Chapitre 6 – Équilibre d'un solide en rotation autour d'un axe fixe
Première Bac Pro ICCER (Grpt 1) | Physique – Mécanique | Moments et équilibre
Objectifs du chapitre
Comprendre l'effet d'une force sur la rotation d'un objet autour d'un axe fixe
Calculer le moment d'une force par rapport à un axe : \(M = F \times d\)
Faire l'inventaire des moments sur un système
Appliquer la condition d'équilibre : somme des moments = 0
Comprendre la notion de centre de gravité et les conditions de basculement
Utiliser le principe du bras de levier
Technicien :Lucas, technicien chauffagiste en 1re année de Bac ProEntreprise :ThermoLev SARL — installation et levage de matériel de chauffageMission :Lucas doit installer un radiateur en fonte de 80 kg au 2e étage d'un immeuble en rénovation. Il utilise une grue de chantier à bras pivotant pour lever la charge.Données :Le bras de la grue mesure 6 m. La charge est accrochée à l'extrémité du bras. Un contrepoids de 200 kg est placé à 2 m de l'autre côté de l'axe de rotation.
Questions de Lucas :
La grue va-t-elle basculer sous le poids du radiateur ?
Comment vérifier que la grue est en équilibre ?
Quel contrepoids faut-il pour équilibrer la charge ?
Que se passe-t-il si le radiateur est accroché plus loin sur le bras ?
Ces questions trouveront une réponse complète au fil de ce chapitre.
1. Effet d'une force sur la rotation
Définition
Lorsqu'une force est appliquée sur un objet pouvant tourner autour d'un axe fixe, elle peut provoquer une rotation de cet objet. L'effet de rotation dépend de deux facteurs :
L'intensité de la force F (en N)
La distance d entre la droite d'action de la force et l'axe de rotation (en m)
Exemples
Ouvrir une porte : on pousse loin de la charnière (axe) pour que la porte tourne facilement. Plus on pousse loin de l'axe, moins il faut de force.
Dévisser un écrou avec une clé : plus la clé est longue, moins il faut de force.
Une balançoire : un enfant lourd s'assoit près du centre, un enfant léger s'assoit loin du centre pour équilibrer.
Le bras d'une grue de chantier : la charge et le contrepoids créent des effets de rotation opposés autour de l'axe.
Propriété
Une force peut faire tourner un objet dans deux sens :
Sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) : par convention, le moment est négatif.
Sens antihoraire (sens inverse des aiguilles d'une montre) : par convention, le moment est positif.
2. Moment d'une force
Définition
Le moment d'une force par rapport à un axe de rotation mesure l'effet de cette force sur la rotation. Il est noté \(M\) et se calcule par :
\[ M = F \times d \]
M : moment de la force (en N·m) | F : intensité de la force (en N) | d : distance entre la droite d'action de la force et l'axe de rotation (en m)
Attention
Le moment s'exprime en newton-mètre (N·m), à ne pas confondre avec le joule (J) qui est aussi des N·m mais mesure une énergie.
La distance \(d\) est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force. On l'appelle aussi bras de levier.
Si la droite d'action de la force passe par l'axe de rotation, alors \(d = 0\) et \(M = 0\) : la force ne fait pas tourner l'objet.
2.1. Le bras de levier
Définition
Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force. C'est le « d » dans la formule \(M = F \times d\).
Exemple professionnel
Un plombier chauffagiste utilise une clé de 30 cm (0,30 m) pour serrer un raccord. Il applique une force de 50 N à l'extrémité de la clé.
\[ M = F \times d = 50 \times 0{,}30 = 15 \text{ N·m} \]
Avec une clé de 50 cm (0,50 m) et la même force :
\[ M = 50 \times 0{,}50 = 25 \text{ N·m} \]
Un bras de levier plus long produit un moment plus grand : il est plus facile de serrer !
Méthode – Calculer un moment
Identifier l'axe de rotation.
Repérer la force et son intensité F (en N).
Mesurer la distance perpendiculaire d entre l'axe et la droite d'action de la force (en m).
Appliquer : \(M = F \times d\).
Préciser le sens de rotation (horaire ou antihoraire).
Application
Un technicien de maintenance énergétique serre un bouchon de vanne avec une clé de 25 cm. Il applique une force de 80 N à l'extrémité. Calculer le moment de la force.
Bras de levier : \(d = 25 \text{ cm} = 0{,}25 \text{ m}\)
\(M = F \times d = 80 \times 0{,}25 = 20 \text{ N·m}\)
3. Condition d'équilibre d'un solide en rotation
Définition
Un solide pouvant tourner autour d'un axe fixe est en équilibre de rotation lorsque la somme de tous les moments par rapport à cet axe est nulle.
\[ \sum M = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \text{Somme des moments horaires} = \text{Somme des moments antihoraires} \]
Propriété
En pratique, pour vérifier l'équilibre :
On calcule les moments des forces qui font tourner dans un sens (ex : horaire).
On calcule les moments des forces qui font tourner dans l'autre sens (antihoraire).
Si les deux sommes sont égales, le solide est en équilibre.
Exemple – Grue de chantier de Lucas
Données :
Charge (radiateur) : \(m_2 = 80\) kg, à \(d_2 = 6\) m de l'axe → \(P_2 = m_2 \times g = 80 \times 9{,}8 = 784\) N
Contrepoids : \(m_1 = 200\) kg, à \(d_1 = 2\) m de l'axe → \(P_1 = 200 \times 9{,}8 = 1\,960\) N
Calcul des moments :
Moment de la charge (horaire) : \(M_2 = P_2 \times d_2 = 784 \times 6 = 4\,704\) N·m
Moment du contrepoids (antihoraire) : \(M_1 = P_1 \times d_1 = 1\,960 \times 2 = 3\,920\) N·m
Vérification : \(M_2 = 4\,704\) N·m > \(M_1 = 3\,920\) N·m → La grue n'est pas en équilibre ! Elle bascule du côté de la charge.
Lucas doit soit rapprocher la charge de l'axe, soit augmenter le contrepoids.
Méthode – Vérifier l'équilibre
Identifier l'axe de rotation.
Faire l'inventaire de toutes les forces et calculer leurs moments.
Calculer la somme des moments horaires et la somme des moments antihoraires.
Comparer : si elles sont égales → équilibre. Sinon → rotation dans le sens du moment le plus grand.
Application
Une balançoire de chantier a un bras de 4 m. Une charge de 300 N est accrochée à 3 m de l'axe (côté droit, horaire). Un contrepoids de 200 N est placé à \(d_1\) mètres de l'axe (côté gauche, antihoraire). Calculer \(d_1\) pour obtenir l'équilibre.
Exemple Question : Quel contrepoids faut-il pour équilibrer le radiateur de 80 kg à 6 m de l'axe, si le contrepoids est placé à 2 m ?
À l'équilibre : \(M_1 = M_2\)
\[ P_1 \times d_1 = P_2 \times d_2 \]
\[ P_1 \times 2 = 784 \times 6 \]
\[ P_1 = \frac{784 \times 6}{2} = \frac{4\,704}{2} = 2\,352 \text{ N} \]
Masse correspondante : \(m_1 = \dfrac{P_1}{g} = \dfrac{2\,352}{9{,}8} = 240 \text{ kg}\)
Il faut un contrepoids de 240 kg (au lieu de 200 kg).
4.2. Trouver une distance
Exemple Question : Avec le contrepoids de 200 kg à 2 m, à quelle distance maximale peut-on accrocher le radiateur de 80 kg ?
À l'équilibre : \(P_1 \times d_1 = P_2 \times d_2\)
\[ 1\,960 \times 2 = 784 \times d_2 \]
\[ d_2 = \frac{3\,920}{784} = 5{,}0 \text{ m} \]
Le radiateur peut être accroché à 5 m maximum de l'axe (et non 6 m).
5. Centre de gravité et basculement
Définition
Le centre de gravité (noté G) d'un objet est le point d'application du poids de l'objet. C'est le point où l'on peut considérer que tout le poids est concentré.
Pour un objet homogène de forme simple (rectangle, disque, sphère), G est au centre géométrique.
Pour un objet non homogène, G est décalé vers la partie la plus lourde.
Propriété – Condition de basculement
Un objet posé sur un plan bascule lorsque la verticale passant par son centre de gravité G sort de sa base d'appui (surface de contact avec le sol).
Si la verticale de G tombe dans la base → l'objet est stable.
Si la verticale de G tombe hors de la base → l'objet bascule.
Application professionnelle
Un technicien chauffagiste transporte un chauffe-eau vertical de 150 litres (plein : environ 160 kg) sur un diable. Le chauffe-eau est haut et étroit.
Si le centre de gravité reste au-dessus de la base du diable → stable.
Si le technicien incline trop le diable → le centre de gravité sort de la base → le chauffe-eau bascule !
Règle de sécurité : ne jamais incliner un objet lourd au-delà du point où son centre de gravité dépasse le bord d'appui.
Attention – Sécurité sur chantier
Un objet avec un centre de gravité bas et une base large est plus stable (ex : radiateur en fonte posé au sol).
Un objet avec un centre de gravité haut et une base étroite est instable (ex : chauffe-eau vertical, échelle chargée).
Lors du levage à la grue, toujours vérifier que le contrepoids est suffisant pour éviter le basculement.
6. Le levier dans les métiers du bâtiment
Définition
Un levier est un objet rigide pouvant tourner autour d'un point fixe appelé pivot (ou fulcrum). Il permet de soulever une charge lourde avec une force plus faible, en utilisant un bras de levier suffisamment long.
Principe du levier
À l'équilibre : \(F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2\)
\(F_1\) : force motrice (en N) | \(d_1\) : bras de levier moteur (en m) | \(F_2\) : force résistante (en N) | \(d_2\) : bras de levier résistant (en m)
Exemple professionnel
Un installateur thermique utilise un pied-de-biche de 80 cm pour soulever un ancien radiateur en fonte posé au sol. Le pivot est situé à 5 cm de la charge.
Bras de levier moteur : \(d_1 = 80 - 5 = 75\) cm = 0,75 m
Bras de levier résistant : \(d_2 = 5\) cm = 0,05 m
Poids du radiateur : \(P = 600\) N
Force nécessaire :
\[ F_1 = \frac{F_2 \times d_2}{d_1} = \frac{600 \times 0{,}05}{0{,}75} = 40 \text{ N} \]
Le technicien n'a besoin que de 40 N (environ 4 kg-force) pour soulever un radiateur de 600 N (60 kg) !
Le rapport de bras de levier est : \(\dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{0{,}75}{0{,}05} = 15\). Le levier multiplie la force par 15.
Application
Un plombier utilise un pied-de-biche de 60 cm pour décoller un ancien radiateur. Le pivot est à 4 cm de la charge. La résistance est de 500 N. Calculer la force à appliquer.
Bras de levier moteur : \(d_1 = 60 - 4 = 56 \text{ cm} = 0{,}56 \text{ m}\)
Bras de levier résistant : \(d_2 = 4 \text{ cm} = 0{,}04 \text{ m}\)
Le plombier n'a besoin que d'environ 36 N pour soulever une résistance de 500 N.
À retenir
Le moment d'une force mesure son effet de rotation : \(M = F \times d\) (en N·m).
Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force.
Condition d'équilibre : somme des moments horaires = somme des moments antihoraires (\(\sum M = 0\)).
Le centre de gravité G est le point d'application du poids. Un objet bascule quand la verticale de G sort de sa base d'appui.
Le levier multiplie la force : \(F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2\).
Plus le bras de levier est long, plus l'effet de rotation est grand pour une même force.
7. Erreurs fréquentes
Erreur 1Utiliser la distance totale au lieu du bras de levier
Le bras de levier \(d\) est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force. Si la force est verticale (poids), c'est la distance horizontale entre l'axe et le point d'application. Ne pas confondre avec la longueur du bras ou la distance le long du bras.
Erreur 2Confondre N·m (moment) et J (énergie)
Le newton-mètre (N·m) peut représenter soit un moment de force, soit une énergie (joule). Ce sont les mêmes unités mais des grandeurs physiques différentes. Le moment mesure un effet de rotation ; l'énergie mesure une capacité à effectuer un travail.
Erreur 3Oublier de préciser le sens de rotation du moment
Un moment a une valeur numérique ET un sens (horaire ou antihoraire). Pour appliquer correctement la condition d'équilibre, il faut bien attribuer un signe positif à l'un et négatif à l'autre. Oublier le sens peut conduire à se tromper dans le sens de basculement prédit.
Erreur 4Croire qu'une force qui passe par l'axe peut faire tourner l'objet
Si la droite d'action d'une force passe par l'axe de rotation, le bras de levier est nul (\(d = 0\)) et le moment est nul (\(M = 0\)). Cette force ne peut pas faire tourner l'objet, quelle que soit son intensité.
Retour sur la situation de Lucas
Réponses aux questions
La grue va-t-elle basculer ? — Oui ! Le moment de la charge (4 704 N·m) est supérieur au moment du contrepoids (3 920 N·m). La grue bascule du côté du radiateur.
Comment vérifier l'équilibre ? — En calculant et comparant les moments de chaque côté. Si \(M_{\text{charge}} = M_{\text{contrepoids}}\), la grue est en équilibre.
Quel contrepoids faut-il ? — Il faut au minimum 240 kg à 2 m de l'axe pour équilibrer les 80 kg à 6 m.
Si le radiateur est plus loin ? — Le moment de la charge augmente (\(M = P \times d\)). Il faut un contrepoids encore plus lourd ou placé plus loin de l'axe.