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Ch06 – Équilibre d'un solide en rotation

Exercices | Première Bac Pro ERA-MA – Groupement 3

Dernière mise à jour : 26 juillet 2026, 02:02

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Rappels du cours
pivot F d M = F × d
Une force \(F\) appliquée à la distance \(d\) (bras de levier) de l'axe crée un moment \(M = F \times d\).

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1-1 Calculer un moment Socle
Un menuisier agenceur utilise une clé pour serrer un boulon. Il exerce une force \(F = 30\) N perpendiculaire à la clé, à une distance \(d = 0{,}20\) m de l'axe du boulon.

a) Quelle est la formule du moment ?
\(M = \ldots \times \ldots\)

b) Remplace par les valeurs numériques :
\(M = \ldots \times \ldots = \ldots\) N·m

c) Si le menuisier utilise une clé plus longue (\(d = 0{,}40\) m) avec la même force, le moment sera-t-il plus grand ou plus petit ? Calcule-le.
Correction S1
a) \(M = F \times d\)

b) \(M = 30 \times 0{,}20 = 6\) N·m

c) Le moment sera plus grand (le bras de levier augmente).
\(M = 30 \times 0{,}40 = 12\) N·m
Le moment a doublé quand on a doublé le bras de levier.
Exercice 1-2 Équilibre d'une balançoire Socle
Deux apprentis jouent sur une planche posée sur un rondin (pivot). La planche est en équilibre.
a) Écris la condition d'équilibre : \(P_A \times d_A = \ldots \times \ldots\)

b) Remplace les valeurs connues : \(600 \times 2 = P_B \times \ldots\)

c) Calcule \(P_B\) : \(P_B = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) N

d) Déduis-en la masse de l'apprenti B : \(m_B = \dfrac{P_B}{g} = \ldots\) kg
Correction S2
a) \(P_A \times d_A = P_B \times d_B\)

b) \(600 \times 2 = P_B \times 2{,}5\)

c) \(P_B = \dfrac{600 \times 2}{2{,}5} = \dfrac{1200}{2{,}5} = 480\) N

d) \(m_B = \dfrac{480}{9{,}8} \approx 49\) kg
Exercice 1-3 Porte d'armoire Socle
Une façade relevable d'armoire de cuisine, ouverte à l'horizontale, pèse 25 N. Elle pivote autour d'un axe horizontal placé le long de son bord supérieur. Son centre de gravité est à 0,30 m de l'axe. Un ressort de rappel exerce perpendiculairement une force de 15 N avec un bras de levier de 0,50 m.

Complète le tableau :
Force Intensité (N) Bras de levier (m) Moment (N·m)
Poids 25 0,30 …
Ressort 15 0,50 …
La porte est-elle en équilibre ? Justifie.
Correction S3
Moment du poids : \(M_P = 25 \times 0{,}30 = 7{,}5\) N·m (horaire, tend à ouvrir)
Moment du ressort : \(M_R = 15 \times 0{,}50 = 7{,}5\) N·m (antihoraire, tend à fermer)

\(M_P = M_R = 7{,}5\) N·m → la porte est en équilibre.

Exercices d'application

Exercice 2-1 Bras de levage en atelier Standard
Un bras de levage pivotant est fixé au mur d'un atelier de menuiserie. Il est utilisé pour soulever des panneaux de bois. Le bras a une longueur de 1,80 m.
Un panneau de masse \(m = 35\) kg est accroché à l'extrémité du bras.
Un contrepoids exerce une force verticale de 250 N à 0,90 m de l'axe de rotation.

a) Calcule le poids du panneau.
b) Calcule le moment du poids du panneau par rapport à l'axe.
c) Calcule le moment du contrepoids par rapport à l'axe.
d) Le bras est-il en équilibre ? Justifie.
Correction exercice 2-1
a) \(P = m \times g = 35 \times 9{,}8 = 343\) N

b) \(M_P = P \times d = 343 \times 1{,}80 = 617{,}4\) N·m (moment horaire)

c) \(M_C = 250 \times 0{,}90 = 225\) N·m (moment antihoraire)

d) \(M_P = 617{,}4\) N·m ≠ \(M_C = 225\) N·m. Le bras n'est pas en équilibre : le moment du poids est largement supérieur au moment du contrepoids. Le bras va tourner dans le sens horaire (descendre côté panneau).
Exercice 2-2 Charnière de meuble Standard
Une façade relevable de placard de cuisine a une masse de 8 kg et une hauteur de 0,50 m. Elle pivote autour d'un axe horizontal placé le long de son bord supérieur. Ouverte à l'horizontale, son centre de gravité se situe à 0,25 m de l'axe.
On souhaite installer un vérin à gaz qui maintient la façade ouverte à l'horizontale. Pour le modèle simplifié de l'exercice, la force du vérin est perpendiculaire à la façade et son bras de levier vaut 0,40 m.

a) Calcule le poids de la porte.
b) Calcule le moment du poids par rapport à l'axe des charnières.
c) Quelle force doit exercer le vérin pour maintenir la porte en équilibre horizontal ?
Correction exercice 2-2
a) \(P = m \times g = 8 \times 9{,}8 = 78{,}4\) N

b) \(M_P = P \times d_G = 78{,}4 \times 0{,}25 = 19{,}6\) N·m

c) À l'équilibre : \(F_v \times d_v = P \times d_G\)
\(F_v \times 0{,}40 = 78{,}4 \times 0{,}25\)
\(F_v = \dfrac{19{,}6}{0{,}40} = 49\) N

Le vérin doit exercer une force de 49 N.
Exercice 2-3 Stabilité d'une bibliothèque Standard
Un aménageur d'intérieur installe une bibliothèque de hauteur 2,00 m, de profondeur 0,35 m et de masse 40 kg. Le centre de gravité à vide est situé à 1,00 m du sol et au milieu de la profondeur (0,175 m du bord avant).

On charge les étagères supérieures avec 30 kg de livres. Le nouveau centre de gravité de l'ensemble se situe à 1,40 m du sol et à 0,16 m du bord avant.

a) La bibliothèque à vide est-elle stable ? Justifie en comparant la position de G avec la base de sustentation.
b) La bibliothèque chargée est-elle encore stable ?
c) À partir de quelle distance du bord avant le centre de gravité provoque-t-il un basculement ?
Correction exercice 2-3
a) À vide, G est à 0,175 m du bord avant. La base de sustentation a une profondeur de 0,35 m. La verticale de G tombe à 0,175 m du bord, soit exactement au milieu de la base → la bibliothèque est stable.

b) Chargée, G est à 0,16 m du bord avant. Cette distance est inférieure à la profondeur de la base (0,35 m), donc la verticale de G tombe encore dans la base → la bibliothèque est encore stable, mais la marge est plus faible (0,16 m au lieu de 0,175 m).

c) Le basculement se produit quand la verticale de G atteint le bord avant de la base, c'est-à-dire quand la distance du centre de gravité au bord avant vaut 0 m (le centre de gravité est exactement à l'aplomb du bord). En pratique, si G se trouve à moins de quelques centimètres du bord, un léger déséquilibre suffit à faire basculer le meuble. Il faut fixer la bibliothèque au mur.

Exercices d'approfondissement

Exercice 3-1 Dimensionnement d'un bras de levage Approfondissement
Un fabricant de meubles conçoit un bras de levage pivotant pour manipuler des plateaux de tables en bois massif. Le bras est horizontal et pivote autour d'un axe fixé au mur. On donne : a) Calcule le moment total des charges (bras + plateau) par rapport à l'axe.
b) Le câble peut supporter une tension maximale de 800 N. À quelle distance minimale \(d_c\) de l'axe faut-il fixer le câble pour maintenir l'équilibre ?
c) Si le câble est fixé à 1,50 m de l'axe, quelle est la tension dans le câble à l'équilibre ?
Correction A1
a) Moment du bras : \(M_b = m_b \times g \times \dfrac{L}{2} = 15 \times 9{,}8 \times 1{,}25 = 183{,}75\) N·m
Moment du plateau : \(M_p = m_p \times g \times L = 60 \times 9{,}8 \times 2{,}50 = 1\,470\) N·m
Moment total : \(M_{\text{total}} = 183{,}75 + 1\,470 = 1\,653{,}75\) N·m

b) À l'équilibre : \(T \times d_c = M_{\text{total}}\)
\(d_c = \dfrac{M_{\text{total}}}{T_{\max}} = \dfrac{1\,653{,}75}{800} \approx 2{,}07\) m
Le câble doit être fixé à au moins 2,07 m de l'axe.

c) \(T \times 1{,}50 = 1\,653{,}75\)
\(T = \dfrac{1\,653{,}75}{1{,}50} = 1\,102{,}5\) N
La tension est de 1 102,5 N, ce qui dépasse la limite du câble (800 N). Il faudrait un câble plus résistant ou le fixer plus loin de l'axe.
Exercice 3-2 Porte de garage basculante Approfondissement
Un technicien d'agencement étudie le mécanisme d'une porte de garage basculante. La porte, de dimensions 3,00 m × 2,50 m, a une masse de 120 kg. Elle pivote autour d'un axe horizontal situé en haut de l'ouverture. Deux ressorts de torsion assistent l'ouverture.

a) Calcule le poids de la porte.
b) Quand la porte est verticale (fermée), le centre de gravité est à 1,25 m sous l'axe. Quel est le moment du poids par rapport à l'axe ? La porte tend-elle à s'ouvrir ou se fermer ?
c) Quand la porte est horizontale (ouverte), le centre de gravité est à 1,50 m de l'axe. Quel moment chaque ressort doit-il fournir pour maintenir la porte en équilibre horizontal (on suppose 2 ressorts identiques) ?
d) Le fabricant souhaite que la porte reste en équilibre dans n'importe quelle position. Explique pourquoi les ressorts sont indispensables et pourquoi un contrepoids simple ne suffirait pas.
Correction A2
a) \(P = m \times g = 120 \times 9{,}8 = 1\,176\) N

b) Quand la porte est verticale, la droite d'action du poids passe par l'axe si le centre de gravité est exactement sous celui-ci. Le bras de levier est alors nul : \(M = 0\) N·m. Cette position est un équilibre stable : après une petite rotation, le poids crée un moment qui tend à ramener le centre de gravité sous l'axe.
Remarque : en pratique, le centre de gravité est légèrement décalé vers l'intérieur du garage, ce qui crée un petit moment tendant à fermer la porte.

c) Porte horizontale : \(M_P = 1\,176 \times 1{,}50 = 1\,764\) N·m
Chaque ressort : \(M_r = \dfrac{1\,764}{2} = 882\) N·m

d) Lorsque la porte change d'angle, le bras de levier du poids varie (il est nul en position verticale et maximal en position horizontale). Un contrepoids simple produisant un moment constant ne compenserait donc le poids que dans une position. Les ressorts de torsion sont choisis et précontraints pour fournir un moment qui évolue avec l'angle. Un système de contrepoids doté d'une géométrie ou d'un renvoi adapté pourrait aussi fonctionner, mais ce ne serait plus le modèle simple supposé ici.
Exercice 3-3 Équilibre d'une grue de chantier (type BTS) Approfondissement
Lors de la construction d'un bâtiment, une grue à tour est utilisée pour lever des éléments de charpente en bois. La flèche de la grue (bras horizontal) mesure 30 m. La contre-flèche mesure 10 m et porte un contrepoids.
Grue à tour : équilibre autour de l’axe du mâtLa charge sur la flèche (à 25 m de l’axe) est compensée par le contrepoids de la contre-flèche (à 8 m de l’axe).axecharge2 000 kgcontrepoids ?25 m8 m
Équilibre de la grue autour de l’axe du mât : le moment de la charge (côté flèche) est compensé par le contrepoids (côté contre-flèche).
a) Calcule le poids de la charge.
b) Calcule le moment total côté flèche (charge + poids propre de la flèche).
c) Calcule le moment du poids propre de la contre-flèche.
d) Détermine la masse minimale du contrepoids, placé à 8 m de l'axe sur la contre-flèche, pour assurer l'équilibre.
e) Expliquer pourquoi on ne doit pas appliquer un coefficient de sécurité en multipliant simplement la masse du contrepoids par 1,5. Quelles vérifications de sécurité faut-il mener en pratique ?
Correction A3
a) \(P_{\text{charge}} = 2\,000 \times 9{,}8 = 19\,600\) N

b) Côté flèche :
\(M_{\text{charge}} = 19\,600 \times 25 = 490\,000\) N·m
\(M_{\text{flèche}} = 8\,000 \times 15 = 120\,000\) N·m
\(M_{\text{total flèche}} = 490\,000 + 120\,000 = 610\,000\) N·m

c) \(M_{\text{contre-flèche}} = 3\,000 \times 5 = 15\,000\) N·m

d) À l'équilibre : \(M_{\text{total flèche}} = M_{\text{contre-flèche}} + M_{\text{contrepoids}}\)
\(610\,000 = 15\,000 + P_{\text{cp}} \times 8\)
\(P_{\text{cp}} \times 8 = 595\,000\)
\(P_{\text{cp}} = 74\,375\) N
\(m_{\text{cp}} = \dfrac{74\,375}{9{,}8} \approx 7\,589\) kg ≈ 7,6 tonnes

e) Il ne faut pas installer \(1{,}5 \times 7{,}6\) tonnes : un contrepoids excessif peut faire basculer la grue vers l'arrière lorsque la charge est faible ou absente. Le coefficient de sécurité s'applique au dimensionnement des structures, câbles, freins et mécanismes, et la stabilité doit être vérifiée pour tous les cas de charge (grue chargée, à vide, vent, positions du chariot). La masse réelle du contrepoids et la charge admissible relèvent du constructeur et de sa table de charges.