Réflexion et réfraction de la lumière | 2de Bac Pro
Le schéma ci-dessous représente un rayon lumineux frappant un miroir plan.
1. D’après la loi de la réflexion : \(\theta_r = \theta_i\). L’angle réfléchi est égal à l’angle incident (tous deux mesurés par rapport à la normale).
2. \(\theta_r = \theta_i = 35°\)
3. L’angle par rapport à la surface est 60°, donc l’angle par rapport à la normale est \(90° - 60° = 30°\). Ainsi \(\theta_i = 30°\) et \(\theta_r = 30°\).
On considère un rayon lumineux passant de l’air dans une plaque de verre.
1.
2. Le rayon incident est dans l’air (milieu 1) ; le rayon réfracté est dans le verre (milieu 2).
3. Air → verre : \(n_2 > n_1\), donc \(\sin\theta_2 < \sin\theta_1\), soit \(\theta_2 < \theta_1\). Le rayon se rapproche de la normale en pénétrant dans le verre (milieu plus réfractant).
4. Verre → air : \(n_2 < n_1\), donc \(\theta_2 > \theta_1\). Le rayon s’éloigne de la normale en sortant dans l’air (milieu moins réfractant).
| Milieu | Indice de réfraction \(n\) | Vitesse de la lumière \(v\) (m/s) |
|---|---|---|
| Vide | 1,000 | \(3{,}00 \times 10^8\) |
| Air | 1,000 (approx.) | \(\approx 3{,}00 \times 10^8\) |
| Eau | 1,33 | … |
| Verre ordinaire | 1,50 | … |
| Verre crown | 1,52 | … |
| Diamant | 2,42 | … |
1. On applique \(v = c/n\) :
2. Le diamant ralentit le plus la lumière (\(v \approx 1{,}24 \times 10^8\) m/s). L’air la ralentit le moins (quasi identique au vide).
3. Un indice élevé signifie une déviation plus importante vers la normale lors de l’entrée dans le diamant, et donc un angle critique très petit (\(\theta_c = \arcsin(1/2{,}42) \approx 24{,}4°\)), ce qui explique les nombreux reflets internes et l’éclat du diamant.
Atelier de menuiserie
Un menuisier utilise un miroir de contrôle pour vérifier l'assemblage d'un meuble. Un rayon lumineux frappe le miroir avec un angle incident de 40° par rapport à la normale.
1. \(\theta_r = 40°\)
2. Angle/normale = 90° – 50° = 40° → \(\theta_r = 40°\)
Atelier de menuiserie
Un capteur laser CNC utilise un faisceau passant de l'air (\(n_1 = 1{,}00\)) dans une lentille en verre (\(n_2 = 1{,}50\)). Angle incident \(\theta_1 = 30°\).
Étape 1 : Milieu 1 = air (\(n_1 = 1{,}00\)) ; Milieu 2 = verre (\(n_2 = 1{,}50\)).
Étape 2 : \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times 0{,}500}{1{,}50} = 0{,}333\)
Étape 3 : \(\theta_2 = \arcsin(0{,}333) \approx \mathbf{19{,}5°}\)
Étape 4 : \(\theta_2 = 19{,}5° < \theta_1 = 30°\) → le rayon se rapproche de la normale (le verre est plus dense que l'air).
Calculer la vitesse de la lumière dans le verre ordinaire (\(n = 1{,}50\)) et dans l'eau (\(n = 1{,}33\)).
Verre : \(v = \dfrac{3 \times 10^8}{1{,}50} = \mathbf{2{,}00 \times 10^8 \text{ m/s}}\)
Eau : \(v = \dfrac{3 \times 10^8}{1{,}33} \approx \mathbf{2{,}26 \times 10^8 \text{ m/s}}\)
Conclusion : La lumière est plus rapide dans l'eau que dans le verre (car \(n_{eau} < n_{verre}\)).
Compléter chaque phrase avec le mot qui convient.
1. droite (propagation rectiligne)
2. \(c = 3{,}00 \times 10^8\) m/s
3. lente (plus l’indice est grand, plus la lumière est ralentie)
4. \(n_{air} \approx 1{,}00\)
5. normale (perpendiculaire à la surface au point d’incidence)
Vous êtes devant le miroir de votre salle de bains. Une lampe éclaire le miroir.
1. \(\theta_r = 25°\)
2. Angle/normale = 90° − 70° = 20°. Donc \(\theta_r = 20°\).
3. Si \(\theta_i = 0°\), alors \(\theta_r = 0°\) : le rayon repart exactement dans la direction opposée (il revient sur lui-même).
Un rayon lumineux passe de l’air dans l’eau d’une piscine.
Étape 2 : \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times 0{,}643}{1{,}33} = 0{,}483\)
Étape 3 : \(\theta_2 = \arcsin(0{,}483) \approx 28{,}9°\)
Étape 4 : \(\theta_2 = 28{,}9° < \theta_1 = 40°\) : le rayon se rapproche de la normale car l’eau est plus dense que l’air (\(n_{eau} > n_{air}\)).
Voici quatre milieux : air (\(n = 1{,}00\)), eau (\(n = 1{,}33\)), verre (\(n = 1{,}50\)), diamant (\(n = 2{,}42\)).
1. Du plus rapide au plus lent : air → eau → verre → diamant (plus \(n\) est grand, plus la lumière est lente).
2. \(v = \dfrac{3 \times 10^8}{2{,}42} \approx 1{,}24 \times 10^8\) m/s
3. \(n_{vernis} = 1{,}45 < n_{verre} = 1{,}50\). La lumière est plus rapide dans le vernis que dans le verre (indice plus faible = vitesse plus grande).
Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse et corriger si nécessaire.
a. VRAI. C’est la loi de la réflexion : \(\theta_r = \theta_i\).
b. FAUX. La réfraction se produit quand la lumière traverse une interface entre deux milieux différents. C’est la réflexion qui correspond au rebond.
c. VRAI. Par définition, \(n = c/v\) et \(v \leq c\), donc \(n \geq 1\).
d. FAUX. Air vers verre : \(n_{verre} > n_{air}\), donc le rayon se rapproche de la normale.
e. FAUX. C’est l’inverse : la réflexion totale interne se produit quand on passe d’un milieu plus dense vers un milieu moins dense (\(n_1 > n_2\)).
Sur un schéma de réfraction, on lit : \(n_1 = 1{,}00\), \(\theta_1 = 50°\) et \(\theta_2 = 31°\).
1. \(\theta_2 = 31° < \theta_1 = 50°\) : le rayon s’est rapproché de la normale.
2. Le milieu 2 est plus dense que le milieu 1 (car le rayon se rapproche de la normale, \(n_2 > n_1\)).
3. \(n_2 = \dfrac{0{,}766}{0{,}515} \approx 1{,}49\). C’est proche de l’indice du plexiglas ou du verre.
Un artisan menuisier ponce un panneau de chêne. Avant le ponçage, la surface est rugueuse. Après un ponçage fin et l’application d’un vernis, la surface est lisse et brillante.
1. Réflexion diffuse. La surface irrégulière renvoie la lumière dans toutes les directions.
2. Réflexion spéculaire (ou miroir). La surface lisse renvoie tous les rayons dans une direction bien définie.
3. La réflexion spéculaire donne l’aspect brillant. C’est pour cela que le bois verni est brillant : sa surface lisse agit presque comme un miroir.
Un rayon lumineux passe de l’air (\(n_1 = 1{,}00\)) dans du verre (\(n_2 = 1{,}50\)). L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 30°\).
1. \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) soit \(1{,}00 \times \sin 30° = 1{,}50 \times \sin\theta_2\).
2.
\(\sin\theta_2 = \dfrac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \dfrac{1{,}00 \times \sin 30°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}500}{1{,}50} = 0{,}333\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}333) \approx 19{,}5°\)
3. \(\theta_2 = 19{,}5° < \theta_1 = 30°\) : le rayon se rapproche de la normale. C’était prévisible car le rayon pénètre dans un milieu plus dense (\(n_2 > n_1\)).
4. Pour \(\theta_1 = 45°\) :
\(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 45°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°\)
Un rayon lumineux passe du verre (\(n_1 = 1{,}50\)) vers l’air (\(n_2 = 1{,}00\)). L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 20°\).
1. \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) :
\(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}50 \times \sin 20°}{1{,}00} = 1{,}50 \times 0{,}342 = 0{,}513\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}513) \approx 30{,}9°\)
2. \(\theta_2 \approx 30{,}9° > \theta_1 = 20°\) : le rayon s’éloigne de la normale. Normal : on passe d’un milieu dense à un milieu moins dense.
3. L’angle limite (critique) vérifie \(\theta_2 = 90°\) :
\(n_1 \sin\theta_c = n_2 \times 1\)
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}667\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}667) \approx 41{,}8°\)
4. Si \(\theta_1 > \theta_c \approx 41{,}8°\) : réflexion totale interne — aucun rayon ne sort dans l’air, toute la lumière est réfléchie à l’intérieur du verre.
On étudie l’interface entre du verre ordinaire (\(n_1 = 1{,}50\)) et l’air (\(n_2 = 1{,}00\)).
1. La réflexion totale interne n’existe que si le rayon va d’un milieu plus dense vers un milieu moins dense (\(n_1 > n_2\)) et si l’angle d’incidence est supérieur à l’angle critique \(\theta_c\).
2.
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}6\overline{6}\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}667) \approx \mathbf{41{,}8°}\)
3. 35° < 41,8° : le rayon sera réfracté (il sort dans l’air).
4. 50° > 41,8° : le rayon subit une réflexion totale interne (il reste dans le verre).
5.
\(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} = 0{,}752\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}752) \approx \mathbf{48{,}8°}\)
L’angle critique de l’eau est plus grand que celui du verre (48,8° vs 41,8°) : la réflexion totale interne est plus difficile à atteindre dans l’eau que dans le verre.
Une fibre optique est constituée d’un cœur en verre d’indice \(n_c = 1{,}52\) entouré d’une gaine en verre d’indice \(n_g = 1{,}42\).
1. On veut que la lumière reste confinée dans le cœur par réflexion totale interne à l’interface cœur/gaine. Pour cela il faut \(n_c > n_g\) : le cœur doit être plus dense que la gaine.
2.
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_g}{n_c} = \dfrac{1{,}42}{1{,}52} = 0{,}934\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}934) \approx \mathbf{69{,}1°}\)
3. 75° > 69,2° : \(\theta_i > \theta_c\), donc le rayon subit une réflexion totale interne et reste confiné dans la fibre. Il ne s’échappe pas dans la gaine.
4. Dans une fibre optique, la lumière se propage en subissant une succession de réflexions totales internes à l’interface cœur/gaine, ce qui la confine dans le cœur sur de très grandes distances sans pertes significatives.
Un maître-nageur observe un objet au fond d’une piscine. Un rayon lumineux passe de l’eau (\(n_1 = 1{,}33\)) vers l’air (\(n_2 = 1{,}00\)) avec un angle d’incidence de 30°.
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \dfrac{1{,}33 \times \sin 30°}{1{,}00} = 1{,}33 \times 0{,}500 = 0{,}665\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}665) \approx 41{,}7°\)
2. \(\theta_2 = 41{,}7° > \theta_1 = 30°\) : le rayon s’éloigne de la normale en passant dans l’air (milieu moins dense).
3. Les rayons lumineux issus de l’objet sont déviés en sortant de l’eau. Notre cerveau prolonge les rayons en ligne droite, ce qui donne une image virtuelle de l’objet plus proche de la surface qu’elle ne l’est réellement.
Un rayon lumineux passe de l’air (\(n_1 = 1{,}00\)) dans un matériau transparent inconnu. L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 45°\) et l’angle réfracté mesuré est \(\theta_2 = 28°\).
1. \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\)
2. \(n_2 = \dfrac{n_1 \sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \dfrac{1{,}00 \times \sin 45°}{\sin 28°} = \dfrac{0{,}707}{0{,}469} \approx 1{,}51\)
3. \(n_2 \approx 1{,}51\) est très proche du verre ordinaire (\(n = 1{,}50\)) ou du verre crown (\(n = 1{,}52\)).
4. \(v = \dfrac{c}{n_2} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}51} \approx 1{,}99 \times 10^8\) m/s
Un plongeur sous l’eau regarde vers la surface. L’indice de l’eau est \(n_1 = 1{,}33\) et celui de l’air est \(n_2 = 1{,}00\).
1. \(\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} = 0{,}752\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}752) \approx 48{,}8°\)
2. 45° < 48,8° : le rayon sera réfracté et sortira dans l’air.
3. 50° > 48,8° : le rayon sera totalement réfléchi et restera dans l’eau.
4. Le plongeur voit la surface extérieure uniquement dans un cône de demi-angle \(\theta_c \approx 48{,}8°\) autour de la verticale. Au-delà de cet angle, la surface agit comme un miroir (réflexion totale interne) et renvoie l’image du fond. Le cercle lumineux correspond à la zone où les rayons extérieurs peuvent pénétrer dans l’eau.
Un menuisier agenceur fabrique un meuble vitriné. Un rayon lumineux traverse la vitre en verre (\(n_{verre} = 1{,}50\)) d’épaisseur 4 mm. Il entre par la face avant avec un angle incident de \(\theta_1 = 35°\).
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 35°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}574}{1{,}50} = 0{,}383\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}383) \approx 22{,}5°\)
2. \(\sin\theta_3 = \dfrac{1{,}50 \times \sin 22{,}5°}{1{,}00} = 1{,}50 \times 0{,}383 = 0{,}574\)
\(\theta_3 = \arcsin(0{,}574) \approx 35{,}0°\)
3. \(\theta_3 = 35° = \theta_1\) : le rayon sort parallèle à sa direction initiale, simplement décalé latéralement. C’est pour cela qu’on voit à travers une vitre à faces parallèles sans déformation notable.
Un artisan menuisier utilise une plaque de plexiglas (PMMA, \(n = 1{,}49\)) pour réaliser un panneau décoratif rétro-éclairé. Un rayon lumineux issu d’une LED arrive de l’air sur le plexiglas avec un angle incident de 60°.
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 60°}{1{,}49} = \dfrac{0{,}866}{1{,}49} = 0{,}581\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}581) \approx 35{,}5°\)
2. \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}00}{1{,}49} = 0{,}671\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}671) \approx 42{,}2°\)
3. 50° > 42,2° : le rayon subit une réflexion totale interne et reste confiné dans le plexiglas. C’est ce principe qui permet à la lumière de se propager dans toute la plaque et de créer un effet rétro-éclairé uniforme.
La lumière met 8 min 20 s pour aller du Soleil à la Terre.
1. \(t = 8 \times 60 + 20 = 500\) s
2. \(d = c \times t = 3{,}00 \times 10^8 \times 500 = 1{,}50 \times 10^{11}\) m
3. \(d = 1{,}50 \times 10^{11} \text{ m} = 1{,}50 \times 10^{8} \text{ km} = 150\) millions de km
4. \(v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}48} \approx 2{,}03 \times 10^8\) m/s
\(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{12}{2{,}03 \times 10^8} \approx 5{,}91 \times 10^{-8}\) s \(= 59{,}1\) ns
Un technicien règle un appareil de découpe laser. Le faisceau laser traverse une lentille de protection en verre (\(n = 1{,}50\)) avant d’atteindre la pièce à découper. L’angle d’incidence sur la lentille est de 0° (le faisceau arrive perpendiculairement).
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 0°}{1{,}50} = 0\), donc \(\theta_2 = 0°\).
2. Le faisceau n’est pas dévié : quand un rayon arrive perpendiculairement à une surface (\(\theta_1 = 0°\)), il traverse sans changer de direction.
3. \(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 20°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}342}{1{,}50} = 0{,}228\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}228) \approx 13{,}2°\)
4. Si la lentille est inclinée, le faisceau laser est dévié par réfraction et ne touche plus la pièce à l’endroit prévu. Pour une découpe précise, la lentille doit être perpendiculaire au faisceau (\(\theta_1 = 0°\)) afin que le laser ne soit pas dévié.
On compare deux fibres optiques utilisées dans des installations domotiques :
| Fibre | \(n_{c\oe ur}\) | \(n_{gaine}\) |
|---|---|---|
| Fibre A | 1,50 | 1,45 |
| Fibre B | 1,62 | 1,52 |
1. Fibre A : \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}45}{1{,}50} = 0{,}967\) → \(\theta_c \approx 75{,}2°\)
Fibre B : \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}52}{1{,}62} = 0{,}938\) → \(\theta_c \approx 69{,}8°\)
2. La fibre B a un angle critique plus petit (69,8° contre 75,2°). Cela signifie que davantage de rayons sont confinés par réflexion totale interne : la fibre B confine mieux la lumière.
3. Fibre A : \(v_A = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}50} = 2{,}00 \times 10^8\) m/s
Fibre B : \(v_B = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}62} \approx 1{,}85 \times 10^8\) m/s
4. La fibre A transmet le signal plus rapidement (vitesse plus grande dans le cœur). Il y a donc un compromis : la fibre B confine mieux mais est plus lente.
Dans un atelier de menuiserie, un miroir plan de contrôle est orienté de façon à permettre à l’opérateur de vérifier l’arrière d’une pièce en cours d’usinage sans déplacer la pièce.
1. D’après la loi de la réflexion : \(\theta_r = \theta_i = 40°\). Le rayon réfléchi repart à 40° de la normale, du côté opposé au rayon incident, vers les yeux de l’opérateur.
2. Une rotation du miroir de 5° provoque une rotation du rayon réfléchi de \(2 \times 5° = 10°\). C’est pourquoi le réglage d’un miroir de contrôle est très sensible : un petit déplacement modifie beaucoup la zone visible.
3. En orientant correctement le miroir, l’opérateur maximise le champ de vision vers les zones à inspecter. La zone non visible dépend directement de l’orientation du miroir : une inclinaison optimale dirige la réflexion vers les surfaces les plus importantes à contrôler.
4. Un miroir convexe diverge les rayons lumineux réfléchis, ce qui élargit le champ de vision angulaire. On voit une zone plus large, même si les objets apparaissent plus petits. En atelier, cela permet de surveiller une plus grande surface de la pièce d’un seul coup d’œil.
Dans un atelier de menuiserie équipé d’une machine CNC à commande numérique, les signaux de commande et de retour d’état sont transmis via un câble à fibre optique reliant le pupitre de commande à la machine. La fibre optique utilisée possède les caractéristiques suivantes :
1. Les moteurs électriques de toupies, défonceuses, raboteuses et autres machines-outils génèrent des champs électromagnétiques importants qui peuvent induire des courants parasites (bruit) dans les fils cuivre, faussant les signaux de commande. La fibre optique transmet de la lumière, qui n’est pas affectée par les champs électromagnétiques → transmission plus fiable en environnement parasité.
2.
\(\sin\theta_c = \dfrac{n_g}{n_c} = \dfrac{1{,}40}{1{,}46} = 0{,}959\)
\(\theta_c = \arcsin(0{,}959) \approx \mathbf{73{,}5°}\)
3. 80° > 73,5° : \(\theta_i > \theta_c\), donc la lumière subit une réflexion totale interne. Elle est bien confinée dans le cœur et se propage sans fuite dans la gaine.
4.
Vitesse dans le cœur :
\(v = \dfrac{c}{n_c} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}46} \approx 2{,}055 \times 10^8 \text{ m/s}\)
Temps de parcours :
\(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{3}{2{,}055 \times 10^8} \approx 1{,}46 \times 10^{-8} \text{ s} = \mathbf{14{,}6 \text{ ns}}\)
5.
Dans le cuivre : \(t_{Cu} = \dfrac{3}{2 \times 10^8} = 1{,}50 \times 10^{-8} \text{ s} = 15{,}0 \text{ ns}\)
Les deux valeurs sont très proches pour 3 m. La fibre est très légèrement plus rapide ici, mais l’avantage réel de la fibre n’est pas la vitesse brute sur courte distance, mais l’insensibilité aux interférences, la bande passante bien plus élevée et les pertes quasi nulles sur de longues distances.
Un prisme triangulaire en verre (\(n = 1{,}50\)) à angle au sommet \(A = 30°\) est utilisé dans un capteur optique pour contrôler la teinte des lasures et peintures bois appliquées en atelier. Un rayon lumineux pénètre dans la première face du prisme avec un angle d’incidence \(\theta_1 = 45°\).
1. Entrée air → verre :
\(n_{air} \sin\theta_1 = n_v \sin\theta_2\)
\(\sin\theta_2 = \dfrac{1{,}00 \times \sin 45°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}471) \approx \mathbf{28{,}1°}\)
2. \(\theta_3 = A - \theta_2 = 30° - 28{,}1° = \mathbf{1{,}9°}\)
3. Sortie verre → air :
\(n_v \sin\theta_3 = n_{air} \sin\theta_4\)
\(\sin\theta_4 = 1{,}50 \times \sin(1{,}9°) = 1{,}50 \times 0{,}0332 = 0{,}0498\)
\(\theta_4 = \arcsin(0{,}0498) \approx \mathbf{2{,}85°}\)
4. \(D = (45° - 28{,}1°) + (2{,}85° - 1{,}9°) = 16{,}9° + 0{,}95° \approx \mathbf{17{,}9°}\)
5. La dispersion : l’indice de réfraction \(n\) varie avec la longueur d’onde de la lumière. Le rouge est moins dévié que le violet, ce qui étale les couleurs comme dans un arc-en-ciel. Le capteur colorimétrique mesure l’intensité de chaque longueur d’onde séparée par le prisme pour valider la teinte de la lasure appliquée.
Un télémètre laser utilisé par un métreur en bâtiment envoie une impulsion lumineuse sur un mur situé à une distance \(d\) inconnue. Le faisceau voyage dans l’air (\(n_{air} \approx 1{,}00\)). Le temps aller-retour mesuré est \(\Delta t = 66{,}7\) ns.
1. \(D = c \times \Delta t = 3{,}00 \times 10^8 \times 66{,}7 \times 10^{-9} = 20{,}0\) m
2. Aller-retour : \(d = D/2 = 20{,}0/2 = 10{,}0\) m
3. Vitesse dans le verre : \(v = c/n = 3{,}00 \times 10^8 / 1{,}50 = 2{,}00 \times 10^8\) m/s.
Temps dans le verre (2 traversées de 6 mm) : \(t_{verre} = \dfrac{2 \times 0{,}006}{2{,}00 \times 10^8} = 6{,}00 \times 10^{-11}\) s = 0,060 ns.
Temps que la lumière aurait mis dans l’air pour la même distance : \(t_{air} = \dfrac{0{,}012}{3{,}00 \times 10^8} = 4{,}00 \times 10^{-11}\) s = 0,040 ns.
Temps supplémentaire : \(\Delta t_{sup} = 0{,}060 - 0{,}040 = 0{,}020\) ns.
4. Le temps supplémentaire de 0,020 ns correspond à une erreur de distance de \(\Delta d = c \times 0{,}020 \times 10^{-9} / 2 \approx 3\) mm. Pour une mesure en bâtiment, cette erreur est négligeable.
Un rayon lumineux traverse une lame de verre (\(n = 1{,}50\)) à faces parallèles d’épaisseur \(e = 10\) mm. L’angle d’incidence est \(\theta_1 = 50°\).
1. \(\sin\theta_2 = \dfrac{\sin 50°}{1{,}50} = \dfrac{0{,}766}{1{,}50} = 0{,}511\)
\(\theta_2 = \arcsin(0{,}511) \approx 30{,}7°\)
2. À la sortie (verre → air) : \(n_{verre} \sin\theta_2 = n_{air} \sin\theta_3\), soit \(1{,}50 \times \sin 30{,}7° = 1{,}00 \times \sin\theta_3\), donc \(\sin\theta_3 = 1{,}50 \times 0{,}511 = 0{,}766\) et \(\theta_3 = \arcsin(0{,}766) = 50° = \theta_1\). CQFD.
3. \(\delta = 10 \times \dfrac{\sin(50° - 30{,}7°)}{\cos 30{,}7°} = 10 \times \dfrac{\sin 19{,}3°}{0{,}860} = 10 \times \dfrac{0{,}331}{0{,}860} \approx 3{,}8\) mm
4. Oui, le décalage total est le double de celui d’une seule lame de 4 mm. Le rayon traverse deux lames de verre identiques et dans l’air entre les deux vitres il se propage en ligne droite (pas de déviation supplémentaire). Chaque lame ajoute le même décalage latéral.
Un installateur de systèmes domotiques tire un câble à fibre optique de 80 m pour relier un tableau électrique à un boîtier réseau. Le cœur de la fibre a un indice \(n_c = 1{,}46\) et la gaine un indice \(n_g = 1{,}41\).
1. \(\sin\theta_c = \dfrac{1{,}41}{1{,}46} = 0{,}966\) → \(\theta_c = \arcsin(0{,}966) \approx 75{,}0°\)
2. \(v = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}46} \approx 2{,}05 \times 10^8\) m/s
3. \(t = \dfrac{80}{2{,}05 \times 10^8} \approx 3{,}90 \times 10^{-7}\) s \(= 0{,}390\) μs
4. \(t_{Cu} = \dfrac{80}{2{,}0 \times 10^8} = 4{,}0 \times 10^{-7}\) s \(= 0{,}400\) μs. Les temps sont très proches.
5. La bande passante désigne la quantité de données transmissible par seconde. La fibre optique peut transporter beaucoup plus de données simultanément (plusieurs Gbit/s) que le cuivre (limité à ~1 Gbit/s en Ethernet classique) grâce à la fréquence élevée de la lumière. De plus, la fibre est insensible aux interférences électromagnétiques.
L’arc-en-ciel se forme quand la lumière du soleil pénètre dans une goutte d’eau sphérique, subit une réflexion totale interne, puis ressort. L’indice de l’eau dépend de la couleur de la lumière :
| Couleur | Indice \(n\) |
|---|---|
| Rouge | 1,331 |
| Jaune | 1,333 |
| Bleu | 1,337 |
| Violet | 1,342 |
1. Rouge : \(\sin\theta_2 = \dfrac{\sin 60°}{1{,}331} = \dfrac{0{,}866}{1{,}331} = 0{,}6507\) → \(\theta_2 \approx 40{,}6°\)
Violet : \(\sin\theta_2 = \dfrac{0{,}866}{1{,}342} = 0{,}6453\) → \(\theta_2 \approx 40{,}2°\)
2. Le violet est le plus dévié (angle réfracté 40,2° < 40,6°) car son indice est le plus élevé. Plus l’indice est grand, plus le rayon se rapproche de la normale.
3. Rouge : \(\sin\theta_c = 1/1{,}331 = 0{,}7513\) → \(\theta_c \approx 48{,}7°\)
Violet : \(\sin\theta_c = 1/1{,}342 = 0{,}7452\) → \(\theta_c \approx 48{,}2°\)
4. L’indice de réfraction de l’eau varie avec la longueur d’onde (couleur) de la lumière. Chaque couleur est réfractée avec un angle légèrement différent en entrant et en sortant de la goutte. Après la réflexion interne et la sortie de la goutte, les couleurs sont suffisamment séparées pour que l’œil les distingue : c’est la dispersion.
Un fabricant de mobilier design souhaite intégrer un guide de lumière dans le chant d’une étagère pour créer un éclairage décoratif. Le guide est une baguette de matériau transparent entourée d’air (\(n_{air} = 1{,}00\)). Trois matériaux sont disponibles :
| Matériau | Indice \(n\) | Coût relatif |
|---|---|---|
| Polycarbonate | 1,59 | 1 |
| Plexiglas (PMMA) | 1,49 | 0,8 |
| Résine époxy | 1,55 | 1,2 |
1.
Polycarbonate : \(\sin\theta_c = 1/1{,}59 = 0{,}629\) → \(\theta_c \approx 39{,}0°\)
Plexiglas : \(\sin\theta_c = 1/1{,}49 = 0{,}671\) → \(\theta_c \approx 42{,}2°\)
Résine époxy : \(\sin\theta_c = 1/1{,}55 = 0{,}645\) → \(\theta_c \approx 40{,}2°\)
2. Le polycarbonate confine le mieux (angle critique le plus petit : 39,0°). Le plexiglas confine le moins bien (42,2°).
3. Les rayons font des angles de 55° à 85° avec la normale. Il faut que le rayon le moins incliné (55°) dépasse l’angle critique. Les trois matériaux ont un angle critique inférieur à 55°, donc les trois matériaux confinent tous les rayons du cône.
4. Les trois conviennent techniquement. Le plexiglas est le meilleur choix : coût le plus bas (0,8), facile à usiner en menuiserie, et son angle critique (42,2°) est largement en dessous de 55°, garantissant un confinement complet. Le polycarbonate est plus résistant aux chocs mais plus cher, et la résine est la plus coûteuse sans avantage décisif ici.
Le graphique suivant permet de comparer visuellement les indices de réfraction de plusieurs milieux courants. Plus l’indice est élevé, plus la lumière est ralentie et réfractée fortement. On remarque que l’indice du vide (et de l’air) vaut exactement 1 par définition, et que le diamant, avec \(n = 2{,}42\), est un des milieux les plus réfractants rencontrés dans la vie courante.
Formules à retenir : \(n = c/v\) | \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) | \(\sin\theta_c = n_2/n_1\) (avec \(n_1 > n_2\)) | \(\theta_r = \theta_i\) (réflexion)