Chapitre 11 – Transferts thermiques

a) Au départ, le bloc est à 90 °C et l'eau à 15 °C : le bloc est le corps le plus chaud. Le tableau le confirme : la colonne du bloc ne fait que décroître (de 90 à 40 °C) et celle de l'eau ne fait que croître (de 15 à 40 °C). C'est donc le bloc qui cède de l'énergie et l'eau qui en reçoit. Le transfert thermique se fait toujours du corps le plus chaud vers le corps le plus froid, ici du bloc vers l'eau, par contact direct entre le métal et l'eau. Cette énergie échangée sous forme thermique s'exprime en joules (J).

b) Entre \(t = 0\) et \(t = 2\) min, le bloc perd \(90 - 54 = 36\) °C en 2 min, soit \(36 \div 2 = \mathbf{18\,\text{°C/min}}\).
Entre \(t = 4\) min et \(t = 8\) min, il perd \(44 - 40 = 4\) °C en 4 min, soit \(4 \div 4 = \mathbf{1\,\text{°C/min}}\).
\(18 \div 1 = 18\) : le bloc refroidit 18 fois plus vite au début qu'à la fin. Son refroidissement ralentit nettement au fil de l'expérience.

c) Les deux thermomètres affichent la même valeur à partir de \(t = 6\) min et n'en bougent plus ensuite (7 min, puis 8 min) : l'équilibre thermique est atteint à \(t = 6\) min, à la température de 40 °C.
Écart à \(t = 0\) min : \(90 - 15 = \mathbf{75\,\text{°C}}\).
Écart à \(t = 4\) min : \(44 - 38 = \mathbf{6\,\text{°C}}\).
\(75 \div 6 = \mathbf{12{,}5}\) : en 4 minutes, l'écart a été divisé par 12,5.
C'est exactement ce qui explique le résultat de la question b) : plus l'écart de température entre les deux corps est grand, plus le transfert est rapide. Au début, l'écart vaut 75 °C et le bloc perd 18 °C par minute. Ensuite l'écart se resserre : sur les quatre dernières minutes, le bloc ne perd plus qu'un degré par minute en moyenne, et même plus rien du tout à partir de 6 min. Quand l'écart devient nul, le transfert net s'annule : les deux températures ne varient plus.

d) Bloc : \(40 - 90 = \mathbf{-50\,\text{°C}}\) — signe négatif, la température baisse : le bloc a perdu de l'énergie.
Eau : \(40 - 15 = \mathbf{+25\,\text{°C}}\) — signe positif, la température monte : l'eau a reçu de l'énergie.
Les deux signes sont opposés : pendant que le bloc se refroidit, l'eau se réchauffe. C'est un seul et même transfert d'énergie, vu des deux côtés. En revanche, comparer les nombres 50 et 25 n'apprendrait rien : ce sont des variations de température, pas des énergies.

Tant que deux corps en contact n'ont pas la même température, l'énergie passe du plus chaud vers le plus froid — de plus en plus lentement à mesure que l'écart se resserre. Quand l'écart est nul, plus rien ne varie : c'est l'équilibre thermique.

a) Du plus froid au plus chaud : compartiment congélateur (−18 °C) → clayette du haut (6 °C) → bac à légumes (9 °C) → balconnet de la porte (11 °C) → air de la cuisine (21 °C). Attention au signe : −18 °C est bien la plus basse des cinq valeurs. Moyenne des trois relevés de la partie réfrigérée : \((9 + 6 + 11) \div 3 = 26 \div 3 \approx \mathbf{8{,}7\ \text{°C}}\). La température n'est donc pas la même partout : les relevés de cette partie vont de 6 °C à 11 °C, soit 5 °C d'écart entre le point le plus froid et le point le moins froid. Le bac à légumes est un peu moins froid que la clayette du haut, car c'est un tiroir fermé où l'air circule moins bien ; et l'endroit le moins froid est le balconnet de la porte, qui s'ouvre souvent et donne sur la cuisine.

b) Les deux quotients sont exacts : \(18 \div 9 = 2\) et \(21 \div 6 = 3{,}5\). Mais ces nombres ne prouvent rien : le raisonnement de proportionnalité n'est pas valable avec des températures en degrés Celsius. Un quotient ne se lit « tant de fois plus » que si le zéro de l'échelle signifie « rien » : 0 kg, c'est l'absence de masse ; 0 €, c'est l'absence d'argent. Or 0 °C n'est pas l'absence de température, c'est un repère choisi, celui de la glace fondante. Si le bac à légumes était relevé à 0 °C, le calcul du camarade deviendrait \(18 \div 0\), une division impossible — alors qu'un aliment à 0 °C a bel et bien une température. Et en refaisant son calcul sans oublier le signe du relevé, \((-18) \div 9 = -2\) : un « nombre de fois » négatif ne veut rien dire non plus. Ce que l'on peut affirmer, en revanche, c'est le classement de la question a) : le congélateur est le plus froid des cinq endroits, la cuisine le plus chaud. (Il existe bien une échelle dont le zéro marque le plus froid possible, vers −273 °C, mais ce n'est pas celle du thermomètre de la famille.)

c) La cuisine (21 °C) est plus chaude que l'intérieur du réfrigérateur : le transfert thermique va donc de la cuisine vers l'intérieur de l'appareil, à travers les parois et le joint de la porte. Cette énergie, qui se compte en joules (J), entre en permanence, car il n'existe pas d'isolant parfait. Si le réfrigérateur s'arrêtait définitivement, l'intérieur se réchaufferait jusqu'à l'équilibre thermique avec la cuisine, soit 21 °C. C'est pourquoi l'appareil se remet en marche régulièrement : c'est le seul moyen de faire redescendre la température qui remonte sans cesse.

d) D'un relevé au suivant : \(12 - 10{,}5 = 1{,}5\) ; \(10{,}5 - 9 = 1{,}5\) ; \(9 - 7{,}5 = 1{,}5\). La baisse est donc régulière, de 1,5 °C toutes les 10 minutes, soit \(1{,}5 \div 10 = \mathbf{0{,}15}\) °C par minute : la température est une fonction affine du temps sur cette phase, \(\theta = 12 - 0{,}15 \times t\) (\(\theta\) en °C, \(t\) en minutes). Prédiction à 40 minutes : \(7{,}5 - 1{,}5 = \mathbf{6\ \text{°C}}\) (ou \(12 - 0{,}15 \times 40 = 12 - 6 = 6\)). On retrouve exactement la valeur du premier tableau : 6 °C est la température que l'appareil maintient sur cette clayette. Au-delà de 40 minutes, la température ne continue pas à descendre : le sens de variation change, elle est décroissante jusqu'à 40 min, puis constante autour de 6 °C, quand le thermostat coupe. La fonction affine ne décrit donc que la phase où le groupe froid tourne sans interruption. Physiquement : le plat, bien plus chaud que tout ce qui l'entoure, a cédé de l'énergie — comptée en joules (J) — à l'air et aux aliments déjà rangés, dont la température a augmenté, l'air de la clayette passant de 6 °C à 12 °C. Il a fallu 40 minutes de fonctionnement pour revenir à 6 °C, et pendant tout ce temps les aliments sont restés trop au chaud : c'est exactement ce que la notice cherche à éviter. Mieux vaut laisser le plat refroidir d'abord dans la cuisine, où il évolue vers l'équilibre thermique à 21 °C — en refroidissant de moins en moins vite à mesure qu'il s'en approche, contrairement à la baisse bien régulière du tableau, obtenue ici seulement parce que la machine évacue l'énergie sans interruption.

Le froid ne se stocke pas : dès qu'il s'arrête, un réfrigérateur évolue vers l'équilibre thermique avec la cuisine. Tout ce qu'on y range de chaud fait remonter la température de ce qui est déjà à l'intérieur.

a) L'eau (38,0 °C) est plus chaude que l'air (22 °C) : le transfert thermique se fait de l'eau vers l'air, comme toujours du corps le plus chaud vers le plus froid. L'eau perd de l'énergie sous forme thermique (contact avec l'air et les parois, courants d'air à la surface, rayonnement) : sa température diminue.

b) Entre 0 et 5 min : \(\dfrac{38{,}0 - 37{,}0}{5} = \dfrac{1{,}0}{5} = \mathbf{0{,}20\ \text{°C/min}}\).
Entre 25 et 30 min : \(\dfrac{33{,}5 - 32{,}8}{5} = \dfrac{0{,}7}{5} = \mathbf{0{,}14\ \text{°C/min}}\).

c) Baisse de \(\theta\) sur chacun des six intervalles de 5 minutes :
\(38{,}0 - 37{,}0 = 1{,}0\) °C ; \(37{,}0 - 36{,}1 = 0{,}9\) °C ; \(36{,}1 - 35{,}2 = 0{,}9\) °C ; \(35{,}2 - 34{,}3 = 0{,}9\) °C ; \(34{,}3 - 33{,}5 = 0{,}8\) °C ; \(33{,}5 - 32{,}8 = 0{,}7\) °C.
Ces six baisses ne sont pas toutes égales : elles valent 1,0 °C, puis restent constantes à 0,9 °C de 5 min à 20 min, puis diminuent de nouveau (0,8 °C, puis 0,7 °C). Aucune n'augmente : sur les 30 minutes, la baisse par intervalle est décroissante.
Si le stagiaire avait raison, l'eau perdrait 1,0 °C toutes les 5 minutes. De 0 à 30 min il y a six intervalles de 5 minutes, on lirait donc \(38{,}0 - 6 \times 1{,}0 = \mathbf{32{,}0\ \text{°C}}\) à 30 min. Or le relevé donne 32,8 °C : l'eau est plus chaude que cette prévision, le modèle affine la fait refroidir trop vite.
Le stagiaire a donc tort : \(\theta\) n'est pas une fonction affine du temps, sinon la baisse serait la même sur tous les intervalles. On le lisait déjà en b) : 1,0 °C sur 5 min font 0,20 °C/min au début, contre 0,7 °C sur 5 min soit 0,14 °C/min à la fin. Physiquement, le refroidissement ralentit : à mesure que l'eau se rapproche des 22 °C de la salle, elle cède son énergie de moins en moins vite, jusqu'à l'équilibre thermique.

d) À 10 min l'eau est encore à 36,1 °C, à 15 min elle n'est plus qu'à 35,2 °C : il faut renouveler le bain dès le relevé de 15 minutes (la limite est franchie entre 10 et 15 min).
De 30 min à 45 min il y a trois intervalles de 5 minutes : \(3 \times 0{,}7 = 2{,}1\) °C, donc \(\theta = 32{,}8 - 2{,}1 = \mathbf{30{,}7\ \text{°C}}\).
Ce prolongement ne peut pas rester valable longtemps. D'abord, on vient de voir que la vitesse de refroidissement diminue : l'eau perdra un peu moins de 0,7 °C par intervalle et sera donc un peu plus chaude que 30,7 °C. Ensuite, poursuivi assez longtemps, ce calcul ferait passer l'eau sous 22 °C, ce qui est impossible : l'eau ne peut pas devenir plus froide que l'air de la salle ; elle s'arrête à l'équilibre thermique.

Tant qu'il reste un écart de température, l'eau continue de céder de l'énergie à l'air : c'est pourquoi on ne prépare jamais le bain d'un nourrisson longtemps à l'avance.

a) Gourde isotherme : \(80 - 71 = \mathbf{9\ \text{°C}}\) de baisse en 3 h, soit une vitesse moyenne \(9 \div 3 = \mathbf{3\ \text{°C/h}}\).
Gourde ordinaire : \(80 - 44 = \mathbf{36\ \text{°C}}\) de baisse en 3 h, soit \(36 \div 3 = \mathbf{12\ \text{°C/h}}\).

b) C'est la gourde isotherme. Les deux gourdes contiennent la même quantité de la même boisson (50 cL) : à quantité identique, celle qui a perdu le plus de degrés est celle qui a cédé le plus d'énergie, on peut donc comparer directement les baisses. L'isotherme perd en moyenne 3 °C par heure, contre 12 °C par heure pour l'ordinaire : son refroidissement est 4 fois plus lent (\(12 \div 3 = 4\)). En 3 h, elle n'a perdu que 9 °C contre 36 °C pour l'autre (71 °C au lieu de 44 °C).

c) Oui : à la longue, les deux boissons se stabilisent à 20 °C, la température de l'air. Tant qu'une boisson est plus chaude que l'air avec lequel elle est en contact, elle lui cède de l'énergie ; le transfert ne s'arrête que lorsque les deux températures sont égales, c'est l'équilibre thermique. C'est la gourde ordinaire qui y arrive la première, puisqu'elle refroidit en moyenne 4 fois plus vite. La double paroi ne supprime pas le transfert (elle gêne la conduction et la convection), elle le ralentit : la gourde isotherme atteint le même état final, mais bien plus tard.

d) D'une heure à la suivante : \(80 - 77 = 3\), \(77 - 74 = 3\), \(74 - 71 = 3\). La baisse est bien la même, 3 °C par heure. De 3 h à 6 h il s'écoule 3 h, soit \(3 \times 3 = 9\ \text{°C}\) de baisse en plus : \(71 - 9 = \mathbf{62\ \text{°C}}\).
Attention, c'est une prévision de modèle, pas une mesure. Le même calcul serait faux pour la gourde ordinaire, dont les baisses valent 16, 11 puis 9 °C : elle ralentit à mesure que son écart avec l'air diminue. La gourde isotherme ralentit elle aussi, mais très peu tant qu'elle reste loin de 20 °C : la valeur réellement relevée à 6 h serait un peu supérieure à 62 °C.

Une gourde isotherme n'empêche pas le transfert thermique, elle le freine : l'énergie, qui se compte en joules, finit toujours par passer de la boisson chaude vers l'air plus froid. Isoler, c'est gagner du temps, pas changer la température d'arrivée.

a) Le logement (20 °C) est plus chaud que l'air extérieur (−2,0 °C), soit un écart de \(20 - (-2{,}0) = 22\ \text{°C}\). Or la chaleur se transfère toujours du corps le plus chaud vers le corps le plus froid : l'énergie traverse la façade de l'intérieur vers l'extérieur. Le logement perd donc de l'énergie en permanence, et le chauffage doit la remplacer pour maintenir les 20 °C.

b) On calcule \(\theta_{\text{surface}} - \theta_{\text{air}}\) avec \(\theta_{\text{air}} = -2{,}0\ \text{°C}\) : soustraire \(-2{,}0\) revient à ajouter \(2{,}0\).
Mur courant : \(0{,}5 - (-2{,}0) = \mathbf{2{,}5\ \text{°C}}\)
Appui de fenêtre : \(3{,}0 - (-2{,}0) = \mathbf{5{,}0\ \text{°C}}\)
Jonction plancher / façade : \(2{,}0 - (-2{,}0) = \mathbf{4{,}0\ \text{°C}}\)
Caisson de volet roulant : \(5{,}5 - (-2{,}0) = \mathbf{7{,}5\ \text{°C}}\)
Classement du plus petit au plus grand écart : mur courant (2,5 °C) < jonction plancher / façade (4,0 °C) < appui de fenêtre (5,0 °C) < caisson de volet roulant (7,5 °C).

c) Appui de fenêtre : \(\dfrac{5{,}0}{2{,}5} = \mathbf{2}\) — son écart avec l'air vaut 2 fois celui du mur courant (vérification : \(2{,}5 \times 2 = 5{,}0\)).
Caisson de volet roulant : \(\dfrac{7{,}5}{2{,}5} = \mathbf{3}\) — son écart avec l'air vaut 3 fois celui du mur courant (vérification : \(2{,}5 \times 3 = 7{,}5\)).

d) La façade est traversée en permanence par de l'énergie qui vient du logement. Là où elle est bien isolée, il en passe peu et sa face extérieure reste presque à la température de l'air : c'est le cas du mur courant, à peine 2,5 °C au-dessus. Là où l'isolation est défaillante, il en passe beaucoup plus et la face extérieure se maintient nettement au-dessus de la température de l'air. Une tache plus chaude vue de la rue signale donc un défaut d'isolation.
Le point le plus mal isolé de cette façade est le caisson de volet roulant : c'est lui qui présente le plus grand écart avec l'air extérieur (7,5 °C). Ces défauts localisés portent un nom sur les chantiers : des ponts thermiques.

Deux prudences de technicien. Un écart trois fois plus grand ne veut pas dire que le logement perd trois fois plus d'énergie par le caisson que par son mur : le mur courant est bien moins chaud, mais il couvre une surface sans commune mesure ; la caméra localise les points faibles, elle ne chiffre pas les pertes. Et attention au sens de lecture d'une image thermique : vue de la rue, une tache chaude trahit une fuite d'énergie ; vue de l'intérieur, ce sont au contraire les taches froides qui signalent les mêmes défauts.

a) Air extérieur : la température décroît de 0 h à 4 h (12 °C → 10 °C), croît de 4 h à 14 h (10 °C → 26 °C), puis décroît jusqu'à 22 h (26 °C → 14 °C). Maximum : 26 °C à 14 h.
Face intérieure du mur : la température décroît de 0 h à 8 h (20,5 °C → 18,0 °C), croît de 8 h à 20 h (18,0 °C → 23,0 °C), puis décroît jusqu'à 22 h (23,0 °C → 22,0 °C). Maximum : 23,0 °C à 20 h.

b) Décalage : \(20 - 14 = \mathbf{6\ \text{h}}\). Le mur atteint son maximum 6 heures après l'air extérieur.
Air : \(\Delta T = 26 - 10 = \mathbf{16\ \text{°C}}\). Mur : \(\Delta T = 23{,}0 - 18{,}0 = \mathbf{5{,}0\ \text{°C}}\).
C'est la température du mur qui varie le moins : \(16 \div 5{,}0 = \mathbf{3{,}2}\), son écart est environ 3 fois plus petit. Le mur amortit les écarts de température.

c) Le transfert spontané va toujours du corps le plus chaud vers le plus froid ; on compare donc ici les deux corps qui se touchent : la face intérieure du mur et l'air du séjour.
• De 0 h à 4 h : la face intérieure est plus chaude que le séjour (20,5 °C puis 19,5 °C) → l'énergie passe du mur vers le séjour.
• À 4 h : elle vaut 19,0 °C, exactement la température du séjour. Les deux corps en contact sont à la même température : aucun transfert entre eux à cet instant. C'est le premier basculement.
• De 4 h à 11 h : la face intérieure est plus froide que le séjour (18,5 ; 18,0 ; 18,5 °C) → l'énergie passe du séjour vers le mur : le matin, le mur refroidit la pièce.
• De 11 h à 22 h : elle est de nouveau plus chaude que le séjour (de 19,5 °C jusqu'à 23,0 °C) → l'énergie repasse du mur vers le séjour.
Montée régulière de 10 h à 18 h : la face intérieure gagne \(1{,}0\) °C toutes les 2 heures (18,5 → 19,5 → 20,5 → 21,5 → 22,5). Par heure : \(1{,}0 \div 2 = \mathbf{0{,}5\ \text{°C par heure}}\).
Elle part de 18,5 °C à 10 h et monte de 0,5 °C par heure : au bout d'une heure elle atteint \(18{,}5 + 0{,}5 = 19{,}0\) °C, elle repasse donc par 19 °C vers 11 h — c'est le second basculement.
À 15 h, soit 5 heures après le relevé de 10 h : \(18{,}5 + 5 \times 0{,}5 = \mathbf{21{,}0\ \text{°C}}\). Contrôle : \(21{,}0 + 0{,}5 = 21{,}5\) °C, ce qui est bien la valeur relevée à 16 h.
Attention, ce rythme régulier ne vaut que sur cette plage : de 18 h à 20 h la face intérieure ne gagne plus que 0,5 °C en 2 heures, sa montée ralentit avant de s'inverser.

d) L'énergie vient du soleil : son rayonnement chauffe la face extérieure du mur, puis l'énergie traverse l'épaisseur de pierre par conduction jusqu'à la face intérieure. De 8 h à 10 h, la face intérieure, elle, reçoit aussi un peu d'énergie du séjour, plus chaud qu'elle (question c).
En soirée, l'air extérieur est redescendu (18 °C à 20 h) et le séjour a besoin d'être chauffé. C'est justement le moment où la face intérieure du mur est la plus chaude : le mur restitue alors au séjour l'énergie — comptée en joules — qu'il a emmagasinée dans la journée, et le chauffage a donc moins d'énergie à fournir.

Un mur épais ne fait pas disparaître la chaleur du soleil : il la retarde de plusieurs heures et l'étale, si bien qu'elle ressort à l'intérieur au moment où on en a justement besoin.

a) Dans les salles, l'eau est entre 67 °C et 50 °C alors que l'air est à 20 °C : l'eau est plus chaude que l'air. Le transfert thermique se fait donc spontanément de l'eau vers l'air de la salle, à travers la paroi du radiateur — toujours du corps chaud vers le corps froid.
Dans le sous-sol, même raisonnement : l'eau passe de 50 °C à 38 °C et l'air n'est qu'à 6 °C ; le transfert va encore de l'eau vers l'air du sous-sol, jamais l'inverse.

b) Baisse de température sur chaque tronçon :
A → B (tuyau, local chauffé) : \(70 - 67 = \mathbf{3\ \text{°C}}\)
B → C (radiateur salle 1) : \(67 - 59 = \mathbf{8\ \text{°C}}\)
C → D (tuyau, local chauffé) : \(59 - 57 = \mathbf{2\ \text{°C}}\)
D → E (radiateur salle 2) : \(57 - 50 = \mathbf{7\ \text{°C}}\)
E → F (tuyau, sous-sol) : \(50 - 38 = \mathbf{12\ \text{°C}}\)
Le refroidissement le plus fort est celui du tronçon E → F, dans le sous-sol non chauffé.
Total des cinq baisses : \(3 + 8 + 2 + 7 + 12 = \mathbf{32\ \text{°C}}\). Contrôle du relevé : l'eau est bien passée de 70 °C à 38 °C, soit \(70 - 38 = 32\ \text{°C}\).
Baisse moyenne par tronçon : \(32 \div 5 = \mathbf{6{,}4\ \text{°C}}\). Vérification : \(6{,}4 \times 5 = 32\).
Dépassent cette moyenne : B → C (8 °C), D → E (7 °C) et E → F (12 °C), c'est-à-dire les deux radiateurs et le tuyau du sous-sol. Les deux tuyaux calorifugés restent en dessous (3 °C et 2 °C).

c) \(12 \div 2 = \mathbf{6}\) : il faut multiplier par 6. Vérification : \(2 \times 6 = 12\).
Sur le tuyau du sous-sol, l'eau se refroidit 6 fois plus que sur le tuyau de référence. C'est cohérent : le tuyau de référence est calorifugé, celui du sous-sol ne l'est pas. L'isolant freine le transfert de l'eau vers l'air qu'elle longe ; là où il manque, l'eau se refroidit beaucoup plus vite.

d) Dans un radiateur, l'eau cède de l'énergie à l'air de la salle : c'est exactement le but de l'installation, la salle est chauffée. Dans le sous-sol, l'eau cède de l'énergie à l'air d'un local que personne ne cherche à chauffer : ce refroidissement ne sert à rien. L'eau revient à la chaudière à 38 °C alors qu'elle en était sortie à 70 °C, et il faudra de nouveau lui apporter de l'énergie pour élever sa température.
Intervention : calorifuger (isoler) le tuyau du sous-sol, comme ceux qui traversent les locaux chauffés.
Chaudière longtemps à l'arrêt : plus rien n'apporte d'énergie à l'eau. Tant qu'elle est plus chaude que l'air qui l'entoure, elle continue de lui céder de l'énergie, et sa température baisse jusqu'à l'équilibre thermique. Elle tend donc vers la température de l'air du local qu'elle traverse : environ 6 °C dans le sous-sol, et 20 °C dans les salles tant qu'elles restent à cette température. Elle ne peut pas descendre plus bas : le transfert ne repart jamais du froid vers le chaud.

Retenir : un tuyau de chauffage qui traverse une cave, un vide sanitaire ou des combles se refroidit pour rien. C'est pourquoi on calorifuge ces tronçons.

a) Entre les deux airs : \(20 - 2 = \mathbf{18\ \text{°C}}\). Cet écart est le même pour les deux essais, puisque les deux cellules sont chauffées à 20 °C et exposées au même air extérieur : c'est ce qui rend la comparaison honnête, la seule différence entre les deux murs est le doublage.
Entre l'air intérieur et la face intérieure :
Mur A : \(20 - 15{,}5 = \mathbf{4{,}5\ \text{°C}}\)
Mur B : \(20 - 18{,}5 = \mathbf{1{,}5\ \text{°C}}\)

b) La face ne doit pas descendre de plus de 3 °C sous les 20 °C de l'air : \(20 - 3 = \mathbf{17\ \text{°C}}\) (vérification : \(17 + 3 = 20\)). Les températures acceptables sont donc celles de l'encadrement \(17\ \text{°C} \leq \theta \leq 20\ \text{°C}\).
Mur A : 15,5 °C, c'est en dessous de 17 °C — exigence non respectée (son écart, 4,5 °C, dépasse les 3 °C admis).
Mur B : 18,5 °C est bien compris entre 17 °C et 20 °C — exigence respectée (écart de 1,5 °C seulement).
Seul le mur doublé d'isolant satisfait le cahier des charges. Une limite de cet ordre (2 à 3 °C) est celle que l'on retient couramment pour éviter la sensation de paroi froide en hiver.

c) La face intérieure est le passage obligé de l'énergie : elle en reçoit de l'air de la pièce, à 20 °C, et elle en cède au reste du mur, qui l'emmène vers le dehors. Plus le mur en laisse filer, plus cette face est refroidie et s'éloigne des 20 °C. Une face restée à 18,5 °C signale donc un mur qui laisse peu passer ; une face descendue à 15,5 °C, un mur qui laisse beaucoup passer. À surface égale et dans les mêmes conditions d'essai, c'est le mur B qui limite le mieux le transfert thermique : son écart avec l'air de la pièce est \(\dfrac{4{,}5}{1{,}5} = \mathbf{3}\) fois plus petit que celui du mur nu (vérification : \(1{,}5 \times 3 = 4{,}5\)).
Phrase de conclusion du rapport : « Dans les mêmes conditions d'essai (20 °C d'un côté, 2 °C de l'autre) et à surface égale, le mur doublé de 5 cm d'isolant garde sa face intérieure à 18,5 °C, soit à 1,5 °C seulement de l'air de la pièce, contre 4,5 °C pour le mur nu : son écart est 3 fois plus petit, c'est lui qui limite le mieux le transfert thermique. »
Ce que l'essai établit, c'est un classement des deux murs. Il ne dit pas combien de joules le doublage fait économiser : une température ne se convertit pas en énergie, et il faudrait bien autre chose qu'une sonde de contact pour la chiffrer.

d) Une phrase suffit : la peau, à environ 33 °C, est bien plus chaude que la face du mur, à 15,5 °C ; le corps perd donc de l'énergie par rayonnement vers cette paroi froide, et cette perte se ressent même si l'air de la pièce est à 20 °C.
Un deuxième effet s'y ajoute : l'air de la pièce qui touche cette face froide se refroidit à son tour, devient plus dense, descend le long du mur et balaie le sol — c'est ce courant d'air froid que l'on sent aux pieds. On retrouve ici les 4,5 °C d'écart du mur A, bien au-delà des 3 °C admis à la question b). Avec un mur doublé comme le mur B, la face resterait à 18,5 °C, presque à la température de l'air : les deux effets seraient bien plus faibles et la pièce paraîtrait confortable, à réglage de chauffage identique.

Attention au vocabulaire : au bout de trois jours les températures ne changent plus, mais ce n'est pas un équilibre thermique. L'équilibre suppose des températures égales et plus aucun transfert ; ici elles restent différentes, le transfert continue, et c'est le chauffage qui le compense en fournissant sans arrêt de l'énergie — comptée en joules — à la cellule. Isoler un mur, ce n'est donc pas seulement chauffer moins : c'est aussi garder la paroi plus proche de la température de la pièce, et c'est cette paroi tiède qui rend les 20 °C agréables.

a) L'air du séjour est à 20,0 °C et la vitre à 3,0 °C : l'air est le plus chaud des deux, le transfert thermique va donc de l'air du séjour vers la vitre, qui reçoit de l'énergie.
La vitre est à 3,0 °C et l'air extérieur à −3,0 °C : la vitre est cette fois la plus chaude, le transfert va donc de la vitre vers l'air extérieur, à qui elle cède de l'énergie.
De proche en proche, l'énergie va du séjour vers le dehors, toujours du corps le plus chaud vers le plus froid, jamais l'inverse. Cette énergie, qui se compte en joules, s'en va en permanence : le chauffage doit donc la remplacer en permanence pour que le séjour reste à 20,0 °C.

b) Entre les deux airs : \(20{,}0 - (-3{,}0) = 20{,}0 + 3{,}0 = \mathbf{23{,}0\ \text{°C}}\) (vérification : \(-3{,}0 + 23{,}0 = 20{,}0\)). La moitié de cet écart vaut \(23{,}0 \div 2 = 11{,}5\ \text{°C}\).
Simple vitrage : \(20{,}0 - 3{,}0 = \mathbf{17{,}0\ \text{°C}}\) (vérification : \(3{,}0 + 17{,}0 = 20{,}0\)). 17,0 °C, c'est plus que 11,5 °C : cette vitre est donc plus proche de l'air extérieur, elle descend presque jusqu'à la température du dehors.
Double vitrage : \(20{,}0 - 13{,}2 = \mathbf{6{,}8\ \text{°C}}\) (vérification : \(13{,}2 + 6{,}8 = 20{,}0\)). 6,8 °C, c'est moins que 11,5 °C : cette vitre reste du côté de l'air du séjour.
Les deux fenêtres sont pourtant dans la même pièce, avec le même air à 20,0 °C d'un côté et le même air à −3,0 °C de l'autre : ce qui les sépare, c'est la fenêtre elle-même. Le double vitrage garde sa face intérieure près de la température de la pièce, le simple vitrage laisse la sienne basculer du côté du froid.

c) On ressent le froid devant la fenêtre en simple vitrage, dont la vitre n'est qu'à 3,0 °C.
Deux modes de transfert agissent sans qu'on ait besoin de toucher la vitre. Par rayonnement d'abord : un corps échange de l'énergie avec les surfaces qui lui font face ; comme il est bien plus chaud que la vitre, il en émet plus qu'il n'en reçoit, et le transfert va donc du corps vers la vitre, jamais l'inverse. Par convection ensuite : l'air du séjour refroidi au contact de la vitre devient plus lourd, descend le long du vitrage et vient balayer les jambes.
Ces deux effets sont d'autant plus marqués que la vitre est froide : devant une surface à 3,0 °C, la sensation est bien plus désagréable que devant une surface à 13,2 °C. C'est aussi pour cela que l'on place les radiateurs sous les fenêtres.

d) La vitre est en contact d'un côté avec l'air du séjour, à 20,0 °C, et de l'autre avec l'air extérieur, à 6,0 °C. Elle reçoit de l'énergie du premier et en cède au second : sa température se place donc nécessairement entre 6,0 °C et 20,0 °C.
Or elle était à 3,0 °C la veille, et 6,0 °C est déjà plus élevé que 3,0 °C : la face intérieure de la vitre sera donc forcément plus chaude que la veille, sans qu'il soit besoin de la mesurer.
C'est cohérent avec le reste : l'écart entre les deux airs ne vaut plus que \(20{,}0 - 6{,}0 = \mathbf{14{,}0\ \text{°C}}\) (vérification : \(6{,}0 + 14{,}0 = 20{,}0\)) au lieu de 23,0 °C la veille. Le transfert vers l'extérieur est moins important et la sensation de paroi froide sera moins marquée.

Deux précautions de mesure. Ces deux relevés ne se comparent que parce qu'ils ont été pris au même moment, dans la même pièce et sur le même mur : un soir plus doux, ou une fenêtre exposée au vent, donnerait d'autres valeurs — la question d) vient de le montrer. Et un thermomètre de surface ne mesure jamais qu'une température : il dit où chaque vitre se place entre le dedans et le dehors, il ne dit pas combien d'énergie passe par chacune.

a) Air extérieur : la plus basse est −4,0 °C (dimanche), la plus haute 5,0 °C (jeudi).
Comble : la plus basse est 1,5 °C (dimanche), la plus haute 8,5 °C (jeudi). Les deux sondes atteignent leurs extrêmes les mêmes jours : le comble suit l'air extérieur.
Encadrement des sept relevés du comble : \(\mathbf{1{,}5 \leqslant \theta_{\text{comble}} \leqslant 8{,}5}\) (en °C).
Vérification jour par jour (extérieur < comble < séjour) : lundi −2,0 < 3,0 < 20 ; mardi 0,0 < 4,5 < 20 ; mercredi 3,0 < 7,0 < 20 ; jeudi 5,0 < 8,5 < 20 ; vendredi 2,0 < 6,0 < 20 ; samedi −1,0 < 4,0 < 20 ; dimanche −4,0 < 1,5 < 20. Les sept jours, le comble est bien entre les deux.

b) Dimanche : \(\theta_{\text{séjour}} - \theta_{\text{comble}} = 20 - 1{,}5 = \mathbf{18{,}5\ \text{°C}}\) et \(\theta_{\text{comble}} - \theta_{\text{extérieur}} = 1{,}5 - (-4{,}0) = 1{,}5 + 4{,}0 = \mathbf{5{,}5\ \text{°C}}\).
Jeudi : \(20 - 8{,}5 = \mathbf{11{,}5\ \text{°C}}\) et \(8{,}5 - 5{,}0 = \mathbf{3{,}5\ \text{°C}}\).
Les deux jours, l'écart avec l'air extérieur est le plus petit (5,5 °C contre 18,5 °C dimanche ; 3,5 °C contre 11,5 °C jeudi) : la température du comble est bien plus proche de celle de l'air extérieur que de celle du séjour.
Le résultat ne dépend pas du jour choisi : sur toute la semaine, le plus petit écart au séjour est celui de jeudi (11,5 °C) et le plus grand écart au dehors celui de dimanche (5,5 °C). Même en confrontant ces deux cas, les plus défavorables, on a encore 5,5 < 11,5 : le comble reste du côté de l'air extérieur.
Ce que cela apprend : le comble est un local froid, qu'il ne faut pas considérer comme chauffé — sa température suit celle du dehors à quelques degrés près, et non celle de la pièce située juste en dessous. On n'y entrepose donc rien qui craigne le froid.

c) Le transfert thermique va toujours du corps le plus chaud vers le corps le plus froid.
• Plafond du séjour (entre le séjour et le comble) : le séjour est à 20 °C, le comble entre 1,5 °C et 8,5 °C selon le jour — le séjour est donc le plus chaud tous les jours. L'énergie est transférée du séjour vers le comble.
• Toiture (entre le comble et l'air extérieur) : chaque jour, le comble est plus chaud que l'air extérieur (par exemple dimanche : 1,5 °C contre −4,0 °C). L'énergie est transférée du comble vers l'air extérieur.
On en déduit que l'énergie qui quitte le séjour par son plafond traverse le comble et finit dehors : le comble n'est pas une destination, c'est une étape. Comme le séjour perd ainsi de l'énergie en permanence, le chauffage doit lui en fournir tout autant — de l'énergie comptée en joules — pour maintenir les 20 °C affichés au thermostat.

d) Parce que le comble reçoit sans arrêt de l'énergie par son plancher, c'est-à-dire par le plafond du séjour, qui le sépare d'une pièce toujours bien plus chaude que lui : le dimanche encore, l'écart entre le séjour et le comble vaut 18,5 °C. Il perd certes de l'énergie par la toiture vers l'air extérieur, mais il est réalimenté par en dessous : sa température se stabilise donc à une valeur intermédiaire, où ce qu'il reçoit par le plafond compense ce qu'il perd par la toiture.
Le comble ne descendrait à la température de l'air extérieur que si cet apport s'arrêtait : maison inoccupée et chauffage coupé pendant une longue absence, par exemple. Tout le bâtiment évoluerait alors vers l'équilibre thermique avec le dehors, et les trois sondes finiraient par afficher la même température.

Un comble est volontairement ventilé — l'air y est renouvelé sous les tuiles pour évacuer l'humidité —, ce qui le maintient proche des conditions extérieures. C'est bien pour cela que, dans un comble perdu, l'isolant se pose au niveau du plancher du comble, autrement dit sur le plafond du séjour, et non sous les tuiles : on cherche à séparer la pièce chauffée d'un espace qui, lui, restera froid.

a) Classement de la plus basse à la plus haute : 14 °C (air du local) < 36 °C (bas de la cuve) < 54 °C (milieu) < 60 °C (haut de la cuve).
L'eau la plus chaude est en haut de la cuve, à 60 °C. L'eau chaude est moins dense (plus légère) que l'eau froide : elle monte et occupe le haut de la cuve, tandis que l'eau froide arrivée du réseau, plus dense, reste en bas — c'est de la convection naturelle, le même phénomène que l'air chaud qui monte au-dessus d'un radiateur. On dit que le ballon est stratifié : du bas vers le haut, la température de l'eau est croissante.

b) La cuve est assimilée à un cylindre : le volume d'eau qu'elle contient est proportionnel à la hauteur.
Coefficient de proportionnalité : \(200 \div 1{,}60 = \mathbf{125\ \text{L/m}}\) — un mètre de hauteur de cuve contient 125 L d'eau. Vérification : \(125 \times 1{,}60 = 200\ \text{L}\).
Hauteur de la partie haute (de la sonde du milieu jusqu'au sommet) : \(1{,}60 - 0{,}80 = 0{,}80\ \text{m}\).
Volume correspondant : \(125 \times 0{,}80 = \mathbf{100\ \text{L}}\). Vérification : \(100 \div 125 = 0{,}80\ \text{m}\).
Pourcentage du volume total : \(100 \div 200 = 0{,}50\), soit 50 %. Vérification : \(0{,}50 \times 200 = 100\ \text{L}\). Autre méthode : 0,80 m est la moitié de 1,60 m, donc la partie haute contient la moitié du volume, soit bien 100 L — et les 100 L restants sont en dessous (\(100 + 100 = 200\)).
Interprétation : la température de l'eau croît du bas vers le haut (question a), donc toute l'eau située au-dessus de 0,80 m est à 54 °C ou plus, et toute l'eau située en dessous est à 54 °C ou moins — jusqu'à 36 °C près du fond. Ce matin-là, le ballon « 200 L » ne met donc à disposition qu'environ 100 L d'eau vraiment chaude : les 100 L du bas ont été en partie remplacés par l'eau froide du réseau après les douches. L'étiquette « 200 L » donne le volume de la cuve, pas le volume d'eau à 60 °C.

c) Du bas (0,20 m) au haut (1,40 m), la sonde monte de \(1{,}40 - 0{,}20 = 1{,}20\ \text{m}\) et la température gagne \(60 - 36 = 24\ \text{°C}\). La sonde du milieu (0,80 m) est bien à égale distance des deux autres : \(0{,}80 - 0{,}20 = 0{,}60\ \text{m}\) et \(1{,}40 - 0{,}80 = 0{,}60\ \text{m}\).
Si la hausse était proportionnelle à la hauteur gagnée, à mi-distance on aurait gagné la moitié des 24 °C : \(24 \div 2 = 12\ \text{°C}\), donc la sonde du milieu indiquerait \(36 + 12 = \mathbf{48\ \text{°C}}\). Vérification : \(48 + 12 = 60\), on retombe bien sur la température du haut.
Or le relevé donne 54 °C, soit \(54 - 48 = \mathbf{6\ \text{°C}}\) de plus que prévu.
Hausse dans la moitié basse du relevé : \(54 - 36 = \mathbf{18\ \text{°C}}\). Hausse dans la moitié haute : \(60 - 54 = \mathbf{6\ \text{°C}}\). Contrôle : \(18 + 6 = 24\ \text{°C}\), on retrouve bien les 24 °C gagnés du bas au haut de la cuve.
L'hypothèse n'est pas vérifiée : une hausse régulière donnerait 12 °C dans chaque moitié, alors que la moitié basse gagne 18 °C et la moitié haute seulement 6 °C — soit 3 fois moins (\(18 = 3 \times 6\)). La température n'est donc pas une fonction affine de la hauteur. Physiquement, l'eau chaude ne forme pas un dégradé régulier : le haut de la cuve garde un bloc d'eau chaude assez homogène (de 54 °C à 60 °C), et c'est plus bas, entre la sonde du bas et celle du milieu, que la température chute vraiment — c'est là que se rencontrent l'eau chaude restante et l'eau plus froide venue du réseau.

d) Comparons chaque température de l'eau à celle de l'air du local : 36 °C, 54 °C et 60 °C sont toutes supérieures à 14 °C. L'eau est donc plus chaude que l'air en tout point de la cuve et le transfert thermique se fait de l'eau vers l'air du local technique, à travers la paroi et la jaquette : l'énergie va toujours du corps chaud vers le corps froid, jamais l'inverse. Cette énergie cédée par l'eau à l'air se compte en joules (J).
Pourquoi isoler toute la hauteur : il n'existe aucune zone de la cuve où l'eau serait déjà à la température du local — même au point le plus froid du relevé, en bas, l'eau est à 36 °C face à un air à 14 °C. L'eau cède donc de l'énergie à l'air sur toute la hauteur, et pas seulement là où elle est à 60 °C. Une jaquette limitée à la partie haute laisserait le bas de la cuve à nu, alors que le transfert s'y fait aussi. La jaquette ne supprime pas ce transfert : elle le freine.
Piquage d'eau chaude : il se trouve en haut de la cuve, là où l'eau est la plus chaude (60 °C). S'il était en bas, on soutirerait de l'eau à 36 °C, bien trop froide pour une douche. C'est aussi pour cela que l'arrivée d'eau froide est placée en bas : elle y reste, sous la couche chaude, sans la brasser.
Et si le ballon restait longtemps sans chauffer et sans soutirage ? Les trois températures de l'eau se rapprocheraient les unes des autres, puis toute la cuve tendrait vers 14 °C, la température de l'air du local : c'est l'équilibre thermique. L'eau ne peut pas devenir plus froide que l'air qui l'entoure.

Retenir : dans un ballon d'eau chaude, l'eau chaude occupe le haut et l'eau froide le bas — c'est la stratification. On soutire donc l'eau chaude en haut, on introduit l'eau froide en bas, et on isole toute la cuve, qui est plus chaude que l'air du local sur toute sa hauteur.

a) On additionne les trois sous-compteurs : \(24\,000 + 4\,000 + 12\,000 = \mathbf{40\,000\ \text{kWh}}\) sur l'année.
Vérification en sens inverse : \(40\,000 - 12\,000 - 4\,000 = 24\,000\), on retrouve bien le poste chauffage.

b) Chaque part s'obtient en divisant la consommation du poste par la consommation totale :
Chauffage : \(24\,000 \div 40\,000 = 0{,}6\), soit 60 %. Vérification : \(40\,000 \times 0{,}6 = 24\,000\).
Eau chaude sanitaire : \(4\,000 \div 40\,000 = 0{,}1\), soit 10 %. Vérification : \(40\,000 \times 0{,}1 = 4\,000\).
Éclairage, bureautique et prises : \(12\,000 \div 40\,000 = 0{,}3\), soit 30 %. Vérification : \(40\,000 \times 0{,}3 = 12\,000\).
Contrôle de cohérence : les trois postes se partagent la totalité de la consommation, donc leurs trois parts doivent redonner 100 % : \(60 + 10 + 30 = 100\). C'est bien le cas.

c) Chaque kilowattheure vaut 3,6 MJ, donc : \(24\,000 \times 3{,}6 = \mathbf{86\,400\ \text{MJ}}\).
Vérification : \(86\,400 \div 3{,}6 = 24\,000\).
Comme 1 MJ = 1 000 kJ = 1 000 000 J : \(86\,400 \times 1\,000\,000 = \mathbf{86\,400\,000\,000\ \text{J}}\).
Vérification : \(86\,400\,000\,000 \div 1\,000\,000 = 86\,400\).
Ce nombre de onze chiffres est peu commode à lire. On préfère l'écrire avec un multiple du joule adapté : 86 400 MJ (mégajoules), ou mieux 86,4 GJ (gigajoules), puisque 1 GJ = 1 000 MJ et que \(86\,400 \div 1\,000 = 86{,}4\). C'est la même énergie, écrite plus simplement.
Contrôle de toute la chaîne : 86,4 GJ, c'est 86 400 MJ, et \(86\,400 \div 3{,}6 = 24\,000\) kWh — on retombe sur la donnée de départ.

d) Pendant la saison froide, l'intérieur du bâtiment est à 19 °C alors que l'air extérieur est plus froid. Le transfert thermique se fait donc spontanément de l'intérieur vers l'extérieur, à travers les murs, la toiture et les fenêtres — toujours du corps chaud vers le corps froid, jamais l'inverse. Le bâtiment perd ainsi de l'énergie en permanence.
Or la diminution de température d'un corps correspond à une perte d'énergie : si rien ne remplaçait l'énergie qui s'échappe, la température des salles baisserait et se rapprocherait peu à peu de celle de l'air extérieur. Maintenir 19 °C exige donc un apport d'énergie, et cet apport doit être renouvelé sans arrêt. C'est exactement le rôle du chauffage : il ne fabrique pas de la température, il remplace au fur et à mesure l'énergie qui part vers l'extérieur.
Le chauffage est donc sollicité jour après jour pendant toute la saison froide : il n'est pas étonnant qu'il pèse 60 % du bilan, soit plus que les deux autres postes réunis.

Retenir : une consommation relevée sur un compteur est une énergie — le kilowattheure et le joule mesurent la même grandeur, seule l'écriture change. Et tant qu'il fait plus froid dehors que dedans, le bâtiment perd de l'énergie : le chauffage ne fait que remplacer ce qui s'en va.

a) Passer d'une température à une hauteur sur le dessin, c'est appliquer un coefficient de proportionnalité : on divise par 2,5, ce qui revient à multiplier par 0,4 cm par °C, puisque \(1 \div 2{,}5 = 0{,}4\) (vérification : \(0{,}4 \times 2{,}5 = 1\)).
Montant en bois : \(15{,}5 \div 2{,}5 = \mathbf{6{,}2\ \text{cm}}\) (vérification : \(6{,}2 \times 2{,}5 = 15{,}5\)).
Jonction dormant / maçonnerie : \(11{,}0 \div 2{,}5 = \mathbf{4{,}4\ \text{cm}}\) (vérification : \(4{,}4 \times 2{,}5 = 11{,}0\)).
Vitrage : \(16{,}5 \div 2{,}5 = \mathbf{6{,}6\ \text{cm}}\) (vérification : \(6{,}6 \times 2{,}5 = 16{,}5\)).
Mur courant : \(17{,}5 \div 2{,}5 = \mathbf{7{,}0\ \text{cm}}\) (vérification : \(7{,}0 \times 2{,}5 = 17{,}5\)).
Le relevé qui se place le plus bas est celui de la jonction entre le dormant et la maçonnerie (4,4 cm, soit 11,0 °C) : c'est le point le plus froid. Celui qui se place le plus haut est celui du mur courant (7,0 cm, soit 17,5 °C) : c'est le point le plus chaud. Comme le coefficient est le même pour tous, l'ordre des hauteurs (4,4 ; 6,2 ; 6,6 ; 7,0) est exactement l'ordre des températures (11,0 ; 15,5 ; 16,5 ; 17,5).
Ce dessin ne fait que classer les relevés : une hauteur y reporte une lecture de thermomètre à l'échelle choisie, elle ne mesure aucune quantité d'énergie. Et comparer entre elles deux surfaces qui ne se touchent pas ne décrit aucun transfert. Ce que l'on compare ensuite, question b), c'est chaque surface avec l'air de la pièce, qui, lui, est bien en contact avec toutes.

b) Température de surface la plus basse autorisée : \(19{,}0 - 5{,}0 = \mathbf{14{,}0\ \text{°C}}\) (vérification : \(14{,}0 + 5{,}0 = 19{,}0\)).
On compare ensuite chaque relevé à cette limite :
Mur courant : \(17{,}5 > 14{,}0\) → conforme
Vitrage : \(16{,}5 > 14{,}0\) → conforme
Montant en bois : \(15{,}5 > 14{,}0\) → conforme
Jonction dormant / maçonnerie : \(11{,}0 < 14{,}0\) → non conforme
Un seul point est donc en défaut : la jonction entre le dormant et la maçonnerie.

c) La surface s'est réchauffée de \(15{,}5 - 11{,}0 = \mathbf{4{,}5\ \text{°C}}\) (vérification : \(11{,}0 + 4{,}5 = 15{,}5\)).
Elle est maintenant au-dessus de la limite de \(15{,}5 - 14{,}0 = \mathbf{1{,}5\ \text{°C}}\) (vérification : \(14{,}0 + 1{,}5 = 15{,}5\)) : le point est conforme, et il est même revenu exactement à la température du montant en bois.
Ce que le premier relevé indiquait au poseur : la fenêtre elle-même n'était pas en cause — son vitrage (16,5 °C) et son montant (15,5 °C) étaient dans les clous. C'est la jonction avec la maçonnerie qui n'était pas correctement calfeutrée : à cet endroit, l'énergie traversait la paroi bien plus facilement qu'à travers le montant ou le vitrage, et la surface y restait beaucoup plus froide. C'est un défaut de pose — justement la partie du travail que le menuisier maîtrise — et c'est ce que la reprise du calfeutrement vient de corriger.
Attention à la lecture : un point froid signale un point faible local. Le thermomètre localise un défaut, il ne dit pas par où la maison perd le plus d'énergie et n'en chiffre aucune.

d) L'apprenti se trompe de sens. Le froid n'est pas quelque chose qui se déplace : ce qui se transfère, c'est de l'énergie, et elle va toujours du corps le plus chaud vers le corps le plus froid.
Ici, l'air de la pièce (19,0 °C) est plus chaud que toutes les surfaces qu'il touche : il leur cède de l'énergie. De l'autre côté, la face extérieure de la fenêtre est en contact avec l'air extérieur, à 2,0 °C, plus froid encore : elle lui cède de l'énergie à son tour. L'énergie traverse donc la fenêtre de l'intérieur vers l'extérieur, et non l'inverse ; avant la reprise, elle la traversait plus facilement encore au droit de la jonction mal calfeutrée.
Ce transfert ne s'arrête pas tant qu'il reste une différence de température entre les deux côtés : il ne cesserait qu'à l'équilibre thermique, c'est-à-dire si la pièce redescendait à 2,0 °C. C'est le chauffage qui remplace en permanence l'énergie qui s'en va, énergie qui se compte en joules (J).

Un thermomètre de surface ne juge pas la fenêtre, il juge la pose : ici le vitrage et le montant étaient conformes, et c'est la jonction avec la maçonnerie qui trahissait le défaut.

a) L'air est à 8 °C.
Coureur resté en maillot mouillé : au premier relevé \(34{,}0 - 8 = \mathbf{26{,}0\ \text{°C}}\) ; au dernier \(26{,}5 - 8 = \mathbf{18{,}5\ \text{°C}}\).
Coureur qui s'est changé : au premier relevé \(34{,}0 - 8 = \mathbf{26{,}0\ \text{°C}}\) ; au dernier \(31{,}5 - 8 = \mathbf{23{,}5\ \text{°C}}\).
Les deux partent donc du même écart. Au bout de 15 minutes, c'est le coureur resté en maillot mouillé qui s'est le plus rapproché de la température de l'air, puisque son écart est le plus petit : 18,5 °C contre 23,5 °C. Se rapprocher de l'air n'a ici rien d'enviable : cela signifie que sa peau s'est bien plus refroidie.

b) Coureur en maillot mouillé : \(26{,}0 - 18{,}5 = \mathbf{7{,}5\ \text{°C}}\) d'écart en moins.
Coureur qui s'est changé : \(26{,}0 - 23{,}5 = \mathbf{2{,}5\ \text{°C}}\) d'écart en moins.
Division : \(\dfrac{7{,}5}{2{,}5} = \mathbf{3}\) — chez le coureur qui s'est changé, l'écart avec l'air a diminué 3 fois moins en 15 minutes. Vérification par la multiplication : \(2{,}5 \times 3 = 7{,}5\), on retrouve bien la diminution de l'autre coureur.
Deux remarques. D'abord, il a fallu 15 minutes au coureur changé pour descendre à 31,5 °C, température que l'autre avait déjà atteinte au bout de 3 minutes : se changer lui a fait gagner \(15 - 3 = 12\) minutes. Ensuite, d'un relevé au suivant, les baisses ne sont pas constantes : 2,5 puis 1,8 ; 1,4 ; 1,0 et 0,8 °C pour le maillot mouillé (total 7,5 °C), et 0,9 ; 0,6 ; 0,5 ; 0,3 et 0,2 °C pour les vêtements secs (total 2,5 °C). Elles diminuent : le refroidissement ralentit, et la température n'est donc pas une fonction affine du temps.

c) La peau (34,0 °C au départ, et encore 26,5 °C à la fin pour le moins bien protégé) reste à chaque instant plus chaude que l'air à 8 °C. Or un transfert thermique se fait toujours du corps le plus chaud vers le corps le plus froid : il a donc lieu de la peau vers l'air, jamais l'inverse. La peau cède de l'énergie — elle se compte en joules (J) — et sa température diminue.
Un vêtement sec doit une grande part de son pouvoir isolant à l'air immobile emprisonné entre ses fibres, qui conduit très mal la chaleur. Dans un maillot trempé, cet air est remplacé par de l'eau, qui conduit la chaleur bien mieux que l'air : le transfert de la peau vers l'extérieur se fait beaucoup plus facilement, et la température de la peau chute nettement plus vite. En se changeant, le second coureur rétablit au contraire une couche d'air immobile contre sa peau ; cette couche gêne aussi le renouvellement de l'air réchauffé au contact du corps (convection). Les vêtements secs ne suppriment pas le transfert, ils le freinent — d'où un écart avec l'air qui diminue trois fois moins en 15 minutes.

d) Le thermomètre posé sur le banc est un objet inerte : tant qu'il est plus chaud que l'air, il lui cède de l'énergie et sa température baisse. Le transfert ne s'arrête que lorsque les deux températures sont égales : c'est l'équilibre thermique, atteint ici à 8 °C.
Un coureur, lui, n'est pas un objet inerte : son organisme fournit de l'énergie en permanence, de l'intérieur du corps — plus chaud — vers la peau, plus froide. La peau en cède vers l'air, mais elle en reçoit aussi de l'intérieur : elle se stabilise donc à une valeur intermédiaire, très au-dessus de 8 °C. Elle ne continuerait à descendre vers la température de l'air que si cet apport ne suffisait plus à compenser la perte — c'est précisément la situation dangereuse qu'il faut éviter.

Se couvrir ne réchauffe pas : cela ralentit la perte, le temps que l'organisme la compense. Un maillot trempé, lui, travaille contre le coureur — d'où la règle des entraîneurs : se changer d'abord, se couvrir ensuite.

a) À chaque relevé, l'air du véhicule (20,0 °C) est plus chaud que l'intérieur du conteneur (3,0 °C au départ, 9,6 °C à l'arrivée). Le transfert thermique se fait donc de l'air du véhicule vers l'intérieur du conteneur, à travers la double paroi qui les sépare : le transfert spontané va toujours du corps le plus chaud vers le plus froid. L'intérieur du conteneur reçoit de l'énergie sous forme thermique (une énergie qui se compte en joules) : sa température augmente. C'est bien ce que montre le tableau, où \(\theta\) est croissante du premier au dernier relevé.

b) Hausse totale : \(9{,}6 - 3{,}0 = \mathbf{6{,}6\ \text{°C}}\).
À 10 h 30, l'enregistreur indique 7,6 °C : on est encore dans la plage. À 11 h, il indique 8,3 °C : la limite haute est dépassée. Le premier enregistrement hors plage est donc celui de 11 h (le seuil de 8 °C a été franchi entre 10 h 30 et 11 h).
De 11 h à 12 h, il s'écoule deux intervalles de 30 minutes, soit 1 h : d'après les relevés, les vaccins passent au moins une heure hors plage — un peu plus en réalité, puisque le seuil a été franchi avant 11 h. À l'arrivée, le dépassement atteint \(9{,}6 - 8{,}0 = \mathbf{1{,}6\ \text{°C}}\) : le lot doit être signalé au pharmacien, pas rangé sans contrôle.

c) Le rythme de la portion régulière. De 8 h à 9 h, la hausse est la même à chaque demi-heure : \(4{,}0 - 3{,}0 = 1{,}0\ \text{°C}\), puis \(5{,}0 - 4{,}0 = 1{,}0\ \text{°C}\). Sur cette portion seulement, la température est donc une fonction affine du temps. Une heure, c'est deux demi-heures : \(1{,}0 \times 2 = \mathbf{2{,}0\ \text{°C}}\) par heure (proportionnalité : 1,0 °C pour 0,5 h, donc 2,0 °C pour 1 h).
La prévision. À 9 h, le relevé vaut 5,0 °C : il manque \(8{,}0 - 5{,}0 = 3{,}0\ \text{°C}\) pour atteindre le seuil. Au rythme de 2,0 °C par heure, il faut \(3{,}0 \div 2{,}0 = \mathbf{1{,}5\ \text{h}}\), soit 1 h 30. Le modèle annonce donc le franchissement des 8 °C à 9 h + 1 h 30, soit à 10 h 30 (vérification : \(5{,}0 + 2{,}0 \times 1{,}5 = 8{,}0\ \text{°C}\)).
La comparaison. Or à 10 h 30, l'enregistreur indique 7,6 °C : on est encore dans la plage. Le seuil n'est franchi qu'entre 10 h 30 et 11 h (7,6 °C puis 8,3 °C). La prévision annonce donc la sortie de plage jusqu'à une demi-heure trop tôt, et elle se dégrade encore ensuite : de 9 h à 12 h il s'écoule 3 h, et le modèle donnerait \(5{,}0 + 2{,}0 \times 3 = 11{,}0\ \text{°C}\), alors que la mesure est de 9,6 °C, soit \(11{,}0 - 9{,}6 = 1{,}4\ \text{°C}\) de trop.
Pourquoi ? Parce que c'est une prévision de modèle, pas une mesure : elle ne vaut que sur un court intervalle prolongeant la portion régulière. La température reste croissante pendant tout le trajet, mais elle monte de moins en moins vite : d'un relevé au suivant, la hausse passe de 1,0 °C à 0,6 °C (1,0 ; 1,0 ; 0,9 ; 0,9 ; 0,8 ; 0,7 ; 0,7 ; 0,6 °C). L'intérieur du conteneur se rapproche en effet de l'air du véhicule qui le réchauffe, et plus deux corps en contact ont des températures proches, plus le transfert thermique entre eux est lent. Pour le pharmacien, l'erreur va tout de même dans le bon sens : le modèle annonce l'alerte avant qu'elle ne survienne.

d) En prolongeant très longtemps le trajet, l'intérieur du conteneur se stabiliserait à 20,0 °C, la température de l'air du véhicule : c'est l'équilibre thermique, atteint quand les deux températures sont égales et que le transfert s'arrête. La température ne peut pas dépasser 20,0 °C : l'énergie ne remonte jamais du plus froid vers le plus chaud.
La double paroi ne supprime pas le transfert, elle le freine : tant qu'il reste un écart de température, l'air du véhicule continue de céder de l'énergie au contenu du conteneur. Isoler, c'est donc gagner du temps, pas empêcher le réchauffement : ici, près de trois heures avant la sortie de plage. Pour un trajet plus long, il faut un véhicule réellement réfrigéré, et l'enregistreur doit être lu à la livraison.

Un conteneur isotherme n'est pas une source de froid : il retarde l'arrivée à l'équilibre thermique avec l'air qui l'entoure. C'est pourquoi la chaîne du froid se surveille avec une sonde et une durée, jamais avec la seule confiance dans l'emballage.