Exercices | Terminale Bac Pro ERA-MA – Groupement 3
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 12:00
Pile vs accumulateur : une pile est un générateur électrochimique à usage unique (réaction irréversible). Un accumulateur est rechargeable (réaction réversible).
Constituants d'une cellule électrochimique :
Formules essentielles :
Figure 1 – Schéma de principe d'une pile Daniell (Zn/Cu). Les électrons circulent dans le circuit externe de l'anode vers la cathode.
On observe le schéma de la pile Daniell ci-dessus. Compléter les phrases suivantes :
1. L'électrode en zinc (Zn) est le pôle __________ (+ ou –) de la pile. On l'appelle l'__________ .
2. À cette électrode se produit une réaction d'__________ (oxydation ou réduction) : le métal __________ des électrons.
3. L'électrode en cuivre (Cu) est le pôle __________ de la pile. On l'appelle la __________ .
4. Les électrons circulent dans le circuit externe de l'__________ vers la __________ (de – vers +).
5. L'électrolyte sert à permettre la circulation des __________ entre les deux électrodes.
1. Le zinc est le pôle – (négatif). On l'appelle l'anode.
2. À l'anode se produit une réaction d'oxydation : le métal perd des électrons.
3. Le cuivre est le pôle + (positif). On l'appelle la cathode.
4. Les électrons circulent de l'anode vers la cathode.
5. L'électrolyte permet la circulation des ions.
Une batterie d'atelier a les caractéristiques suivantes : tension \(U = 12\ \text{V}\), capacité \(Q = 60\ \text{Ah}\).
Étape 1 : Recopier la formule de l'énergie :
\(E = \)__________ \(\times\) __________
Étape 2 : Remplacer par les valeurs numériques :
\(E = \)__________ \(\times\) __________ \(=\) __________ Wh
Étape 3 : Convertir en joules. On sait que \(1\ \text{Wh} = 3\,600\ \text{J}\).
\(E = \)__________ \(\times 3\,600 = \)__________ J
Étape 4 : L'éclairage de secours consomme \(P = 60\ \text{W}\). Calculer l'autonomie :
\(t = \dfrac{E}{P} = \dfrac{\text{______}}{\text{______}} = \)__________ h
Étape 1 : \(E = U \times Q\)
Étape 2 : \(E = 12 \times 60 = \mathbf{720\ Wh}\)
Étape 3 : \(E = 720 \times 3\,600 = \mathbf{2\,592\,000\ J}\)
Étape 4 : \(t = \dfrac{720}{60} = \mathbf{12\ h}\)
On compare deux batteries pour un outil sans fil. Compléter le tableau :
| Caractéristique | Batterie A (Plomb) | Batterie B (Li-ion) |
|---|---|---|
| Tension \(U\) | 12 V | 18 V |
| Capacité \(Q\) | 10 Ah | 4 Ah |
| Énergie \(E = U \times Q\) | ________ Wh | ________ Wh |
| Masse \(m\) | 3,5 kg | 0,4 kg |
| Densité \(d = E / m\) | ________ Wh/kg | ________ Wh/kg |
1. Calculer l'énergie stockée dans chaque batterie et compléter la ligne « Énergie ».
2. Calculer la densité d'énergie massique de chaque batterie et compléter la dernière ligne.
3. Quelle batterie est la plus légère pour la même énergie ? Laquelle choisir pour un outil portatif ?
1. Batterie A : \(E = 12 \times 10 = \mathbf{120\ Wh}\). Batterie B : \(E = 18 \times 4 = \mathbf{72\ Wh}\).
2. Batterie A : \(d = 120 / 3{,}5 \approx \mathbf{34\ Wh/kg}\). Batterie B : \(d = 72 / 0{,}4 = \mathbf{180\ Wh/kg}\).
3. La batterie Li-ion (B) a une densité d'énergie 5 fois plus élevée. Pour un outil portatif, on choisit la Li-ion : beaucoup plus légère pour une autonomie correcte.
Pour chaque objet ci-dessous, indiquer s'il fonctionne avec une pile (non rechargeable) ou un accumulateur (rechargeable). Justifier en une phrase.
1. Une télécommande de télévision (piles AAA).
2. Une visseuse sans fil de chantier (batterie Li-ion 18 V).
3. Un détecteur de fumée (pile lithium 9 V).
4. Un téléphone portable.
5. Une lampe frontale rechargeable par USB.
1. Pile : les piles AAA ne sont pas rechargeables, on les jette quand elles sont épuisées.
2. Accumulateur : la batterie Li-ion se recharge sur un chargeur, on peut l'utiliser des centaines de fois.
3. Pile : la pile lithium 9 V n'est pas rechargeable, elle dure plusieurs années grâce à sa faible consommation.
4. Accumulateur : la batterie du téléphone se recharge chaque jour via un câble ou un chargeur sans fil.
5. Accumulateur : elle se recharge par USB, la réaction chimique est réversible.
Sur une batterie d'outil sans fil, on lit les indications suivantes : 18 V – 4 Ah – Li-ion.
1. Que signifie « 18 V » ? Entourer la bonne réponse :
a) La puissance de la batterie b) La tension nominale de la batterie c) L'énergie stockée dans la batterie
2. Que signifie « 4 Ah » ? Entourer la bonne réponse :
a) La capacité de la batterie b) La durée de vie de la batterie c) Le courant maximal
3. Que signifie « Li-ion » ? Entourer la bonne réponse :
a) Le fabricant b) La technologie chimique de l'accumulateur c) Le type de chargeur
4. Calculer l'énergie stockée dans cette batterie. On donne : \(E = U \times Q\).
\(E =\) __________ \(\times\) __________ \(=\) __________ Wh
1. Réponse b) : 18 V est la tension nominale de la batterie.
2. Réponse a) : 4 Ah est la capacité de la batterie (quantité de charge qu'elle peut fournir).
3. Réponse b) : Li-ion désigne la technologie chimique (Lithium-ion).
4. \(E = 18 \times 4 = \mathbf{72\ \text{Wh}}\)
Un menuisier utilise une ponceuse sans fil dont la batterie stocke une énergie \(E = 90\ \text{Wh}\). La ponceuse consomme une puissance \(P = 180\ \text{W}\).
Étape 1 : Recopier la formule de l'autonomie :
\(t = \dfrac{\text{______}}{\text{______}}\)
Étape 2 : Remplacer par les valeurs numériques :
\(t = \dfrac{\text{______}}{\text{______}} =\) __________ h
Étape 3 : Convertir en minutes :
\(t =\) __________ \(\times 60 =\) __________ min
Étape 4 : Le menuisier travaille par sessions de 10 minutes. Combien de sessions peut-il réaliser ?
Étape 1 : \(t = \dfrac{E}{P}\)
Étape 2 : \(t = \dfrac{90}{180} = \mathbf{0{,}5\ \text{h}}\)
Étape 3 : \(t = 0{,}5 \times 60 = \mathbf{30\ \text{min}}\)
Étape 4 : \(30 \div 10 = \mathbf{3\ \text{sessions}}\) de ponçage avant de recharger.
On rappelle que \(1\ \text{Wh} = 3\,600\ \text{J}\).
Compléter les conversions suivantes en suivant le modèle :
Modèle : \(10\ \text{Wh} = 10 \times 3\,600 = 36\,000\ \text{J}\)
1. \(50\ \text{Wh} = 50 \times 3\,600 =\) __________ J
2. \(72\ \text{Wh} = 72 \times\) __________ \(=\) __________ J
3. \(90\ \text{Wh} =\) __________ \(\times\) __________ \(=\) __________ J
4. \(200\ \text{Wh} =\) __________ J. Exprimer aussi en kJ (diviser par 1 000).
5. Une batterie stocke \(324\,000\ \text{J}\). Convertir en Wh : \(E = \dfrac{324\,000}{3\,600} =\) __________ Wh
1. \(50 \times 3\,600 = \mathbf{180\,000\ \text{J}}\)
2. \(72 \times 3\,600 = \mathbf{259\,200\ \text{J}}\)
3. \(90 \times 3\,600 = \mathbf{324\,000\ \text{J}}\)
4. \(200 \times 3\,600 = \mathbf{720\,000\ \text{J}} = 720\ \text{kJ}\)
5. \(E = \dfrac{324\,000}{3\,600} = \mathbf{90\ \text{Wh}}\)
Un artisan menuisier recharge la batterie de sa scie sauteuse sans fil. La batterie a une capacité \(Q = 5\ \text{Ah}\). Le chargeur délivre un courant \(I = 2{,}5\ \text{A}\).
Étape 1 : Recopier la formule du temps de charge :
\(t = \dfrac{\text{______}}{\text{______}}\)
Étape 2 : Remplacer par les valeurs :
\(t = \dfrac{\text{______}}{\text{______}} =\) __________ h
Étape 3 : Convertir en heures et minutes.
Étape 4 : Un chargeur rapide délivre \(I = 5\ \text{A}\). Calculer le nouveau temps de charge. Que constatez-vous ?
Étape 1 : \(t = \dfrac{Q}{I}\)
Étape 2 : \(t = \dfrac{5}{2{,}5} = \mathbf{2\ \text{h}}\)
Étape 3 : \(2\ \text{h} = \mathbf{2\ \text{heures}\ 0\ \text{minute}}\)
Étape 4 : \(t = \dfrac{5}{5} = \mathbf{1\ \text{h}}\). En doublant le courant de charge, le temps de charge est divisé par 2.
Figure 2 — Courbe de décharge d'un accumulateur Li-ion : la tension reste stable pendant le palier puis chute brusquement
On étudie une pile dont les électrodes sont en zinc (Zn) et en cuivre (Cu) plongées dans un électrolyte.
1. Définir ce qu'est l'anode dans une pile électrochimique.
2. Définir ce qu'est la cathode.
3. Dans une pile Zn/Cu, quelle électrode est l'anode ? Quelle est la cathode ?
4. Dans quel sens circulent les électrons dans le circuit extérieur ?
1. L'anode est l'électrode siège de l'oxydation (le métal perd des électrons). C'est le pôle négatif de la pile en fonctionnement.
2. La cathode est l'électrode siège de la réduction (les ions gagnent des électrons). C'est le pôle positif de la pile.
3. Le zinc est plus réducteur que le cuivre : Zn = anode (pôle –) et Cu = cathode (pôle +). Le zinc se dissout au cours du fonctionnement.
4. Les électrons circulent de l'anode vers la cathode dans le circuit extérieur, soit du pôle – vers le pôle + (sens opposé au courant conventionnel).
Une batterie d'alimentation de secours pour un atelier est caractérisée par : tension \(U = 12\ \text{V}\), capacité \(Q = 60\ \text{Ah}\).
1. Rappeler la formule de l'énergie en Wh à partir de \(U\) et \(Q\).
2. Calculer l'énergie stockée en Wh.
3. Convertir cette énergie en joules (\(1\ \text{Wh} = 3\,600\ \text{J}\)).
4. Si l'éclairage de secours de l'atelier consomme un courant de 5 A, combien de temps (en heures puis en minutes) peut-il fonctionner avant de décharger complètement la batterie ?
1. \(E\ (\text{Wh}) = U\ (\text{V}) \times Q\ (\text{Ah})\)
2. \(E = 12 \times 60 = \mathbf{720\ Wh}\)
3. \(E = 720 \times 3\,600 = \mathbf{2\,592\,000\ J = 2{,}592\ MJ}\)
4. \(t = \dfrac{Q}{I} = \dfrac{60\ \text{Ah}}{5\ \text{A}} = 12\ \text{h} = \mathbf{720\ minutes}\)
En pratique, la batterie de secours est rechargée avant d'être complètement déchargée, pour garantir une autonomie suffisante en cas de coupure de courant prolongée.
Une batterie de secours contient une énergie de \(E = 100\ \text{Wh}\). Elle alimente un équipement de surveillance consommant \(P = 20\ \text{W}\).
1. Écrire la formule de l'autonomie \(t\) en fonction de \(E\) et \(P\).
2. Calculer l'autonomie en heures.
3. Exprimer cette autonomie en heures et minutes.
4. Si l'équipement consomme 40 W au lieu de 20 W, quelle est la nouvelle autonomie ?
1. \(t = \dfrac{E\ (\text{Wh})}{P\ (\text{W})}\) (résultat en heures)
2. \(t = \dfrac{100}{20} = \mathbf{5\ h}\)
3. \(5\ \text{h} = \mathbf{5\ \text{heures}\ 0\ \text{minute}}\)
4. \(t = \dfrac{100}{40} = 2{,}5\ \text{h} = \mathbf{2\ h\ 30\ min}\). Doubler la consommation divise l'autonomie par 2.
Une visseuse sans fil porte les indications suivantes sur son accu : 18 V – 2 Ah. Son moteur consomme une puissance de 36 W lors d'une utilisation normale.
1. Calculer l'énergie stockée dans la batterie en Wh.
2. Calculer l'autonomie théorique en utilisation continue.
3. Le courant de décharge correspond-il bien à 2 A ? Vérifier par le calcul (\(I = P/U\)).
4. En réalité, l'autonomie est inférieure à la valeur théorique. Citer deux raisons expliquant cela.
1. \(E = U \times Q = 18 \times 2 = \mathbf{36\ Wh}\)
2. \(t = \dfrac{E}{P} = \dfrac{36}{36} = \mathbf{1\ h} = 60\ \text{min}\)
3. \(I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{36}{18} = \mathbf{2\ A}\). Oui, cela correspond exactement au régime de décharge nominale C1 (2 Ah déchargés en 1 heure à 2 A).
4. L'autonomie réelle est inférieure car :
Un accumulateur Li-ion de robot industriel a les caractéristiques suivantes : énergie \(E = 200\ \text{Wh}\), masse \(m = 1{,}2\ \text{kg}\).
1. Écrire la formule de la densité d'énergie massique \(d\).
2. Calculer la densité d'énergie de cet accumulateur (en Wh/kg).
3. Comparer avec une batterie au plomb de même masse dont la densité d'énergie est 35 Wh/kg. Quelle énergie stockerait-elle ?
4. En déduire l'intérêt du Li-ion pour les robots mobiles.
1. \(d = \dfrac{E\ (\text{Wh})}{m\ (\text{kg})}\) (en Wh/kg)
2. \(d = \dfrac{200}{1{,}2} \approx \mathbf{167\ Wh/kg}\)
3. Batterie Pb de masse 1,2 kg : \(E_{\text{Pb}} = 35 \times 1{,}2 = \mathbf{42\ Wh}\)
4. Le Li-ion stocke \(200 / 42 \approx 4{,}8\) fois plus d'énergie pour la même masse. Pour un robot mobile, une masse réduite améliore la mobilité, l'autonomie et réduit la consommation d'énergie pour le déplacement lui-même.
Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques de trois technologies d'accumulateurs :
| Technologie | Densité énergie (Wh/kg) | Coût relatif | Nb cycles (charge/décharge) | Risques |
|---|---|---|---|---|
| Plomb (Pb) | 30 – 50 | Faible | 300 – 500 | Acide, lourd |
| NiMH | 60 – 120 | Moyen | 500 – 1 000 | Effet mémoire |
| Li-ion | 150 – 250 | Élevé | 500 – 1 500 | Thermique si endommagé |
1. Quelle technologie offre la meilleure densité d'énergie ?
2. Quelle technologie choisir pour une application nécessitant un faible coût initial et une puissance modérée (ex : balise de signalisation) ?
3. Pour un outil portatif de maintenance (contrainte : masse minimale), quelle technologie est la plus adaptée ? Justifier.
4. Quel est l'inconvénient principal du Li-ion en termes de sécurité ?
1. La technologie Li-ion offre la meilleure densité d'énergie (150 à 250 Wh/kg).
2. La batterie au plomb est la plus adaptée pour un faible coût initial. Elle est fiable, robuste et recyclable, malgré sa masse élevée.
3. Pour un outil portatif où la masse est critique, le Li-ion est le choix optimal : densité d'énergie 4 à 8 fois supérieure au plomb → outil plus léger ou autonomie plus longue à masse égale.
4. Le Li-ion présente des risques d'emballement thermique (thermal runaway) en cas de choc, de surcharge ou de court-circuit : la batterie peut s'enflammer ou exploser. Une gestion électronique (BMS – Battery Management System) est indispensable.
Un robot de maintenance autonome doit pouvoir fonctionner pendant 8 heures sans recharge. Sa consommation moyenne est de 150 W (motorisation + électronique). On envisage une solution Li-ion (densité 180 Wh/kg) avec un coefficient de sécurité de 1,2 (on surdimensionne de 20 % pour tenir compte du vieillissement).
1. Calculer l'énergie nécessaire pour 8 heures de fonctionnement.
2. En appliquant le coefficient de sécurité, calculer l'énergie de la batterie à prévoir.
3. Calculer la masse minimale de la batterie Li-ion.
4. La batterie est en 48 V. Calculer la capacité nécessaire en Ah.
5. Comparer avec une solution Plomb (densité 40 Wh/kg) : quelle masse de batterie faudrait-il ?
1. \(E_{\text{nécessaire}} = P \times t = 150 \times 8 = \mathbf{1\,200\ Wh}\)
2. \(E_{\text{batterie}} = E_{\text{nécessaire}} \times k_{\text{sécu}} = 1\,200 \times 1{,}2 = \mathbf{1\,440\ Wh}\)
3. \(m = \dfrac{E_{\text{batterie}}}{d} = \dfrac{1\,440}{180} = \mathbf{8\ kg}\)
4. \(Q = \dfrac{E\ (\text{Wh})}{U\ (\text{V})} = \dfrac{1\,440}{48} = \mathbf{30\ Ah}\)
5. Solution Plomb : \(m_{\text{Pb}} = \dfrac{1\,440}{40} = \mathbf{36\ kg}\)
La batterie Plomb serait 4,5 fois plus lourde que le Li-ion (36 kg vs 8 kg). Cela alourdirait considérablement le robot et augmenterait sa consommation d'énergie pour se déplacer.
Un menuisier agenceur utilise une scie circulaire sans fil équipée d'une batterie 18 V – 6 Ah. La scie consomme une puissance de 540 W en fonctionnement.
1. Calculer l'énergie stockée dans la batterie en Wh.
2. Calculer l'autonomie de la scie en fonctionnement continu (en heures puis en minutes).
3. Le menuisier estime qu'il utilise la scie en continu pendant 2 minutes par coupe, et réalise 8 coupes par heure. Combien d'heures de travail peut-il effectuer avant de recharger ?
4. Convertir l'énergie stockée en joules.
1. \(E = U \times Q = 18 \times 6 = \mathbf{108\ \text{Wh}}\)
2. \(t = \dfrac{E}{P} = \dfrac{108}{540} = 0{,}2\ \text{h} = 0{,}2 \times 60 = \mathbf{12\ \text{min}}\) de fonctionnement continu.
3. Temps de coupe par heure : \(8 \times 2 = 16\ \text{min/h}\). Autonomie totale : 12 min. Nombre d'heures de travail : \(\dfrac{12}{16} = \mathbf{0{,}75\ \text{h} = 45\ \text{min}}\) de travail réel sur le chantier.
4. \(E = 108 \times 3\,600 = \mathbf{388\,800\ \text{J}} \approx 389\ \text{kJ}\)
Un installateur d'agencement doit choisir entre deux batteries pour sa défonceuse sans fil :
| Caractéristique | Batterie X | Batterie Y |
|---|---|---|
| Tension | 18 V | 18 V |
| Capacité | 4 Ah | 8 Ah |
| Masse | 0,62 kg | 1,15 kg |
| Prix | 55 € | 95 € |
La défonceuse consomme \(P = 360\ \text{W}\).
1. Calculer l'énergie stockée dans chaque batterie.
2. Calculer l'autonomie (en minutes) pour chaque batterie.
3. Calculer la densité d'énergie massique de chaque batterie.
4. Calculer le prix par Wh pour chaque batterie. Laquelle est la plus économique ?
1. Batterie X : \(E_X = 18 \times 4 = \mathbf{72\ \text{Wh}}\). Batterie Y : \(E_Y = 18 \times 8 = \mathbf{144\ \text{Wh}}\).
2. Batterie X : \(t_X = \dfrac{72}{360} = 0{,}2\ \text{h} = \mathbf{12\ \text{min}}\). Batterie Y : \(t_Y = \dfrac{144}{360} = 0{,}4\ \text{h} = \mathbf{24\ \text{min}}\).
3. Batterie X : \(d_X = \dfrac{72}{0{,}62} \approx \mathbf{116\ \text{Wh/kg}}\). Batterie Y : \(d_Y = \dfrac{144}{1{,}15} \approx \mathbf{125\ \text{Wh/kg}}\).
4. Batterie X : \(\dfrac{55}{72} \approx 0{,}76\ \text{€/Wh}\). Batterie Y : \(\dfrac{95}{144} \approx 0{,}66\ \text{€/Wh}\). La batterie Y est plus économique par Wh et offre une meilleure densité d'énergie.
Un aspirateur d'atelier sans fil fonctionne avec une batterie 36 V – 4 Ah. Sa puissance en fonctionnement est de \(P = 252\ \text{W}\).
1. Calculer l'énergie stockée dans la batterie (en Wh).
2. Calculer le courant de décharge \(I\) consommé par l'aspirateur. On rappelle que \(P = U \times I\).
3. Calculer l'autonomie de deux façons différentes :
a) En utilisant \(t = \dfrac{E}{P}\)
b) En utilisant \(t = \dfrac{Q}{I}\)
4. Vérifier que les deux résultats sont identiques. Expliquer pourquoi.
1. \(E = U \times Q = 36 \times 4 = \mathbf{144\ \text{Wh}}\)
2. \(I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{252}{36} = \mathbf{7\ \text{A}}\)
3a. \(t = \dfrac{E}{P} = \dfrac{144}{252} \approx \mathbf{0{,}571\ \text{h} \approx 34\ \text{min}}\)
3b. \(t = \dfrac{Q}{I} = \dfrac{4}{7} \approx \mathbf{0{,}571\ \text{h} \approx 34\ \text{min}}\)
4. Les deux résultats sont identiques car \(\dfrac{E}{P} = \dfrac{U \times Q}{U \times I} = \dfrac{Q}{I}\). Les deux formules sont équivalentes.
Une batterie d'outil professionnel est constituée de cellules Li-ion élémentaires. Chaque cellule a une tension nominale de 3,6 V et une capacité de 3 Ah.
1. La batterie affiche une tension nominale de 18 V. Combien de cellules sont associées en série ?
2. Calculer l'énergie stockée dans une cellule élémentaire (en Wh).
3. Calculer l'énergie totale de la batterie 18 V constituée de ces cellules en série.
4. Pour augmenter la capacité à 6 Ah, on associe des cellules en parallèle. Combien de cellules en parallèle faut-il par étage ?
5. Combien de cellules au total contient cette batterie 18 V – 6 Ah ?
1. \(n_{\text{série}} = \dfrac{18}{3{,}6} = \mathbf{5\ \text{cellules en série}}\)
2. \(E_{\text{cellule}} = 3{,}6 \times 3 = \mathbf{10{,}8\ \text{Wh}}\)
3. \(E_{\text{totale}} = 5 \times 10{,}8 = \mathbf{54\ \text{Wh}}\) (ou directement \(18 \times 3 = 54\ \text{Wh}\))
4. \(n_{\text{parallèle}} = \dfrac{6}{3} = \mathbf{2\ \text{cellules en parallèle}}\) par étage.
5. Total : \(5 \times 2 = \mathbf{10\ \text{cellules}}\). Configuration dite « 5S2P » (5 séries, 2 parallèles).
La batterie Li-ion d'une cloueuse sans fil avait une capacité initiale de \(Q_0 = 5\ \text{Ah}\) à l'achat. Après 800 cycles de charge/décharge, sa capacité n'est plus que de \(Q = 4\ \text{Ah}\). La tension nominale reste \(U = 18\ \text{V}\).
1. Calculer l'énergie initiale \(E_0\) et l'énergie actuelle \(E\) de la batterie (en Wh).
2. Calculer le pourcentage de capacité perdue.
3. La cloueuse consomme \(P = 300\ \text{W}\). Calculer l'autonomie initiale et l'autonomie actuelle (en minutes).
4. De combien de minutes l'autonomie a-t-elle diminué ?
1. \(E_0 = 18 \times 5 = \mathbf{90\ \text{Wh}}\). \(E = 18 \times 4 = \mathbf{72\ \text{Wh}}\).
2. Perte : \(\dfrac{5 - 4}{5} \times 100 = \mathbf{20\ \%}\) de la capacité initiale.
3. Autonomie initiale : \(t_0 = \dfrac{90}{300} = 0{,}3\ \text{h} = \mathbf{18\ \text{min}}\). Autonomie actuelle : \(t = \dfrac{72}{300} = 0{,}24\ \text{h} = \mathbf{14{,}4\ \text{min}}\).
4. Diminution : \(18 - 14{,}4 = \mathbf{3{,}6\ \text{min}}\). La perte de 20 % de capacité entraîne une perte de 20 % d'autonomie.
Un atelier de menuiserie dispose de 6 batteries identiques 18 V – 5 Ah pour alimenter l'ensemble des outils sans fil. Chaque batterie se recharge en 1 heure sur un chargeur rapide délivrant un courant de 5 A.
1. Vérifier par le calcul que le temps de charge est bien de 1 heure avec un chargeur de 5 A.
2. Calculer l'énergie totale disponible dans le parc de 6 batteries (en Wh).
3. Un compagnon utilise en moyenne 3 batteries par demi-journée (4 heures de travail). Quelle énergie consomme-t-il par demi-journée ?
4. En déduire la puissance moyenne consommée par les outils (en W).
5. L'atelier a 2 chargeurs. Peut-il assurer la rotation des 6 batteries pour 2 compagnons travaillant simultanément ? Justifier.
1. \(t = \dfrac{Q}{I} = \dfrac{5}{5} = \mathbf{1\ \text{h}}\). Le calcul confirme le temps de charge annoncé.
2. Énergie par batterie : \(E = 18 \times 5 = 90\ \text{Wh}\). Total : \(6 \times 90 = \mathbf{540\ \text{Wh}}\).
3. Énergie par demi-journée : \(3 \times 90 = \mathbf{270\ \text{Wh}}\).
4. Puissance moyenne : \(P = \dfrac{E}{t} = \dfrac{270}{4} = \mathbf{67{,}5\ \text{W}}\). Ce résultat est cohérent : les outils ne fonctionnent pas en continu.
5. Chaque compagnon utilise 3 batteries en 4 h. Avec 2 chargeurs et 1 h de charge par batterie, on peut recharger \(2 \times 4 = 8\) batteries en 4 h. Besoin : \(2 \times 3 = 6\) batteries rechargées. Oui, les 2 chargeurs suffisent largement pour assurer la rotation.
Dans un atelier industriel, un menuisier agenceur est chargé de gérer la recharge du parc de chariots élévateurs électriques. Chaque chariot est équipé d'une batterie traction : 48 V – 500 Ah. Le coût de l'électricité est de 0,15 €/kWh. Le rendement du chargeur est de 85 %.
1. Calculer l'énergie stockée dans la batterie du chariot (en Wh puis en kWh).
2. Calculer l'énergie que le chargeur doit fournir au réseau pour recharger complètement la batterie (tenir compte du rendement du chargeur).
3. Calculer le coût d'une recharge complète.
4. L'atelier possède 5 chariots. Calculer le coût mensuel des recharges si chaque chariot est rechargé en moyenne 20 fois par mois.
1. \(E_{\text{batterie}} = U \times Q = 48 \times 500 = 24\,000\ \text{Wh} = \mathbf{24\ kWh}\)
2. Le rendement du chargeur est 85 % : l'énergie prélevée au réseau est supérieure à l'énergie stockée.
\(E_{\text{réseau}} = \dfrac{E_{\text{batterie}}}{\eta_{\text{chargeur}}} = \dfrac{24}{0{,}85} \approx \mathbf{28{,}2\ kWh}\)
3. Coût d'une recharge : \(c = E_{\text{réseau}} \times p = 28{,}2 \times 0{,}15 \approx \mathbf{4{,}24\ €}\)
4. Coût mensuel total : \(C = 5 \times 20 \times 4{,}24 = \mathbf{424\ €/\text{mois}}\)
Ce calcul justifie l'intérêt des contrats d'énergie adaptés (tarifs heures creuses) pour les ateliers disposant d'un parc important de chariots et d'engins électriques à recharger.
Un bureau d'étude compare deux solutions d'alimentation pour un engin de chantier hybride devant travailler 8 heures par jour avec une puissance moyenne de 20 kW.
1. Calculer l'énergie mécanique nécessaire pour une journée de travail (8 h à 20 kW).
2. Solution A : Calculer la masse de la batterie Li-ion (rendement batterie 90 %).
3. Solution A : Calculer le coût d'investissement de la batterie.
4. Solution B : Calculer le volume de gazole consommé par jour (tenir compte du rendement).
5. Solution B : Calculer le coût quotidien en carburant.
6. En supposant que la batterie Li-ion dure 5 ans (1 500 cycles) et que l'engin travaille 250 jours/an, calculer le coût énergétique journalier de la solution A (amortissement batterie uniquement, énergie de recharge ≈ 0,15 €/kWh). Comparer avec le diesel.
1. \(E_{\text{utile}} = P \times t = 20\,000 \times 8 = 160\,000\ \text{Wh} = \mathbf{160\ kWh}\)
2. Solution A : Énergie à stocker (rendement 90 %) : \(E_{\text{batterie}} = \dfrac{160}{0{,}90} \approx 177{,}8\ \text{kWh}\)
Masse : \(m = \dfrac{177\,800}{200} = \mathbf{889\ kg \approx 890\ kg}\)
3. Solution A : Coût investissement : \(C_{\text{inv}} = 177{,}8 \times 300 \approx \mathbf{53\,333\ €}\)
4. Solution B : Énergie thermique nécessaire : \(E_{\text{thermique}} = \dfrac{160}{0{,}35} \approx 457\ \text{kWh}\)
Volume gazole : \(V = \dfrac{457}{10} = \mathbf{45{,}7\ L}\)
5. Solution B : Coût carburant/jour : \(c = 45{,}7 \times 1{,}80 \approx \mathbf{82{,}3\ €/jour}\)
6. Comparaison :
Nb jours total batterie : \(250 \times 5 = 1\,250\) jours
Amortissement batterie/jour : \(53\,333 / 1\,250 \approx 42{,}7\ €/\text{jour}\)
Énergie recharge/jour : \(177{,}8\ \text{kWh} \times 0{,}15 \approx 26{,}7\ €/\text{jour}\)
Coût total solution A/jour : \(42{,}7 + 26{,}7 \approx \mathbf{69{,}4\ €/\text{jour}}\)
Coût solution B/jour : 82,3 €/jour
Conclusion : La solution électrique (A) est environ 15 % moins coûteuse sur la durée d'amortissement, sans compter les avantages environnementaux (zéro émission locale) et la réduction du bruit sur chantier.
Un artisan menuisier souhaite alimenter son atelier en autoconsommation photovoltaïque avec stockage. L'atelier consomme en moyenne \(E_{\text{jour}} = 18\ \text{kWh/jour}\). Le système PV produit \(E_{\text{PV}} = 12\ \text{kWh/jour}\) en période hivernale. Le reste est couvert par une batterie de stockage (tension \(U_B = 48\ \text{V}\), profondeur de décharge maximale : 80 %).
1. Quelle énergie doit fournir la batterie chaque jour (en kWh) ?
2. En tenant compte de la profondeur de décharge, calculer la capacité utile nécessaire \(C_{\text{utile}}\) en kWh.
3. Calculer la capacité en Ah que doit avoir la batterie à 48 V.
4. Des accumulateurs lithium 48 V – 100 Ah sont disponibles. Combien d'éléments en parallèle faut-il associer ?
5. Calculer l'énergie totale stockée dans le parc de batteries. Comparer à l'énergie journalière requise et commenter.
1. \(E_{\text{batterie}} = E_{\text{jour}} - E_{\text{PV}} = 18 - 12 = \mathbf{6\ \text{kWh/jour}}\)
2. Capacité utile (profondeur de décharge 80 %) : \(C_{\text{utile}} = \dfrac{E_{\text{batterie}}}{0{,}80} = \dfrac{6}{0{,}80} = \mathbf{7{,}5\ \text{kWh}}\)
3. \(C_{Ah} = \dfrac{E_{\text{utile}}}{U_B} = \dfrac{7\,500\ \text{Wh}}{48\ \text{V}} \approx \mathbf{156{,}25\ \text{Ah}}\)
4. Nombre d'éléments : \(n = \lceil 156{,}25 / 100 \rceil = \mathbf{2\ \text{éléments en parallèle}}\)
5. Énergie totale stockée : \(E_{\text{stock}} = 2 \times 48 \times 100 = 9\,600\ \text{Wh} = \mathbf{9{,}6\ \text{kWh}}\). C'est supérieur aux 7,5 kWh utiles requis, ce qui offre une marge de sécurité et prolonge la durée de vie des batteries (cycles moins profonds).
Un chef de chantier doit choisir la technologie de batterie pour alimenter un engin de levage électrique sur un chantier d'agencement intérieur. Trois technologies sont évaluées :
| Critère | Plomb-acide | NiMH | Li-ion |
|---|---|---|---|
| Tension nominale (cellule) | 2 V | 1,2 V | 3,6 V |
| Densité énergie massique | 35 Wh/kg | 80 Wh/kg | 200 Wh/kg |
| Nombre de cycles | 300–500 | 500–1000 | 1000–3000 |
| Prix (€/kWh stocké) | 100 | 250 | 400 |
| Autodécharge/mois | 5 % | 20 % | 2 % |
L'engin nécessite une batterie de 48 V – 150 Ah.
1. Calculer l'énergie stockée (en kWh).
2. Calculer la masse de chaque technologie pour cette capacité.
3. Calculer le coût de la batterie pour chaque technologie.
4. Calculer le coût par cycle de chaque technologie (coût / nombre de cycles moyen).
5. Quelle technologie recommanderiez-vous pour ce chantier et pourquoi ? (Justifier avec au moins 3 critères.)
1. \(E = U \times C = 48 \times 150 = \mathbf{7\,200\ \text{Wh} = 7{,}2\ \text{kWh}}\)
2. Masse : \(m = E / \text{densité}\). Plomb : \(7\,200 / 35 \approx \mathbf{206\ kg}\) ; NiMH : \(7\,200 / 80 = \mathbf{90\ kg}\) ; Li-ion : \(7\,200 / 200 = \mathbf{36\ kg}\)
3. Coût : Plomb : \(7{,}2 \times 100 = \mathbf{720\ €}\) ; NiMH : \(7{,}2 \times 250 = \mathbf{1\,800\ €}\) ; Li-ion : \(7{,}2 \times 400 = \mathbf{2\,880\ €}\)
4. Coût par cycle (cycles moyens) : Plomb : \(720 / 400 = \mathbf{1{,}80\ €/\text{cycle}}\) ; NiMH : \(1\,800 / 750 = \mathbf{2{,}40\ €/\text{cycle}}\) ; Li-ion : \(2\,880 / 2\,000 = \mathbf{1{,}44\ €/\text{cycle}}\)
5. Recommandation : Li-ion. Arguments : (1) masse 6 fois inférieure au plomb → facilite la manœuvrabilité de l'engin ; (2) coût par cycle le plus faible → rentable sur la durée ; (3) autodécharge très faible (2 %) → convient aux chantiers avec pauses prolongées ; (4) durée de vie (2 000 cycles) nettement supérieure. Le surcoût initial est amorti sur la durée d'exploitation.
Un technicien d'agencement teste une batterie Li-ion 18 V – 5 Ah. Lors de la charge complète, le chargeur consomme une énergie de \(E_{\text{charge}} = 100\ \text{Wh}\) sur le réseau. Lors de la décharge complète, la batterie restitue une énergie utile de \(E_{\text{décharge}} = 81\ \text{Wh}\).
1. Calculer l'énergie théorique stockée dans la batterie (\(E = U \times Q\)).
2. Calculer le rendement du chargeur : \(\eta_{\text{chargeur}} = \dfrac{E_{\text{théorique}}}{E_{\text{charge}}}\).
3. Calculer le rendement de décharge : \(\eta_{\text{décharge}} = \dfrac{E_{\text{décharge}}}{E_{\text{théorique}}}\).
4. Calculer le rendement global du cycle (charge + décharge) : \(\eta_{\text{global}} = \dfrac{E_{\text{décharge}}}{E_{\text{charge}}}\).
5. Vérifier que \(\eta_{\text{global}} = \eta_{\text{chargeur}} \times \eta_{\text{décharge}}\). Commenter la valeur obtenue.
1. \(E_{\text{théorique}} = 18 \times 5 = \mathbf{90\ \text{Wh}}\)
2. \(\eta_{\text{chargeur}} = \dfrac{90}{100} = \mathbf{0{,}90 = 90\ \%}\)
3. \(\eta_{\text{décharge}} = \dfrac{81}{90} = \mathbf{0{,}90 = 90\ \%}\)
4. \(\eta_{\text{global}} = \dfrac{81}{100} = \mathbf{0{,}81 = 81\ \%}\)
5. Vérification : \(0{,}90 \times 0{,}90 = 0{,}81\). Le rendement global est bien le produit des rendements. Sur 100 Wh prélevés au réseau, seuls 81 Wh sont restitués en travail utile. Les 19 Wh perdus se dissipent en chaleur dans le chargeur et dans la batterie.
Un atelier de fabrication de meubles dispose de 10 batteries 18 V – 5 Ah pour l'ensemble de ses outils sans fil. Chaque batterie est rechargée en moyenne une fois par jour, 5 jours par semaine, 47 semaines par an. Le rendement de charge est de 88 % et le prix de l'électricité est de 0,18 €/kWh.
1. Calculer l'énergie stockée dans une batterie (en Wh).
2. Calculer l'énergie prélevée au réseau pour une recharge (tenir compte du rendement).
3. Calculer le nombre total de recharges par an pour l'ensemble du parc.
4. Calculer l'énergie totale consommée par an (en kWh).
5. Calculer le coût annuel en électricité pour la recharge de tout le parc.
6. Les batteries coûtent 85 € pièce et durent en moyenne 1 000 cycles. Calculer le coût annuel d'amortissement des batteries. Quel est le coût total annuel (électricité + amortissement) ?
1. \(E = 18 \times 5 = \mathbf{90\ \text{Wh}}\)
2. \(E_{\text{réseau}} = \dfrac{90}{0{,}88} \approx \mathbf{102{,}3\ \text{Wh}}\)
3. Recharges/an : \(10 \times 5 \times 47 = \mathbf{2\,350\ \text{recharges}}\)
4. \(E_{\text{annuelle}} = 2\,350 \times 102{,}3 = 240\,405\ \text{Wh} \approx \mathbf{240{,}4\ \text{kWh}}\)
5. Coût électricité : \(240{,}4 \times 0{,}18 \approx \mathbf{43{,}27\ €/\text{an}}\)
6. Chaque batterie dure \(\dfrac{1\,000}{5 \times 47} = 4{,}26\) ans. Amortissement annuel : \(\dfrac{10 \times 85}{4{,}26} \approx \mathbf{199{,}5\ €/\text{an}}\). Coût total : \(43{,}27 + 199{,}5 \approx \mathbf{242{,}8\ €/\text{an}}\). Le coût de l'électricité est faible comparé à l'amortissement des batteries.
Une entreprise de menuiserie utilise un utilitaire électrique pour livrer des agencements sur chantier. Le véhicule est équipé d'une batterie Li-ion de 400 V – 60 Ah. Sa consommation moyenne est de 18 kWh/100 km.
1. Calculer l'énergie stockée dans la batterie (en kWh).
2. Calculer l'autonomie théorique du véhicule (en km).
3. En hiver, la consommation augmente de 25 % à cause du chauffage. Calculer la nouvelle autonomie.
4. Le trajet aller-retour vers le chantier fait 85 km. Le véhicule peut-il faire l'aller-retour en hiver sans recharger ? Justifier.
5. Calculer le coût du trajet aller-retour (électricité à 0,18 €/kWh). Comparer avec un utilitaire diesel consommant 8 L/100 km (gazole à 1,75 €/L).
1. \(E = 400 \times 60 = 24\,000\ \text{Wh} = \mathbf{24\ \text{kWh}}\)
2. Autonomie : \(\dfrac{24}{18} \times 100 = \mathbf{133\ \text{km}}\)
3. Consommation hiver : \(18 \times 1{,}25 = 22{,}5\ \text{kWh/100 km}\). Autonomie hiver : \(\dfrac{24}{22{,}5} \times 100 \approx \mathbf{107\ \text{km}}\)
4. Aller-retour : 85 km < 107 km. Oui, le véhicule peut faire l'aller-retour, mais avec une marge de seulement 22 km. Il est prudent de recharger sur le chantier si possible.
5. Énergie consommée : \(\dfrac{85 \times 22{,}5}{100} = 19{,}1\ \text{kWh}\). Coût électrique : \(19{,}1 \times 0{,}18 = \mathbf{3{,}44\ €}\). Coût diesel : \(\dfrac{85 \times 8}{100} \times 1{,}75 = 6{,}8 \times 1{,}75 = \mathbf{11{,}90\ €}\). L'électrique coûte 3,5 fois moins en carburant.
Un chef de chantier en agencement intérieur doit installer un éclairage autonome alimenté par batterie. L'éclairage LED consomme \(P = 120\ \text{W}\) et doit fonctionner 10 heures par jour pendant 5 jours sans possibilité de recharge (chantier isolé). La batterie sera en 24 V, technologie Li-ion. On applique un coefficient de sécurité de 1,3 (marge pour le froid et le vieillissement).
1. Calculer l'énergie nécessaire pour une journée de travail.
2. Calculer l'énergie nécessaire pour les 5 jours.
3. Appliquer le coefficient de sécurité pour obtenir l'énergie de la batterie à prévoir.
4. Calculer la capacité nécessaire en Ah (batterie 24 V).
5. Calculer la masse de la batterie (densité Li-ion : 180 Wh/kg). Commenter la faisabilité du transport sur chantier.
1. \(E_{\text{jour}} = P \times t = 120 \times 10 = \mathbf{1\,200\ \text{Wh}}\)
2. \(E_{5\text{j}} = 5 \times 1\,200 = \mathbf{6\,000\ \text{Wh} = 6\ \text{kWh}}\)
3. \(E_{\text{batterie}} = 6\,000 \times 1{,}3 = \mathbf{7\,800\ \text{Wh} = 7{,}8\ \text{kWh}}\)
4. \(Q = \dfrac{E}{U} = \dfrac{7\,800}{24} = \mathbf{325\ \text{Ah}}\)
5. \(m = \dfrac{7\,800}{180} \approx \mathbf{43{,}3\ \text{kg}}\). Cette batterie est lourde mais transportable par 2 personnes ou sur un chariot. Pour un chantier isolé sans accès au réseau, c'est une solution viable comparée à un groupe électrogène thermique (bruit, émissions).
Un artisan menuisier hésite entre deux solutions pour alimenter ses outils sur un chantier de pose de cuisine :
Le chantier dure 15 jours.
1. Calculer l'énergie stockée dans les 4 batteries (en Wh). Combien de recharges par jour si les 4 batteries sont vidées chaque jour ?
2. Calculer l'énergie prélevée au réseau par jour pour la solution A (tenir compte du rendement).
3. Calculer les émissions de CO₂ de la solution A sur les 15 jours (en kg).
4. Calculer la consommation d'essence de la solution B sur les 15 jours (en litres).
5. Calculer les émissions de CO₂ de la solution B sur les 15 jours (en kg).
6. Comparer les deux solutions en termes d'émissions. Quel facteur multiplicatif sépare les deux solutions ?
1. Énergie par batterie : \(18 \times 5 = 90\ \text{Wh}\). Total : \(4 \times 90 = \mathbf{360\ \text{Wh}}\). Si les 4 batteries sont vidées chaque jour, il faut 4 recharges/jour (une par batterie).
2. Énergie réseau/jour : \(\dfrac{360}{0{,}90} = \mathbf{400\ \text{Wh} = 0{,}4\ \text{kWh}}\)
3. CO₂ solution A : \(0{,}4 \times 15 \times 60 = 360\ \text{g} = \mathbf{0{,}36\ \text{kg de CO₂}}\)
4. Essence solution B : \(1{,}2 \times 4 \times 15 = \mathbf{72\ \text{L}}\)
5. CO₂ solution B : \(72 \times 2{,}3 = \mathbf{165{,}6\ \text{kg de CO₂}}\)
6. Rapport : \(\dfrac{165{,}6}{0{,}36} = 460\). La solution B émet environ 460 fois plus de CO₂ que la solution A. Même en tenant compte de la fabrication des batteries, la solution batteries rechargées sur le réseau est très nettement plus sobre en carbone que le groupe électrogène.