ERA-MA — Groupement 3 — Terminale Bac Pro
| Exercice | Questions | Compétences | Points |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 — Caméra thermique en maintenance préventive | Q1 à Q4 | APP, ANA, REA, VAL | 10 pts |
| Exercice 2 — Corps noir et émissivité | Q1 à Q4 | APP, REA, REA, VAL | 10 pts |
| Total | 20 pts | ||
1.
APP
Compléter la phrase : pour convertir une température de degrés Celsius en Kelvin, on utilise la formule :
\(T(\text{K}) = T(°\text{C}) + \) ______
1 pt
\(T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273\)
2.
REA
Convertir la température du contacteur en Kelvin. Compléter :
\(T_s = 85 + \) ______ \(= \) ______ K
1,5 pt
\(T_s = 85 + 273 = 358\,\text{K}\)
3.
REA
Convertir la température ambiante en Kelvin. Compléter :
\(T_{amb} = 25 + \) ______ \(= \) ______ K
1,5 pt
\(T_{amb} = 25 + 273 = 298\,\text{K}\)
4.
APP
La loi de Stefan-Boltzmann permet de calculer la puissance rayonnée par un objet. Compléter la formule ci-dessous en plaçant les grandeurs au bon endroit :
\(P = \) ______ \(\times\) ______ \(\times\) ______ \(\times T^4\)
(Grandeurs à placer : \(\varepsilon\), \(\sigma\), \(S\))
2 pts
\(P = \varepsilon \times \sigma \times S \times T^4\)
5. APP Relier chaque grandeur à sa définition en complétant le tableau : 2 pts
| Symbole | Nom | Unité |
|---|---|---|
| \(P\) | ______ | ______ |
| \(\varepsilon\) | ______ | sans unité |
| \(\sigma\) | constante de Stefan-Boltzmann | W·m⁻²·K⁻⁴ |
| \(S\) | ______ | ______ |
| \(T\) | ______ | ______ |
\(P\) : puissance rayonnée — W (watt)
\(\varepsilon\) : émissivité — sans unité (entre 0 et 1)
\(S\) : surface rayonnante — m² (mètre carré)
\(T\) : température absolue — K (kelvin)
6.
REA
Convertir la surface en m². Compléter :
\(S = 10\,\text{cm}^2 = 10 \times 10^{-4}\,\text{m}^2 = \) ______ m²
1 pt
\(S = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\,\text{m}^2 = 0{,}001\,\text{m}^2\)
7.
REA
Remplacer les grandeurs par leurs valeurs dans la formule. Compléter :
\(P = \) ______ \(\times 5{,}67 \times 10^{-8} \times\) ______ \(\times (\)______\()^4\)
(Valeurs à placer : \(0{,}9\) ; \(10^{-3}\) ; \(358\))
2 pts
\(P = 0{,}9 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 10^{-3} \times (358)^4\)
8.
REA
À l'aide de la calculatrice, calculer \((358)^4\), puis en déduire \(P\). Compléter :
\((358)^4 = \) ______
\(P = 0{,}9 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 10^{-3} \times\) ______ \(\approx\) ______ W
3 pts
\((358)^4 = 1{,}642 \times 10^{10}\)
\(P = 0{,}9 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 10^{-3} \times 1{,}642 \times 10^{10} \approx 0{,}84\,\text{W}\)
9.
ANA
Calculer l'échauffement du contacteur par rapport à la température ambiante. Compléter :
\(\Delta T = T_s - T_{amb} = \) ______ \(- \) ______ \(= \) ______ °C
2 pts
\(\Delta T = 85 - 25 = 60\,°\text{C}\)
10.
VAL
Compléter avec > ou < :
L'échauffement réel \(\Delta T = \) ______ °C est ______ (supérieur / inférieur) à la limite autorisée \(\Delta T_{max} = 40\,°\text{C}\).
2 pts
L'échauffement réel \(\Delta T = 60\,°\text{C}\) est supérieur à la limite autorisée \(\Delta T_{max} = 40\,°\text{C}\).
11.
COM
Cocher la bonne réponse et compléter :
☐ Le contacteur fonctionne normalement, aucune action nécessaire.
☐ Le contacteur présente un échauffement anormal. Il faut ______________________________________.
2 pts
☑ Le contacteur présente un échauffement anormal. Il faut vérifier le serrage des connexions, contrôler la charge et remplacer le contacteur si nécessaire.
La caméra thermique a permis de détecter ce défaut sans arrêter l'installation : c'est l'intérêt de la maintenance préventive.
1. APP Écrire la loi de Stefan-Boltzmann : \(P = \varepsilon \cdot \sigma \cdot S \cdot T^4\). Définir chaque grandeur en précisant son nom, son symbole et son unité SI. 2 pts
\(P = \varepsilon \times \sigma \times S \times T^4\)
\(P\) : puissance rayonnée (W) — \(\varepsilon\) : émissivité (sans unité, 0 à 1) — \(\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\,\text{W/(m²·K⁴)}\) (constante de Stefan-Boltzmann) — \(S\) : surface rayonnante (m²) — \(T\) : température absolue (K)
2. ANA La loi de Stefan-Boltzmann nécessite une température en Kelvin. Rappeler la formule de conversion : \(T\,(\text{K}) = T\,(°\text{C}) + 273\). Convertir la température du contacteur \(T_s = 85\,°\text{C}\) en Kelvin. Convertir également la température ambiante \(T_{amb} = 25\,°\text{C}\) en Kelvin. 2 pts
\(T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273\)
\(T_s = 85 + 273 = 358\,\text{K}\)
\(T_{amb} = 25 + 273 = 298\,\text{K}\)
3. REA Calculer la puissance rayonnée \(P\) par le contacteur sachant que : \(S = 10\,\text{cm}^2 = 10 \times 10^{-4}\,\text{m}^2\), \(\varepsilon = 0{,}9\), \(T = 358\,\text{K}\), \(\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\,\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-4}\). Donner le résultat en watts, arrondi au centième. 3 pts
\(S = 10\,\text{cm}^2 = 10 \times 10^{-4}\,\text{m}^2 = 10^{-3}\,\text{m}^2\)
\(P = 0{,}9 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 10^{-3} \times (358)^4\)
\((358)^4 = 1{,}642 \times 10^{10}\)
\(P = 0{,}9 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 10^{-3} \times 1{,}642 \times 10^{10} \approx 0{,}84\,\text{W}\)
4.
VAL
La norme IEC 60439 autorise un échauffement maximal de \(\Delta T_{max} = 40\,°\text{C}\) au-dessus de la température ambiante pour un contacteur en service normal. La température ambiante est \(T_{amb} = 25\,°\text{C}\) et le contacteur est mesuré à \(T_s = 85\,°\text{C}\).
a) Calculer l'échauffement réel : \(\Delta T = T_s - T_{amb}\).
b) Comparer à la valeur limite. Conclure : le contacteur est-il en état normal ou défaillant ? Quelle action de maintenance préconisez-vous ?
3 pts
Échauffement réel : \(\Delta T = T_s - T_{amb} = 85 - 25 = 60\,°\text{C}\)
La norme autorise 40°C max d'échauffement.
60°C > 40°C → Le contacteur dépasse la limite autorisée → NON CONFORME.
Action : remplacer ou vérifier le serrage des connexions, contrôler la charge.
1. APP Rappeler ce qu'est un corps noir en physique. Quelle est la valeur de son émissivité \(\varepsilon\) ? Donner la valeur typique de l'émissivité de l'acier poli (\(\varepsilon \approx 0{,}1\)) et expliquer ce que cela signifie physiquement par rapport à un corps noir. 2 pts
Corps noir : objet théorique qui absorbe et émet le maximum possible de rayonnement (\(\varepsilon = 1\)).
Acier poli : \(\varepsilon \approx 0{,}1\) (très réfléchissant, peu émissif). Il rayonne 10 fois moins qu'un corps noir à même température.
2. REA Calculer la puissance rayonnée \(P_1\) par la plaque d'acier poli (\(\varepsilon_1 = 0{,}1\), \(S = 0{,}05\,\text{m}^2\), \(T = 500\,\text{K}\)). Montrer le calcul détaillé. 3 pts
\(P_1 = 0{,}1 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}05 \times (500)^4\)
\((500)^4 = 6{,}25 \times 10^{10}\)
\(P_1 = 0{,}1 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}05 \times 6{,}25 \times 10^{10}\)
\(P_1 = 0{,}1 \times 5{,}67 \times 0{,}05 \times 6{,}25 \times 10^{2} = 0{,}1 \times 177{,}2 \approx 17{,}7\,\text{W}\)
3. REA Calculer la puissance rayonnée \(P_2\) par la même plaque peinte en noir mat (\(\varepsilon_2 = 0{,}95\), \(S = 0{,}05\,\text{m}^2\), \(T = 500\,\text{K}\)). Comparer \(P_2\) à \(P_1\) en calculant le rapport \(P_2/P_1\). 3 pts
\(P_2 = 0{,}95 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}05 \times (500)^4\)
\(P_2 = 0{,}95 \times 177{,}2 \approx 168\,\text{W}\)
\(\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{0{,}95}{0{,}1} = 9{,}5\)
4. VAL En utilisant les résultats obtenus aux questions 2 et 3, conclure sur l'intérêt de peindre les dissipateurs thermiques en noir dans les équipements électroniques et industriels. Justifier en une ou deux phrases. 2 pts
La plaque noire rayonne ≈ 9,5 fois plus que la plaque en acier poli (\(0{,}95/0{,}1 = 9{,}5\)).
Peindre un dissipateur thermique en noir augmente fortement son émissivité → il évacue mieux la chaleur par rayonnement. Cela améliore significativement le refroidissement des composants électroniques.
| Paroi | Surface \(S\) | Émissivité \(\varepsilon\) | Description |
|---|---|---|---|
| Mur béton brut | 120 m² | 0,93 | Façade principale non isolée |
| Bardage métallique | 85 m² | 0,25 | Façade latérale, acier galvanisé |
| Toiture bac acier peint | 200 m² | 0,88 | Toiture sombre, peinture mate |
1. APP Convertir les températures intérieure et extérieure en Kelvin. Expliquer pourquoi on utilise la formule de puissance nette \(P_{net}\) plutôt que \(P = \varepsilon \sigma S T^4\) pour évaluer les pertes thermiques réelles. 2 pts
\(T_{int} = 20 + 273 = 293\,\text{K}\) ; \(T_{ext} = 5 + 273 = 278\,\text{K}\)
On utilise \(P_{net}\) car le rayonnement est un échange : la paroi rayonne vers l'extérieur mais reçoit aussi du rayonnement de l'environnement extérieur. La perte réelle est la différence \(P_{net} = \varepsilon \sigma S (T_{int}^4 - T_{ext}^4)\).
2. REA Calculer la puissance nette perdue par rayonnement \(P_{net}\) pour chacune des trois parois. Présenter les résultats dans un tableau récapitulatif. 3 pts
\(T_{int}^4 = (293)^4 = 7,370 \times 10^{9}\) ; \(T_{ext}^4 = (278)^4 = 5,972 \times 10^{9}\)
\(T_{int}^4 - T_{ext}^4 = 1,398 \times 10^{9}\)
Mur béton : \(P_1 = 0{,}93 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 120 \times 1{,}398 \times 10^{9} \approx 884\,\text{W}\)
Bardage métallique : \(P_2 = 0{,}25 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 85 \times 1{,}398 \times 10^{9} \approx 168\,\text{W}\)
Toiture : \(P_3 = 0{,}88 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 200 \times 1{,}398 \times 10^{9} \approx 1\,395\,\text{W}\)
Total : \(P_{total} \approx 2\,447\,\text{W}\)
3.
ANA
Le maître d'ouvrage envisage deux solutions d'isolation :
Solution A : Isoler le mur béton par l'extérieur avec un bardage à faible émissivité (\(\varepsilon = 0{,}15\)), coût : 18 000 €.
Solution B : Poser un écran réflecteur sous la toiture (\(\varepsilon_{toiture}\) passe de 0,88 à 0,20), coût : 12 000 €.
Pour chaque solution, calculer la nouvelle puissance perdue par la paroi concernée et l'économie de puissance réalisée (en W).
3 pts
Solution A (mur béton \(\varepsilon = 0{,}15\)) :
\(P_1' = 0{,}15 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 120 \times 1{,}398 \times 10^{9} \approx 143\,\text{W}\)
Économie : \(884 - 143 = 741\,\text{W}\)
Solution B (toiture \(\varepsilon = 0{,}20\)) :
\(P_3' = 0{,}20 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times 200 \times 1{,}398 \times 10^{9} \approx 317\,\text{W}\)
Économie : \(1\,395 - 317 = 1\,078\,\text{W}\)
4. VAL Calculer le ratio « économie de puissance / coût » (en W/€) pour chaque solution. Quelle solution recommandez-vous en priorité ? Justifier votre choix en tenant compte de l'efficacité économique et de l'impact sur les pertes totales du bâtiment. 2 pts
Solution A : \(741 / 18\,000 = 0{,}041\,\text{W/€}\)
Solution B : \(1\,078 / 12\,000 = 0{,}090\,\text{W/€}\)
La solution B est recommandée en priorité : elle est 2,2 fois plus rentable (meilleur ratio W/€), moins coûteuse, et concerne la plus grande source de pertes (toiture = 57 % des pertes totales). Elle réduit les pertes totales de 1 078 W, soit une baisse de 44 %.
| Matériau | Émissivité \(\varepsilon\) | Coût unitaire |
|---|---|---|
| Aluminium poli | 0,05 | 8 €/pièce |
| Acier inoxydable brossé | 0,35 | 12 €/pièce |
| Céramique blanche | 0,90 | 20 €/pièce |
| Peinture noire mate (sur acier) | 0,97 | 14 €/pièce |
1. REA Calculer la puissance rayonnée \(P\) par chaque matériau à la température \(T = 400\,\text{K}\). Présenter les résultats dans un tableau. 3 pts
\((400)^4 = 2{,}56 \times 10^{10}\)
Facteur commun : \(\sigma \times S \times T^4 = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}02 \times 2{,}56 \times 10^{10} = 29{,}03\,\text{W}\)
Aluminium poli : \(P = 0{,}05 \times 29{,}03 = 1{,}45\,\text{W}\)
Acier inox brossé : \(P = 0{,}35 \times 29{,}03 = 10{,}16\,\text{W}\)
Céramique blanche : \(P = 0{,}90 \times 29{,}03 = 26{,}13\,\text{W}\)
Peinture noire mate : \(P = 0{,}97 \times 29{,}03 = 28{,}16\,\text{W}\)
2. ANA Application 1 — Dissipateur thermique : Un boîtier électronique doit évacuer un maximum de chaleur par rayonnement. Quel matériau choisissez-vous ? Calculer le rapport « puissance dissipée / coût » (en W/€) pour les deux meilleurs candidats et justifier votre choix final. 2,5 pts
Les deux meilleurs émetteurs sont la peinture noire mate (\(P = 28{,}16\,\text{W}\)) et la céramique blanche (\(P = 26{,}13\,\text{W}\)).
Peinture noire : \(28{,}16 / 14 = 2{,}01\,\text{W/€}\)
Céramique : \(26{,}13 / 20 = 1{,}31\,\text{W/€}\)
Choix : peinture noire mate — elle rayonne davantage (+8 %) pour un coût inférieur (-30 %). Le rapport W/€ est 1,5 fois meilleur.
3. ANA Application 2 — Isolation thermique : Une canalisation de vapeur à \(T = 450\,\text{K}\) (\(S = 0{,}02\,\text{m}^2\)) doit conserver sa chaleur le plus longtemps possible. Quel matériau de revêtement minimise les pertes par rayonnement ? Calculer la puissance perdue avec ce matériau et comparer au pire choix possible. Exprimer la réduction en pourcentage. 2,5 pts
\((450)^4 = 4{,}10 \times 10^{10}\)
Facteur commun : \(\sigma S T^4 = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}02 \times 4{,}10 \times 10^{10} = 46{,}49\,\text{W}\)
Meilleur choix (aluminium poli, \(\varepsilon = 0{,}05\)) : \(P_{min} = 0{,}05 \times 46{,}49 = 2{,}32\,\text{W}\)
Pire choix (peinture noire, \(\varepsilon = 0{,}97\)) : \(P_{max} = 0{,}97 \times 46{,}49 = 45{,}10\,\text{W}\)
Réduction : \(\dfrac{45{,}10 - 2{,}32}{45{,}10} \times 100 \approx 94{,}9\,\%\)
L'aluminium poli réduit les pertes par rayonnement de près de 95 % par rapport à la peinture noire.
4. COM Rédiger un paragraphe de synthèse (5 à 8 lignes) expliquant pourquoi le choix du matériau de surface est un levier majeur d'optimisation thermique dans le bâtiment et l'industrie. Illustrer avec les deux applications étudiées et citer au moins un exemple concret supplémentaire du domaine de l'agencement et du bâtiment (enveloppe du bâtiment, CVC, etc.). 2 pts
Le choix du matériau de surface, via son émissivité, est un levier déterminant pour maîtriser les échanges thermiques par rayonnement. Pour un dissipateur électronique, on privilégie une surface à haute émissivité (peinture noire, \(\varepsilon = 0{,}97\)) pour évacuer la chaleur efficacement. À l'inverse, pour une canalisation de vapeur, un revêtement à faible émissivité (aluminium poli, \(\varepsilon = 0{,}05\)) réduit les pertes de 95 %. Dans le domaine ERA, ce principe s'applique par exemple aux écrans réflecteurs posés derrière les radiateurs : leur surface en aluminium à faible émissivité renvoie le rayonnement thermique vers la pièce au lieu de chauffer le mur. De même, les vitrages à couche basse émissivité (low-E) réduisent les pertes par rayonnement à travers les fenêtres tout en laissant passer la lumière visible.