Chapitre 6 – Équilibre d'un solide en rotation autour d'un axe fixe
Première Bac Pro ERA-MA (Grpt 3) | Physique – Mécanique | Moments et équilibre
Objectifs du chapitre
Définir le moment d'une force par rapport à un axe de rotation
Calculer un moment : \(M = F \times d\) (bras de levier)
Énoncer et appliquer la condition d'équilibre en rotation : somme des moments = 0
Déterminer le centre de gravité d'un solide et étudier les conditions de basculement
Situation professionnelle — Vérification de l'équilibre d'un meuble
Un menuisier agenceur installe une bibliothèque murale articulée autour d'un pivot. Une planche de 1,50 m de long doit rester horizontale malgré des charges posées à différents endroits. Pour vérifier l'équilibre sans risque de chute, il doit calculer les moments de chaque force par rapport au point de pivotement.
1. Situation professionnelle
Contexte : Levage d'un panneau de bois en atelier
Un menuisier agenceur doit soulever un grand panneau de contreplaqué (2,50 m × 1,25 m) à l'aide d'un bras de levage pivotant fixé au mur de l'atelier. Le panneau pèse 45 kg. Le bras mesure 2 m et pivote autour de son point de fixation. Pour dimensionner correctement ce système, il faut comprendre la notion de moment d'une force et les conditions d'équilibre.
Dans les métiers de la menuiserie et de l'agencement, la notion d'équilibre en rotation intervient dans de nombreuses situations :
Charnières de meuble : une porte d'armoire pivote autour de ses charnières — son poids crée un moment qui tend à l'ouvrir ou la fermer
Portes battantes : plus on pousse loin de la charnière, plus c'est facile — c'est l'effet du bras de levier
Établis basculants : un établi mal chargé peut basculer si le centre de gravité sort de la zone d'appui
Étagères murales : le poids des objets crée un moment par rapport aux fixations
2. Forces et rotation
2.1. Rappel : qu'est-ce qu'une force ?
Définition
Une force est une action mécanique capable de mettre en mouvement un objet, de le déformer ou de modifier sa trajectoire. Elle se caractérise par :
un point d'application (là où elle s'exerce)
une direction (droite d'action)
un sens (vers le haut, le bas…)
une intensité (valeur en newton, N)
2.2. Effet d'une force sur la rotation
Quand un solide peut tourner autour d'un axe fixe (charnière, pivot, point de fixation), une force appliquée sur ce solide peut provoquer une rotation.
Exemple : Porte d'armoire
Une porte d'armoire pivote autour de ses charnières (axe fixe). Si on pousse la porte loin des charnières (au niveau de la poignée), elle tourne facilement. Si on pousse près des charnières, il faut exercer une force beaucoup plus grande pour le même effet.
Ce constat montre que l'effet de rotation ne dépend pas seulement de l'intensité de la force, mais aussi de la distance entre le point d'application de la force et l'axe de rotation.
3. Moment d'une force par rapport à un axe
3.1. Définition
Définition
Le moment d'une force \(\vec{F}\) par rapport à un axe de rotation \(\Delta\) mesure l'aptitude de cette force à faire tourner le solide autour de cet axe.
3.2. Bras de levier
Définition
Le bras de levier \(d\) est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force. C'est la plus courte distance entre l'axe et la ligne sur laquelle s'exerce la force.
3.3. Formule du moment
Moment d'une force
\[ M_{\Delta}(\vec{F}) = F \times d \]
\(M_{\Delta}(\vec{F})\) : moment de la force par rapport à l'axe Δ, en newton-mètre (N·m)
\(F\) : intensité de la force, en newton (N)
\(d\) : bras de levier (distance perpendiculaire), en mètre (m)
Attention
Le bras de levier \(d\) doit toujours être mesuré perpendiculairement à la droite d'action de la force
Si la droite d'action passe par l'axe de rotation, alors \(d = 0\) et le moment est nul : la force ne fait pas tourner le solide
Ne pas confondre la distance entre l'axe et le point d'application avec le bras de levier (ce n'est la même que si la force est perpendiculaire au bras)
Application
Un ébéniste utilise une clé à molette de 30 cm pour serrer un boulon. Il exerce une force de 50 N perpendiculairement à la clé. Calculer le moment de la force par rapport à l'axe du boulon.
Bras de levier : d = 30 cm = 0,30 m.
\(M = F \times d = 50 \times 0{,}30 = 15\) N·m.
Le moment de serrage est de 15 N·m.
3.4. Sens de rotation et signe du moment
Par convention :
Un moment est positif si la force tend à faire tourner le solide dans le sens antihoraire (sens inverse des aiguilles d'une montre)
Un moment est négatif si la force tend à faire tourner le solide dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre)
Exemple : Clé de serrage
Un technicien d'agencement serre un boulon avec une clé de 25 cm. Il exerce une force de 40 N perpendiculaire à la clé.
\[M = F \times d = 40 \times 0{,}25 = 10 \text{ N·m}\]
Le moment vaut 10 N·m. C'est le couple de serrage.
3.5. Cas particuliers
Propriété
Si la force est perpendiculaire au segment reliant l'axe au point d'application, alors le bras de levier est maximal : \(d\) est la longueur de ce segment
Si la force passe par l'axe de rotation, alors \(d = 0\) et \(M = 0\) : pas de rotation
Si la force est parallèle à l'axe de rotation, elle ne fait pas tourner le solide
4. Condition d'équilibre en rotation
4.1. Théorème des moments
Définition
Un solide mobile autour d'un axe fixe est en équilibre de rotation lorsqu'il ne tourne pas. Il reste immobile dans la position où il se trouve.
Condition d'équilibre en rotation
\[ \sum M_{\Delta} = 0 \]
La somme algébrique des moments de toutes les forces par rapport à l'axe de rotation est nulle.
Autrement dit : la somme des moments qui font tourner dans un sens est égale à la somme des moments qui font tourner dans l'autre sens.
À retenir
Pour qu'un solide soit en équilibre autour d'un axe fixe :
À l'équilibre : \(P_1 \times d_1 = P_2 \times d_2\)
Exemple : Étagère chargée
Un menuisier vérifie l'équilibre d'une étagère de 1,20 m fixée au mur par un pivot. Une charge de 80 N est posée à 0,90 m du mur. Un câble de rappel exerce une force de 120 N à 0,60 m du mur, perpendiculairement à l'étagère.
Vérification de l'équilibre :
Moment de la charge (horaire) : \(M_1 = 80 \times 0{,}90 = 72 \text{ N·m}\)
Moment du câble (antihoraire) : \(M_2 = 120 \times 0{,}60 = 72 \text{ N·m}\)
\(M_1 = M_2 = 72\) N·m → L'étagère est en équilibre.
5. Méthode de résolution
Application
Un poseur de cuisines soulève un plan de travail de 120 N à l'aide d'un levier. La charge est à 0,80 m du pivot. Il exerce sa force à 1,60 m du même pivot. Quelle force doit-il exercer pour maintenir l'équilibre ?
Il suffit d'exercer 60 N (moitié du poids) car le bras de levier est deux fois plus grand.
MéthodeRésoudre un problème d'équilibre en rotation
Identifier l'axe de rotation (pivot, charnière…)
Repérer toutes les forces qui s'exercent sur le solide
Calculer le bras de levier de chaque force (distance perpendiculaire à l'axe)
Calculer le moment de chaque force : \(M = F \times d\)
Attribuer un signe (+ ou −) selon le sens de rotation
Écrire la condition d'équilibre : \(\sum M = 0\)
Résoudre l'équation pour trouver l'inconnue
6. Centre de gravité
6.1. Définition
Définition
Le centre de gravité (noté G) d'un solide est le point d'application de la résultante des forces de pesanteur. C'est le point où l'on peut considérer que tout le poids du solide est concentré.
Pour des formes simples et homogènes :
Rectangle : G est au centre (intersection des diagonales)
Triangle : G est au point d'intersection des médianes (à 1/3 de la base)
Cercle/disque : G est au centre du cercle
6.2. Détermination expérimentale
On peut trouver le centre de gravité d'un objet plat en le suspendant successivement par deux points différents. Le centre de gravité se trouve à l'intersection des deux verticales passant par les points de suspension.
Exemple professionnel
Un ébéniste fabrique un plateau de table en forme de L. Pour déterminer le centre de gravité de ce plateau (nécessaire pour positionner correctement le pied central), il suspend le plateau par un coin, trace la verticale, puis le suspend par un autre coin et trace une seconde verticale. Le centre de gravité est à l'intersection de ces deux droites.
7. Basculement
7.1. Condition de basculement
Propriété
Un solide posé sur un plan bascule lorsque la verticale passant par son centre de gravité G sort de la base de sustentation (surface d'appui au sol).
À retenir
Un solide est stable si la verticale passant par G tombe à l'intérieur de la base de sustentation
Un solide bascule si la verticale passant par G tombe à l'extérieur de la base de sustentation
Plus le centre de gravité est bas et la base de sustentation large, plus le solide est stable
7.2. Applications professionnelles
Sécurité en atelier
Stockage de panneaux : les panneaux de bois stockés verticalement doivent être calés pour éviter le basculement — leur centre de gravité est haut et leur base de sustentation est étroite (épaisseur du panneau)
Meubles hauts : une bibliothèque haute et étroite doit être fixée au mur car un chargement en hauteur déplace le centre de gravité vers le haut et rend le meuble instable
Établi : un établi de menuisier est conçu avec une base large et un centre de gravité bas pour une grande stabilité lors du travail
Exemple : Armoire haute
Un poseur de cuisines installe une armoire haute de 2,20 m et 0,60 m de profondeur. Le centre de gravité à vide est à 1,10 m du sol. Si on charge les étagères du haut, le centre de gravité monte. Tant que la verticale passant par G reste dans les 0,60 m de profondeur de la base, l'armoire est stable. Si l'armoire est inclinée de sorte que G dépasse le bord de la base, elle bascule.
8. Résumé du chapitre
Formules et résultats essentiels
Grandeur
Formule
Unités
Moment d'une force
\(M = F \times d\)
N·m
Condition d'équilibre
\(\sum M_{\Delta} = 0\)
—
Poids d'un objet
\(P = m \times g\)
N (avec g ≈ 9,8 N/kg)
9. Erreurs fréquentes
❌
Confondre le bras de levier avec la distance axe-point d'application
Le bras de levier est toujours la distance perpendiculaire entre l'axe et la droite d'action de la force. Si la force est oblique, le bras de levier est différent de la longueur du bras. Conseil : tracer la droite d'action de la force et mesurer la distance perpendiculaire à l'axe.
❌
Oublier de convertir les centimètres en mètres
Le bras de levier doit être en mètres pour que le moment soit en N·m. Un bras de 25 cm = 0,25 m, pas 25 m. Conseil : toujours convertir les longueurs en mètres avant de calculer le moment.
❌
Ne pas tenir compte du sens de rotation dans le signe du moment
Un moment peut être positif (antihoraire) ou négatif (horaire). Pour appliquer la condition d'équilibre, il faut bien affecter le signe à chaque moment selon le sens de rotation qu'il induirait. Conseil : choisir une convention de signe (+ pour antihoraire) et la respecter dans tout le problème.
❌
Oublier que la pièce bascule si la verticale par G sort de la base de sustentation
Un meuble haut peut sembler stable mais basculer si on le charge en hauteur ou si on l'incline légèrement. Conseil : pour vérifier la stabilité, repérer G et vérifier que sa verticale reste à l'intérieur de la base.