Chapitre 6 – Équilibre d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Première Bac Pro ERA-MA (Grpt 3) | Physique – Mécanique | Moments et équilibre

Dernière mise à jour : 6 août 2026, 19:26

Objectifs du chapitre

Définir le moment d'une force par rapport à un axe de rotation
Calculer un moment : \(M = F \times d\) (bras de levier)
Énoncer et appliquer la condition d'équilibre en rotation : somme des moments = 0
Déterminer le centre de gravité d'un solide et étudier les conditions de basculement

Situation professionnelle — Un bras de levage à l'atelier

Un menuisier agenceur étudie un grand panneau de bois porté par un bras de levage pivotant fixé au mur. Pour établir un modèle statique simplifié du système, il calcule les moments des forces par rapport au point de pivotement. Nous résoudrons ce modèle à la fin du chapitre (§5).

1. Situation professionnelle

Contexte : Levage d'un panneau de bois en atelier
Un menuisier agenceur doit soulever un grand panneau de contreplaqué (2,50 m × 1,25 m) à l'aide d'un bras de levage pivotant fixé au mur de l'atelier. Le panneau a une masse de 45 kg. Le bras mesure 2 m et pivote autour de son point de fixation. Le calcul proposé est un modèle statique pédagogique ; il ne constitue pas le dimensionnement réel d'un appareil de levage.

Dans les métiers de la menuiserie et de l'agencement, la notion d'équilibre en rotation intervient dans de nombreuses situations :

Charnières de meuble : sur une porte verticale idéale, le poids ne crée pas de moment d'ouverture autour de l'axe vertical ; c'est notamment la force de la main qui produit ce moment. Le poids crée en revanche un moment sur un abattant à axe horizontal
Portes battantes : plus on pousse loin de la charnière, plus c'est facile — c'est l'effet du bras de levier
Établis basculants : un établi mal chargé peut basculer si le centre de gravité sort de la zone d'appui
Étagères murales : le poids des objets crée un moment par rapport aux fixations

2. Forces et rotation

2.1. Rappel : qu'est-ce qu'une force ?

Définition Une force est une action mécanique capable de mettre en mouvement un objet, de le déformer ou de modifier sa trajectoire. Elle se caractérise par :

un point d'application (là où elle s'exerce)
une direction (droite d'action)
un sens (vers le haut, le bas…)
une intensité (valeur en newton, N)

La force qui intervient le plus souvent dans ce chapitre est le poids \(\vec{P}\) : c'est la force de pesanteur exercée par la Terre sur un objet, toujours dirigée verticalement vers le bas. Son intensité se calcule (rappel du cycle 4 et de Seconde) :

Poids d'un objet
\[ P = m \times g \]

\(P\) : intensité du poids, en newton (N)
\(m\) : masse de l'objet, en kilogramme (kg)
\(g\) : intensité de la pesanteur, en newton par kilogramme (N/kg) ; en France, \(g \approx 9{,}8\) N/kg

Le poids s'applique au centre de gravité de l'objet, que l'on apprendra à déterminer au § 6.

2.2. Effet d'une force sur la rotation

Quand un solide peut tourner autour d'un axe fixe (charnière, pivot, point de fixation), une force appliquée sur ce solide peut provoquer une rotation.

Exemple : Porte d'armoire
Une porte d'armoire pivote autour de ses charnières (axe fixe). Si on pousse la porte loin des charnières (au niveau de la poignée), elle tourne facilement. Si on pousse près des charnières, il faut exercer une force beaucoup plus grande pour le même effet.

Ce constat montre que l'effet de rotation ne dépend pas seulement de l'intensité de la force, mais aussi de la distance entre le point d'application de la force et l'axe de rotation.

3. Moment d'une force par rapport à un axe

3.1. Définition

Définition Le moment d'une force \(\vec{F}\) par rapport à un axe de rotation \(\Delta\) mesure l'aptitude de cette force à faire tourner le solide autour de cet axe.

3.2. Bras de levier

Définition Le bras de levier \(d\) est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force. C'est la plus courte distance entre l'axe et la ligne sur laquelle s'exerce la force.

Lorsque la force est oblique (pas perpendiculaire au bras), il ne faut pas prendre la distance jusqu'au point d'application, mais bien la distance perpendiculaire à la droite d'action :

La distance \(d\) (bleue, perpendiculaire à la droite d'action) est le vrai bras de levier : il est plus court que la distance \(OA\) jusqu'au point d'application.

3.3. Formule du moment

Moment d'une force
\[ M_{\Delta}(\vec{F}) = F \times d \]

\(M_{\Delta}(\vec{F})\) : moment de la force par rapport à l'axe Δ, en newton-mètre (N·m)
\(F\) : intensité de la force, en newton (N)
\(d\) : bras de levier (distance perpendiculaire), en mètre (m)

L'unité N·m a les mêmes dimensions qu'un joule, mais un moment de force n'est pas une énergie : ces deux grandeurs ne s'interprètent pas de la même façon.

Attention

Le bras de levier \(d\) doit toujours être mesuré perpendiculairement à la droite d'action de la force
Si la droite d'action passe par l'axe de rotation, alors \(d = 0\) et le moment est nul : la force ne fait pas tourner le solide
Ne pas confondre la distance entre l'axe et le point d'application avec le bras de levier (ce n'est pas la même chose, sauf si la force est perpendiculaire au bras)

Application

Un ébéniste utilise une clé à molette de 30 cm pour serrer un boulon. Il exerce une force de 50 N perpendiculairement à la clé. Calculer le moment de la force par rapport à l'axe du boulon.

À toi de jouer :

3.4. Sens de rotation et signe du moment

Avec la convention de signe choisie dans ce chapitre :

Un moment est positif si la force tend à faire tourner le solide dans le sens antihoraire (sens inverse des aiguilles d'une montre)
Un moment est négatif si la force tend à faire tourner le solide dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre)

Selon le sens dans lequel la force fait tourner le solide, le moment est compté positif (antihoraire) ou négatif (horaire).

Exemple : Clé de serrage
Un technicien d'agencement serre un boulon avec une clé de 25 cm. Il exerce une force de 40 N perpendiculaire à la clé.
\[M = F \times d = 40 \times 0{,}25 = 10 \text{ N·m}\] Le moment vaut 10 N·m. C'est le couple de serrage.

Application — Porte d'atelier

Un menuisier pousse une porte battante d'atelier au niveau de la poignée, à 0,80 m des charnières, avec une force de 60 N perpendiculaire à la porte. La porte s'ouvre dans le sens antihoraire. Calculer le moment de cette force et préciser son signe.

À toi de jouer :

Bras de levier : \(d = 0{,}80\) m (la force est perpendiculaire à la porte).

\(M = F \times d = 60 \times 0{,}80 = 48\) N·m.

La force fait tourner dans le sens antihoraire, donc le moment est positif : M = +48 N·m.

3.5. Cas particuliers

Propriété

Si la force est perpendiculaire au segment reliant l'axe au point d'application, alors le bras de levier est maximal : \(d\) est la longueur de ce segment
Si la force passe par l'axe de rotation, alors \(d = 0\) et \(M = 0\) : pas de rotation
Si la force est parallèle à l'axe de rotation, elle ne fait pas tourner le solide

4. Condition d'équilibre en rotation

4.1. Théorème des moments

Définition Un solide mobile autour d'un axe fixe est en équilibre de rotation lorsqu'il ne tourne pas. Il reste immobile dans la position où il se trouve.

Condition d'équilibre en rotation
\[ \sum M_{\Delta} = 0 \] La somme algébrique des moments de toutes les forces par rapport à l'axe de rotation est nulle.

Autrement dit : la somme des moments qui font tourner dans un sens est égale à la somme des moments qui font tourner dans l'autre sens.

Quelle méthode utiliser ?

Avec seulement deux forces (un moment dans chaque sens), on écrit directement l'égalité : \(M_1 = M_2\), soit \(F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2\).
Avec trois forces ou plus, on revient à la méthode générale \(\sum M_{\Delta} = 0\) en affectant à chaque moment son signe (+ antihoraire / − horaire).

À retenir

Pour qu'un solide soit en équilibre autour d'un axe fixe :

\[ \text{Moments horaires} = \text{Moments antihoraires} \] \[ F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2 \]

4.2. Application : la balance

À l'équilibre : \(P_1 \times d_1 = P_2 \times d_2\). Sur la figure, \(P_1\) est le poids le plus intense mais il agit près du pivot, tandis que \(P_2\), plus faible, agit loin du pivot : les deux produits sont égaux. C'est tout l'intérêt du levier — une force plus faible peut équilibrer une force plus grande si elle est appliquée plus loin de l'axe.

Exemple : Étagère chargée
Un menuisier étudie une étagère de 1,20 m fixée au mur par un pivot. On néglige le poids de l'étagère. Une charge de 80 N agit perpendiculairement à 0,90 m du mur et un câble de rappel exerce une force perpendiculaire de 120 N à 0,60 m du mur.

Vérification de l'équilibre :
Moment de la charge (horaire) : \(M_1 = 80 \times 0{,}90 = 72 \text{ N·m}\)
Moment du câble (antihoraire) : \(M_2 = 120 \times 0{,}60 = 72 \text{ N·m}\)
\(M_1 = M_2 = 72\) N·m → L'étagère est en équilibre.

Application — Barre en équilibre

Un menuisier équilibre une barre qui pivote en son milieu. D'un côté, il place une charge de 150 N à 0,40 m du pivot. De l'autre côté, il dispose d'une charge de 100 N. À quelle distance du pivot doit-il placer cette seconde charge pour que la barre reste en équilibre ?

À toi de jouer :

Condition d'équilibre : \(P_1 \times d_1 = P_2 \times d_2\).

\(150 \times 0{,}40 = 100 \times d_2\), soit \(60 = 100 \times d_2\).

\(d_2 = \dfrac{60}{100} = 0{,}60\) m.

La seconde charge doit être placée à 0,60 m du pivot : plus légère, elle est plus éloignée pour compenser.

5. Méthode de résolution

Méthode Résoudre un problème d'équilibre en rotation

Identifier l'axe de rotation (pivot, charnière…)
Repérer toutes les forces qui s'exercent sur le solide
Calculer le bras de levier de chaque force (distance perpendiculaire à l'axe)
Calculer le moment de chaque force : \(M = F \times d\)
Attribuer un signe (+ ou −) selon le sens de rotation
Écrire la condition d'équilibre : \(\sum M = 0\)
Résoudre l'équation pour trouver l'inconnue

Application

Un poseur de cuisines soulève un plan de travail de 120 N à l'aide d'un levier. La charge est à 0,80 m du pivot. Il exerce sa force à 1,60 m du même pivot. Quelle force doit-il exercer pour maintenir l'équilibre ?

À toi de jouer :

Exemple à trois forces — un abattant maintenu par un vérin
Un installateur d'agencement règle l'abattant d'un meuble haut : le panneau pivote autour de ses charnières et il est maintenu ouvert, à l'horizontale, par un petit vérin. Ici, trois forces agissent sur le panneau : on ne peut plus se contenter d'égaler deux moments, il faut appliquer la méthode générale.

Les longueurs des flèches ne sont pas proportionnelles aux intensités : la poussée \(F\) du vérin est justement l'inconnue du problème.

Résolution — méthode générale \(\sum M_{\Delta} = 0\)
Convention : + pour le sens antihoraire, − pour le sens horaire. Les forces dirigées vers le bas font refermer l'abattant (sens horaire), la poussée du vérin le relève (sens antihoraire).

Force	Bras de levier \(d\)	Sens	Moment \(M = F \times d\)
Poids \(P = 40\) N	0,25 m	horaire	\(-40 \times 0{,}25 = -10\) N·m
Main \(F_m = 6\) N	0,50 m	horaire	\(-6 \times 0{,}50 = -3\) N·m
Vérin \(F\) (inconnue)	0,10 m	antihoraire	\(+F \times 0{,}10\)

On additionne les trois moments et on écrit que la somme est nulle : \[ F \times 0{,}10 - 10 - 3 = 0 \] \[ F \times 0{,}10 = 13 \qquad \text{donc} \qquad F = \frac{13}{0{,}10} = 130 \text{ N} \] Le vérin doit pousser avec une force de 130 N. On retrouve le même enseignement que pour le levier : agissant tout près de l'axe (0,10 m), le vérin doit développer une force bien plus grande que le poids qu'il retient.

Retour à la situation — le bras de levage
Reprenons le panneau de 45 kg suspendu à l'extrémité du bras de levage (2,0 m du pivot). On néglige la masse du bras, les frottements et les effets dynamiques ; le vérin est supposé pousser perpendiculairement, à 0,50 m du pivot, pour maintenir le bras horizontal.

Poids du panneau : \(P = m \times g = 45 \times 9{,}8 = 441\) N.
Équilibre des moments par rapport au pivot : \[ F_{\text{vérin}} \times 0{,}50 = 441 \times 2{,}0 \] \[ F_{\text{vérin}} = \frac{882}{0{,}50} = 1\,764 \text{ N} \] La force statique théorique vaut près de 1 764 N : agir près du pivot (petit bras de levier) exige une force bien supérieure au poids. Cette valeur ne permet pas de choisir un vérin réel sans étudier la géométrie complète, la masse du bras, les accélérations et les coefficients de sécurité.

6. Centre de gravité

6.1. Définition

Définition Le centre de gravité (noté G) d'un solide est le point d'application de la résultante des forces de pesanteur, c'est-à-dire du poids \(P = m \times g\) rencontré au § 2.1. C'est le point où l'on peut considérer que tout le poids du solide est concentré.

Pour des formes simples et homogènes :

Rectangle : G est au centre (intersection des diagonales)
Triangle : G est au point d'intersection des médianes, aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet (donc à un tiers en partant du côté opposé)
Cercle/disque : G est au centre du cercle

Pour ces formes homogènes, la symétrie permet de localiser \(G\) ; pour le triangle, il se trouve à l'intersection des médianes.

Application — Plateau rectangulaire

Un ébéniste fabrique un plateau rectangulaire homogène de 1,20 m de long et 0,60 m de large. Où se situe le centre de gravité du plateau ? Cette localisation suffit-elle, à elle seule, à garantir la stabilité d'une table à pied central ?

À toi de jouer :

Pour un rectangle homogène, le centre de gravité G est au centre, à l'intersection des diagonales.

Dans la longueur : \(\dfrac{1{,}20}{2} = 0{,}60\) m d'un bord court.

Dans la largeur : \(\dfrac{0{,}60}{2} = 0{,}30\) m d'un bord long.

Le centre de gravité est donc situé à 0,60 m et 0,30 m des bords.

Cette position ne garantit pas, à elle seule, la stabilité : le pied doit aussi posséder une base d'appui suffisamment large et une liaison rigide avec le plateau.

6.2. Détermination expérimentale

On peut trouver le centre de gravité d'un objet plat en le suspendant successivement par deux points différents. Le centre de gravité se trouve à l'intersection des deux verticales passant par les points de suspension.

On suspend l'objet en un premier point : il pend jusqu'à ce que \(G\) se place à la verticale de ce point, et l'on trace cette verticale sur l'objet (trait bleu). On recommence en un second point : l'objet a pivoté, le premier trait est devenu oblique et il coupe la nouvelle verticale exactement en \(G\).

Exemple professionnel
Un ébéniste fabrique un plateau de table en forme de L. Pour déterminer le centre de gravité de ce plateau (nécessaire pour positionner correctement le pied central), il suspend le plateau en un premier point et trace au crayon, sur le plateau, la verticale passant par ce point. Il le suspend ensuite par un coin : le plateau pivote, le premier trait n'est plus vertical, et il trace la nouvelle verticale. Le centre de gravité est à l'intersection de ces deux traits.

7. Basculement

7.1. Condition de basculement

Propriété Sous l'action de son seul poids, sur un support horizontal, un solide posé bascule lorsque la verticale passant par son centre de gravité G sort de la base de sustentation (surface d'appui au sol). En présence d'une poussée ou d'une accélération, il faut étudier l'ensemble des actions mécaniques.

À gauche, la verticale de \(G\) tombe dans la base d'appui : le poids ramène le bloc à plat. À droite, le meuble haut et étroit a été incliné sur son coin ; la verticale de \(G\) est passée au-delà de ce coin, et le poids fait alors poursuivre la rotation : le meuble bascule.

À retenir

Un solide est stable si la verticale passant par G tombe à l'intérieur de la base de sustentation
Un solide bascule si la verticale passant par G tombe à l'extérieur de la base de sustentation
Plus le centre de gravité est bas et la base de sustentation large, plus le solide est stable

7.2. Applications professionnelles

Sécurité en atelier

Stockage de panneaux : les panneaux de bois stockés verticalement doivent être calés pour éviter le basculement — leur centre de gravité est haut et leur base de sustentation est étroite (épaisseur du panneau)
Meubles hauts : une bibliothèque haute et étroite doit être fixée au mur car un chargement en hauteur déplace le centre de gravité vers le haut et rend le meuble instable
Établi : un établi de menuisier est conçu avec une base large et un centre de gravité bas pour une grande stabilité lors du travail

Exemple : Armoire haute
Un poseur de cuisines installe une armoire haute de 2,20 m et 0,60 m de profondeur. Le centre de gravité à vide est à 1,10 m du sol. Si on charge les étagères du haut, le centre de gravité monte. Tant que la verticale passant par G reste dans les 0,60 m de profondeur de la base, l'armoire est stable. Si l'armoire est inclinée de sorte que G dépasse le bord de la base, elle bascule.

8. Résumé du chapitre

Formules et résultats essentiels

Grandeur	Formule	Unités
Moment d'une force	\(M = F \times d\)	N·m
Condition d'équilibre	\(\sum M_{\Delta} = 0\)	—
Poids d'un objet	\(P = m \times g\)	N (avec g ≈ 9,8 N/kg)

9. Erreurs fréquentes

❌

Confondre le bras de levier avec la distance axe-point d'application
Le bras de levier est toujours la distance perpendiculaire entre l'axe et la droite d'action de la force. Si la force est oblique, le bras de levier est différent de la longueur du bras.
Conseil : tracer la droite d'action de la force et mesurer la distance perpendiculaire à l'axe.

❌

Oublier de convertir les centimètres en mètres
Le bras de levier doit être en mètres pour que le moment soit en N·m. Un bras de 25 cm = 0,25 m, pas 25 m.
Conseil : toujours convertir les longueurs en mètres avant de calculer le moment.

❌

Ne pas tenir compte du sens de rotation dans le signe du moment
Un moment peut être positif (antihoraire) ou négatif (horaire). Pour appliquer la condition d'équilibre, il faut bien affecter le signe à chaque moment selon le sens de rotation qu'il induirait.
Conseil : choisir une convention de signe (+ pour antihoraire) et la respecter dans tout le problème.

❌

Oublier que la pièce bascule si la verticale par G sort de la base de sustentation
Un meuble haut peut sembler stable mais basculer si on le charge en hauteur ou si on l'incline légèrement.
Conseil : pour vérifier la stabilité, repérer G et vérifier que sa verticale reste à l'intérieur de la base.

Simulation interactive

Moments et équilibre en rotation