Équilibre d'un solide en rotation autour d'un axe fixe | 1ère Bac Pro ICCER | Physique-Chimie
Capacités et connaissances du programme :
C1 – Définir et calculer un moment de force (\(M = F \times d\))
C2 – Appliquer la condition d'équilibre (\(\sum M = 0\))
C3 – Résoudre un problème de levier (bras de levier)
C4 – Appliquer dans un contexte de robinetterie ou de couple moteur
C5 – Identifier l'effet d'un couple sur une pièce mécanique
C6 – Déterminer le centre de gravité ; étudier le basculement
C1 — Calculer un moment de force
À retenir : Le moment d'une force par rapport à un axe mesure son effet de rotation :
\[M = F \times d\]
avec \(F\) la force en newtons (N) et \(d\) le bras de levier en mètres (m) — distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la ligne d'action de la force. Unité du moment : N·m.
Exercice 1 – Serrage d'un écrou
Un plombier chauffagiste utilise une clé pour serrer un écrou. Il applique une force \(F = 80\) N à l'extrémité d'une clé de longueur \(d = 0{,}25\) m.
Calculer le moment de la force par rapport à l'axe de l'écrou.
\(M = F \times d = 80 \times 0{,}25 = \mathbf{20}\) N·m
Exercice 2 – Effet du bras de levier
Un technicien applique une force de 60 N avec deux clés différentes :
Clé A : bras de levier \(d_A = 0{,}15\) m
Clé B : bras de levier \(d_B = 0{,}30\) m
a) Calculer le moment de chaque clé.
b) Laquelle serre plus efficacement l'écrou ?
a) \(M_A = 60 \times 0{,}15 = 9\) N·m
\(M_B = 60 \times 0{,}30 = \mathbf{18}\) N·m
b) La clé B est deux fois plus efficace car son bras de levier est double. C'est pourquoi on utilise des clés plus longues pour les serrages importants.
Exercice 3 – Trouver la force nécessaire
Pour desserrer un raccord, il faut appliquer un moment de \(M = 35\) N·m. Le technicien dispose d'une clé de \(d = 0{,}20\) m.
Quelle force minimale doit-il appliquer ?
On isole \(F\) dans \(M = F \times d\) :
\(F = \dfrac{M}{d} = \dfrac{35}{0{,}20} = \mathbf{175}\) N
Exercice 4 – Poids et moment
Un robinet de coupure pèse \(m = 2\) kg. Son centre de gravité est à \(d = 0{,}15\) m de son axe de rotation. (\(g = 9{,}81\) m/s²)
Calculer le moment du poids du robinet par rapport à son axe.
Poids : \(P = m \times g = 2 \times 9{,}81 = 19{,}62\) N
\(M = P \times d = 19{,}62 \times 0{,}15 = \mathbf{2{,}94}\) N·m
C2 — Condition d'équilibre en rotation
Méthode : Un solide est en équilibre en rotation si la somme algébrique des moments des forces par rapport à l'axe est nulle :
\[\sum M = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad M_1 = M_2 \text{ (si forces opposées)}\]
Convention : les moments dans le sens trigonométrique (anti-horaire) sont positifs, les autres négatifs.
Exercice 1 – Équilibre d'une barre
Une barre horizontale peut tourner autour d'un pivot en son centre. Une force \(F_1 = 40\) N est appliquée à gauche, à \(d_1 = 0{,}5\) m du pivot. Pour équilibrer, quelle force \(F_2\) faut-il appliquer à droite, à \(d_2 = 0{,}4\) m ?
\(0{,}5 F_3 = -2 \Rightarrow F_3 = \mathbf{-4}\) N
Le signe négatif signifie que \(F_3\) doit en réalité agir dans le sens horaire (et non anti-horaire) pour l'équilibre.
Exercice 3 – Balance et équilibre
Une balance artisanale a son pivot à 0,5 m du bord gauche. Un objet de masse \(m_1 = 1{,}2\) kg est posé à l'extrémité gauche (à 0,5 m du pivot). À quelle distance \(d_2\) du pivot faut-il placer une masse \(m_2 = 0{,}8\) kg à droite pour équilibrer la balance ?
Les poids sont \(P_1 = m_1 g\) et \(P_2 = m_2 g\). Condition d'équilibre :
À retenir : Un levier permet de multiplier une force en augmentant le bras de levier. La règle fondamentale est : \(F_{\text{moteur}} \times d_{\text{moteur}} = F_{\text{résistant}} \times d_{\text{résistant}}\). L'avantage mécanique vaut \(A = F_{\text{résistant}} / F_{\text{moteur}} = d_{\text{moteur}} / d_{\text{résistant}}\).
Exercice 1 – Pied-de-biche
Un technicien utilise un pied-de-biche (levier) pour démonter un tuyau encastré. Le pivot est à 5 cm de la résistance et à 45 cm de la poignée. La résistance à vaincre est \(F_r = 900\) N.
a) Calculer la force à appliquer sur le pied-de-biche.
b) \(A = \dfrac{F_r}{F_m} = \dfrac{900}{100} = \mathbf{9}\) → le levier multiplie la force par 9
Exercice 2 – Brouette sur chantier
Une brouette est assimilée à un levier. La roue est le pivot. La charge (800 N) est à 0,4 m de la roue. Les poignées sont à 1,2 m de la roue.
Calculer la force à exercer sur chaque poignée pour soulever la charge (deux mains = deux poignées).
\(F_m = \dfrac{F_r \times d_r}{d_m} = \dfrac{800 \times 0{,}4}{1{,}2} = \dfrac{320}{1{,}2} \approx 267\) N au total
Soit 133 N par main.
Exercice 3 – Clé dynamométrique
Un technicien doit serrer un raccord avec un couple (moment) de 40 N·m. Il dispose d'une clé dynamométrique de longueur effective \(d = 0{,}32\) m.
Quelle force doit-il exercer sur la clé ?
\(F = \dfrac{M}{d} = \dfrac{40}{0{,}32} = \mathbf{125}\) N
C4 — Application : robinetterie et couple moteur
Méthode : Dans les installations de chauffage et plomberie, les moments s'appliquent pour : serrer des raccords (clés), ouvrir des vannes (volant), et dimensionner des moteurs (couples de démarrage). Le couple moteur \(C\) (en N·m) permet de calculer la force utile : \(F = C / r\) où \(r\) est le rayon d'action.
Exercice 1 – Ouverture d'une vanne
Un installateur thermique ouvre une vanne d'arrêt avec un volant de rayon \(r = 8\) cm. La résistance à vaincre est équivalente à un moment de \(M_r = 12\) N·m.
Quelle force doit-il appliquer tangentiellement sur le volant ?
\(F = \dfrac{M_r}{r} = \dfrac{12}{0{,}08} = \mathbf{150}\) N
Exercice 2 – Couple de démarrage d'un moteur de pompe
Un moteur de pompe développe un couple de \(C = 8\) N·m. L'arbre du moteur a un rayon de \(r = 0{,}04\) m.
a) Calculer la force tangentielle exercée par l'arbre.
b) Si ce couple doit vaincre les frottements de la pompe estimés à 5 N·m, le moteur peut-il démarrer ?
a) \(F = \dfrac{C}{r} = \dfrac{8}{0{,}04} = 200\) N
b) Oui, car le couple moteur (8 N·m) est supérieur au couple résistant (5 N·m). La différence de 3 N·m permet d'accélérer le rotor.
Exercice 3 – Serrage d'un collier de fixation
Un plombier chauffagiste serre un collier de fixation de tuyauterie avec une clé de \(d = 0{,}18\) m. Il applique une force de \(F = 60\) N.
a) Calculer le moment appliqué.
b) La notice indique un couple de serrage maximal de 15 N·m. Le serrage est-il correct ?
a) \(M = F \times d = 60 \times 0{,}18 = \mathbf{10{,}8}\) N·m
b) \(10{,}8 < 15\) N·m → le serrage est correct, sans risque de déformation.
C5 — Effet d'un couple sur une pièce mécanique
À retenir : Un couple (deux forces égales, opposées, parallèles, non colinéaires) produit un effet de rotation pur (sans translation). Il peut provoquer : torsion d'un arbre, rotation d'un écrou, déformation d'un joint. Le moment résultant d'un couple vaut \(C = F \times d\) où \(d\) est la distance entre les deux forces.
Exercice 1 – Couple sur un arbre de transmission
Deux forces opposées de \(F = 200\) N s'appliquent sur un arbre de pompe, de part et d'autre, séparées d'une distance \(d = 0{,}06\) m.
Calculer le couple résultant appliqué à l'arbre.
\(C = F \times d = 200 \times 0{,}06 = \mathbf{12}\) N·m
Exercice 2 – Torsion d'un tuyau flexible
Un tuyau flexible soumis à un couple trop important peut se tordre ou se fissurer. Un technicien applique involontairement deux forces opposées de 150 N séparées de 8 cm lors d'un raccordement.
a) Calculer le couple appliqué.
b) Si le couple maximal admissible du tuyau est 10 N·m, y a-t-il risque de dommage ?
a) \(C = 150 \times 0{,}08 = \mathbf{12}\) N·m
b) Oui, \(12 > 10\) N·m → le couple dépasse la limite, risque de détérioration du tuyau. Le technicien doit utiliser une contre-clé pour éviter de tordre le tuyau.
Exercice 3 – Utilité de la contre-clé en plomberie
Lors du serrage d'un raccord union, un plombier utilise deux clés : une clé motrice et une contre-clé. Expliquer pourquoi cette technique est nécessaire en termes de couples.
La clé motrice applique un couple de serrage sur le raccord. Sans contre-clé, ce couple se transmettrait à l'ensemble du tuyau ou de la pièce adjacente, provoquant sa torsion ou son desserrage.
La contre-clé applique un couple en sens inverse égal, sur la pièce adjacente. Les deux couples se compensent : seul le raccord tourne, sans contrainte parasite sur le reste de l'installation.
C6 — Centre de gravité et basculement
À retenir
Le centre de gravité G est le point d'application du poids. Un solide posé est en équilibre stable si la verticale passant par G tombe à l'intérieur de la base de sustentation (surface d'appui au sol). Si la verticale sort de cette base → basculement.
La verticale de G doit rester dans la base de sustentation
Exercice 16
Un meuble bibliothèque de 2 m de haut et 40 cm de profondeur est posé au sol. Son centre de gravité G est à 1 m du sol et à 20 cm du bord arrière.
Quelle est la base de sustentation de ce meuble ?
Si on incline le meuble vers l'avant, de quel angle peut-on l'incliner avant qu'il bascule ?
Pourquoi fixe-t-on les bibliothèques au mur ?
La base de sustentation est le rectangle formé par les 4 pieds au sol : profondeur 40 cm × largeur du meuble.
Le basculement se produit quand la verticale de G sort de la base. G est à 20 cm du bord avant. \(\tan(\alpha) = \frac{20}{100} = 0{,}2\) → \(\alpha = \arctan(0{,}2) \approx \mathbf{11°}\). Un faible angle suffit !
Pour empêcher le basculement (sécurité enfants, séisme). La fixation murale ramène artificiellement la base de sustentation au mur.
Exercice 17
Un chauffe-eau cylindrique de 100 L (plein : 120 kg) est posé sur un socle. Le centre de gravité est à 60 cm du sol. Le diamètre de la base est 50 cm.
Calculer le poids du chauffe-eau plein.
Quel est le rayon de la base de sustentation ?
Un technicien le pousse accidentellement. Calculer l'angle limite de basculement.