ERA-MA — Groupement 3 — Terminale Bac Pro
| Exercice | Questions | Compétences | Points |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 — Alimentation d'un convoyeur triphasé | Q1 à Q4 | APP, ANA, REA, REA | 10 pts |
| Exercice 2 — Transformateur d'atelier | Q1 à Q5 | APP, ANA, REA, VAL, COM | 10 pts |
| Total | 20 pts | ||
1. APP Compléter les phrases en vous aidant du schéma : 4 pts
a) La tension de transport HT est d'environ __________ kV.
b) La tension d'utilisation BT est d'environ __________ V.
c) Pour transporter l'énergie sur de longues distances, on __________ (élève / abaisse) la tension.
d) L'appareil qui modifie la tension s'appelle un __________ .
a) 400 kV. b) 230 V. c) On élève la tension. d) Un transformateur.
2. REA Calculer la puissance d'une perceuse. On vous guide : 4 pts
La perceuse fonctionne sous \(U = 230\ \text{V}\) avec \(I = 5\ \text{A}\) et \(\cos\varphi = 1\).
Formule : \(P = U \times I \times \cos\varphi\)
\(P = \)__________ \(\times\) __________ \(\times\) __________ \(=\) __________ W
\(P = 230 \times 5 \times 1 = \mathbf{1\,150\ W}\)
3. REA Calculer les pertes Joule dans un câble. On vous guide : 4 pts
Le câble a une résistance \(R = 0{,}5\ \Omega\) et est parcouru par \(I = 10\ \text{A}\).
Formule : \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2\)
\(P_{\text{pertes}} = \)__________ \(\times\) __________² \(=\) __________ \(\times\) __________ \(=\) __________ W
Ces pertes se dissipent sous forme de __________ (chaleur / lumière).
\(P_{\text{pertes}} = 0{,}5 \times 10^2 = 0{,}5 \times 100 = \mathbf{50\ W}\)
Sous forme de chaleur.
4. ANA Un transformateur a \(U_1 = 20\,000\ \text{V}\), \(N_1 = 1\,000\) spires, \(N_2 = 50\) spires. 4 pts
Formule : \(U_2 = U_1 \times \dfrac{N_2}{N_1}\)
\(U_2 = \)__________ \(\times \dfrac{\text{______}}{\text{______}} = \)__________ V
Ce transformateur est __________ (élévateur / abaisseur).
\(U_2 = 20\,000 \times \dfrac{50}{1\,000} = \mathbf{1\,000\ V}\)
C'est un transformateur abaisseur (\(U_2 < U_1\)).
5. COM Compléter : « On transporte l'énergie à haute tension pour __________ le courant, ce qui __________ les pertes Joule dans les câbles. » 4 pts
On transporte à haute tension pour réduire le courant, ce qui diminue les pertes Joule.
Schéma simplifié du réseau d'alimentation de l'usine agroalimentaire
1. APP En vous aidant du schéma ci-dessus, compléter le tableau suivant en indiquant pour chaque repère (A, B, C, D) le niveau de tension correspondant (HTB, MT ou BT) et une valeur typique de tension associée. 2 pts
| Repère | Niveau de tension | Valeur typique de tension |
|---|---|---|
| A — Réseau HTB | ||
| B — Entre poste source et livraison | ||
| C — En sortie du poste livraison | ||
| D — Alimentation moteur |
A — Réseau HTB : niveau HTB, tension typique 225 kV (ou 400 kV selon le réseau)
B — Entre postes : niveau MT, tension typique 20 kV
C — Sortie poste livraison : niveau BT, tension typique 400 V
D — Alimentation moteur : niveau BT, tension typique 400 V
2. ANA Le moteur du convoyeur est triphasé. Écrire la formule de la puissance active triphasée \(P\) en fonction de la tension entre phases \(U\), du courant de ligne \(I\) et du facteur de puissance \(\cos\varphi\). Préciser l'unité de chaque grandeur. 2 pts
\(P = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos\varphi\)
avec : \(P\) en watts (W), \(U\) tension entre phases en volts (V), \(I\) courant de ligne en ampères (A), \(\cos\varphi\) sans unité (0 à 1)
3. REA Le moteur du convoyeur a les caractéristiques suivantes : puissance absorbée \(P = 15\,\text{kW}\), tension d'alimentation \(U = 400\,\text{V}\), facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}85\). Calculer le courant de ligne \(I\) absorbé par ce moteur. Donner le résultat en ampères, arrondi à l'unité. 3 pts
\(P = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos\varphi \Rightarrow I = \dfrac{P}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi}\)
\(I = \dfrac{15\,000}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}85} = \dfrac{15\,000}{588{,}9} \approx 25\,\text{A}\)
4. REA Le câble d'alimentation du convoyeur présente une résistance totale \(R = 0{,}3\,\Omega\). En utilisant la valeur de courant calculée à la question 3, calculer les pertes par effet Joule dans ce câble en appliquant la formule \(P_J = R \cdot I^2\). Exprimer le résultat en watts. 3 pts
\(P_J = R \times I^2\)
\(P_J = 0{,}3 \times 25^2 = 0{,}3 \times 625 = 187{,}5\,\text{W} \approx 188\,\text{W}\)
1. APP Rappeler en une phrase le rôle d'un transformateur dans un réseau électrique. Préciser s'il peut modifier la fréquence du courant alternatif. 1 pt
Un transformateur modifie la valeur de la tension alternative (élever ou abaisser). Il ne modifie pas la fréquence du courant alternatif.
2. ANA On donne la relation du transformateur : \(\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{U_1}{U_2}\). Identifier chacune des grandeurs de cette relation (nom et côté du transformateur : primaire ou secondaire). Identifier chaque grandeur en précisant son rôle (primaire ou secondaire). 2 pts
\(\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{U_1}{U_2}\)
\(N_1\) : nombre de spires au primaire (côté alimentation), \(U_1\) : tension primaire
\(N_2\) : nombre de spires au secondaire (côté utilisation), \(U_2\) : tension secondaire
3. REA Un transformateur a les caractéristiques suivantes : \(U_1 = 20\,000\,\text{V}\), \(N_1 = 800\) spires, \(N_2 = 20\) spires. Calculer la tension secondaire \(U_2\). Montrer clairement le calcul. 3 pts
\(\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{U_1}{U_2} \Rightarrow U_2 = U_1 \times \dfrac{N_2}{N_1}\)
\(U_2 = 20\,000 \times \dfrac{20}{800} = 20\,000 \times 0{,}025 = 500\,\text{V}\)
4. VAL En supposant le transformateur idéal (conservation de la puissance : \(U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2\)), montrer que le courant secondaire \(I_2\) est plus élevé que le courant primaire \(I_1\). Exprimer le rapport \(I_2/I_1\) en fonction de \(U_1\) et \(U_2\), puis calculer sa valeur numérique. 2 pts
Conservation de la puissance : \(U_1 \times I_1 = U_2 \times I_2\)
\(\Rightarrow \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{20\,000}{500} = 40\)
Le courant secondaire est 40 fois plus élevé que le courant primaire. Quand on abaisse la tension, le courant augmente (et inversement).
5. COM Expliquer en quelques lignes pourquoi on élève la tension lors du transport de l'énergie électrique sur de longues distances. Utiliser les notions de pertes Joule et de courant pour justifier votre réponse. 2 pts
On élève la tension pour réduire le courant (\(I = P/U\), donc si \(U\) augmente, \(I\) diminue à puissance constante).
Les pertes Joule \(P_J = R \times I^2\) diminuent alors fortement (elles sont proportionnelles à \(I^2\)).
Exemple : doubler la tension divise le courant par 2 et les pertes Joule par 4.
1. REA Calculer la résistance totale \(R\) du câble aller-retour sur 5 km. 1 pt
2. ANA Solution A – Transport en BT (400 V triphasé) : Calculer le courant de ligne \(I_A\), les pertes Joule \(P_{J,A}\), et le rendement \(\eta_A\). 3 pts
3. ANA Solution B – Transport en MT (20 kV triphasé) : Calculer le courant de ligne \(I_B\), les pertes Joule \(P_{J,B}\), et le rendement \(\eta_B\). 3 pts
4. VAL Calculer le rapport des pertes \(P_{J,A} / P_{J,B}\). Montrer que ce rapport est égal au carré du rapport des tensions. Conclure. 2 pts
5. COM Le coût de l'électricité est de 0,15 €/kWh. Calculer le surcoût annuel dû aux pertes pour chaque solution (fonctionnement 3 000 h/an). La solution MT nécessite un transformateur à 25 000 €. En combien de temps l'investissement est-il rentabilisé ? 1 pt
1. \(R = r \times L = 0{,}4 \times 5 = \mathbf{2\ \Omega}\)
2. Solution A (400 V) :
\(I_A = \dfrac{P}{\sqrt{3} \times U \times \cos\varphi} = \dfrac{200\,000}{1{,}732 \times 400 \times 0{,}85} \approx \mathbf{340\ A}\)
\(P_{J,A} = R \times I_A^2 = 2 \times 340^2 = \mathbf{231\,200\ W \approx 231\ kW}\)
\(\eta_A = \dfrac{200}{200 + 231} \times 100 \approx \mathbf{46\ \%}\) (catastrophique !)
3. Solution B (20 kV) :
\(I_B = \dfrac{200\,000}{1{,}732 \times 20\,000 \times 0{,}85} \approx \mathbf{6{,}8\ A}\)
\(P_{J,B} = 2 \times 6{,}8^2 \approx \mathbf{92\ W}\)
\(\eta_B = \dfrac{200\,000}{200\,092} \times 100 \approx \mathbf{99{,}95\ \%}\)
4. \(\dfrac{P_{J,A}}{P_{J,B}} = \dfrac{231\,200}{92} \approx 2\,513 = \left(\dfrac{20\,000}{400}\right)^2 = 50^2 = 2\,500\). Le rapport est bien le carré du rapport des tensions.
5. Surcoût annuel A : \(231 \times 3\,000 \times 0{,}15 \approx 103\,950\ €\). Surcoût annuel B : \(0{,}092 \times 3\,000 \times 0{,}15 \approx 41\ €\). Économie annuelle : \(\approx 103\,900\ €\). Rentabilisation du transformateur : \(25\,000 / 103\,900 \approx\) quelques jours ! L'investissement est immédiatement rentable.
1. REA Calculer la puissance active totale de l'atelier. 1 pt
2. ANA La puissance apparente de chaque charge est \(S = P / \cos\varphi\). Calculer la puissance apparente de chaque type de charge puis la puissance apparente totale. 3 pts
3. VAL Les puissances normalisées de transformateur sont : 100, 160, 250, 400, 630 kVA. Choisir le transformateur adapté (en ajoutant une marge de 20 %). Justifier. 2 pts
4. REA Calculer le courant nominal côté secondaire (400 V) et côté primaire (20 kV) du transformateur choisi. 2 pts
5. COM Rédiger une note technique (5 lignes) justifiant le choix du transformateur et les protections à prévoir côté BT. 2 pts
1. \(P_{\text{totale}} = 3 \times 15 + 10 + 8 = 45 + 10 + 8 = \mathbf{63\ kW}\)
2. Moteurs : \(S_M = 45 / 0{,}8 = 56{,}25\ \text{kVA}\). Éclairage : \(S_E = 10 / 1 = 10\ \text{kVA}\). Prises : \(S_P = 8 / 0{,}95 \approx 8{,}42\ \text{kVA}\). Total : \(S \approx 56{,}25 + 10 + 8{,}42 \approx \mathbf{74{,}7\ kVA}\).
3. Avec marge 20 % : \(74{,}7 \times 1{,}2 \approx 89{,}6\ \text{kVA}\). On choisit le transformateur 100 kVA (première puissance normalisée supérieure).
4. \(I_2 = \dfrac{S}{\sqrt{3} \times U_2} = \dfrac{100\,000}{1{,}732 \times 400} \approx \mathbf{144\ A}\). \(I_1 = \dfrac{100\,000}{1{,}732 \times 20\,000} \approx \mathbf{2{,}9\ A}\).
5. Le transformateur 100 kVA couvre les besoins actuels (74,7 kVA) avec une marge de 25 %, permettant d'éventuelles extensions. Côté BT, prévoir un disjoncteur général 160 A, des disjoncteurs divisionnaires pour chaque départ moteur (calibre ≈ 30 A avec courbe D) et pour l'éclairage/prises (calibre 32-40 A avec courbe C).