Exercices | Terminale Bac Pro ERA-MA – Groupement 3
Le réseau électrique achemine l'énergie depuis les centrales (production) jusqu'aux consommateurs via plusieurs niveaux de tension : HT (400 kV) pour le transport longue distance, MT (20 kV) pour la distribution régionale, BT (230/400 V) pour les usages domestiques et industriels.
Formules essentielles :
En vous aidant du schéma du réseau électrique ci-dessus, compléter les phrases :
1. La centrale de production génère l'énergie électrique. La tension est ensuite __________ (élevée / abaissée) pour le transport longue distance.
2. La tension de transport HT est d'environ __________ kV.
3. Le premier transformateur abaisse la tension de __________ kV à __________ kV (distribution régionale).
4. Le second transformateur abaisse la tension de __________ kV à __________ V pour les usines et logements.
5. L'appareil qui permet de modifier la tension s'appelle un __________ .
1. La tension est élevée pour le transport longue distance.
2. La tension HT est d'environ 400 kV.
3. De 400 kV à 20 kV.
4. De 20 kV à 400 V (ou 230 V en monophasé).
5. Un transformateur.
Une perceuse électrique fonctionne sous \(U = 230\ \text{V}\) et consomme un courant \(I = 5\ \text{A}\). On considère \(\cos\varphi = 1\) (appareil résistif).
Étape 1 : Recopier la formule de la puissance :
\(P = \)__________ \(\times\) __________ \(\times\) __________
Étape 2 : Remplacer par les valeurs :
\(P = \)__________ \(\times\) __________ \(\times\) __________ \(=\) __________ W
Étape 3 : La perceuse fonctionne pendant 30 minutes = __________ h. Calculer l'énergie :
\(E = P \times t = \)__________ \(\times\) __________ \(=\) __________ Wh
Étape 1 : \(P = U \times I \times \cos\varphi\)
Étape 2 : \(P = 230 \times 5 \times 1 = \mathbf{1\,150\ W}\)
Étape 3 : 30 min = 0,5 h. \(E = 1\,150 \times 0{,}5 = \mathbf{575\ Wh}\)
Un câble de chantier a une résistance \(R = 0{,}5\ \Omega\) et est parcouru par un courant \(I = 10\ \text{A}\).
1. Formule des pertes Joule : \(P_{\text{pertes}} = \)__________ \(\times\) __________²
2. Calcul : \(P_{\text{pertes}} = \)__________ \(\times\) __________² \(=\) __________ \(\times\) __________ \(=\) __________ W
3. Ces pertes se transforment en __________ (chaleur / lumière).
Un transformateur a \(U_1 = 20\,000\ \text{V}\), \(N_1 = 1\,000\) spires, \(N_2 = 50\) spires.
4. Formule : \(\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}\). Donc \(U_2 = U_1 \times \dfrac{N_2}{N_1}\)
5. Calcul : \(U_2 = \)__________ \(\times \dfrac{\text{______}}{\text{______}} = \)__________ V
6. Ce transformateur est __________ (élévateur / abaisseur) car \(U_2\) est __________ (plus grande / plus petite) que \(U_1\).
1. \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2\)
2. \(P_{\text{pertes}} = 0{,}5 \times 10^2 = 0{,}5 \times 100 = \mathbf{50\ W}\)
3. En chaleur.
5. \(U_2 = 20\,000 \times \dfrac{50}{1\,000} = \mathbf{1\,000\ V}\)
6. Abaisseur car \(U_2\) est plus petite que \(U_1\).
Relier chaque niveau de tension à sa valeur et à son usage :
| Niveau | Tension | Usage |
|---|---|---|
| Basse Tension (BT) | __________ V | __________ |
| Moyenne Tension (MT) | __________ kV | __________ |
| Haute Tension (HT) | __________ kV | __________ |
Valeurs à placer : 230 / 400 ; 20 ; 400
Usages à placer : logements et chantiers ; distribution régionale ; transport longue distance
| Niveau | Tension | Usage |
|---|---|---|
| BT | 230 / 400 V | Logements et chantiers |
| MT | 20 kV | Distribution régionale |
| HT | 400 kV | Transport longue distance |
Un câble d'alimentation d'un atelier de menuiserie a une résistance \(R = 0{,}2\ \Omega\). Le courant qui le traverse est \(I = 20\ \text{A}\).
Étape 1 : Recopier la formule des pertes Joule :
\(P_{\text{pertes}} = \)__________ \(\times\) __________²
Étape 2 : Remplacer par les valeurs :
\(P_{\text{pertes}} = \)__________ \(\times\) __________² \(=\) __________ \(\times\) __________ \(=\) __________ W
Étape 3 : Ces pertes se transforment en __________ dans le câble.
Étape 1 : \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2\)
Étape 2 : \(P_{\text{pertes}} = 0{,}2 \times 20^2 = 0{,}2 \times 400 = \mathbf{80\ W}\)
Étape 3 : Ces pertes se transforment en chaleur dans le câble.
Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier.
1. On transporte l'énergie électrique en basse tension pour limiter les pertes. __________ (V / F)
2. Les pertes Joule dépendent du carré du courant. __________ (V / F)
3. Un transformateur élévateur augmente la tension. __________ (V / F)
4. Doubler le courant double les pertes Joule. __________ (V / F)
5. Le réseau électrique utilise des transformateurs pour adapter la tension. __________ (V / F)
1. FAUX — On transporte en haute tension pour limiter les pertes (courant faible).
2. VRAI — \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2\), les pertes sont proportionnelles à \(I^2\).
3. VRAI — Un transformateur élévateur a \(U_2 > U_1\).
4. FAUX — Doubler le courant quadruple les pertes (car \(I^2\)).
5. VRAI — Les transformateurs adaptent la tension à chaque étape du réseau.
Une rallonge électrique de chantier alimente une défonceuse de puissance \(P = 1\,500\ \text{W}\) sous \(U = 230\ \text{V}\). La résistance de la rallonge est \(R = 0{,}3\ \Omega\).
Étape 1 : Calculer le courant. Formule : \(I = \dfrac{P}{U}\)
\(I = \dfrac{\text{______}}{\text{______}} = \)__________ A
Étape 2 : Calculer les pertes Joule. Formule : \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2\)
\(P_{\text{pertes}} = \)__________ \(\times\) __________² \(=\) __________ W
Étape 3 : Calculer le rendement. Formule : \(\eta = \dfrac{P}{P + P_{\text{pertes}}} \times 100\)
\(\eta = \dfrac{\text{______}}{\text{______} + \text{______}} \times 100 = \)__________ %
Étape 1 : \(I = \dfrac{1\,500}{230} \approx \mathbf{6{,}52\ A}\)
Étape 2 : \(P_{\text{pertes}} = 0{,}3 \times 6{,}52^2 = 0{,}3 \times 42{,}5 \approx \mathbf{12{,}8\ W}\)
Étape 3 : \(\eta = \dfrac{1\,500}{1\,500 + 12{,}8} \times 100 = \dfrac{1\,500}{1\,512{,}8} \times 100 \approx \mathbf{99{,}2\ \%}\)
On transporte une puissance \(P = 10\,000\ \text{W}\) dans un câble de résistance \(R = 5\ \Omega\). Compléter le tableau.
| Tension 230 V | Tension 20 000 V | |
|---|---|---|
| Courant \(I = P / U\) | __________ A | __________ A |
| Pertes \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2\) | __________ W | __________ W |
1. Compléter le tableau.
2. Dans quel cas les pertes sont-elles les plus faibles ? Pourquoi ?
| Tension 230 V | Tension 20 000 V | |
|---|---|---|
| Courant \(I\) | 43,5 A | 0,5 A |
| Pertes \(P_{\text{pertes}}\) | 9 451 W | 1,25 W |
1. À 230 V : \(I = 10\,000 / 230 \approx 43{,}5\) A ; \(P_{\text{pertes}} = 5 \times 43{,}5^2 \approx 9\,451\) W.
À 20 000 V : \(I = 10\,000 / 20\,000 = 0{,}5\) A ; \(P_{\text{pertes}} = 5 \times 0{,}5^2 = 1{,}25\) W.
2. Les pertes sont bien plus faibles à 20 000 V car le courant est beaucoup plus petit, et les pertes dépendent de \(I^2\).
Un technicien utilise une perceuse électrique alimentée sous 230 V absorbant un courant de 5 A. Le récepteur est considéré comme purement résistif (\(\cos\varphi = 1\)).
1. Rappeler la formule de la puissance active en monophasé.
2. Calculer la puissance absorbée par la perceuse.
3. Quelle énergie (en Wh) consomme-t-elle en 30 minutes de travail ?
1. \(P = U \cdot I \cdot \cos\varphi\)
2. \(P = 230 \times 5 \times 1 = \mathbf{1\,150\ W}\)
3. \(W = P \times t = 1\,150 \times 0{,}5\ \text{h} = \mathbf{575\ Wh}\)
Un câble de chantier a une résistance totale \(R = 0{,}5\ \Omega\). Il est parcouru par un courant \(I = 10\ \text{A}\).
1. Écrire la formule des pertes Joule.
2. Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans ce câble.
3. Cette dissipation est-elle utile ? Que devient-elle ?
1. \(P_{\text{pertes}} = R \cdot I^2\)
2. \(P_{\text{pertes}} = 0{,}5 \times 10^2 = 0{,}5 \times 100 = \mathbf{50\ W}\)
3. Non, cette puissance n'est pas utile. Elle est dissipée sous forme de chaleur dans le câble, ce qui représente une perte d'énergie et peut provoquer un échauffement du conducteur.
Un transformateur de poste MT/BT possède les caractéristiques suivantes :
1. Écrire la relation liant \(U_1\), \(U_2\), \(N_1\) et \(N_2\).
2. Calculer la tension secondaire \(U_2\).
3. Ce transformateur est-il élévateur ou abaisseur ?
1. \(\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}\)
2. \(U_2 = U_1 \times \dfrac{N_2}{N_1} = 20\,000 \times \dfrac{50}{1\,000} = \mathbf{1\,000\ V}\)
3. \(U_2 < U_1\) donc c'est un transformateur abaisseur.
Une ligne monophasée 230 V alimente une charge de puissance \(P = 2\,300\ \text{W}\) (\(\cos\varphi = 1\)). La résistance totale du câble aller-retour est \(R = 2\ \Omega\).
1. Calculer le courant en ligne \(I\).
2. Calculer les pertes Joule \(P_{\text{pertes}}\).
3. Calculer la puissance totale fournie par la source \(P_{\text{totale}} = P + P_{\text{pertes}}\).
4. Calculer le rendement \(\eta\) de la ligne (en %).
1. \(I = \dfrac{P}{U \cdot \cos\varphi} = \dfrac{2\,300}{230 \times 1} = \mathbf{10\ A}\)
2. \(P_{\text{pertes}} = R \cdot I^2 = 2 \times 10^2 = \mathbf{200\ W}\)
3. \(P_{\text{totale}} = 2\,300 + 200 = \mathbf{2\,500\ W}\)
4. \(\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{totale}}} \times 100 = \dfrac{2\,300}{2\,500} \times 100 = \mathbf{92\ \%}\)
Un transformateur reçoit une puissance primaire de \(P_1 = 10\ \text{kW}\). Son rendement est \(\eta = 0{,}95\) (95 %).
1. Exprimer \(P_2\) (puissance secondaire) en fonction de \(\eta\) et \(P_1\).
2. Calculer \(P_2\).
3. Calculer les pertes \(P_{\text{pertes}}\) dans le transformateur.
4. Sous quelles formes se manifestent ces pertes dans un transformateur réel ?
1. \(\eta = \dfrac{P_2}{P_1}\) donc \(P_2 = \eta \times P_1\)
2. \(P_2 = 0{,}95 \times 10\,000 = \mathbf{9\,500\ W = 9{,}5\ kW}\)
3. \(P_{\text{pertes}} = P_1 - P_2 = 10\,000 - 9\,500 = \mathbf{500\ W}\)
4. Les pertes se manifestent sous forme de chaleur : pertes par effet Joule dans les enroulements (pertes cuivre) et pertes dans le circuit magnétique (pertes fer : hystérésis et courants de Foucault).
Une puissance de \(P = 100\ \text{kW}\) doit être transportée sur une ligne de résistance totale \(R = 10\ \Omega\) (\(\cos\varphi = 1\) dans les deux cas).
| Tension de transport | 230 V | 20 000 V |
|---|---|---|
| Puissance transportée | 100 kW | 100 kW |
| Courant \(I\) | ? | ? |
| Pertes Joule \(P_{\text{pertes}}\) | ? | ? |
| Rendement | ? | ? |
1. Compléter le tableau (calculs détaillés requis).
2. Conclure sur l'intérêt du transport à haute tension.
À 230 V :
\(I_{230} = \dfrac{P}{U} = \dfrac{100\,000}{230} \approx 434{,}8\ \text{A}\)
\(P_{\text{pertes, 230}} = 10 \times 434{,}8^2 \approx 1\,890\,380\ \text{W} \approx \mathbf{1\,890\ kW}\)
Les pertes sont 18,9 fois supérieures à la puissance utile ! Rendement pratiquement nul.
À 20 000 V :
\(I_{20k} = \dfrac{100\,000}{20\,000} = \mathbf{5\ A}\)
\(P_{\text{pertes, 20k}} = 10 \times 5^2 = 10 \times 25 = \mathbf{250\ W}\)
\(\eta = \dfrac{100\,000}{100\,250} \times 100 \approx \mathbf{99{,}75\ \%}\)
Conclusion : Le transport à haute tension réduit considérablement les pertes Joule. Multiplier la tension par \(n\) divise le courant par \(n\) et divise les pertes par \(n^2\). Ici, multiplier la tension par \(\approx 87\) divise les pertes par \(\approx 7\,500\).
Un câble d'alimentation de chantier doit alimenter une charge de \(P = 4\,600\ \text{W}\) sous \(U = 230\ \text{V}\) (\(\cos\varphi = 1\)). La chute de tension admissible est limitée à \(\Delta U_{\max} = 5\ \%\) de la tension nominale.
1. Calculer le courant \(I\) absorbé par la charge.
2. Calculer la chute de tension maximale admissible \(\Delta U_{\max}\) (en V).
3. En déduire la résistance maximale admissible \(R_{\max}\) du câble.
4. Pour une longueur aller-retour de 50 m, calculer la section minimale \(S\) du câble en mm².
1. \(I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{4\,600}{230} = \mathbf{20\ A}\)
2. \(\Delta U_{\max} = 0{,}05 \times 230 = \mathbf{11{,}5\ V}\)
3. \(R_{\max} = \dfrac{\Delta U_{\max}}{I} = \dfrac{11{,}5}{20} = \mathbf{0{,}575\ \Omega}\)
4. \(S = \dfrac{\rho \cdot L}{R_{\max}} = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 50}{0{,}575} \approx \dfrac{8{,}5 \times 10^{-7}}{0{,}575} \approx 1{,}48 \times 10^{-6}\ \text{m}^2 \approx \mathbf{1{,}5\ mm^2}\)
On choisira donc un câble de section normalisée 2,5 mm² (section immédiatement supérieure disponible dans le commerce).
Un menuisier agenceur utilise une scie circulaire de chantier alimentée sous \(U = 230\ \text{V}\), absorbant un courant \(I = 8\ \text{A}\) avec \(\cos\varphi = 0{,}95\).
1. Calculer la puissance active absorbée par la scie.
2. La rallonge utilisée a une résistance \(R = 0{,}4\ \Omega\). Calculer les pertes Joule dans la rallonge.
3. Calculer le rendement de la ligne (rallonge).
4. La scie fonctionne pendant 2 heures. Calculer l'énergie totale consommée (en kWh) et l'énergie perdue dans la rallonge.
1. \(P = U \times I \times \cos\varphi = 230 \times 8 \times 0{,}95 = \mathbf{1\,748\ W}\)
2. \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2 = 0{,}4 \times 8^2 = 0{,}4 \times 64 = \mathbf{25{,}6\ W}\)
3. \(\eta = \dfrac{P}{P + P_{\text{pertes}}} \times 100 = \dfrac{1\,748}{1\,748 + 25{,}6} \times 100 = \dfrac{1\,748}{1\,773{,}6} \times 100 \approx \mathbf{98{,}6\ \%}\)
4. Énergie totale : \(E = (P + P_{\text{pertes}}) \times t = 1\,773{,}6 \times 2 = 3\,547{,}2\ \text{Wh} \approx \mathbf{3{,}55\ kWh}\). Énergie perdue : \(E_{\text{pertes}} = 25{,}6 \times 2 = \mathbf{51{,}2\ Wh}\).
Un transformateur élévateur de centrale a les caractéristiques suivantes :
1. Calculer la tension secondaire \(U_2\).
2. Ce transformateur est-il élévateur ou abaisseur ? Justifier.
3. En supposant le transformateur idéal (\(U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2\)), calculer le courant secondaire \(I_2\).
4. Comparer \(I_1\) et \(I_2\). Commenter en lien avec les pertes Joule en ligne.
1. \(U_2 = U_1 \times \dfrac{N_2}{N_1} = 20\,000 \times \dfrac{10\,000}{500} = \mathbf{400\,000\ V = 400\ kV}\)
2. \(U_2 > U_1\) donc c'est un transformateur élévateur.
3. \(I_2 = \dfrac{U_1 \times I_1}{U_2} = \dfrac{20\,000 \times 200}{400\,000} = \mathbf{10\ A}\)
4. \(I_2 = 10\ \text{A}\) est beaucoup plus faible que \(I_1 = 200\ \text{A}\). En élevant la tension, on réduit le courant, ce qui diminue les pertes Joule (\(P_J = R \times I^2\)) dans les lignes de transport.
Un aspirateur d'atelier de menuiserie fonctionne sous \(U = 230\ \text{V}\) et consomme une puissance active \(P = 2\,000\ \text{W}\).
1. Calculer le courant absorbé si \(\cos\varphi = 1\) (appareil résistif).
2. Calculer le courant absorbé si \(\cos\varphi = 0{,}75\) (moteur).
3. La résistance du câble est \(R = 0{,}5\ \Omega\). Calculer les pertes Joule dans chaque cas.
4. Conclure sur l'influence du facteur de puissance sur les pertes.
1. \(I = \dfrac{P}{U \times \cos\varphi} = \dfrac{2\,000}{230 \times 1} = \mathbf{8{,}70\ A}\)
2. \(I = \dfrac{2\,000}{230 \times 0{,}75} = \dfrac{2\,000}{172{,}5} = \mathbf{11{,}59\ A}\)
3. Cas 1 : \(P_J = 0{,}5 \times 8{,}70^2 = 0{,}5 \times 75{,}7 \approx \mathbf{37{,}8\ W}\). Cas 2 : \(P_J = 0{,}5 \times 11{,}59^2 = 0{,}5 \times 134{,}3 \approx \mathbf{67{,}2\ W}\).
4. Un facteur de puissance plus faible augmente le courant (pour la même puissance active), ce qui augmente les pertes Joule. Un mauvais \(\cos\varphi\) entraîne donc davantage de pertes dans les câbles.
Un poseur de cuisines utilise une rallonge de 25 m (aller-retour : 50 m de conducteur) en cuivre de section \(S = 2{,}5\ \text{mm}^2\) (\(\rho = 1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\)). Le courant est \(I = 12\ \text{A}\) sous \(U = 230\ \text{V}\).
1. Calculer la résistance du câble : \(R = \dfrac{\rho \times L}{S}\).
2. Calculer la chute de tension : \(\Delta U = R \times I\).
3. Exprimer la chute de tension en pourcentage de la tension nominale.
4. La norme impose une chute de tension maximale de 5 %. Est-elle respectée ?
1. \(R = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 50}{2{,}5 \times 10^{-6}} = \dfrac{8{,}5 \times 10^{-7}}{2{,}5 \times 10^{-6}} = \mathbf{0{,}34\ \Omega}\)
2. \(\Delta U = R \times I = 0{,}34 \times 12 = \mathbf{4{,}08\ V}\)
3. \(\%\Delta U = \dfrac{4{,}08}{230} \times 100 \approx \mathbf{1{,}77\ \%}\)
4. Oui, 1,77 % < 5 % : la norme est respectée.
Un ébéniste utilise une ponceuse à bande (\(P = 1\,200\ \text{W}\)) pendant 3 h par jour, 5 jours par semaine. Le prix du kWh est de 0,22 €.
1. Calculer l'énergie consommée par jour (en Wh puis en kWh).
2. Calculer l'énergie consommée par semaine (en kWh).
3. Calculer le coût hebdomadaire de fonctionnement de la ponceuse.
4. Le câble qui alimente la ponceuse a une résistance \(R = 0{,}25\ \Omega\) et le courant est \(I = 5{,}2\ \text{A}\). Calculer les pertes Joule et l'énergie perdue par semaine dans le câble.
1. \(E = P \times t = 1\,200 \times 3 = 3\,600\ \text{Wh} = \mathbf{3{,}6\ kWh}\) par jour.
2. \(E_{\text{semaine}} = 3{,}6 \times 5 = \mathbf{18\ kWh}\) par semaine.
3. Coût : \(18 \times 0{,}22 = \mathbf{3{,}96\ €}\) par semaine.
4. \(P_J = R \times I^2 = 0{,}25 \times 5{,}2^2 = 0{,}25 \times 27{,}04 = 6{,}76\ \text{W}\). Énergie perdue : \(E_J = 6{,}76 \times 3 \times 5 = 101{,}4\ \text{Wh} \approx \mathbf{0{,}10\ kWh}\) par semaine.
Un technicien d'agencement doit choisir entre deux câbles pour alimenter un appareil de \(P = 3\,000\ \text{W}\) sous \(U = 230\ \text{V}\). Les deux câbles ont la même longueur aller-retour de 40 m (\(\rho = 1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\)).
| Câble | Section |
|---|---|
| Câble A | 1,5 mm² |
| Câble B | 4 mm² |
1. Calculer le courant \(I\) dans la ligne.
2. Calculer la résistance de chaque câble.
3. Calculer les pertes Joule pour chaque câble.
4. Quel câble est préférable ? Justifier.
1. \(I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{3\,000}{230} \approx \mathbf{13{,}0\ A}\)
2. Câble A : \(R_A = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 40}{1{,}5 \times 10^{-6}} = \mathbf{0{,}453\ \Omega}\). Câble B : \(R_B = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 40}{4 \times 10^{-6}} = \mathbf{0{,}170\ \Omega}\).
3. Câble A : \(P_{J,A} = 0{,}453 \times 13^2 = 0{,}453 \times 169 \approx \mathbf{76{,}6\ W}\). Câble B : \(P_{J,B} = 0{,}170 \times 169 \approx \mathbf{28{,}7\ W}\).
4. Le câble B (4 mm²) est préférable : sa section plus grande réduit la résistance et diminue les pertes Joule de plus de 60 %.
Lors d'une opération de maintenance sur un site industriel, un technicien d'agencement doit alimenter un moteur triphasé ayant les caractéristiques plaque signalétique suivantes :
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Tension nominale | 400 V (triphasé) |
| Facteur de puissance | \(\cos\varphi = 0{,}8\) |
| Rendement moteur | \(\eta_{\text{moteur}} = 0{,}90\) |
| Puissance mécanique utile | 7,5 kW |
1. Calculer la puissance électrique absorbée par le moteur.
2. Rappeler la formule de la puissance active en triphasé.
3. Calculer le courant de ligne \(I\) absorbé.
4. Quel est le calibre minimum du disjoncteur de protection à choisir parmi : 10 A, 16 A, 20 A, 25 A ?
1. \(P_{\text{élec}} = \dfrac{P_{\text{mécanique}}}{\eta_{\text{moteur}}} = \dfrac{7\,500}{0{,}90} \approx \mathbf{8\,333\ W \approx 8{,}33\ kW}\)
2. \(P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos\varphi\)
3. \(I = \dfrac{P}{\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\varphi} = \dfrac{8\,333}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}8} = \dfrac{8\,333}{554{,}3} \approx \mathbf{15{,}0\ A}\)
4. Le courant nominal est 15 A. On choisit le calibre immédiatement supérieur : 16 A (avec vérification de la courbe de déclenchement selon le type de démarrage).
Un installateur d'agencement intervient sur un poste de transformation d'un site industriel. Le transformateur HTA/BT a les caractéristiques suivantes :
1. Calculer le rapport de transformation \(m = U_2 / U_1\).
2. Calculer la puissance active nominale \(P = S \cdot \cos\varphi\).
3. Calculer le courant nominal côté secondaire \(I_2\) (rappel : \(S = \sqrt{3} \cdot U_2 \cdot I_2\)).
4. Calculer le courant côté primaire \(I_1\) en utilisant la conservation de la puissance apparente.
5. Calculer la puissance dissipée dans le transformateur à pleine charge.
1. \(m = \dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{400}{20\,000} = \mathbf{0{,}02}\) (rapport abaisseur 1/50)
2. \(P = S \times \cos\varphi = 630\,000 \times 0{,}85 = \mathbf{535\,500\ W \approx 535{,}5\ kW}\)
3. \(I_2 = \dfrac{S}{\sqrt{3} \cdot U_2} = \dfrac{630\,000}{\sqrt{3} \times 400} = \dfrac{630\,000}{692{,}8} \approx \mathbf{909\ A}\)
4. \(S = \sqrt{3} \cdot U_1 \cdot I_1\) donc \(I_1 = \dfrac{S}{\sqrt{3} \cdot U_1} = \dfrac{630\,000}{\sqrt{3} \times 20\,000} \approx \dfrac{630\,000}{34\,641} \approx \mathbf{18{,}2\ A}\)
Vérification par rapport de transformation : \(I_1 = m \times I_2 = 0{,}02 \times 909 \approx 18{,}2\ A\)
5. \(P_{\text{pertes}} = P_{\text{entrée}} - P_{\text{sortie}} = \dfrac{P}{\eta} - P = P \left(\dfrac{1}{\eta} - 1\right) = 535\,500 \times \left(\dfrac{1}{0{,}98} - 1\right) \approx 535\,500 \times 0{,}0204 \approx \mathbf{10\,920\ W \approx 10{,}9\ kW}\)
Un atelier de menuiserie est alimenté en triphasé 400 V (\(\cos\varphi = 0{,}82\)) et regroupe les machines suivantes :
| Machine | Puissance mécanique | Rendement |
|---|---|---|
| Toupie | 5,5 kW | 0,91 |
| Scie à ruban | 3,0 kW | 0,88 |
| Dégauchisseuse | 4,0 kW | 0,90 |
| Aspiration | 2,2 kW | 0,85 |
On considère que toutes les machines peuvent fonctionner simultanément.
1. Calculer la puissance électrique absorbée par chaque machine.
2. Calculer la puissance électrique totale absorbée par l'atelier.
3. Calculer le courant de ligne total \(I\) alimentant l'atelier.
4. Le câble d'alimentation (longueur aller-retour 80 m, \(\rho_{\text{Cu}} = 1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\)) a une section de 16 mm². Calculer sa résistance et les pertes Joule.
5. Quel est le rendement global de la ligne d'alimentation ?
1. Puissances électriques absorbées : Toupie : \(5500/0{,}91 \approx 6\,044\ \text{W}\) ; Scie : \(3000/0{,}88 \approx 3\,409\ \text{W}\) ; Dégauchisseuse : \(4000/0{,}90 \approx 4\,444\ \text{W}\) ; Aspiration : \(2200/0{,}85 \approx 2\,588\ \text{W}\)
2. \(P_{\text{totale}} = 6\,044 + 3\,409 + 4\,444 + 2\,588 = \mathbf{16\,485\ W \approx 16{,}5\ kW}\)
3. \(I = \dfrac{P_{\text{totale}}}{\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\varphi} = \dfrac{16\,485}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}82} = \dfrac{16\,485}{568{,}5} \approx \mathbf{29{,}0\ A}\)
4. Section : \(16\ \text{mm}^2 = 16 \times 10^{-6}\ \text{m}^2\). \(R = \dfrac{\rho \cdot L}{S} = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 80}{16 \times 10^{-6}} = \dfrac{1{,}36 \times 10^{-6}}{16 \times 10^{-6}} = \mathbf{0{,}085\ \Omega}\). Pertes Joule : \(P_J = R \cdot I^2 = 0{,}085 \times 29^2 = 0{,}085 \times 841 \approx \mathbf{71{,}5\ W}\)
5. \(\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{utile}} + P_J} = \dfrac{16\,485}{16\,485 + 71{,}5} \approx \dfrac{16\,485}{16\,557} \approx \mathbf{99{,}6\ \%}\). La ligne est bien dimensionnée.
Une entreprise d'agencement s'installe dans un nouveau bâtiment industriel. Elle dispose d'un poste de livraison BT avec un transformateur 20 kV / 400 V de puissance apparente \(S_n = 250\ \text{kVA}\). Le bilan de puissance de l'entreprise donne \(P_{\text{totale}} = 165\ \text{kW}\) avec \(\cos\varphi = 0{,}78\).
1. Calculer la puissance apparente consommée \(S_{\text{conso}}\).
2. Le transformateur est-il suffisamment dimensionné ? Calculer son taux de charge.
3. Calculer le courant secondaire \(I_2\) du transformateur en régime nominal d'exploitation.
4. La chute de tension dans le transformateur est modélisée par \(\Delta U \approx \varepsilon_u \cdot U_{2n}\) avec \(\varepsilon_u = 4\ \%\). Calculer \(\Delta U\) et la tension secondaire sous charge.
5. Quel est l'impact de cette chute de tension sur les machines de l'atelier ? Proposer une solution.
1. \(S_{\text{conso}} = \dfrac{P}{\cos\varphi} = \dfrac{165\,000}{0{,}78} \approx \mathbf{211{,}5\ kVA}\)
2. Taux de charge : \(\tau = \dfrac{S_{\text{conso}}}{S_n} = \dfrac{211{,}5}{250} \approx \mathbf{84{,}6\ \%}\). Le transformateur est suffisamment dimensionné (taux < 100 %) mais proche de la saturation. Il sera légèrement surchargé si un équipement supplémentaire est ajouté.
3. \(I_2 = \dfrac{S_{\text{conso}}}{\sqrt{3} \cdot U_2} = \dfrac{211\,500}{\sqrt{3} \times 400} = \dfrac{211\,500}{692{,}8} \approx \mathbf{305\ A}\)
4. \(\Delta U = \varepsilon_u \times U_{2n} = 0{,}04 \times 400 = \mathbf{16\ V}\). Tension secondaire sous charge : \(U_2 = 400 - 16 = \mathbf{384\ V}\).
5. Une tension de 384 V au lieu de 400 V peut réduire les performances des moteurs (couple réduit, risque d'échauffement). Solution : utiliser un transformateur avec prise de réglage, ou installer un variateur de tension. Alternativement, améliorer le facteur de puissance par compensation capacitive (réduction du courant réactif).
Un menuisier agenceur réalise un chantier d'installation de mobilier dans un restaurant. Il utilise simultanément les appareils suivants, tous alimentés en monophasé 230 V :
| Appareil | Puissance active | \(\cos\varphi\) | Durée d'utilisation |
|---|---|---|---|
| Scie plongeante | 1 400 W | 0,95 | 1 h 30 |
| Visseuse (chargeur) | 350 W | 1 | 4 h |
| Défonceuse | 1 800 W | 0,90 | 45 min |
| Aspirateur de chantier | 1 200 W | 0,80 | 2 h |
Le câble d'alimentation principal du tableau de chantier a une résistance \(R = 0{,}15\ \Omega\).
1. Calculer le courant absorbé par chaque appareil : \(I = \dfrac{P}{U \times \cos\varphi}\).
2. En supposant que les quatre appareils fonctionnent en même temps, quel est le courant total maximal ?
3. Calculer les pertes Joule maximales dans le câble d'alimentation.
4. Calculer l'énergie totale consommée sur la journée (en kWh) par l'ensemble des appareils.
5. Si le prix du kWh est de 0,22 €, calculer le coût énergétique de cette journée de chantier.
1. Scie : \(I = \dfrac{1\,400}{230 \times 0{,}95} = \dfrac{1\,400}{218{,}5} \approx 6{,}41\ \text{A}\). Visseuse : \(I = \dfrac{350}{230 \times 1} \approx 1{,}52\ \text{A}\). Défonceuse : \(I = \dfrac{1\,800}{230 \times 0{,}90} = \dfrac{1\,800}{207} \approx 8{,}70\ \text{A}\). Aspirateur : \(I = \dfrac{1\,200}{230 \times 0{,}80} = \dfrac{1\,200}{184} \approx 6{,}52\ \text{A}\).
2. \(I_{\text{total}} = 6{,}41 + 1{,}52 + 8{,}70 + 6{,}52 = \mathbf{23{,}15\ A}\)
3. \(P_J = R \times I^2 = 0{,}15 \times 23{,}15^2 = 0{,}15 \times 535{,}9 \approx \mathbf{80{,}4\ W}\)
4. Scie : \(1{,}4 \times 1{,}5 = 2{,}1\ \text{kWh}\). Visseuse : \(0{,}35 \times 4 = 1{,}4\ \text{kWh}\). Défonceuse : \(1{,}8 \times 0{,}75 = 1{,}35\ \text{kWh}\). Aspirateur : \(1{,}2 \times 2 = 2{,}4\ \text{kWh}\). Total : \(2{,}1 + 1{,}4 + 1{,}35 + 2{,}4 = \mathbf{7{,}25\ kWh}\).
5. Coût : \(7{,}25 \times 0{,}22 = \mathbf{1{,}60\ €}\).
L'atelier d'un fabricant de meubles est alimenté en triphasé 400 V. La puissance active totale est \(P = 25\ \text{kW}\) avec \(\cos\varphi_1 = 0{,}72\). Le distributeur d'énergie impose un facteur de puissance minimum de 0,93.
1. Calculer le courant de ligne \(I_1\) avant compensation.
2. Calculer la puissance apparente \(S_1 = \dfrac{P}{\cos\varphi_1}\).
3. Calculer le courant de ligne \(I_2\) si le facteur de puissance est ramené à \(\cos\varphi_2 = 0{,}93\).
4. Si la résistance du câble est \(R = 0{,}12\ \Omega\), calculer les pertes Joule avant et après compensation.
5. Calculer la réduction des pertes en pourcentage et conclure sur l'intérêt de la compensation.
1. \(I_1 = \dfrac{P}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi_1} = \dfrac{25\,000}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}72} = \dfrac{25\,000}{498{,}8} \approx \mathbf{50{,}1\ A}\)
2. \(S_1 = \dfrac{25\,000}{0{,}72} \approx \mathbf{34{,}7\ kVA}\)
3. \(I_2 = \dfrac{25\,000}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}93} = \dfrac{25\,000}{644{,}3} \approx \mathbf{38{,}8\ A}\)
4. Avant : \(P_{J1} = 0{,}12 \times 50{,}1^2 = 0{,}12 \times 2\,510 \approx \mathbf{301{,}2\ W}\). Après : \(P_{J2} = 0{,}12 \times 38{,}8^2 = 0{,}12 \times 1\,505{,}4 \approx \mathbf{180{,}6\ W}\).
5. Réduction : \(\dfrac{301{,}2 - 180{,}6}{301{,}2} \times 100 \approx \mathbf{40\ \%}\). La compensation du facteur de puissance réduit le courant en ligne et diminue considérablement les pertes Joule, ce qui améliore le rendement et réduit la facture d'électricité.
L'énergie électrique arrive sur un chantier de rénovation via deux transformateurs successifs :
La puissance demandée par le chantier est \(P_{\text{chantier}} = 45\ \text{kW}\).
1. Calculer la tension de sortie de T1 : \(U_{s1} = m_1 \times U_1\).
2. Calculer le rapport de transformation de T2.
3. Calculer la puissance que doit fournir T2 en entrée (en tenant compte de son rendement).
4. Calculer la puissance que doit fournir T1 en entrée (en tenant compte de son rendement).
5. Calculer le rendement global de la chaîne (T1 + T2). Commenter.
1. \(U_{s1} = m_1 \times U_1 = 0{,}222 \times 90\,000 = \mathbf{19\,980\ V \approx 20\ kV}\)
2. \(m_2 = \dfrac{U_{s2}}{U_{s1}} = \dfrac{400}{20\,000} = \mathbf{0{,}02}\)
3. \(P_{e2} = \dfrac{P_{\text{chantier}}}{\eta_2} = \dfrac{45\,000}{0{,}97} \approx \mathbf{46\,392\ W \approx 46{,}4\ kW}\)
4. \(P_{e1} = \dfrac{P_{e2}}{\eta_1} = \dfrac{46\,392}{0{,}99} \approx \mathbf{46\,860\ W \approx 46{,}9\ kW}\)
5. \(\eta_{\text{global}} = \dfrac{P_{\text{chantier}}}{P_{e1}} = \dfrac{45\,000}{46\,860} \approx \mathbf{0{,}960 = 96{,}0\ \%}\). On peut aussi calculer : \(\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 = 0{,}99 \times 0{,}97 = 0{,}9603\). Le rendement global est le produit des rendements individuels. Malgré de bons rendements individuels, les pertes s'accumulent.
Un artisan menuisier installe un nouvel atelier et doit dimensionner le câble d'alimentation triphasé 400 V reliant le tableau général au tableau de l'atelier. La distance est de 35 m (longueur de câble aller : 35 m). La puissance totale installée est \(P = 22\ \text{kW}\) avec \(\cos\varphi = 0{,}85\). La chute de tension admissible est de 3 % de la tension nominale. On donne \(\rho_{\text{Cu}} = 1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\).
1. Calculer le courant de ligne \(I\).
2. Calculer la chute de tension maximale admissible \(\Delta U_{\max}\) (en V).
3. En déduire la résistance maximale admissible \(R_{\max}\) d'un conducteur de phase.
4. Calculer la section minimale du câble (en mm²). En déduire la section normalisée à choisir parmi : 4, 6, 10, 16, 25 mm².
5. Calculer les pertes Joule totales (3 phases) avec la section choisie et le rendement de la ligne.
1. \(I = \dfrac{P}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{22\,000}{\sqrt{3} \times 400 \times 0{,}85} = \dfrac{22\,000}{588{,}9} \approx \mathbf{37{,}4\ A}\)
2. \(\Delta U_{\max} = 0{,}03 \times 400 = \mathbf{12\ V}\)
3. \(\Delta U = \sqrt{3} \times R \times I \times \cos\varphi\) donc \(R_{\max} = \dfrac{\Delta U_{\max}}{\sqrt{3} \times I \times \cos\varphi} = \dfrac{12}{\sqrt{3} \times 37{,}4 \times 0{,}85} = \dfrac{12}{55{,}0} \approx \mathbf{0{,}218\ \Omega}\)
4. \(S = \dfrac{\rho \times L}{R_{\max}} = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 35}{0{,}218} = \dfrac{5{,}95 \times 10^{-7}}{0{,}218} \approx 2{,}73 \times 10^{-6}\ \text{m}^2 \approx 2{,}73\ \text{mm}^2\). Section normalisée : 4 mm².
5. Avec \(S = 4\ \text{mm}^2\) : \(R = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 35}{4 \times 10^{-6}} = 0{,}149\ \Omega\). Pertes par phase : \(P_{J,\text{phase}} = R \times I^2 = 0{,}149 \times 37{,}4^2 \approx 208{,}4\ \text{W}\). Pertes totales (3 phases) : \(P_J = 3 \times 208{,}4 \approx \mathbf{625\ W}\). Rendement : \(\eta = \dfrac{22\,000}{22\,000 + 625} \times 100 \approx \mathbf{97{,}2\ \%}\).
Un installateur d'agencement travaille sur un chantier isolé. Deux options s'offrent à lui pour alimenter ses machines (\(P_{\text{totale}} = 8\ \text{kW}\), \(\cos\varphi = 0{,}85\)) :
On donne \(\rho = 1{,}7 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\).
1. Calculer le courant dans chaque option.
2. Calculer la résistance du câble et les pertes Joule pour chaque option.
3. Calculer le rendement de la ligne (câble seul) pour chaque option.
4. Pour l'option B, calculer la puissance du carburant nécessaire en tenant compte du rendement du groupe.
5. Comparer les deux options en termes de pertes totales et proposer une amélioration pour l'option A.
1. \(I = \dfrac{P}{U \times \cos\varphi} = \dfrac{8\,000}{230 \times 0{,}85} = \dfrac{8\,000}{195{,}5} \approx \mathbf{40{,}9\ A}\) (même courant dans les deux cas).
2. Option A : \(R_A = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 400}{16 \times 10^{-6}} = 0{,}425\ \Omega\). \(P_{J,A} = 0{,}425 \times 40{,}9^2 \approx \mathbf{711\ W}\). Option B : \(R_B = \dfrac{1{,}7 \times 10^{-8} \times 30}{4 \times 10^{-6}} = 0{,}128\ \Omega\). \(P_{J,B} = 0{,}128 \times 40{,}9^2 \approx \mathbf{214\ W}\).
3. Option A : \(\eta_A = \dfrac{8\,000}{8\,000 + 711} \times 100 \approx \mathbf{91{,}8\ \%}\). Option B : \(\eta_B = \dfrac{8\,000}{8\,000 + 214} \times 100 \approx \mathbf{97{,}4\ \%}\).
4. Puissance carburant : \(P_{\text{carb}} = \dfrac{P + P_{J,B}}{\eta_{\text{groupe}}} = \dfrac{8\,214}{0{,}30} \approx \mathbf{27{,}4\ kW}\). Le groupe consomme beaucoup plus d'énergie primaire que ce qu'il fournit.
5. L'option A perd 711 W dans le câble (8,9 % de pertes) mais l'énergie provient du réseau (rendement de production ~40 % pour une centrale thermique, ~90 % pour le nucléaire). L'option B n'a que 214 W de pertes câble mais le groupe a un rendement de seulement 30 %. Amélioration pour l'option A : augmenter la section du câble (25 ou 35 mm²) pour réduire la résistance, ou utiliser un transformateur élévateur côté départ et un abaisseur côté chantier pour transporter à plus haute tension.