Que se passe-t-il au niveau des atomes d'un métal quand on le chauffe ?
Un métal se dilate : son volume augmente ou diminue ?
Si une barre métallique de 10 m s'allonge de 5 mm quand la température augmente de 50 °C, cela s'appelle comment ?
Les atomes vibrent plus fort (agitation thermique augmentée) et s'écartent davantage les uns des autres.
Le volume augmente (les atomes s'écartent).
C'est la dilatation linéaire.
SocleExercice 4 – Calcul de dilatation linéaire
On donne la formule : \(\Delta L = \alpha \times L_0 \times \Delta T\)
Un rail de chemin de fer en acier a pour longueur initiale L₀ = 25 m. Le coefficient de dilatation de l'acier est α = 12 × 10⁻⁶ °C⁻¹. La température passe de 10 °C à 40 °C.
Calculer ΔT.
Calculer l'allongement ΔL.
Exprimer ΔL en mm.
\(\Delta T = 40 - 10 = \mathbf{30}\) °C.
\(\Delta L = 12 \times 10^{-6} \times 25 \times 30 = 9 \times 10^{-3}\) m = 9 mm.
ΔL = 9 mm.
SocleExercice 5 – Conversion d'unités de masse volumique
StandardExercice 6 – Joint de dilatation sur un pont
Un technicien en topographie supervise la construction d'un pont métallique de L₀ = 80 m en acier (α = 12 × 10⁻⁶ °C⁻¹). La température varie entre −15 °C en hiver et +45 °C en été.
Calculer la variation de température ΔT entre l'hiver et l'été.
Calculer l'allongement maximal ΔL du pont.
Quelle doit être la largeur minimale des joints de dilatation pour absorber cet allongement ? (1 joint de chaque côté = 2 joints en tout.)
Sans joints de dilatation, quels problèmes structuraux pourrait-on observer ?
\(\Delta T = 45 - (-15) = \mathbf{60}\) °C.
\(\Delta L = 12 \times 10^{-6} \times 80 \times 60 = 57{,}6 \times 10^{-3}\) m ≈ 57,6 mm.
Avec 2 joints : chaque joint absorbe ΔL/2 = 28,8 mm ≈ 30 mm. La largeur minimale par joint est d'environ 29 à 30 mm.
Sans joints : déformation, flambement (flambage), fissures dans la structure ou les appuis, voire rupture dans les cas extrêmes.
StandardExercice 7 – Masse volumique d'un alliage
Un métreur calcule la masse d'une poutre en acier pour estimer le devis d'un chantier. La poutre a un volume de 0,015 m³. La masse volumique de l'acier est 7 800 kg/m³.
Calculer la masse de la poutre.
Exprimer cette masse en tonnes.
Pour comparer, une poutre de même volume en aluminium (ρ = 2 700 kg/m³) : calculer sa masse.
Quel matériau est plus léger ? Dans quel contexte de construction préférerait-on l'aluminium ?
\(m = \rho \times V = 7\,800 \times 0{,}015 = \mathbf{117}\) kg.
117 kg = 0,117 tonne.
Aluminium : \(m = 2\,700 \times 0{,}015 = \mathbf{40{,}5}\) kg.
L'aluminium est beaucoup plus léger (40,5 kg contre 117 kg pour le même volume). On le préférerait pour des structures légères (charpentes de toiture, bardage, structures aéronautiques) où la masse doit être réduite.
StandardExercice 8 – Dilatation d'une canalisation
Un technicien en géomètre-topographe évalue la dilatation d'une canalisation en cuivre (α = 17 × 10⁻⁶ °C⁻¹) de longueur L₀ = 50 m. La température passe de 5 °C à 70 °C.
Calculer l'allongement de la canalisation.
Un technicien doit laisser un jeu de dilatation entre la canalisation et ses supports. Ce jeu doit être au moins égal à ΔL. Quelle valeur minimale proposer (en mm) ?
Pourquoi utilise-t-on des lires (compensateurs de dilatation en forme de U) dans les installations de chauffage ?
La fonte a α = 10 × 10⁻⁶ °C⁻¹. Pour la même canalisation, calculer ΔL en fonte. Comparer avec le cuivre.
\(\Delta T = 70 - 5 = 65\) °C. \(\Delta L = 17 \times 10^{-6} \times 50 \times 65 = 55{,}25 \times 10^{-3}\) m ≈ 55 mm.
Jeu minimum : au moins 55 mm.
Les lires sont des compensateurs qui absorbent la dilatation par déformation élastique (coudes flexibles). Elles évitent les contraintes mécaniques excessives dans les conduites rigides fixées.
Fonte : \(\Delta L = 10 \times 10^{-6} \times 50 \times 65 = 32{,}5 \times 10^{-3}\) m ≈ 32,5 mm. La fonte se dilate moins que le cuivre (32,5 mm contre 55 mm) pour les mêmes conditions.
StandardExercice 9 – Mesure expérimentale de la masse volumique
Un technicien en matériaux mesure la masse volumique d'un échantillon de béton à l'aide d'une balance et d'un cylindre gradué.
Résultats : masse de l'échantillon m = 120 g ; volume de l'échantillon mesuré par déplacement d'eau = 50 cm³.
Calculer la masse volumique de cet échantillon de béton.
Comparer avec la valeur théorique du béton (ρ = 2,4 g/cm³). L'écart relatif est-il acceptable (moins de 5 %) ?
La méthode de déplacement d'eau n'est pas adaptée si le béton absorbe l'eau. Quel problème cela pose-t-il pour la mesure ?
Proposer une méthode alternative pour mesurer le volume d'un solide irrégulier sans le plonger dans l'eau.
\(\rho = m/V = 120/50 = \mathbf{2{,}40}\) g/cm³.
Valeur calculée = 2,40 g/cm³ = valeur théorique. Écart = 0 % → mesure parfaite dans cet exercice.
Si le béton absorbe l'eau, le volume mesuré (eau déplacée + eau absorbée) est surestimé → la masse volumique calculée est sous-estimée. La mesure est faussée.
Alternative : enrober l'échantillon de cire (étanche) avant la mesure par déplacement, ou utiliser un pied à coulisse pour mesurer les dimensions géométriques (si forme régulière), ou une technique de pycnométrie (déplacement dans un liquide non absorbé).
StandardExercice 10 – Dilatation surfacique
La dilatation surfacique (expansion d'une surface) est approximativement : \(\Delta S = 2\alpha \times S_0 \times \Delta T\)
Un géomètre surveille la dilatation d'une dalle de béton armée (acier, α = 12 × 10⁻⁶ °C⁻¹) de surface S₀ = 200 m². ΔT = 40 °C.
Calculer l'augmentation de surface ΔS.
Cela représente combien en cm² ? Cette valeur est-elle significative pour le dimensionnement des joints ?
Pourquoi utilise-t-on du béton armé (acier dans le béton) ? Quel avantage cela apporte-t-il face à la dilatation ?
\(\Delta S = 2 \times 12 \times 10^{-6} \times 200 \times 40 = 0{,}192\) m².
0,192 m² = 1 920 cm². C'est significatif pour le dimensionnement des joints de dilatation d'un grand ouvrage.
L'acier et le béton ont des coefficients de dilatation similaires (α_acier ≈ 12 × 10⁻⁶ et α_béton ≈ 10–12 × 10⁻⁶ °C⁻¹). Ils se dilatent presque de la même façon → pas de contraintes internes de décollement. L'acier reprend les efforts de traction que le béton seul ne peut pas supporter.
StandardExercice 11 – Comparaison de matériaux en construction
Un architecte d'intérieur doit choisir entre trois matériaux pour un revêtement de sol extérieur dans une région à fort écart thermique (ΔT = 60 °C) :
Matériau
ρ (g/cm³)
α (×10⁻⁶ °C⁻¹)
Pierre calcaire
2,30
8
Carrelage grès cérame
2,30
6
Bois exotique
0,80
5 (tangentiel)
Pour un revêtement de 10 m de long :
Calculer ΔL pour chaque matériau.
Quel matériau se dilate le moins ? Quel avantage cela présente-t-il en pose extérieure ?
En tenant compte de la masse volumique, quel matériau est le plus léger ? Dans quel contexte cela serait-il un avantage ?
Pierre : \(\Delta L = 8 \times 10^{-6} \times 10 \times 60 = 4{,}8 \times 10^{-3}\) m = 4,8 mm.
Grès : \(\Delta L = 6 \times 10^{-6} \times 10 \times 60 = 3{,}6 \times 10^{-3}\) m = 3,6 mm.
Bois : \(\Delta L = 5 \times 10^{-6} \times 10 \times 60 = 3{,}0 \times 10^{-3}\) m = 3,0 mm.
Le bois se dilate le moins (3,0 mm). En pose extérieure, cela nécessite des joints de dilatation moins larges, réduit les risques de fissure et de soulèvement des dalles.
Le bois (ρ = 0,80 g/cm³) est le plus léger. Avantage pour les toitures-terrasses, balcons ou structures où la charge morte doit être minimisée.
StandardExercice 12 – Mesure par pycnométrie (méthode avancée)
Un technicien en matériaux utilise un pycnomètre (fiole jaugée de volume connu V_pyc = 25,00 cm³) pour mesurer la masse volumique d'une poudre de sable. Résultats :
Masse du pycnomètre vide : m₁ = 18,50 g
Masse du pycnomètre + eau (plein) : m₂ = 43,50 g → masse d'eau = 25,00 g
Masse du pycnomètre + sable (15 g de sable) : m₃ = 33,50 g
Masse pycnomètre + sable + eau (complété au volume total) : m₄ = 52,80 g
Calculer la masse d'eau ajoutée avec le sable : m_eau = m₄ − m₃.
En déduire le volume d'eau ajoutée (ρ_eau = 1,00 g/cm³).
Calculer le volume du sable : V_sable = V_pyc − V_eau.
Calculer la masse volumique du sable.
\(m_{\text{eau}} = 52{,}80 - 33{,}50 = \mathbf{19{,}30}\) g.
\(\rho_{\text{sable}} = 15 / 5{,}70 \approx \mathbf{2{,}63}\) g/cm³. (Valeur cohérente avec la silice ~2,65 g/cm³.)
Exercices Approfondissement
ApprofondissementExercice 13 – Dilatation volumique d'un réservoir
La dilatation volumique est approximativement : \(\Delta V = 3\alpha \times V_0 \times \Delta T\)
Un réservoir d'eau chaude en acier inoxydable (α = 16 × 10⁻⁶ °C⁻¹, V₀ = 200 L) est chauffé de 20 °C à 80 °C. Le liquide contenu (eau) a un coefficient de dilatation cubique γ_eau = 2,1 × 10⁻⁴ °C⁻¹.
Calculer l'augmentation de volume du réservoir (acier).
Calculer l'augmentation de volume de l'eau dans le réservoir.
La pression dans le réservoir augmente-t-elle si le réservoir est fermé ? Justifier en comparant les deux dilatations.
Quel dispositif de sécurité est obligatoire sur un chauffe-eau pour éviter une surpression dangereuse ?
Calculer numériquement la différence ΔV_eau − ΔV_acier pour V₀ = 200 L. Quel volume d'eau « en excès » faut-il pouvoir évacuer ?
L'eau se dilate bien plus que l'acier (2,52 L contre 0,576 L) → si le réservoir est fermé, la pression augmente (la dilatation de l'eau est plus grande que celle du contenant).
Un groupe de sécurité (soupape de sécurité + clapet de retenue + purgeur) est obligatoire. Il évacue l'eau en surpression.
\(\Delta V_{\text{eau}} - \Delta V_{\text{acier}} = 2{,}52 - 0{,}576 = \mathbf{1{,}94}\) L → environ 2 L d'eau à évacuer lors d'une chauffe complète.
ApprofondissementExercice 14 – Tolérance de fabrication et dilatation
En fabrication mécanique, un palier en acier doit avoir un diamètre de 50,000 mm à 20 °C. L'acier a α = 12 × 10⁻⁶ °C⁻¹. Lors du fonctionnement de la machine, la pièce monte à 120 °C.
Calculer l'augmentation de diamètre ΔD du palier lors du fonctionnement.
Quel est le diamètre à 120 °C ?
Si le jeu fonctionnel entre l'arbre et le palier est de 0,050 mm à 20 °C, quel est le jeu résiduel à 120 °C sachant que l'arbre (même acier) se dilate de la même façon ? (Raisonner sur le rapport diamètre intérieur/extérieur.)
Un arbre en aluminium (α = 23 × 10⁻⁶ °C⁻¹) de même diamètre initial est utilisé à la place. Recalculer le jeu à 120 °C et conclure sur les risques.
\(\Delta D = \alpha \times D_0 \times \Delta T = 12 \times 10^{-6} \times 50 \times 100 = 0{,}060\) mm.
Diamètre à 120 °C : 50,000 + 0,060 = 50,060 mm.
Si palier et arbre sont en acier identique, ils se dilatent de la même valeur → le jeu reste inchangé à 0,050 mm (dilatations identiques s'annulent).
Arbre alu : \(\Delta D_{\text{alu}} = 23 \times 10^{-6} \times 50 \times 100 = 0{,}115\) mm. L'arbre s'élargit de 0,115 mm et le palier acier de 0,060 mm. Jeu résiduel = 0,050 − (0,115 − 0,060) = 0,050 − 0,055 = −0,005 mm. Le jeu devient négatif : l'arbre sera trop gros pour le palier → grippage, blocage de la machine. Risque grave.
ApprofondissementExercice 15 – Calcul de masse et estimation de coût
Un conducteur de travaux doit estimer la masse totale de l'armature métallique d'une dalle de béton armé. La dalle mesure 10 m × 6 m × 0,20 m. Le béton représente 95 % du volume, les barres d'acier 5 %. On donne : ρ_béton = 2 400 kg/m³, ρ_acier = 7 800 kg/m³. Le prix de l'acier est 1,20 €/kg.
Calculer le volume total de la dalle.
Calculer le volume de béton et le volume d'acier.
Calculer la masse de béton et la masse d'acier.
Calculer le coût de l'armature acier.
La masse de la dalle est-elle dominée par le béton ou l'acier ? Justifier.
Masse béton = 27 360 kg, masse acier = 4 680 kg. La masse est largement dominée par le béton (85 % de la masse totale), malgré sa masse volumique plus faible, parce qu'il représente 95 % du volume.