Réflexion et réfraction de la lumière | 2de Bac Pro
Dernière mise à jour : 8 août 2026, 08:23
Le schéma ci-dessous représente un rayon lumineux frappant un miroir plan.
1. D’après la loi de la réflexion : \(\theta_r = \theta_i\). L’angle réfléchi est égal à l’angle incident (tous deux mesurés par rapport à la normale).
2. \(\theta_r = \theta_i = 35°\)
3. L’angle par rapport à la surface est 60°, donc l’angle par rapport à la normale est \(90° - 60° = 30°\). Ainsi \(\theta_i = 30°\) et \(\theta_r = 30°\).
On considère un rayon lumineux passant de l’air dans une plaque de verre.
1.
2. Le rayon incident est dans l’air (milieu 1) ; le rayon réfracté est dans le verre (milieu 2).
3. Air → verre : \(n_2 > n_1\), donc \(\sin\theta_2 < \sin\theta_1\), soit \(\theta_2 < \theta_1\). Le rayon se rapproche de la normale en pénétrant dans le verre (milieu plus réfractant).
4. Verre → air : \(n_2 < n_1\), donc \(\theta_2 > \theta_1\). Le rayon s’éloigne de la normale en sortant dans l’air (milieu moins réfractant).
| Milieu | Indice de réfraction \(n\) | Vitesse de la lumière \(v\) (m/s) |
|---|---|---|
| Vide | 1,000 | \(3{,}00 \times 10^8\) |
| Air | 1,000 (approx.) | \(\approx 3{,}00 \times 10^8\) |
| Eau | 1,33 | … |
| Verre ordinaire | 1,50 | … |
| Verre crown | 1,52 | … |
| Diamant | 2,42 | … |
1. On applique \(v = c/n\) :
2. Le diamant ralentit le plus la lumière (\(v \approx 1{,}24 \times 10^8\) m/s). L’air la ralentit le moins (quasi identique au vide).
3. Un indice élevé signifie une déviation plus importante vers la normale lors de l’entrée dans le diamant, et donc un angle critique très petit (\(\theta_c = \arcsin(1/2{,}42) \approx 24{,}4°\)), ce qui explique les nombreux reflets internes et l’éclat du diamant.
Atelier de menuiserie
Un menuisier utilise un miroir de contrôle pour vérifier l'assemblage d'un meuble. Un rayon lumineux frappe le miroir avec un angle incident de 40° par rapport à la normale.
1. \(\theta_r = 40°\)
2. Angle/normale = 90° – 50° = 40° → \(\theta_r = 40°\)
Atelier de menuiserie
Un capteur laser CNC utilise un faisceau passant de l'air (\(n_1 = 1{,}00\)) dans une lentille en verre (\(n_2 = 1{,}50\)). Angle incident \(\theta_1 = 30°\).
Étape 1 : Milieu 1 = air (\(n_1 = 1{,}00\)) ; Milieu 2 = verre (\(n_2 = 1{,}50\)).
Étape 2 : \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times 0{,}500}{1{,}50} = 0{,}333\)
Étape 3 : \(\theta_2 = \arcsin(0{,}333) \approx \mathbf{19{,}5°}\)
Étape 4 : \(\theta_2 = 19{,}5° < \theta_1 = 30°\) → le rayon se rapproche de la normale (le verre est plus dense que l'air).
Calculer la vitesse de la lumière dans le verre ordinaire (\(n = 1{,}50\)) et dans l'eau (\(n = 1{,}33\)).
Verre : \(v = \dfrac{3 \times 10^8}{1{,}50} = \mathbf{2{,}00 \times 10^8 \text{ m/s}}\)
Eau : \(v = \dfrac{3 \times 10^8}{1{,}33} \approx \mathbf{2{,}26 \times 10^8 \text{ m/s}}\)
Conclusion : La lumière est plus rapide dans l'eau que dans le verre (car \(n_{eau} < n_{verre}\)).
Compléter chaque phrase avec le mot qui convient.
1. droite (propagation rectiligne)
2. \(c = 3{,}00 \times 10^8\) m/s
3. lente (plus l’indice est grand, plus la lumière est ralentie)
4. \(n_{air} \approx 1{,}00\)
5. normale (perpendiculaire à la surface au point d’incidence)
Vous êtes devant le miroir de votre salle de bains. Une lampe éclaire le miroir.
1. \(\theta_r = 25°\)
2. Angle/normale = 90° − 70° = 20°. Donc \(\theta_r = 20°\).
3. Si \(\theta_i = 0°\), alors \(\theta_r = 0°\) : le rayon repart exactement dans la direction opposée (il revient sur lui-même).
Un rayon lumineux passe de l’air dans l’eau d’une piscine.
Étape 1 : \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\), soit \(1{,}00 \times \sin 40° = 1{,}33 \times \sin\theta_2\).
Étape 2 : \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times 0{,}643}{1{,}33} = 0{,}483\)
Étape 3 : \(\theta_2 = \arcsin(0{,}483) \approx 28{,}9°\)
Étape 4 : \(\theta_2 = 28{,}9° < \theta_1 = 40°\) : le rayon se rapproche de la normale car l’eau est plus dense que l’air (\(n_{eau} > n_{air}\)).
Voici quatre milieux : air (\(n = 1{,}00\)), eau (\(n = 1{,}33\)), verre (\(n = 1{,}50\)), diamant (\(n = 2{,}42\)).
1. Du plus rapide au plus lent : air → eau → verre → diamant (plus \(n\) est grand, plus la lumière est lente).
2. \(v = \dfrac{3 \times 10^8}{2{,}42} \approx 1{,}24 \times 10^8\) m/s
3. \(n_{vernis} = 1{,}45 < n_{verre} = 1{,}50\). La lumière est plus rapide dans le vernis que dans le verre (indice plus faible = vitesse plus grande).
Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse et corriger si nécessaire.
a. VRAI. C’est la loi de la réflexion : \(\theta_r = \theta_i\).
b. FAUX. La réfraction se produit quand la lumière traverse une interface entre deux milieux différents. C’est la réflexion qui correspond au rebond.
c. VRAI. Par définition, \(n = c/v\) et \(v \leq c\), donc \(n \geq 1\).
d. FAUX. Air vers verre : \(n_{verre} > n_{air}\), donc le rayon se rapproche de la normale.
e. FAUX. C’est l’inverse : la réflexion totale interne se produit quand on passe d’un milieu plus dense vers un milieu moins dense (\(n_1 > n_2\)).
Sur un schéma de réfraction, on lit : \(n_1 = 1{,}00\), \(\theta_1 = 50°\) et \(\theta_2 = 31°\).
1. \(\theta_2 = 31° < \theta_1 = 50°\) : le rayon s’est rapproché de la normale.
2. Le milieu 2 est plus dense que le milieu 1 (car le rayon se rapproche de la normale, \(n_2 > n_1\)).
3. \(n_2 = \dfrac{0{,}766}{0{,}515} \approx 1{,}49\). C’est proche de l’indice du plexiglas ou du verre.
Un artisan menuisier ponce un panneau de chêne. Avant le ponçage, la surface est rugueuse. Après un ponçage fin et l’application d’un vernis, la surface est lisse et brillante.
1. Réflexion diffuse. La surface irrégulière renvoie la lumière dans toutes les directions.
2. Réflexion spéculaire (ou miroir). La surface lisse renvoie tous les rayons dans une direction bien définie.
3. La réflexion spéculaire donne l’aspect brillant. C’est pour cela que le bois verni est brillant : sa surface lisse agit presque comme un miroir.
Un poseur de menuiseries extérieures observe la lumière du jour qui entre dans une baie vitrée. Le rayon lumineux passe de l'air (\(n_1 = 1{,}00\)) dans le verre (\(n_2 = 1{,}50\)) de la baie. On appelle normale la droite perpendiculaire à la surface du verre au point d'entrée : tous les angles se mesurent par rapport à elle.
Formule rappelée : \(n_1 \times \sin i_1 = n_2 \times \sin i_2\), donc \(\sin i_2 = \dfrac{n_1 \times \sin i_1}{n_2}\), puis \(i_2 = \arcsin(\ldots)\).
| Moment de la journée | Angle d'incidence \(i_1\) | \(\sin i_1\) | \(\sin i_2 = \sin i_1 / 1{,}50\) | Angle réfracté \(i_2\) |
|---|---|---|---|---|
| Milieu de journée | 20° | 0,342 | ……… | ……… |
| Milieu d'après-midi | 35° | 0,574 | ……… | ……… |
| Fin de journée | 55° | 0,819 | ……… | ……… |
1. Compléter les deux dernières colonnes du tableau. Le premier calcul est amorcé : \(\sin i_2 = \dfrac{1{,}00 \times 0{,}342}{1{,}50} = \ldots\)
2. Pour chacun des trois cas, l'angle réfracté est-il plus petit ou plus grand que l'angle d'incidence ?
3. Compléter la phrase : « En passant de l'air vers le verre, le rayon ……………………… de la normale. »
1. On applique \(\sin i_2 = \dfrac{n_1 \times \sin i_1}{n_2}\) avec \(n_1 = 1{,}00\) et \(n_2 = 1{,}50\) :
• \(i_1 = 20°\) : \(\sin i_2 = \dfrac{1{,}00 \times 0{,}342}{1{,}50} = 0{,}228\) donc \(i_2 = \arcsin(0{,}228) = \mathbf{13{,}2°}\) (arrondi au dixième).
• \(i_1 = 35°\) : \(\sin i_2 = \dfrac{0{,}574}{1{,}50} = 0{,}383\) donc \(i_2 = \arcsin(0{,}383) = \mathbf{22{,}5°}\).
• \(i_1 = 55°\) : \(\sin i_2 = \dfrac{0{,}819}{1{,}50} = 0{,}546\) donc \(i_2 = \arcsin(0{,}546) = \mathbf{33{,}1°}\).
2. Dans les trois cas l'angle réfracté est plus petit que l'angle d'incidence (13,2° \(\lt\) 20° ; 22,5° \(\lt\) 35° ; 33,1° \(\lt\) 55°).
3. En passant de l'air vers le verre, le rayon se rapproche de la normale. C'est logique : le verre a un indice plus grand que l'air (\(n_2 \gt n_1\)).
Un installateur d'équipements de chauffage relie la chaudière à son régulateur par une fibre optique plastique (elle ne capte pas les parasites électriques du brûleur). Cette fibre est formée d'un cœur (la partie centrale où circule la lumière) entouré d'une gaine (l'enveloppe transparente qui l'entoure).
Formule rappelée : l'angle limite \(i_\ell\) (angle à partir duquel la lumière ne sort plus du cœur) se calcule par \(\sin i_\ell = \dfrac{n_2}{n_1}\), utilisable seulement si \(n_1 \gt n_2\).
1. Calculer l'angle limite à l'interface cœur / gaine. Le calcul est amorcé :
\(\sin i_\ell = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}41}{1{,}49} = \ldots\ldots\) puis \(i_\ell = \arcsin(\ldots\ldots) = \ldots\ldots°\)
2. Le câble a été sectionné et l'extrémité du cœur est maintenant en contact avec l'air (\(n_2 = 1{,}00\)). Refaire le même calcul : \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}00}{1{,}49} = \ldots\ldots\) ; \(i_\ell = \ldots\ldots°\)
3. Dans la fibre intacte, un rayon arrive sur la gaine avec un angle de 75°. Est-il renvoyé dans le cœur ? Entourer : oui / non.
4. Même question pour un rayon arrivant avec un angle de 65°.
1. \(\sin i_\ell = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}41}{1{,}49} = 0{,}946\) donc \(i_\ell = \arcsin(0{,}946) = \mathbf{71{,}1°}\) (arrondi au dixième).
2. \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}00}{1{,}49} = 0{,}671\) donc \(i_\ell = \arcsin(0{,}671) = \mathbf{42{,}2°}\). L'angle limite est bien plus petit : face à l'air, la lumière reste piégée beaucoup plus facilement.
3. \(75° \gt 71{,}1°\) : l'angle d'incidence dépasse l'angle limite, il y a réflexion totale. Le rayon est renvoyé dans le cœur → oui.
4. \(65° \lt 71{,}1°\) : l'angle est inférieur à l'angle limite, il n'y a pas réflexion totale. Une partie de la lumière est réfractée dans la gaine et se perd → non.
Un rayon lumineux passe de l’air (\(n_1 = 1{,}00\)) dans du verre (\(n_2 = 1{,}50\)). L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 30°\).
1. \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) soit \(1{,}00 \times \sin 30° = 1{,}50 \times \sin\theta_2\).
2.
\(\sin\theta_2 = \dfrac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \dfrac{1{,}00 \times \sin 30°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}500}{1{,}50} = 0{,}333\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}333) \approx 19{,}5°\)
3. \(\theta_2 = 19{,}5° < \theta_1 = 30°\) : le rayon se rapproche de la normale. C’était prévisible car le rayon pénètre dans un milieu plus dense (\(n_2 > n_1\)).
4. Pour \(\theta_1 = 45°\) :
\(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 45°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°\)
Un rayon lumineux passe du verre (\(n_1 = 1{,}50\)) vers l’air (\(n_2 = 1{,}00\)). L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 20°\).
1. \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) :
\(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}50 \times \sin 20°}{1{,}00} = 1{,}50 \times 0{,}342 = 0{,}513\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}513) \approx 30{,}9°\)
2. \(\theta_2 \approx 30{,}9° > \theta_1 = 20°\) : le rayon s’éloigne de la normale. Normal : on passe d’un milieu dense à un milieu moins dense.
3. L’angle limite (critique) vérifie \(\theta_2 = 90°\) :
\(n_1 \sin\theta_c = n_2 \times 1\)
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}667\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}667) \approx 41{,}8°\)
4. Si \(\theta_1 > \theta_c \approx 41{,}8°\) : réflexion totale interne — aucun rayon ne sort dans l’air, toute la lumière est réfléchie à l’intérieur du verre.
On étudie l’interface entre du verre ordinaire (\(n_1 = 1{,}50\)) et l’air (\(n_2 = 1{,}00\)).
1. La réflexion totale interne n’existe que si le rayon va d’un milieu plus dense vers un milieu moins dense (\(n_1 > n_2\)) et si l’angle d’incidence est supérieur à l’angle critique \(\theta_c\).
2.
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}6\overline{6}\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}667) \approx \mathbf{41{,}8°}\)
3. 35° < 41,8° : le rayon sera réfracté (il sort dans l’air).
4. 50° > 41,8° : le rayon subit une réflexion totale interne (il reste dans le verre).
5.
\(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} = 0{,}752\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}752) \approx \mathbf{48{,}8°}\)
L’angle critique de l’eau est plus grand que celui du verre (48,8° vs 41,8°) : la réflexion totale interne est plus difficile à atteindre dans l’eau que dans le verre.
Une fibre optique est constituée d’un cœur en verre d’indice \(n_c = 1{,}52\) entouré d’une gaine en verre d’indice \(n_g = 1{,}42\).
1. On veut que la lumière reste confinée dans le cœur par réflexion totale interne à l’interface cœur/gaine. Pour cela il faut \(n_c > n_g\) : le cœur doit être plus dense que la gaine.
2.
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_g}{n_c} = \dfrac{1{,}42}{1{,}52} = 0{,}934\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}934) \approx \mathbf{69{,}1°}\)
3. 75° > 69,1° : \(\theta_i > \theta_c\), donc le rayon subit une réflexion totale interne et reste confiné dans la fibre. Il ne s’échappe pas dans la gaine.
4. Dans une fibre optique, la lumière se propage en subissant une succession de réflexions totales internes à l’interface cœur/gaine, ce qui la confine dans le cœur sur de très grandes distances sans pertes significatives.
Un maître-nageur observe un objet au fond d’une piscine. Un rayon lumineux passe de l’eau (\(n_1 = 1{,}33\)) vers l’air (\(n_2 = 1{,}00\)) avec un angle d’incidence de 30°.
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \dfrac{1{,}33 \times \sin 30°}{1{,}00} = 1{,}33 \times 0{,}500 = 0{,}665\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}665) \approx 41{,}7°\)
2. \(\theta_2 = 41{,}7° > \theta_1 = 30°\) : le rayon s’éloigne de la normale en passant dans l’air (milieu moins dense).
3. Les rayons lumineux issus de l’objet sont déviés en sortant de l’eau. Notre cerveau prolonge les rayons en ligne droite, ce qui donne une image virtuelle de l’objet plus proche de la surface qu’elle ne l’est réellement.
Un rayon lumineux passe de l’air (\(n_1 = 1{,}00\)) dans un matériau transparent inconnu. L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 45°\) et l’angle réfracté mesuré est \(\theta_2 = 28°\).
1. \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\)
2. \(n_2 = \dfrac{n_1 \sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \dfrac{1{,}00 \times \sin 45°}{\sin 28°} = \dfrac{0{,}707}{0{,}469} \approx 1{,}51\)
3. \(n_2 \approx 1{,}51\) est très proche du verre ordinaire (\(n = 1{,}50\)) ou du verre crown (\(n = 1{,}52\)).
4. \(v = \dfrac{c}{n_2} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}51} \approx 1{,}99 \times 10^8\) m/s
Un plongeur sous l’eau regarde vers la surface. L’indice de l’eau est \(n_1 = 1{,}33\) et celui de l’air est \(n_2 = 1{,}00\).
1. \(\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} = 0{,}752\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}752) \approx 48{,}8°\)
2. 45° < 48,8° : le rayon sera réfracté et sortira dans l’air.
3. 50° > 48,8° : le rayon sera totalement réfléchi et restera dans l’eau.
4. Le plongeur voit la surface extérieure uniquement dans un cône de demi-angle \(\theta_c \approx 48{,}8°\) autour de la verticale. Au-delà de cet angle, la surface agit comme un miroir (réflexion totale interne) et renvoie l’image du fond. Le cercle lumineux correspond à la zone où les rayons extérieurs peuvent pénétrer dans l’eau.
Un menuisier agenceur fabrique un meuble vitriné. Un rayon lumineux traverse la vitre en verre (\(n_{verre} = 1{,}50\)) d’épaisseur 4 mm. Il entre par la face avant avec un angle incident de \(\theta_1 = 35°\).
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 35°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}574}{1{,}50} = 0{,}383\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}383) \approx 22{,}5°\)
2. \(\sin\theta_3 = \dfrac{1{,}50 \times \sin 22{,}5°}{1{,}00} = 1{,}50 \times 0{,}383 = 0{,}574\)
\(\theta_3 = \arcsin(0{,}574) \approx 35{,}0°\)
3. \(\theta_3 = 35° = \theta_1\) : le rayon sort parallèle à sa direction initiale, simplement décalé latéralement. C’est pour cela qu’on voit à travers une vitre à faces parallèles sans déformation notable.
Un artisan menuisier utilise une plaque de plexiglas (PMMA, \(n = 1{,}49\)) pour réaliser un panneau décoratif rétro-éclairé. Un rayon lumineux issu d’une LED arrive de l’air sur le plexiglas avec un angle incident de 60°.
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 60°}{1{,}49} = \dfrac{0{,}866}{1{,}49} = 0{,}581\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}581) \approx 35{,}5°\)
2. \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}00}{1{,}49} = 0{,}671\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}671) \approx 42{,}2°\)
3. 50° > 42,2° : le rayon subit une réflexion totale interne et reste confiné dans le plexiglas. C’est ce principe qui permet à la lumière de se propager dans toute la plaque et de créer un effet rétro-éclairé uniforme.
La lumière met 8 min 20 s pour aller du Soleil à la Terre.
1. \(t = 8 \times 60 + 20 = 500\) s
2. \(d = c \times t = 3{,}00 \times 10^8 \times 500 = 1{,}50 \times 10^{11}\) m
3. \(d = 1{,}50 \times 10^{11} \text{ m} = 1{,}50 \times 10^{8} \text{ km} = 150\) millions de km
4. \(v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}48} \approx 2{,}03 \times 10^8\) m/s
\(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{12}{2{,}03 \times 10^8} \approx 5{,}91 \times 10^{-8}\) s \(= 59{,}1\) ns
Un technicien règle un appareil de découpe laser. Le faisceau laser traverse une lentille de protection en verre (\(n = 1{,}50\)) avant d’atteindre la pièce à découper. L’angle d’incidence sur la lentille est de 0° (le faisceau arrive perpendiculairement).
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 0°}{1{,}50} = 0\), donc \(\theta_2 = 0°\).
2. Le faisceau n’est pas dévié : quand un rayon arrive perpendiculairement à une surface (\(\theta_1 = 0°\)), il traverse sans changer de direction.
3. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 20°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}342}{1{,}50} = 0{,}228\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}228) \approx 13{,}2°\)
4. Si la lentille est inclinée, le faisceau laser est dévié par réfraction et ne touche plus la pièce à l’endroit prévu. Pour une découpe précise, la lentille doit être perpendiculaire au faisceau (\(\theta_1 = 0°\)) afin que le laser ne soit pas dévié.
On compare deux fibres optiques utilisées dans des installations domotiques :
| Fibre | \(n_{c\oe ur}\) | \(n_{gaine}\) |
|---|---|---|
| Fibre A | 1,50 | 1,45 |
| Fibre B | 1,62 | 1,52 |
1. Fibre A : \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}45}{1{,}50} = 0{,}967\) → \(\theta_c \approx 75{,}2°\)
Fibre B : \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}52}{1{,}62} = 0{,}938\) → \(\theta_c \approx 69{,}8°\)
2. La fibre B a un angle critique plus petit (69,8° contre 75,2°). Cela signifie que davantage de rayons sont confinés par réflexion totale interne : la fibre B confine mieux la lumière.
3. Fibre A : \(v_A = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}50} = 2{,}00 \times 10^8\) m/s
Fibre B : \(v_B = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}62} \approx 1{,}85 \times 10^8\) m/s
4. La fibre A transmet le signal plus rapidement (vitesse plus grande dans le cœur). Il y a donc un compromis : la fibre B confine mieux mais est plus lente.
Le maître d'œuvre d'un immeuble de bureaux reçoit une réclamation : la façade vitrée verticale renvoie le soleil dans les logements situés en face, de l'autre côté de la rue. On étudie un rayon solaire qui se réfléchit sur le vitrage à 12,0 m du sol, alors que le soleil est à 30° au-dessus de l'horizon. L'immeuble d'habitation est à 18,0 m de la façade.
1. La normale à une paroi verticale est horizontale. En déduire l'angle d'incidence du rayon solaire par rapport à la normale, puis l'angle du rayon réfléchi.
2. Indiquer la direction que prend le rayon réfléchi (vers le haut ou vers le bas, et de quel angle par rapport à l'horizontale).
3. Calculer la hauteur à laquelle ce rayon atteint la façade de l'immeuble d'habitation situé à 18,0 m. Conclure sur la gêne subie par les riverains.
4. Reprendre le calcul pour un soleil d'été à 55° au-dessus de l'horizon. À quelle distance de la façade vitrée le rayon réfléchi touche-t-il le sol ? Que peut-on en conclure sur les moments de la journée et de l'année où la gêne se produit ?
1. La normale étant horizontale et le rayon solaire faisant 30° avec l'horizontale, l'angle d'incidence vaut \(i_1 = \mathbf{30°}\). D'après la loi de la réflexion, \(i_r = i_1 = \mathbf{30°}\).
2. Le rayon incident descend vers la façade ; le rayon réfléchi repart de l'autre côté de la normale, c'est-à-dire vers le bas, à 30° sous l'horizontale, en s'éloignant de la façade.
3. Sur 18,0 m d'éloignement, le rayon descend de :
\(\Delta h = 18{,}0 \times \tan(30°) = 18{,}0 \times 0{,}577 = 10{,}4\) m.
Hauteur d'arrivée : \(h = 12{,}0 - 10{,}4 = \mathbf{1{,}6\ \text{m}}\). Le rayon réfléchi atteint la façade d'en face à environ 1,6 m du sol, c'est-à-dire exactement à hauteur des yeux d'une personne debout : la gêne est réelle et la réclamation est fondée.
4. Avec un soleil à 55°, l'angle d'incidence vaut 55° et le rayon réfléchi descend à 55° sous l'horizontale. Il touche le sol après une distance horizontale :
\(d = \dfrac{12{,}0}{\tan(55°)} = \dfrac{12{,}0}{1{,}43} = \mathbf{8{,}4\ \text{m}}\).
Le rayon touche le sol de la rue bien avant l'immeuble d'en face (8,4 m \(\lt\) 18,0 m) : il n'y a pas d'éblouissement. La gêne se produit donc quand le soleil est bas : début de matinée, fin d'après-midi, et surtout en hiver. Un traitement de surface anti-reflet, un vitrage légèrement incliné ou des brise-soleil constituent des solutions.
Une cuve de fioul est équipée d'une sonde optique de niveau. Une LED envoie un faisceau dans une pointe en verre (\(n = 1{,}50\)) taillée de façon que le faisceau arrive sur chaque face avec un angle d'incidence de 45° par rapport à la normale. Une photodiode mesure la lumière qui revient. Selon que la pointe est dans l'air ou dans le liquide, la lumière revient ou non : c'est ce qui renseigne l'automate.
| Milieu | Indice de réfraction \(n\) |
|---|---|
| Verre de la pointe | 1,50 |
| Air | 1,00 |
| Fioul domestique | 1,45 |
| Eau | 1,33 |
1. La pointe est dans l'air (cuve vide à ce niveau). Calculer l'angle limite à l'interface verre / air, puis dire si le faisceau est totalement réfléchi.
2. La pointe est immergée dans le fioul. Calculer l'angle limite à l'interface verre / fioul, puis conclure de la même façon.
3. Expliquer comment l'automate distingue « cuve pleine » de « cuve vide » à partir du signal de la photodiode.
4. Le fabricant annonce que la même sonde fonctionne pour l'eau. Vérifier cette affirmation par le calcul.
1. Interface verre → air, avec \(n_1 = 1{,}50 \gt n_2 = 1{,}00\) :
\(\sin i_\ell = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}667\) donc \(i_\ell = \arcsin(0{,}667) = \mathbf{41{,}8°}\).
Comme \(45° \gt 41{,}8°\), il y a réflexion totale : toute la lumière repart vers la photodiode.
2. Interface verre → fioul, avec \(n_1 = 1{,}50 \gt n_2 = 1{,}45\) :
\(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}45}{1{,}50} = 0{,}967\) donc \(i_\ell = \arcsin(0{,}967) = \mathbf{75{,}2°}\).
Comme \(45° \lt 75{,}2°\), il n'y a pas de réflexion totale : le faisceau est réfracté et part dans le fioul. Presque plus rien ne revient à la photodiode.
3. Photodiode fortement éclairée ⇒ réflexion totale ⇒ la pointe est dans l'air, la cuve est vide à ce niveau. Photodiode peu éclairée ⇒ la lumière s'échappe ⇒ la pointe est immergée. L'automate compare simplement le courant de la photodiode à un seuil.
4. Interface verre → eau : \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}33}{1{,}50} = 0{,}887\) donc \(i_\ell = \mathbf{62{,}4°}\). Comme \(45° \lt 62{,}4°\), la lumière s'échappe aussi dans l'eau : l'affirmation du fabricant est exacte. La sonde fonctionne avec tout liquide d'indice suffisamment proche de celui du verre, ici tout liquide d'indice supérieur à \(1{,}50 \times \sin 45° = 1{,}06\).
En fin de chaîne de finition, un menuisier contrôle le brillant des panneaux vernis avec un glossmètre. L'appareil éclaire la surface sous un angle d'incidence de 60° par rapport à la normale et mesure la lumière renvoyée dans la direction spéculaire (la direction prévue par la loi de la réflexion). Le résultat est exprimé en GU (unités de brillant).
| Éprouvette | État de surface | Mesure à 60° |
|---|---|---|
| A | Chêne poncé grain 120, non verni | 6 GU |
| B | Chêne poncé grain 240 + vernis satiné | 31 GU |
| C | Chêne poncé grain 400 + vernis brillant | 78 GU |
1. Dans quelle direction l'appareil doit-il placer son capteur pour mesurer le rayon spéculaire ? Préciser l'angle par rapport à la normale et de quel côté.
2. Calculer l'angle formé entre le faisceau incident et le faisceau capté.
3. Expliquer, en utilisant les mots réflexion spéculaire et réflexion diffuse, pourquoi l'éprouvette A donne une valeur si faible.
4. Le cahier des charges du client impose une finition satinée, définie par une valeur comprise entre 20 et 35 GU. Quelle(s) éprouvette(s) est (sont) conforme(s) ? Que faut-il faire pour les autres ?
5. Le même panneau C mesuré avec un glossmètre réglé à 20° donne 62 GU. Pourquoi la norme impose-t-elle de préciser l'angle de mesure avec la valeur ?
1. D'après la loi de la réflexion, \(i_r = i_1 = 60°\). Le capteur se place donc à 60° de la normale, de l'autre côté de la normale par rapport au faisceau incident.
2. L'angle entre le faisceau incident et le faisceau capté vaut \(i_1 + i_r = 60° + 60° = \mathbf{120°}\).
3. L'éprouvette A est rugueuse : à l'échelle des micro-reliefs, chaque petite facette possède sa propre normale, orientée au hasard. La loi de la réflexion reste vraie localement, mais les rayons repartent dans toutes les directions : c'est la réflexion diffuse. Très peu de lumière arrive dans la seule direction observée par le capteur, d'où 6 GU. Sur les éprouvettes vernies, la surface est lisse : toutes les normales sont parallèles, la lumière repart dans une seule direction, c'est la réflexion spéculaire, et le capteur reçoit beaucoup de lumière.
4. Seule l'éprouvette B (31 GU) est dans l'intervalle 20 – 35 GU. L'éprouvette A (6 GU) est trop mate : il faut appliquer le vernis. L'éprouvette C (78 GU) est trop brillante : il faut employer un vernis matant ou satiné, ou égrener légèrement la dernière couche.
5. Parce que la valeur mesurée dépend de la géométrie de mesure : le même panneau donne 78 GU à 60° et 62 GU à 20°. Une valeur de brillant n'a donc de sens qu'accompagnée de son angle ; comparer deux mesures faites à des angles différents n'aurait aucun sens.
Dans un atelier de menuiserie, un miroir plan de contrôle est orienté de façon à permettre à l’opérateur de vérifier l’arrière d’une pièce en cours d’usinage sans déplacer la pièce.
1. D’après la loi de la réflexion : \(\theta_r = \theta_i = 40°\). Le rayon réfléchi repart à 40° de la normale, du côté opposé au rayon incident, vers les yeux de l’opérateur.
2. Une rotation du miroir de 5° provoque une rotation du rayon réfléchi de \(2 \times 5° = 10°\). C’est pourquoi le réglage d’un miroir de contrôle est très sensible : un petit déplacement modifie beaucoup la zone visible.
3. En orientant correctement le miroir, l’opérateur maximise le champ de vision vers les zones à inspecter. La zone non visible dépend directement de l’orientation du miroir : une inclinaison optimale dirige la réflexion vers les surfaces les plus importantes à contrôler.
4. Un miroir convexe diverge les rayons lumineux réfléchis, ce qui élargit le champ de vision angulaire. On voit une zone plus large, même si les objets apparaissent plus petits. En atelier, cela permet de surveiller une plus grande surface de la pièce d’un seul coup d’œil.
Dans un atelier de menuiserie équipé d’une machine CNC à commande numérique, les signaux de commande et de retour d’état sont transmis via un câble à fibre optique reliant le pupitre de commande à la machine. La fibre optique utilisée possède les caractéristiques suivantes :
1. Les moteurs électriques de toupies, défonceuses, raboteuses et autres machines-outils génèrent des champs électromagnétiques importants qui peuvent induire des courants parasites (bruit) dans les fils cuivre, faussant les signaux de commande. La fibre optique transmet de la lumière, qui n’est pas affectée par les champs électromagnétiques → transmission plus fiable en environnement parasité.
2.
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_g}{n_c} = \dfrac{1{,}40}{1{,}46} = 0{,}959\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}959) \approx \mathbf{73{,}5°}\)
3. 80° > 73,5° : \(\theta_i > \theta_c\), donc la lumière subit une réflexion totale interne. Elle est bien confinée dans le cœur et se propage sans fuite dans la gaine.
4.
Vitesse dans le cœur :
\(v = \dfrac{c}{n_c} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}46} \approx 2{,}055 \times 10^8 \text{ m/s}\)
Temps de parcours :
\(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{3}{2{,}055 \times 10^8} \approx 1{,}46 \times 10^{-8} \text{ s} = \mathbf{14{,}6 \text{ ns}}\)
5.
Dans le cuivre : \(t_{Cu} = \dfrac{3}{2 \times 10^8} = 1{,}50 \times 10^{-8} \text{ s} = 15{,}0 \text{ ns}\)
Les deux valeurs sont très proches pour 3 m. La fibre est très légèrement plus rapide ici, mais l’avantage réel de la fibre n’est pas la vitesse brute sur courte distance, mais l’insensibilité aux interférences, la bande passante bien plus élevée et les pertes quasi nulles sur de longues distances.
Un prisme triangulaire en verre (\(n = 1{,}50\)) à angle au sommet \(A = 30°\) est utilisé dans un capteur optique pour contrôler la teinte des lasures et peintures bois appliquées en atelier. Un rayon lumineux pénètre dans la première face du prisme avec un angle d’incidence \(\theta_1 = 45°\).
1. Entrée air → verre :
\(n_{air} \sin\theta_1 = n_v \sin\theta_2\)
\(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 45°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}471) \approx \mathbf{28{,}1°}\)
2. \(\theta_3 = A - \theta_2 = 30° - 28{,}1° = \mathbf{1{,}9°}\)
3. Sortie verre → air :
\(n_v \sin\theta_3 = n_{air} \sin\theta_4\)
\(\sin\theta_4 = 1{,}50 \times \sin(1{,}9°) = 1{,}50 \times 0{,}0332 = 0{,}0498\)
\(\theta_4 = \arcsin(0{,}0498) \approx \mathbf{2{,}85°}\)
4. \(D = (45° - 28{,}1°) + (2{,}85° - 1{,}9°) = 16{,}9° + 0{,}95° \approx \mathbf{17{,}9°}\)
5. La dispersion : l’indice de réfraction \(n\) varie avec la longueur d’onde de la lumière. Le rouge est moins dévié que le violet, ce qui étale les couleurs comme dans un arc-en-ciel. Le capteur colorimétrique mesure l’intensité de chaque longueur d’onde séparée par le prisme pour valider la teinte de la lasure appliquée.
Un télémètre laser utilisé par un métreur en bâtiment envoie une impulsion lumineuse sur un mur situé à une distance \(d\) inconnue. Le faisceau voyage dans l’air (\(n_{air} \approx 1{,}00\)). Le temps aller-retour mesuré est \(\Delta t = 66{,}7\) ns.
1. \(D = c \times \Delta t = 3{,}00 \times 10^8 \times 66{,}7 \times 10^{-9} = 20{,}0\) m
2. Aller-retour : \(d = D/2 = 20{,}0/2 = 10{,}0\) m
3. Vitesse dans le verre : \(v = c/n = 3{,}00 \times 10^8 / 1{,}50 = 2{,}00 \times 10^8\) m/s.
Temps dans le verre (2 traversées de 6 mm) : \(t_{verre} = \dfrac{2 \times 0{,}006}{2{,}00 \times 10^8} = 6{,}00 \times 10^{-11}\) s = 0,060 ns.
Temps que la lumière aurait mis dans l’air pour la même distance : \(t_{air} = \dfrac{0{,}012}{3{,}00 \times 10^8} = 4{,}00 \times 10^{-11}\) s = 0,040 ns.
Temps supplémentaire : \(\Delta t_{sup} = 0{,}060 - 0{,}040 = 0{,}020\) ns.
4. Le temps supplémentaire de 0,020 ns correspond à une erreur de distance de \(\Delta d = c \times 0{,}020 \times 10^{-9} / 2 \approx 3\) mm. Pour une mesure en bâtiment, cette erreur est négligeable.
Un rayon lumineux traverse une lame de verre (\(n = 1{,}50\)) à faces parallèles d’épaisseur \(e = 10\) mm. L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 50°\).
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{\sin 50°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}766}{1{,}50} = 0{,}511\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}511) \approx 30{,}7°\)
2. À la sortie (verre → air) : \(n_{verre} \sin\theta_2 = n_{air} \sin\theta_3\), soit \(1{,}50 \times \sin 30{,}7° = 1{,}00 \times \sin\theta_3\), donc \(\sin\theta_3 = 1{,}50 \times 0{,}511 = 0{,}766\) et \(\theta_3 = \arcsin(0{,}766) = 50° = \theta_1\). CQFD.
3. \(\delta = 10 \times \dfrac{\sin(50° - 30{,}7°)}{\cos 30{,}7°} = 10 \times \dfrac{\sin 19{,}3°}{0{,}860} = 10 \times \dfrac{0{,}331}{0{,}860} \approx 3{,}8\) mm
4. Oui, le décalage total est le double de celui d’une seule lame de 4 mm. Le rayon traverse deux lames de verre identiques et dans l’air entre les deux vitres il se propage en ligne droite (pas de déviation supplémentaire). Chaque lame ajoute le même décalage latéral.
Un installateur de systèmes domotiques tire un câble à fibre optique de 80 m pour relier un tableau électrique à un boîtier réseau. Le cœur de la fibre a un indice \(n_c = 1{,}46\) et la gaine un indice \(n_g = 1{,}41\).
1. \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}41}{1{,}46} = 0{,}966\) → \(\theta_c = \arcsin(0{,}966) \approx 75{,}0°\)
2. \(v = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}46} \approx 2{,}05 \times 10^8\) m/s
3. \(t = \dfrac{80}{2{,}05 \times 10^8} \approx 3{,}90 \times 10^{-7}\) s \(= 0{,}390\) μs
4. \(t_{Cu} = \dfrac{80}{2{,}0 \times 10^8} = 4{,}0 \times 10^{-7}\) s \(= 0{,}400\) μs. Les temps sont très proches.
5. La bande passante désigne la quantité de données transmissible par seconde. La fibre optique peut transporter beaucoup plus de données simultanément (plusieurs Gbit/s) que le cuivre (limité à ~1 Gbit/s en Ethernet classique) grâce à la fréquence élevée de la lumière. De plus, la fibre est insensible aux interférences électromagnétiques.
L’arc-en-ciel se forme quand la lumière du soleil pénètre dans une goutte d’eau sphérique, subit une réflexion totale interne, puis ressort. L’indice de l’eau dépend de la couleur de la lumière :
| Couleur | Indice \(n\) |
|---|---|
| Rouge | 1,331 |
| Jaune | 1,333 |
| Bleu | 1,337 |
| Violet | 1,342 |
1. Rouge : \(\sin\theta_2 = \dfrac{\sin 60°}{1{,}331} = \dfrac{0{,}866}{1{,}331} = 0{,}6507\) → \(\theta_2 \approx 40{,}6°\)
Violet : \(\sin\theta_2 = \dfrac{0{,}866}{1{,}342} = 0{,}6453\) → \(\theta_2 \approx 40{,}2°\)
2. Le violet est le plus dévié (angle réfracté 40,2° < 40,6°) car son indice est le plus élevé. Plus l’indice est grand, plus le rayon se rapproche de la normale.
3. Rouge : \(\sin\theta_c = 1/1{,}331 = 0{,}7513\) → \(\theta_c \approx 48{,}7°\)
Violet : \(\sin\theta_c = 1/1{,}342 = 0{,}7452\) → \(\theta_c \approx 48{,}2°\)
4. L’indice de réfraction de l’eau varie avec la longueur d’onde (couleur) de la lumière. Chaque couleur est réfractée avec un angle légèrement différent en entrant et en sortant de la goutte. Après la réflexion interne et la sortie de la goutte, les couleurs sont suffisamment séparées pour que l’œil les distingue : c’est la dispersion.
Un fabricant de mobilier design souhaite intégrer un guide de lumière dans le chant d’une étagère pour créer un éclairage décoratif. Le guide est une baguette de matériau transparent entourée d’air (\(n_{air} = 1{,}00\)). Trois matériaux sont disponibles :
| Matériau | Indice \(n\) | Coût relatif |
|---|---|---|
| Polycarbonate | 1,59 | 1 |
| Plexiglas (PMMA) | 1,49 | 0,8 |
| Résine époxy | 1,55 | 1,2 |
1.
Polycarbonate : \(\sin\theta_c = 1/1{,}59 = 0{,}629\) → \(\theta_c \approx 39{,}0°\)
Plexiglas : \(\sin\theta_c = 1/1{,}49 = 0{,}671\) → \(\theta_c \approx 42{,}2°\)
Résine époxy : \(\sin\theta_c = 1/1{,}55 = 0{,}645\) → \(\theta_c \approx 40{,}2°\)
2. Le polycarbonate confine le mieux (angle critique le plus petit : 39,0°). Le plexiglas confine le moins bien (42,2°).
3. Les rayons font des angles de 55° à 85° avec la normale. Il faut que le rayon le moins incliné (55°) dépasse l’angle critique. Les trois matériaux ont un angle critique inférieur à 55°, donc les trois matériaux confinent tous les rayons du cône.
4. Les trois conviennent techniquement. Le plexiglas est le meilleur choix : coût le plus bas (0,8), facile à usiner en menuiserie, et son angle critique (42,2°) est largement en dessous de 55°, garantissant un confinement complet. Le polycarbonate est plus résistant aux chocs mais plus cher, et la résine est la plus coûteuse sans avantage décisif ici.
Sur un chantier, un niveau laser de classe 2 (rayonnement visible rouge, \(\lambda = 635\) nm, puissance émise \(P_0 = 1{,}0\) mW) projette un trait horizontal. Le faisceau rencontre successivement deux surfaces : une plaque d'inox poli laissée contre le mur, qui renvoie 62 % de la puissance dans la direction spéculaire, et la mire mate fournie avec l'appareil, qui diffuse 80 % de la puissance dans toutes les directions au-dessus de sa surface.
Données utiles : diamètre de la pupille de l'œil 7,0 mm ; distance de travail 5,0 m ; pour une surface diffusante, on admet que la puissance se répartit sur une demi-sphère de rayon égal à la distance d'observation.
1. Un apprenti affirme : « le faisceau a rebondi sur la plaque, il a donc perdu sa puissance, il n'y a plus de risque ». Discuter cette affirmation en s'appuyant sur un calcul.
2. Estimer la puissance qui entrerait dans l'œil d'un opérateur situé à 5,0 m, dans le cas de la mire mate.
3. Comparer les deux situations et expliquer pourquoi la notice impose une mire mate et interdit les surfaces réfléchissantes dans l'axe du faisceau.
4. Rappeler ce que garantit la classe 2 pour un laser visible, et pourquoi cette garantie ne dispense pas de consignes de sécurité sur le chantier.
1. Puissance renvoyée par la plaque polie : \(P = 0{,}62 \times 1{,}0 = \mathbf{0{,}62\ \text{mW}}\). Le faisceau n'a perdu que 38 % de sa puissance, et surtout la réflexion spéculaire conserve sa forme : il reste fin et peu divergent. La totalité de ces 0,62 mW peut donc entrer dans la pupille, exactement comme le faisceau direct. L'affirmation de l'apprenti est fausse : seule la direction a changé, pas la dangerosité.
2. Puissance diffusée par la mire : \(P_d = 0{,}80 \times 1{,}0 = 0{,}80\) mW \(= 8{,}0 \times 10^{-4}\) W.
Aire de la demi-sphère de rayon 5,0 m : \(S = 2\pi r^2 = 2\pi \times 5{,}0^2 = 157\ \text{m}^2\).
Aire de la pupille : \(s = \pi r^2 = \pi \times (3{,}5 \times 10^{-3})^2 = 3{,}85 \times 10^{-5}\ \text{m}^2\).
Fraction reçue : \(\dfrac{s}{S} = \dfrac{3{,}85 \times 10^{-5}}{157} = 2{,}45 \times 10^{-7}\).
Puissance entrant dans l'œil : \(P_{\text{œil}} = 8{,}0 \times 10^{-4} \times 2{,}45 \times 10^{-7} = \mathbf{2{,}0 \times 10^{-10}\ \text{W}}\), soit environ 0,20 nW.
3. Rapport entre les deux situations : \(\dfrac{6{,}2 \times 10^{-4}}{2{,}0 \times 10^{-10}} \approx 3 \times 10^{6}\). La réflexion spéculaire envoie dans l'œil environ trois millions de fois plus de puissance que la réflexion diffuse. C'est la raison de la consigne : une surface mate « étale » la puissance sur tout un hémisphère, alors qu'une surface polie la conserve concentrée dans un seul rayon.
4. La classe 2 correspond à un laser visible de puissance au plus 1 mW : la protection repose sur le réflexe palpébral, qui ferme la paupière en 0,25 s environ. Cette protection ne joue que si l'on voit le faisceau et si l'on ne le fixe pas volontairement. Elle ne protège ni d'un observateur qui regarde le faisceau à travers un instrument optique, ni d'une exposition prolongée d'un opérateur qui n'a pas identifié la source. D'où les consignes : ne jamais placer le laser à hauteur des yeux, retirer les surfaces réfléchissantes de l'axe, signaler la zone.
Le CCTP d'un chantier impose des panneaux de garde-corps en verre feuilleté. À la réception, le contrôleur technique doute de la nature du lot livré. Il prélève un échantillon et mesure au laboratoire l'angle limite à l'interface matériau / air : il trouve \(i_\ell = 39{,}3°\).
| Matériau de panneau | Indice de réfraction \(n\) |
|---|---|
| Verre feuilleté (exigé au CCTP) | 1,52 |
| Plexiglas (PMMA) | 1,49 |
| Polycarbonate | 1,59 |
1. Déterminer l'indice de réfraction du matériau livré.
2. Identifier ce matériau à l'aide du tableau. Le lot est-il conforme au CCTP ?
3. Calculer la valeur de l'angle limite qu'aurait donnée un échantillon conforme. L'écart entre les deux valeurs est-il suffisant pour trancher ? Justifier.
4. Calculer la vitesse de propagation de la lumière dans le matériau livré.
1. À l'angle limite, le rayon réfracté rase la surface : on part de \(\sin i_\ell = \dfrac{n_{\text{air}}}{n}\), d'où \(n = \dfrac{n_{\text{air}}}{\sin i_\ell}\).
\(n = \dfrac{1{,}00}{\sin(39{,}3°)} = \dfrac{1{,}00}{0{,}633} = \mathbf{1{,}58}\) (sans unité, arrondi au centième).
2. La valeur 1,58 correspond au polycarbonate (1,59) et non au verre feuilleté (1,52). Le lot livré n'est pas conforme au CCTP : le fournisseur a livré des panneaux en polycarbonate.
3. Pour un verre feuilleté : \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}00}{1{,}52} = 0{,}658\) donc \(i_\ell = \mathbf{41{,}1°}\).
L'écart entre les deux angles vaut \(41{,}1 - 39{,}3 = 1{,}8°\). C'est peu, mais un goniomètre de laboratoire se lit au dixième de degré : l'écart représente une vingtaine de fois la précision de lecture, la conclusion est donc fiable. En revanche, la mesure devrait être répétée plusieurs fois sur plusieurs panneaux pour écarter une erreur de manipulation ou un défaut ponctuel.
4. \(n = \dfrac{c}{v}\) donc \(v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}58} = \mathbf{1{,}90 \times 10^8\ \text{m/s}}\), soit environ 190 000 km/s.
Une centrale photovoltaïque au sol est supervisée depuis un local situé à 250 m des onduleurs. La liaison est réalisée en fibre optique pour être insensible aux perturbations électromagnétiques produites par les onduleurs. Le constructeur du bloc d'injection garantit que tous les rayons injectés arrivent sur l'interface cœur / gaine avec un angle d'incidence supérieur ou égal à 78°. Le cœur retenu a un indice \(n_1 = 1{,}47\).
| Offre du fournisseur | Indice de gaine \(n_2\) | Prix du câble |
|---|---|---|
| Offre A | 1,44 | 3,10 €/m |
| Offre B | 1,42 | 3,85 €/m |
1. Établir la condition que doit vérifier l'indice de gaine \(n_2\) pour que tous les rayons soient confinés dans le cœur. Calculer la valeur limite acceptable.
2. Examiner chacune des deux offres et dire laquelle satisfait le cahier des charges. Justifier par le calcul de l'angle limite.
3. Chiffrer le surcoût de l'offre retenue pour la liaison complète.
4. Le poseur prévoit plusieurs coudes serrés dans les chemins de câbles. Expliquer pourquoi une marge sur l'angle limite est indispensable.
1. Un rayon est confiné si son angle d'incidence dépasse l'angle limite. La condition « tous les rayons à 78° et plus sont confinés » s'écrit donc \(i_\ell \leq 78°\), c'est-à-dire \(\sin i_\ell \leq \sin 78°\).
Or \(\sin i_\ell = \dfrac{n_2}{n_1}\), d'où \(\dfrac{n_2}{1{,}47} \leq \sin 78°\), soit \(n_2 \leq 1{,}47 \times 0{,}978 = \mathbf{1{,}44}\) (plus précisément \(n_2 \leq 1{,}437\)).
2. Offre A, \(n_2 = 1{,}44\) : \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}44}{1{,}47} = 0{,}980\) donc \(i_\ell = \mathbf{78{,}4°}\). Les rayons arrivant à 78° sont sous l'angle limite : ils ne sont pas confinés. L'offre A est refusée.
Offre B, \(n_2 = 1{,}42\) : \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}42}{1{,}47} = 0{,}966\) donc \(i_\ell = \mathbf{75{,}0°}\). Tous les rayons à 78° et plus sont confinés, avec une marge de 3,0°. L'offre B est retenue.
3. Surcoût unitaire : \(3{,}85 - 3{,}10 = 0{,}75\) €/m. Sur 250 m : \(0{,}75 \times 250 = \mathbf{187{,}50\ \text{€}}\). Un surcoût modeste au regard du risque de liaison instable.
4. Dans un coude, la paroi extérieure du cœur « se redresse » par rapport au rayon : l'angle d'incidence sur l'interface diminue. Un rayon qui arrivait à 78° dans la partie droite peut n'arriver qu'à 74° dans le coude : il passe alors sous l'angle limite et une partie de la lumière fuit dans la gaine. Avec l'offre A (\(i_\ell = 78{,}4°\)), la moindre courbure ferait perdre le signal ; avec l'offre B (\(i_\ell = 75{,}0°\)), la marge de 3,0° absorbe les courbures normales de pose. C'est aussi la raison du rayon de courbure minimal imposé par les notices.
Un portail automatique est sécurisé par un détecteur réflex : une cellule émet un faisceau infrarouge vers un réflecteur placé à 6,00 m, et reçoit le faisceau renvoyé. La fenêtre de réception de la cellule ne mesure que ± 5 cm autour de l'axe. Lors d'un dépannage, le réflecteur d'origine (un catadioptre) a été cassé : un intervenant l'a remplacé par un simple miroir plan. Depuis, la détection tombe régulièrement en défaut. On constate que le support du miroir s'incline d'un angle \(\alpha\) par rapport à la verticale.
1. Le support s'est incliné de \(\alpha = 3{,}0°\). Déterminer de quel angle le faisceau renvoyé s'écarte de sa direction d'origine.
2. Calculer l'écart obtenu au niveau de la cellule et conclure sur le fonctionnement du détecteur.
3. Déterminer l'inclinaison maximale du support qui laisse encore le faisceau dans la fenêtre de réception.
4. Expliquer pourquoi le constructeur impose un catadioptre (réflecteur à coins de cube) et non un miroir plan. En déduire le diagnostic de la panne.
1. Quand un miroir tourne d'un angle \(\alpha\), sa normale tourne du même angle ; l'angle d'incidence varie de \(\alpha\) et l'angle de réflexion aussi. Le rayon réfléchi tourne donc de \(2\alpha\) :
\(2\alpha = 2 \times 3{,}0 = \mathbf{6{,}0°}\).
2. Sur le trajet de retour de 6,00 m, l'écart vertical vaut :
\(e = 6{,}00 \times \tan(6{,}0°) = 6{,}00 \times 0{,}105 = \mathbf{0{,}63\ \text{m}}\), soit 63 cm.
C'est plus de douze fois la demi-fenêtre de réception (5 cm) : le faisceau renvoyé passe complètement à côté de la cellule, qui conclut à un obstacle et met le portail en défaut de sécurité.
3. Il faut \(e \leq 0{,}05\) m, soit \(\tan(2\alpha) \leq \dfrac{0{,}05}{6{,}00} = 8{,}33 \times 10^{-3}\).
\(2\alpha \leq \arctan(8{,}33 \times 10^{-3}) = 0{,}48°\), donc \(\alpha \leq \mathbf{0{,}24°}\).
Un quart de degré seulement : un tel réglage est impossible à tenir dans le temps sur un portail soumis aux vibrations et aux intempéries.
4. Un catadioptre est formé de petits coins de cube : après trois réflexions successives sur trois faces perpendiculaires, le rayon repart parallèlement au rayon incident, quelle que soit l'orientation du réflecteur (dans une large plage). L'inclinaison du support n'a donc aucune conséquence, alors qu'avec un miroir plan elle est amplifiée d'un facteur 2. Diagnostic : la panne ne vient ni de la cellule ni du câblage mais du remplacement du catadioptre par un miroir plan ; il faut reposer un catadioptre conforme à la notice.
Un atelier de menuiserie veut justifier auprès d'un client que la qualité du ponçage conditionne l'aspect brillant du meuble fini. Le professeur d'atelier propose de le prouver expérimentalement avec le matériel disponible : un pointeur laser, cinq éprouvettes de hêtre poncées à des grains différents, un écran blanc et un mètre ruban.
| Éprouvette | Grain de ponçage | Largeur de la tache sur l'écran |
|---|---|---|
| 1 | 80 | 45 mm |
| 2 | 120 | 28 mm |
| 3 | 240 | 12 mm |
| 4 | 400 | 5 mm |
| 5 | 400 + vernis | 2 mm |
1. Rédiger le protocole : préciser ce qui doit rester identique d'une éprouvette à l'autre et ce que l'on mesure. Justifier chaque précaution.
2. Calculer l'angle d'ouverture du faisceau renvoyé par l'éprouvette 1, puis par l'éprouvette 5.
3. Interpréter ces résultats à l'aide de la loi de la réflexion. La loi est-elle mise en défaut sur une surface rugueuse ?
4. Un élève conclut : « le panneau verni renvoie plus de lumière que le panneau brut ». Cette conclusion est-elle justifiée par l'expérience ? Que faudrait-il mesurer pour trancher ?
1. Protocole : fixer le laser sur un support, régler une fois pour toutes l'angle d'incidence et ne plus y toucher ; placer l'écran perpendiculairement au faisceau renvoyé, toujours à 1,00 m du point d'impact ; poser chaque éprouvette au même endroit, bien à plat ; mesurer la largeur de la tache lumineuse à la règle, dans l'obscurité. Justification : le seul paramètre qui doit varier est le grain de ponçage. Si l'angle ou la distance changeaient, la variation de la tache ne prouverait plus rien. On répétera chaque mesure trois fois pour estimer la dispersion.
2. La demi-largeur de la tache et la distance forment un triangle rectangle :
Éprouvette 1 : demi-largeur \(= 22{,}5\) mm \(= 0{,}0225\) m ; \(\tan(\theta/2) = \dfrac{0{,}0225}{1{,}00} = 0{,}0225\) donc \(\theta/2 = 1{,}29°\) et \(\theta = \mathbf{2{,}6°}\).
Éprouvette 5 : demi-largeur \(= 1{,}0\) mm ; \(\tan(\theta/2) = 1{,}0 \times 10^{-3}\) donc \(\theta/2 = 0{,}057°\) et \(\theta = \mathbf{0{,}11°}\).
L'ouverture est divisée par un facteur \(2{,}6/0{,}11 \approx 24\).
3. La loi de la réflexion n'est jamais mise en défaut : elle s'applique localement, sur chaque micro-facette de la surface. Sur une surface poncée au grain 80, ces facettes ont des orientations très dispersées : leurs normales pointent dans des directions variées, donc les rayons réfléchis se dispersent (réflexion diffuse). Plus le grain est fin, moins les normales sont dispersées, et plus la réflexion se rapproche d'une réflexion spéculaire. Le vernis remplit les dernières aspérités et donne une surface quasi parfaitement plane.
4. Non, la conclusion n'est pas justifiée. L'expérience montre que la lumière renvoyée est plus concentrée, pas qu'elle est plus abondante : une même quantité de lumière rassemblée dans une tache 24 fois plus étroite paraît beaucoup plus intense. Pour trancher, il faudrait mesurer le flux total renvoyé dans toutes les directions (par exemple avec un luxmètre déplacé sur un demi-cercle autour du point d'impact, ou avec une sphère intégrante), et non la largeur d'une tache dans une seule direction.
Par forte chaleur, on voit apparaître au loin sur la chaussée une « flaque d'eau » qui recule à mesure que l'on avance : c'est un mirage. L'air en contact avec le bitume est nettement plus chaud, donc moins dense, que l'air situé à hauteur d'homme : son indice de réfraction est plus faible. On modélise la situation par deux couches d'air séparées par un dioptre horizontal.
Données : \(n_1 = 1{,}000272\) (air à 20 °C) ; \(n_2 = 1{,}000243\) (air à 55 °C) ; hauteur des yeux du conducteur : 1,50 m.
1. Justifier que la réflexion totale est possible sur ce dioptre, et pas dans l'autre sens.
2. Calculer l'angle limite. Commenter la valeur obtenue.
3. En déduire à quelle distance devant le véhicule le mirage peut apparaître. Comparer à ce que l'on observe réellement.
4. Le modèle à deux couches est-il fidèle à la réalité ? Indiquer sa principale limite et ce qu'elle change au trajet du rayon.
1. La réflexion totale n'existe qu'en passant d'un milieu d'indice élevé vers un milieu d'indice plus faible. Ici le rayon descend de l'air à 20 °C (\(n_1 = 1{,}000272\)) vers l'air chaud (\(n_2 = 1{,}000243\)) : on a bien \(n_1 \gt n_2\), la réflexion totale est possible. Dans l'autre sens (du sol vers le ciel), on passerait d'un indice faible vers un indice élevé : aucune réflexion totale n'est possible, ce qui explique qu'on ne voie jamais de mirage en regardant vers le haut.
2. \(\sin i_\ell = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}000243}{1{,}000272} = 0{,}999971\)
\(i_\ell = \arcsin(0{,}999971) = \mathbf{89{,}6°}\).
L'angle limite est presque égal à 90° : seuls les rayons extrêmement rasants, à moins de 0,44° de l'horizontale, sont totalement réfléchis. C'est cohérent avec des indices qui ne diffèrent que de \(2{,}9 \times 10^{-5}\).
3. Le rayon renvoyé vers l'œil fait au plus \(90° - 89{,}6° = 0{,}44°\) avec l'horizontale. Depuis une hauteur d'œil de 1,50 m :
\(d = \dfrac{1{,}50}{\tan(0{,}44°)} = \dfrac{1{,}50}{7{,}6 \times 10^{-3}} \approx \mathbf{200\ \text{m}}\).
Le mirage ne peut donc apparaître qu'à environ 200 m devant le véhicule — et jamais à quelques mètres. C'est exactement ce que l'on observe : la « flaque » reste toujours loin devant et semble reculer quand on avance.
4. Le modèle donne le bon ordre de grandeur mais il est simplificateur : il n'existe pas de dioptre net entre deux couches. La température, donc l'indice, varie de façon continue sur les premiers décimètres au-dessus du bitume. En réalité le rayon n'est pas réfléchi en un point : il est courbé progressivement, sa trajectoire est un arc qui redescend puis remonte. Le modèle à deux couches est un modèle de calcul commode, il ne décrit pas le trajet réel.
Sur les machines-outils d'un atelier, le liquide de coupe est une émulsion d'huile dans l'eau. Une concentration trop faible dégrade l'outil, une concentration trop forte irrite la peau des opérateurs. Le contrôle hebdomadaire se fait au réfractomètre : une goutte d'émulsion est déposée sur un prisme d'indice \(n_p = 1{,}60\) ; l'appareil repère l'angle limite à l'interface prisme / liquide, à partir duquel la lumière n'est plus transmise au liquide.
| Concentration de l'émulsion | Indice de réfraction du liquide |
|---|---|
| 4 % | 1,3375 |
| 6 % | 1,3400 |
| 8 % | 1,3425 |
Le fabricant de la machine impose une concentration comprise entre 5 % et 7 %. La mesure du jour donne un angle limite de 56,9°.
1. Établir la relation qui permet de calculer l'indice du liquide à partir de l'angle limite mesuré.
2. Déterminer l'indice du liquide, puis sa concentration. L'émulsion est-elle conforme ?
3. Déterminer la plage d'angles limites correspondant à la plage de concentrations autorisée. Que peut-on en conclure sur la précision de lecture nécessaire ?
4. Avant chaque série de mesures, la notice impose un étalonnage à l'eau distillée (\(n = 1{,}333\)) et un contrôle de la température de l'échantillon. Calculer l'angle limite attendu pour l'eau distillée et expliquer l'intérêt de ces deux consignes.
1. Il y a réflexion totale à partir de l'angle limite, avec le prisme comme milieu le plus réfringent : \(\sin i_\ell = \dfrac{n_{\text{liq}}}{n_p}\), d'où :
\(n_{\text{liq}} = n_p \times \sin i_\ell\).
2. \(n_{\text{liq}} = 1{,}60 \times \sin(56{,}9°) = 1{,}60 \times 0{,}8377 = \mathbf{1{,}340}\).
D'après le tableau, cet indice correspond à une concentration de 6 %. Elle se situe bien entre 5 % et 7 % : l'émulsion est conforme, aucune correction n'est à faire.
3. Les indices varient proportionnellement à la concentration dans le tableau (\(+0{,}0025\) pour \(+2\) %). Donc :
pour 5 % : \(n = 1{,}33875\) ; \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}33875}{1{,}60} = 0{,}83672\) donc \(i_\ell = \mathbf{56{,}8°}\).
pour 7 % : \(n = 1{,}34125\) ; \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}34125}{1{,}60} = 0{,}83828\) donc \(i_\ell = \mathbf{57{,}0°}\).
Toute la plage autorisée tient dans 0,2°. Une lecture d'angle à l'œil, au demi-degré, serait donc inexploitable : c'est pourquoi l'échelle d'un réfractomètre d'atelier est directement graduée en pourcentage, avec un fort grossissement optique.
4. Pour l'eau distillée : \(\sin i_\ell = \dfrac{1{,}333}{1{,}60} = 0{,}83313\) donc \(i_\ell = \mathbf{56{,}4°}\).
L'étalonnage sur cette valeur connue permet de corriger tout décalage du zéro de l'appareil ; sans lui, une dérive de 0,2° ferait passer une émulsion à 6 % pour une émulsion à 4 % ou 8 %. Le contrôle de la température est nécessaire car l'indice d'un liquide diminue quand sa température augmente : mesurer une émulsion sortant chaude de la machine fausserait la lecture dans le même ordre de grandeur que l'écart à mesurer.
Le graphique suivant permet de comparer visuellement les indices de réfraction de plusieurs milieux courants. Plus l’indice est élevé, plus la lumière est ralentie et réfractée fortement. On remarque que l’indice du vide (et de l’air) vaut exactement 1 par définition, et que le diamant, avec \(n = 2{,}42\), est un des milieux les plus réfractants rencontrés dans la vie courante.
Formules à retenir : \(n = c/v\) | \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) | \(\sin\theta_c = n_2/n_1\) (avec \(n_1 > n_2\)) | \(\theta_r = \theta_i\) (réflexion)