Température et capteurs thermiques

a) R → ∞ signifie que le régulateur lit une résistance très grande. D'après la courbe CTN, une grande R correspond à une température très basse. Cela simule une étuve toujours froide.

b) CTN débranchée → circuit ouvert → R → ∞ (infini). Le régulateur croit que l'étuve est froide → il maintient le chauffage allumé en permanence → surchauffe possible.

c) Court-circuit (R = 0 Ω) → régulateur lit R très faible → T simulée très élevée. Il coupe le chauffage en permanence, l'étuve ne chauffe plus du tout.

d) Chauffage toujours ON → T simulée froide → R très grande → circuit ouvert probable (CTN débranchée ou fil coupé). À confirmer par mesure à l'ohmmètre sur la sonde.

a) R_mesurée = 15 kΩ > R_consigne = 6 kΩ. D'après la CTN, R élevée → T basse. Le régulateur croit qu'il fait froid dans le local → il maintient le chauffage ON.

b) R = 15 kΩ est supérieure à 14 kΩ (T = 10 °C) → T_réelle < 10 °C selon le capteur. Mais la valeur mesurée ne correspond pas à la réalité (le capteur est dérivé). La température indiquée est fausse.

c) Le capteur CTN a vieilli et dérivé : il indique une résistance correspondant à une température plus froide que la réalité. Le régulateur croit que le local est froid et maintient le chauffage → il fait trop chaud → plainte du gérant.

d) Solution : remplacer le capteur CTN du thermostat. C'est une pièce d'usure peu coûteuse. Après remplacement, vérifier la cohérence entre T affichée et T réelle mesurée avec un thermomètre étalonné.

e) Procédure de vérification :
1. Mesurer T_réelle avec un thermomètre étalonné certifié.
2. Mesurer R_nouveau capteur à l'ohmmètre et vérifier qu'elle correspond à T_réelle dans le tableau constructeur.
3. Comparer T_affichée par le régulateur à T_réelle : l'écart doit être inférieur à ±1 °C. Régler si nécessaire.

a) Entre 60 °C (3,7 kΩ) et 80 °C (2,1 kΩ) : variation de 1,6 kΩ en 20 °C → 0,08 kΩ/°C. Pour ±1 °C : \( \Delta R_{\text{CTN}} \approx 2 \times 0{,}08 = \mathbf{0{,}16\,\text{kΩ}} \)

b) Variation Pt100 sur 20 °C : 7,7 Ω → pour 2 °C : \( \Delta R_{\text{Pt100}} = \dfrac{7{,}7}{20} \times 2 = \mathbf{0{,}77\,\text{Ω}} \)

c) CTN : 160 Ω pour ±1 °C  |  Pt100 : 0,77 Ω pour ±1 °C. La CTN est plus sensible (variation ~200 fois plus grande). En revanche, cette forte sensibilité rend la courbe non linéaire, donc plus difficile à exploiter précisément.

d) Pour une régulation de précision à ±1 °C : Pt100.
Argument 1 : relation quasi linéaire → lecture directe et fiable, pas d'ambiguïté sur la valeur de T.
Argument 2 : stabilité dans le temps (le platine ne vieillit pas) → pas de dérive du capteur sur la durée.

e) \( R(80) = 100 \times (1 + 0{,}00385 \times 80) = 100 \times 1{,}308 = \mathbf{130{,}8\,\text{Ω}} \). Valeur identique au tableau ✓.

a) \( V_{\text{CTN}} = 5 \times \dfrac{12}{10 + 12} = 5 \times \dfrac{12}{22} = \mathbf{2{,}73 \text{ V}} \)

b) \( V_{\text{CTN}} = 5 \times \dfrac{2{,}2}{10 + 2{,}2} = 5 \times \dfrac{2{,}2}{12{,}2} = \mathbf{0{,}90 \text{ V}} \)

c) Quand T augmente, \( R_{\text{CTN}} \) diminue (CTN), donc la fraction \( \dfrac{R_{\text{CTN}}}{R_f + R_{\text{CTN}}} \) diminue, et \( V_{\text{CTN}} \) diminue.

d) À 40 °C : \( V = 5 \times \dfrac{5}{15} = 1{,}67 \text{ V} \). À 20 °C : V = 2,73 V. V = 1,8 V est entre 1,67 V (40 °C) et 2,73 V (20 °C), plus proche de 40 °C. Par interpolation : \( T \approx 40 - 20 \times \dfrac{1{,}8 - 1{,}67}{2{,}73 - 1{,}67} = 40 - 20 \times 0{,}12 \approx \mathbf{38 \text{ °C}} \)

a) −5 °C → \( -5 + 273 = \mathbf{268\,\text{K}} \) ; 15 °C → \( 15 + 273 = \mathbf{288\,\text{K}} \)

b) ΔT pour −5 °C : \( 19 - (-5) = 24 \text{ °C} = 24 \text{ K} \). Pour 15 °C : \( 19 - 15 = 4 \text{ °C} = 4 \text{ K} \). Oui, l'écart est le même en °C et en K.

c) ΔT : 24, 19, 14, 9, 4 °C → Puissance : 12, 9.5, 7, 4.5, 2 kW. La relation est approximativement linéaire : la puissance augmente d'environ 0,5 kW par degré d'écart supplémentaire.

d) À −10 °C : ΔT = 29 °C. Par extrapolation linéaire : \( P \approx 12 + 0{,}5 \times 5 = \mathbf{14{,}5\,\text{kW}} \)

e) À 0 °C : P = 9,5 kW. Coût = \( 9{,}5 \times 24 \times 0{,}20 = \mathbf{45{,}60\,\text{€}} \) par jour.

a) Protocole :
1. Plonger la CTN et le thermomètre de référence dans le bain thermostaté.
2. Régler le bain à une température donnée (ex. 20 °C) et attendre la stabilisation.
3. Relever la température exacte sur le thermomètre de référence.
4. Mesurer la résistance de la CTN avec l'ohmmètre.
5. Répéter pour chaque point de mesure (30, 40, 50, 60, 70, 80 °C).

b) Interpolation entre 20 °C (12,5 kΩ) et 30 °C (8,3 kΩ) à mi-chemin (25 °C) : \( R(25) \approx \dfrac{12{,}5 + 8{,}3}{2} = \mathbf{10{,}4\,\text{kΩ}} \). Tolérance : 10 ± 5 % = [9,5 ; 10,5] kΩ. R = 10,4 kΩ est dans l'intervalle → la CTN est conforme.

c) \( S_{40-60} = \dfrac{2{,}9 - 5{,}7}{60 - 40} = \dfrac{-2{,}8}{20} = \mathbf{-0{,}14\,\text{kΩ/°C}} \)

d) \( S_{60-80} = \dfrac{1{,}6 - 2{,}9}{80 - 60} = \dfrac{-1{,}3}{20} = \mathbf{-0{,}065\,\text{kΩ/°C}} \). La sensibilité diminue (en valeur absolue) quand T augmente. C'est dû à la décroissance exponentielle : la CTN est plus sensible à basse température qu'à haute température.

a) L'hystérésis est un écart intentionnel entre le seuil d'allumage et le seuil d'extinction. Elle évite que le chauffage s'allume et s'éteigne sans cesse (phénomène de « pompage ») quand la température oscille autour de la consigne.

b) CTN : R diminue quand T augmente. T < 78 °C → R > 1,8 kΩ : chauffage ON si R > 1,8 kΩ. T > 82 °C → R < 1,5 kΩ : chauffage OFF si R < 1,5 kΩ.

c) La courbe T(t) montre : 1) Phase de montée rapide (20 → 78 °C), chauffage en continu. 2) Oscillations entre 78 et 82 °C (le chauffage s'allume et s'éteint alternativement). 3) Régime permanent : T oscille dans la bande ±2 °C autour de 80 °C.

d) R → ∞ → le régulateur interprète T très froide → chauffage bloqué ON. Risque : surchauffe incontrôlée de l'étuve, dégradation des fibres du bois, voire risque d'incendie.

e) Solutions possibles : installer un thermostat de sécurité mécanique indépendant qui coupe le chauffage au-delà de 100 °C, ou utiliser une CTP de sécurité en plus de la CTN de régulation, ou encore un deuxième capteur redondant avec alarme en cas de divergence entre les deux mesures.

a) Résolution = \( \dfrac{5\,000\,\text{mV}}{1\,023} \approx \mathbf{4{,}89\,\text{mV}} \)

b) Le LM35 donne 10 mV/°C. Résolution en T = \( \dfrac{4{,}89}{10} \approx \mathbf{0{,}49\,\text{°C}} \). Le système détecte des variations d'environ 0,5 °C.

c) \( V = \dfrac{205}{1\,023} \times 5 = \mathbf{1{,}002\,\text{V}} \). Température : \( \theta = \dfrac{1\,002\,\text{mV}}{10} = \mathbf{100{,}2\,\text{°C}} \).

d) À 5 °C : V = 50 mV. À 40 °C : V = 400 mV. Fraction utilisée : \( \dfrac{400 - 50}{5\,000} = \dfrac{350}{5\,000} = \mathbf{7\,\%} \) de la plage. On n'utilise que 7 % de la résolution de l'Arduino.

e) Utiliser un amplificateur opérationnel pour amplifier le signal du LM35 et l'adapter à la plage 0–5 V. Par exemple, un gain de 10 donnerait 500 mV à 5 °C et 4 000 mV à 40 °C, utilisant ainsi 70 % de la plage et améliorant la résolution d'un facteur 10 (soit ≈ 0,05 °C).

1. 7 °C → 280 K. 2 °C → 275 K. −18 °C → 255 K. −22 °C → 251 K.

2. \( \Delta T = 280 - 255 = 25\,\text{K} \) (même valeur qu'en °C : \( 7 - (-18) = 25 \)).

3. \( \theta = 258 - 273 = -15\,\text{°C} \). La norme impose −18 °C maximum. −15 °C > −18 °C : la norme n'est PAS respectée. Le camion doit être abaissé en température ou les produits doivent être vérifiés.

4. Après 6 périodes : \( N = 100 \times 2^6 = 100 \times 64 = 6\,400 \) bactéries. En seulement 2 heures, la contamination est multipliée par 64, ce qui illustre l'importance de la chaîne du froid.

1. Écart total : \( 80 - 20 = 60\ \text{°C} \). 90 % de 60 °C valent \( 0{,}90 \times 60 = 54\ \text{°C} \). La sonde doit donc afficher \( 20 + 54 = \mathbf{74\ \text{°C}} \).

2. Sonde A : 74 °C est entre 62 °C (à 2 s) et 75 °C (à 5 s).
\( t \approx 2 + (5-2) \times \dfrac{74 - 62}{75 - 62} \)
\( t \approx 2 + 3 \times \dfrac{12}{13} \approx \mathbf{4{,}8\ \text{s}} \)
Sonde B : 74 °C est entre 71 °C (à 30 s) et 79 °C (à 60 s).
\( t \approx 30 + (60-30) \times \dfrac{74 - 71}{79 - 71} \)
\( t \approx 30 + 30 \times \dfrac{3}{8} = \mathbf{41\ \text{s}} \) (soit 41,25 s).

3. La sonde A. Son temps de réponse (≈ 5 s) est bien inférieur aux 15 s de la montée en température : l'alarme part avant que le palier n'atteigne 130 °C. La sonde B (≈ 41 s) réagirait bien trop tard — la casse serait déjà faite.

4. Deux raisons parmi : le doigt de gant protège la sonde des chocs, de l'abrasion, de la pression et des produits corrosifs ; il permet de remplacer la sonde sans vidanger ni ouvrir le circuit ; il évite une fuite si la sonde est percée. C'est la limite classique : on gagne en robustesse et en maintenabilité, on perd en rapidité.

5. Non. Ces mesures renseignent sur la rapidité, pas sur la justesse. D'ailleurs les deux sondes finissent par indiquer la même chose (80 °C et 79 °C) : rien ne dit que A donne une valeur plus proche de la vraie température. Pour comparer les précisions, il faudrait un étalonnage face à un thermomètre de référence, à température stabilisée.

1. \( 45{,}0 - 38{,}4 = \mathbf{6{,}6\ \text{°C}} \), soit 6,6 K (un écart est identique dans les deux échelles).

2. (i) plein soleil → méthode (mauvais placement du capteur) et conditions d'environnement ; (ii) mur et dalle qui rayonnent → conditions d'environnement ; (iii) absence de ventilation → méthode (protocole non respecté). L'appareil, lui, n'est pas en cause : c'est la façon de s'en servir qui l'est.

3. Un capteur de température n'indique jamais que sa propre température. Au soleil, il reçoit en plus le rayonnement direct, le rayonnement réfléchi par le mur clair et la chaleur renvoyée par la dalle : il s'échauffe au-dessus de l'air qui l'entoure et affiche donc une valeur trop élevée. C'est exactement le rôle de l'abri ventilé : mettre le capteur à l'ombre tout en laissant l'air circuler, pour qu'il prenne la température de l'air et rien d'autre.

4. \( 39{,}1 - 38{,}4 = \mathbf{0{,}7\ \text{°C}} \). Cet écart est acceptable : il est du même ordre que la précision d'un thermomètre courant. Explications possibles : la station est à 2 km, dans un environnement différent (herbe, dégagement) ; l'abri de jardin n'est pas normalisé ; les deux mesures n'ont pas été faites exactement au même instant ; précision propre de chaque appareil.

5. Protocole : ① placer le capteur à l'ombre, sous un abri ventilé et de couleur claire ; ② le placer à 1,50 m du sol, au-dessus d'une surface naturelle (herbe), loin des murs, du bitume et des bouches de climatisation ; ③ attendre la stabilisation de la valeur avant de lire (temps de réponse de l'appareil) ; ④ noter la valeur avec un nombre de chiffres cohérent avec la précision de l'appareil, ainsi que l'heure et les conditions.

6. Non, la conclusion n'est pas démontrée. La mesure à 45,0 °C était fausse ; une fois la mesure correctement faite (39,1 °C), l'écart avec la station tombe à 0,7 °C, ce qui ne prouve rien à lui seul. Pour mettre en évidence un îlot de chaleur urbain, il faudrait comparer des mesures faites dans les mêmes conditions (mêmes abris, même hauteur, mêmes instants), répétées sur plusieurs jours et plusieurs points, ville et campagne — le phénomène est d'ailleurs surtout marqué la nuit.

1. La mesure aberrante est celle du profilé d'aluminium poli : \( 118 - 41 = \mathbf{77\ \text{°C}} \) d'écart avec la sonde de contact. Sur la plaque peinte, l'écart n'est que de \( 118 - 116 = 2\ \text{°C} \).

2. Le thermomètre infrarouge mesure le rayonnement émis par la surface. L'émissivité \(\varepsilon\) dit quelle part de rayonnement une surface émet réellement. L'aluminium poli a \( \varepsilon = 0{,}05 \) : il n'émet presque rien et se comporte comme un miroir, il renvoie surtout le rayonnement de l'atelier. L'appareil, réglé sur 0,95, croit recevoir peu de rayonnement d'une surface très émissive, et en déduit une température beaucoup trop basse. La peinture noire mate, elle, a exactement \( \varepsilon = 0{,}95 \) : le réglage est bon, la mesure est juste à 2 °C près.

3. Il fallait saisir \( \varepsilon = \mathbf{0{,}05} \), valeur de l'aluminium poli d'après la notice.

4. Oui, c'est même la méthode standard en atelier. La pastille (ou un ruban adhésif mat) prend la température de la pièce et présente une surface d'émissivité connue, \( \varepsilon = 0{,}95 \) d'après la notice : on retrouve les conditions de la plaque peinte. C'est plus fiable que de régler \( \varepsilon = 0{,}05 \), car aux très faibles émissivités la moindre erreur de réglage se traduit par une grosse erreur de température.

5. Deux situations parmi : mesurer un gaz ou un liquide transparent (l'infrarouge ne mesure que des surfaces) ; viser à travers une vitre (le verre bloque l'infrarouge, on mesure la vitre) ; atmosphère chargée de vapeur, fumée ou poussière ; surface trop petite ou trop lointaine pour le spot de mesure ; mesurer une température à cœur (seule la surface est vue).

6. Le profilé est en réalité à 118 °C : l'opérateur se brûle gravement. À retenir : une mesure sans contact ne se valide pas toute seule. Devant une valeur surprenante, on la confronte à une autre méthode (sonde de contact), on vérifie les réglages de l'appareil, et tant que le doute existe on applique la consigne de sécurité, pas la valeur affichée.

1. Il y a deux conducteurs de 45 m, soit 90 m de fil :
\( R_{\text{fils}} = 2 \times 45 \times 0{,}026 = \mathbf{2{,}34\ \Omega} \).

2. \( \theta_{\text{affichée}} = \dfrac{126{,}9 - 100}{0{,}385} = \dfrac{26{,}9}{0{,}385} \)
soit \( \theta_{\text{affichée}} = \mathbf{69{,}9\ \text{°C}} \) (69,87 °C).

3. \( R_{\text{sonde}} = 126{,}9 - 2{,}34 = \mathbf{124{,}56\ \Omega} \), d'où
\( \theta_{\text{réelle}} = \dfrac{124{,}56 - 100}{0{,}385} = \dfrac{24{,}56}{0{,}385} \)
soit \( \theta_{\text{réelle}} = \mathbf{63{,}8\ \text{°C}} \) (63,79 °C).

4. Erreur : \( 69{,}87 - 63{,}79 = \mathbf{+6{,}1\ \text{°C}} \) (le régulateur surestime).
Démonstration : le régulateur lit \( R_{\text{lue}} = (100 + 0{,}385\,\theta) + R_{\text{fils}} \), donc
\( \theta_{\text{affichée}} = \dfrac{R_{\text{lue}} - 100}{0{,}385} = \theta + \dfrac{R_{\text{fils}}}{0{,}385} \).
L'erreur vaut donc \( \dfrac{2{,}34}{0{,}385} = \mathbf{6{,}1\ \text{°C}} \) : elle ne dépend que de la résistance des fils, jamais de la température de l'eau. C'est une erreur systématique, toujours dans le même sens.

5. Le régulateur croit lire 69,9 °C alors que l'eau n'est qu'à 63,8 °C : il pense avoir dépassé la consigne de 65 °C et coupe le brûleur trop tôt. L'eau de départ plafonne en réalité vers 59 °C (65 − 6,1). Les radiateurs sont tièdes, les logements peinent à monter en température, et l'exploitant croit à un problème de chaudière alors que le défaut est dans le câblage.

6. Le recâblage en 3 fils est la bonne solution. Corriger le réglage ne ferait que masquer le défaut : la compensation devrait être refaite si l'on change de câble, si l'on rallonge la liaison ou si l'on remplace la sonde, et la résistance des fils varie elle-même un peu avec la température ambiante du local. Le montage 3 fils supprime la cause au lieu de compenser l'effet — c'est le montage normalisé pour les Pt100 industrielles. (Autre solution du même esprit : un capteur à sortie 4–20 mA, insensible à la longueur de ligne.)

1. À 0 °C : erreur \( = 2{,}0 - 0{,}0 = \mathbf{+2{,}0\ \text{°C}} \) (il lit trop chaud).
À 100 °C : erreur \( = 98{,}0 - 100{,}0 = \mathbf{-2{,}0\ \text{°C}} \) (il lit trop froid).

2. Le raisonnement est faux : l'erreur change de signe entre les deux points. Retrancher 2 °C corrigerait bien la lecture basse (2,0 − 2 = 0 ✓), mais aggraverait la lecture haute (98,0 − 2 = 96 °C au lieu de 100 °C, soit 4 °C d'erreur). Il ne s'agit pas d'un simple décalage constant : la graduation elle-même est resserrée, c'est une erreur de pente et pas seulement de zéro.

3. Les deux points fixes donnent deux équations : \( 0 = a \times 2{,}0 + b \) et \( 100 = a \times 98{,}0 + b \).
En soustrayant : \( 100 = a \times 96{,}0 \) donc \( a = \dfrac{100}{96} \approx \mathbf{1{,}042} \).
Puis \( b = -2a = -\dfrac{200}{96} \approx \mathbf{-2{,}08} \).
Correction : \( \theta_{\text{vraie}} \approx 1{,}042 \times \theta_{\text{lue}} - 2{,}08 \).
Vérification : pour 2,0 → \( 1{,}042 \times 2 - 2{,}08 = 0{,}0 \) ✓ ; pour 98,0 → \( 1{,}042 \times 98 - 2{,}08 = 100{,}0 \) ✓.

4. \( \theta_{\text{vraie}} = 1{,}042 \times 60{,}0 - 2{,}08 \)
\( \theta_{\text{vraie}} = 62{,}5 - 2{,}08 = \mathbf{60{,}4\ \text{°C}} \)

5. On cherche \( \theta_{\text{vraie}} = \theta_{\text{lue}} \), c'est-à-dire \( \theta = 1{,}042\,\theta - 2{,}08 \), soit \( 0{,}042\,\theta = 2{,}08 \) et \( \theta = \mathbf{50{,}0\ \text{°C}} \).
Interprétation : le thermomètre est juste au milieu de sa plage d'étalonnage, et se trompe d'autant plus qu'on s'en éloigne — trop chaud en dessous de 50 °C, trop froid au-dessus. Un étalonnage en deux points ne garantit rien hors de l'intervalle 0–100 °C.

6. \( \theta_{\text{vraie}} = 1{,}042 \times 65{,}0 - 2{,}08 \)
\( \theta_{\text{vraie}} = 67{,}71 - 2{,}08 = \mathbf{65{,}6\ \text{°C}} \)
L'erreur est de +0,6 °C seulement : c'est acceptable pour un réglage de chauffage (on travaille au degré près). Le thermomètre reste utilisable dans cette plage, ce qui n'était pas évident avant l'étalonnage.

7. La température d'ébullition de l'eau dépend de la pression : elle vaut 100 °C sous 1 013 hPa, mais moins quand la pression baisse (environ 94 °C à 1 500 m d'altitude). En étalonnant en altitude sans le savoir, on attribuerait la valeur « 100 °C » à un vrai 94 °C : tout le haut de l'échelle serait décalé et la correction calculée serait fausse. C'est une source d'erreur liée aux conditions d'environnement, pas à l'appareil.

1. Le besoin est −5 °C à +40 °C. A : −40 à +125 °C ✓. B : −50 à +250 °C ✓. C : −200 à +1 200 °C ✓. Les trois plages conviennent — le critère de plage ne départage pas, ce qui est fréquent quand la grandeur à mesurer est modeste.

2. Le capteur C (thermocouple) : sa précision ± 1,5 °C est trois fois plus mauvaise que le ± 0,5 °C exigé. Un thermocouple est conçu pour les hautes températures ; l'utiliser pour mesurer 20 °C dans une salle de classe, c'est se servir d'un capteur surdimensionné et peu précis.

3. Le capteur B : 55 € > 40 €. Sur 12 salles, le dépassement est de \( (55 - 40) \times 12 = \mathbf{180\ \text{€}} \) — et le surcoût par rapport à la solution A atteint \( (55 - 12) \times 12 = 516\ \text{€} \).

4. Deux conducteurs de 60 m : \( R_{\text{fils}} = 2 \times 60 \times 0{,}026 = \mathbf{3{,}12\ \Omega} \).
• Sur un capteur de 10 kΩ = 10 000 Ω : \( \dfrac{3{,}12}{10\,000} \approx 0{,}03\ \% \) — totalement négligeable.
• Sur une Pt100 de 100 Ω : \( \dfrac{3{,}12}{100} \approx 3\ \% \), soit \( \dfrac{3{,}12}{0{,}385} \approx 8\ \text{°C} \) d'erreur si l'on câblait en 2 fils.
Conclusion : le câblage 2 fils du capteur A est acceptable précisément parce que sa résistance est grande devant celle de la ligne. C'est aussi pour cela que la Pt100 est vendue en 3 fils.

5. Exemple : « Nous recommandons le capteur A (thermistance CTN 10 kΩ). Sa précision de ± 0,2 °C dépasse l'exigence de ± 0,5 °C, son prix de 12 € tient dans le budget de 40 € par point, et sa forte résistance rend l'erreur de ligne négligeable (0,03 % sur 60 m) malgré un câblage 2 fils. »

6. Attention au piège de la notice. La plage de A va jusqu'à +125 °C : 90 °C est bien dedans, le capteur ne sera pas détruit. Mais la précision ± 0,2 °C n'est garantie que « de 0 à 70 °C ». À 90 °C, on sort de cette zone : la précision n'est plus garantie par le constructeur. Pour ce point de mesure, il faut soit demander au fabricant la précision au-delà de 70 °C, soit choisir un autre capteur — la Pt100 B, dont le ± 0,15 °C est annoncé sans restriction de plage, est ici le bon choix. Une notice se lit jusqu'aux conditions de validité, pas seulement à la ligne « plage ».