d = 3\ \text{m}\) :
\( 0 = v_0^2 - 2ad \Rightarrow a = \dfrac{v_0^2}{2d} = \dfrac{(1{,}667)^2}{2 \times 3} = \dfrac{2{,}78}{6} \approx 0{,}463\ \text{m/s}^2 \)
L'accélération de freinage est \(a = -0{,}463\ \text{m/s}^2\) (signe négatif car décélération).

Q3. \( F = m \times |a| = 3\ 500 \times 0{,}463 \approx 1\ 620\ \text{N} \)

Q4. La force disponible (4 200 N) est supérieure à la force nécessaire (1 620 N) : le chariot peut s'arrêter en 3 m.
Décélération réelle : \( a_{max} = F_{max}/m = 4\ 200 / 3\ 500 = 1{,}2\ \text{m/s}^2 \)
Distance réelle : \( d = \dfrac{v_0^2}{2 \times 1{,}2} = \dfrac{2{,}78}{2{,}4} \approx 1{,}16\ \text{m} \)

Q5. Distance de réaction : \( d_{réaction} = v_0 \times t_{réaction} = 1{,}667 \times 0{,}5 = 0{,}833\ \text{m} \)
Distance totale : \( d_{totale} = 0{,}833 + 1{,}16 = 1{,}99\ \text{m} \approx 2\ \text{m} \)
Le chariot s'arrête en 2 m, soit avant le piéton qui était à 3 m. L'accident est évité — mais de peu !

Q6. Mesures de prévention sur chantier :
1. Séparation physique des voies piétons et engins (marquage au sol, barrières, trottoirs surélevés) — mesure de prévention collective prioritaire.
2. Limitation de vitesse stricte à 5 km/h en zone de coactivité piéton/engin, avec détecteurs de présence et ralentissement automatique.
Autres mesures possibles : miroirs aux angles, gyrophare sur l'engin, formation des conducteurs et piétons, zones de croisement dédiées.

1. \(a_1 = \dfrac{v_{\max} - v_0}{t_1} = \dfrac{0{,}8 - 0}{0{,}5} = \mathbf{1{,}6\ \text{m/s}^2}\) ; \(a_3 = \dfrac{0 - 0{,}8}{0{,}4} = \mathbf{-2{,}0\ \text{m/s}^2}\)

2. Phase 1 : \(d_1 = \dfrac{v_0 + v_{\max}}{2} \times t_1 = \dfrac{0 + 0{,}8}{2} \times 0{,}5 = \mathbf{0{,}20\ m}\). Phase 2 : \(d_2 = 0{,}8 \times 3 = \mathbf{2{,}40\ m}\). Phase 3 : \(d_3 = \dfrac{0{,}8 + 0}{2} \times 0{,}4 = \mathbf{0{,}16\ m}\)

3. \(d_{\text{totale}} = 0{,}20 + 2{,}40 + 0{,}16 = \mathbf{2{,}76\ m}\). Durée totale : \(T = 0{,}5 + 3 + 0{,}4 = \mathbf{3{,}9\ s}\)

4. \(v_{\text{moy}} = \dfrac{d_{\text{totale}}}{T} = \dfrac{2{,}76}{3{,}9} \approx \mathbf{0{,}71\ \text{m/s}}\)

5. Nouvelles accélérations : \(a_1' = 3{,}2\ \text{m/s}^2\) ; \(|a_3'| = 4{,}0\ \text{m/s}^2\). Nouvelles durées d'acc/déc : \(t_1' = 0{,}8/3{,}2 = 0{,}25\ \text{s}\) ; \(t_3' = 0{,}8/4{,}0 = 0{,}20\ \text{s}\). Distances acc/déc : \(d_1' = 0{,}8 \times 0{,}25/2 = 0{,}10\ \text{m}\) ; \(d_3' = 0{,}16/2 \times (0{,}8/4) \approx 0{,}08\ \text{m}\) → \(d_2' = 2{,}76 - 0{,}10 - 0{,}08 = 2{,}58\ \text{m}\) → \(t_2' = 2{,}58/0{,}8 = 3{,}225\ \text{s}\). Durée totale : \(T' = 0{,}25 + 3{,}225 + 0{,}20 = \mathbf{3{,}675\ s}\). Gain : \((3{,}9 - 3{,}675)/3{,}9 \approx 5{,}8\ \%\) (gain inférieur à 20 % : l'essentiel du temps est en vitesse constante).

1. Accélération : \(a_1 = \dfrac{0{,}6 - 0}{2} = \mathbf{0{,}30\ \text{m/s}^2}\). Décélération : \(a_3 = \dfrac{0 - 0{,}6}{1} = -0{,}60\ \text{m/s}^2\)

2. \(d_1 = \dfrac{1}{2} a_1 t_1^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}3 \times 4 = \mathbf{0{,}60\ m}\). \(d_3 = v_{\max} \times t_3 - \dfrac{1}{2} |a_3| t_3^2 = 0{,}6 \times 1 - \dfrac{1}{2} \times 0{,}6 \times 1 = \mathbf{0{,}30\ m}\)

3. \(d_2 = 15 - 0{,}60 - 0{,}30 = \mathbf{14{,}10\ m}\). Durée : \(t_2 = d_2 / v_{\max} = 14{,}10 / 0{,}6 = \mathbf{23{,}5\ s}\)

4. Durée totale : \(T = 2 + 23{,}5 + 1 = \mathbf{26{,}5\ s}\)

5. \(P_{\text{mécanique}} = F \times v = 80 \times 0{,}6 = \mathbf{48\ W}\). Puissance électrique : \(P_{\text{élec}} = P_{\text{mécanique}} / \eta = 48 / 0{,}85 \approx \mathbf{56{,}5\ W}\)

Q1. \(t_1 = \dfrac{v_{max}}{a_1} = \dfrac{2}{0{,}8} = 2{,}5\ \text{s}\). \(d_1 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}8 \times 2{,}5^2 = 0{,}4 \times 6{,}25 = 2{,}5\ \text{m}\)

Q2. \(t_3 = \dfrac{v_{max}}{|a_3|} = \dfrac{2}{1} = 2\ \text{s}\). \(d_3 = \dfrac{v_{max}^2}{2 \times |a_3|} = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{m}\)

Q3. \(d_2 = 12 - 2{,}5 - 2 = 7{,}5\ \text{m}\). \(t_2 = \dfrac{7{,}5}{2} = 3{,}75\ \text{s}\)

Q4. \(T = 2{,}5 + 3{,}75 + 2 = 8{,}25\ \text{s}\). \(v_{moy} = \dfrac{12}{8{,}25} \approx 1{,}45\ \text{m/s}\)

Q5. Temps total : \(40 \times 8{,}25 = 330\ \text{s} = 5{,}5\ \text{min}\). Énergie : \(E = P \times t = 5 \times \dfrac{330}{3600} \approx 0{,}46\ \text{kWh}\)

Q1. \(x_A(t) = 3t\) ; \(x_B(t) = \dfrac{1}{2} \times 1 \times t^2 = 0{,}5t^2\)

Q2. \(v_B(t) = t\). Le chariot B atteint la vitesse de A quand \(t = 3\ \text{s}\) (\(v_B = 3\ \text{m/s}\)).

Q3. \(3t = 0{,}5t^2 \Rightarrow 0{,}5t^2 - 3t = 0 \Rightarrow t(0{,}5t - 3) = 0\). Solutions : \(t = 0\) (départ) et \(t = 6\ \text{s}\).

Q4. \(x_A(6) = 3 \times 6 = 18\ \text{m}\). \(x_B(6) = 0{,}5 \times 36 = 18\ \text{m}\). Les deux chariots sont au même point à 18 m.

Q5. La courbe \(x_A(t)\) est une droite (MRU). La courbe \(x_B(t)\) est une parabole (MRUA). Le chariot A est devant entre t = 0 et t = 6 s (la droite est au-dessus de la parabole). Après t = 6 s, le chariot B dépasse le chariot A car sa vitesse continue de croître.

Q1. Avance : \(t_1 = 0{,}3/1{,}5 = 0{,}2\ \text{s}\). Coupe : \(t_2 = 0{,}06/0{,}04 = 1{,}5\ \text{s}\). Retour : \(t_3 = 0{,}36/2 = 0{,}18\ \text{s}\).

Q2. \(t_{cycle} = 0{,}2 + 1{,}5 + 0{,}18 + 2 = 3{,}88\ \text{s}\)

Q3. Longueur utile par tronçon : \(0{,}8\ \text{m}\) de pièce + trait de scie négligeable en longueur de barre. Nombre de tronçons : \(\lfloor 6/0{,}8 \rfloor = 7\) tronçons (il reste \(6 - 7 \times 0{,}8 = 0{,}4\ \text{m}\) de chute). Nombre de coupes = 7 (on coupe 7 fois pour séparer les 7 tronçons de la barre, la dernière coupe sépare le 7e tronçon de la chute).

Q4. \(t_{barre} = 7 \times 3{,}88 = 27{,}16\ \text{s} \approx 27{,}2\ \text{s}\)

Q5. \(t_{total} = 50 \times 27{,}2 = 1\ 360\ \text{s} \approx 22{,}7\ \text{min}\). C'est largement réalisable en 7 h (il resterait plus de 6 h 37 min pour d'autres tâches).

Q1. \(v(t) = g \cdot t = 9{,}8t\) ; \(h(t) = \dfrac{1}{2} \times 9{,}8 \times t^2 = 4{,}9t^2\)

Q2. \(4 = 4{,}9t^2 \Rightarrow t^2 = \dfrac{4}{4{,}9} \approx 0{,}816 \Rightarrow t \approx 0{,}90\ \text{s}\)

Q3. \(v = 9{,}8 \times 0{,}90 \approx 8{,}85\ \text{m/s}\). Ou par la formule : \(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 4} = \sqrt{78{,}4} \approx 8{,}85\ \text{m/s}\)

Q4. \(v = 8{,}85 \times 3{,}6 \approx 31{,}9\ \text{km/h}\). Un outil de 500 g arrivant à plus de 30 km/h peut provoquer des blessures graves à la tête. Le port du casque de chantier est indispensable.

Q5. Pour \(h = 8\ \text{m}\) : \(v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 8} = \sqrt{156{,}8} \approx 12{,}5\ \text{m/s}\). Le rapport est \(12{,}5/8{,}85 \approx 1{,}41 = \sqrt{2}\). La vitesse n'est pas doublée mais multipliée par \(\sqrt{2}\) car \(v \propto \sqrt{h}\).

Q6. Mesure principale : sécuriser les outils en hauteur (longes, nacelles avec bord relevé, zones d'exclusion au sol, filets anti-chute d'objets). Porter systématiquement le casque de chantier.

Q1. Phase 1 : \(a_1 = \dfrac{4-0}{5} = 0{,}8\ \text{m/s}^2\). Phase 3 : \(a_3 = \dfrac{6-4}{2} = 1\ \text{m/s}^2\). Phase 4 : \(a_4 = \dfrac{0-6}{3} = -2\ \text{m/s}^2\).

Q2. Phase 1 (triangle) : \(d_1 = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10\ \text{m}\). Phase 3 (trapèze) : \(d_3 = \dfrac{4+6}{2} \times 2 = 10\ \text{m}\). Phase 4 (triangle) : \(d_4 = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9\ \text{m}\).

Q3. \(d_2 = 30 - 10 - 10 - 9 = 1\ \text{m}\). \(t_2 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{s}\).

Q4. \(T = 5 + 0{,}25 + 2 + 3 = 10{,}25\ \text{s}\). \(v_{moy} = \dfrac{30}{10{,}25} \approx 2{,}93\ \text{m/s}\).

Q5. Le graphe v(t) est composé de 4 segments : une droite montante de (0,0) à (5,4), un palier horizontal de (5,4) à (5,25;4), une droite montante de (5,25;4) à (7,25;6), et une droite descendante de (7,25;6) à (10,25;0). Vérification de l'aire : \(10 + 1 + 10 + 9 = 30\ \text{m}\). Correct.

Q6. À 6 m/s : \(E_c = \dfrac{1}{2} \times 800 \times 6^2 = 14\ 400\ \text{J} = 14{,}4\ \text{kJ}\). À 4 m/s : \(E_c = \dfrac{1}{2} \times 800 \times 16 = 6\ 400\ \text{J} = 6{,}4\ \text{kJ}\). L'énergie cinétique à 6 m/s est 2,25 fois plus grande qu'à 4 m/s (rapport \((6/4)^2 = 2{,}25\)). En cas de collision, l'énergie à dissiper est beaucoup plus importante à vitesse élevée, ce qui justifie les limitations de vitesse des engins dans les ateliers.