Poids : \(P = m \times g\) avec \(g = 9{,}8\) N/kg
Basculement : quand la verticale de G sort de la base de sustentation
Exercices guidés pas à pas
Exercice 1Calculer un momentSocle
Un menuisier agenceur utilise une clé pour serrer un boulon. Il exerce une force \(F = 30\) N perpendiculaire à la clé, à une distance \(d = 0{,}20\) m de l'axe du boulon.
a) Quelle est la formule du moment ?
\(M = \ldots \times \ldots\)
b) Remplace par les valeurs numériques :
\(M = \ldots \times \ldots = \ldots\) N·m
c) Si le menuisier utilise une clé plus longue (\(d = 0{,}40\) m) avec la même force, le moment sera-t-il plus grand ou plus petit ? Calcule-le.
Correction S1 a) \(M = F \times d\)
b) \(M = 30 \times 0{,}20 = 6\) N·m
c) Le moment sera plus grand (le bras de levier augmente).
\(M = 30 \times 0{,}40 = 12\) N·m
Le moment a doublé quand on a doublé le bras de levier.
Exercice 2Équilibre d'une balançoireSocle
Deux apprentis jouent sur une planche posée sur un rondin (pivot). La planche est en équilibre.
Apprenti A : poids \(P_A = 600\) N, à \(d_A = 2\) m du pivot
Apprenti B : poids \(P_B = ?\) N, à \(d_B = 2{,}5\) m du pivot
a) Écris la condition d'équilibre : \(P_A \times d_A = \ldots \times \ldots\)
b) Remplace les valeurs connues : \(600 \times 2 = P_B \times \ldots\)
c) Calcule \(P_B\) : \(P_B = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) N
d) Déduis-en la masse de l'apprenti B : \(m_B = \dfrac{P_B}{g} = \ldots\) kg
Correction S2 a) \(P_A \times d_A = P_B \times d_B\)
b) \(600 \times 2 = P_B \times 2{,}5\)
c) \(P_B = \dfrac{600 \times 2}{2{,}5} = \dfrac{1200}{2{,}5} = 480\) N
d) \(m_B = \dfrac{480}{9{,}8} \approx 49\) kg
Exercice 3Porte d'armoireSocle
Une porte d'armoire de cuisine pèse 25 N. Son centre de gravité est à 0,30 m des charnières (axe de rotation). Un ressort de rappel exerce une force de 15 N à 0,50 m des charnières.
Complète le tableau :
Force
Intensité (N)
Bras de levier (m)
Moment (N·m)
Poids
25
0,30
…
Ressort
15
0,50
…
La porte est-elle en équilibre ? Justifie.
Correction S3
Moment du poids : \(M_P = 25 \times 0{,}30 = 7{,}5\) N·m (horaire, tend à ouvrir)
Moment du ressort : \(M_R = 15 \times 0{,}50 = 7{,}5\) N·m (antihoraire, tend à fermer)
\(M_P = M_R = 7{,}5\) N·m → la porte est en équilibre.
Exercices d'application
Exercice 4Bras de levage en atelierStandard
Un bras de levage pivotant est fixé au mur d'un atelier de menuiserie. Il est utilisé pour soulever des panneaux de bois. Le bras a une longueur de 1,80 m.
Un panneau de masse \(m = 35\) kg est accroché à l'extrémité du bras.
Un contrepoids exerce une force verticale de 250 N à 0,90 m de l'axe de rotation.
a) Calcule le poids du panneau. b) Calcule le moment du poids du panneau par rapport à l'axe. c) Calcule le moment du contrepoids par rapport à l'axe. d) Le bras est-il en équilibre ? Justifie.
Correction exercice 1 a) \(P = m \times g = 35 \times 9{,}8 = 343\) N
b) \(M_P = P \times d = 343 \times 1{,}80 = 617{,}4\) N·m (moment horaire)
d) \(M_P = 617{,}4\) N·m ≠ \(M_C = 225\) N·m. Le bras n'est pas en équilibre : le moment du poids est largement supérieur au moment du contrepoids. Le bras va tourner dans le sens horaire (descendre côté panneau).
Exercice 5Charnière de meubleStandard
Une porte de placard de cuisine a une masse de 8 kg et une largeur de 0,50 m. Elle est articulée par deux charnières (axe vertical). Le centre de gravité de la porte se situe au milieu, soit à 0,25 m de l'axe des charnières.
On souhaite installer un vérin à gaz qui maintient la porte ouverte à l'horizontale. Le vérin s'accroche à 0,40 m de l'axe des charnières.
a) Calcule le poids de la porte. b) Calcule le moment du poids par rapport à l'axe des charnières. c) Quelle force doit exercer le vérin pour maintenir la porte en équilibre horizontal ?
Correction exercice 2 a) \(P = m \times g = 8 \times 9{,}8 = 78{,}4\) N
b) \(M_P = P \times d_G = 78{,}4 \times 0{,}25 = 19{,}6\) N·m
c) À l'équilibre : \(F_v \times d_v = P \times d_G\)
\(F_v \times 0{,}40 = 78{,}4 \times 0{,}25\)
\(F_v = \dfrac{19{,}6}{0{,}40} = 49\) N
Le vérin doit exercer une force de 49 N.
Exercice 6Stabilité d'une bibliothèqueStandard
Un aménageur d'intérieur installe une bibliothèque de hauteur 2,00 m, de profondeur 0,35 m et de masse 40 kg. Le centre de gravité à vide est situé à 1,00 m du sol et au milieu de la profondeur (0,175 m du bord avant).
On charge les étagères supérieures avec 30 kg de livres. Le nouveau centre de gravité de l'ensemble se situe à 1,40 m du sol et à 0,16 m du bord avant.
a) La bibliothèque à vide est-elle stable ? Justifie en comparant la position de G avec la base de sustentation. b) La bibliothèque chargée est-elle encore stable ? c) À partir de quelle distance du bord avant le centre de gravité provoque-t-il un basculement ?
Correction exercice 3 a) À vide, G est à 0,175 m du bord avant. La base de sustentation a une profondeur de 0,35 m. La verticale de G tombe à 0,175 m du bord, soit exactement au milieu de la base → la bibliothèque est stable.
b) Chargée, G est à 0,16 m du bord avant. Cette distance est inférieure à la profondeur de la base (0,35 m), donc la verticale de G tombe encore dans la base → la bibliothèque est encore stable, mais la marge est plus faible (0,16 m au lieu de 0,175 m).
c) Le basculement se produit quand la verticale de G atteint le bord avant de la base, c'est-à-dire quand la distance du centre de gravité au bord avant vaut 0 m (le centre de gravité est exactement à l'aplomb du bord). En pratique, si G se trouve à moins de quelques centimètres du bord, un léger déséquilibre suffit à faire basculer le meuble. Il faut fixer la bibliothèque au mur.
Exercices d'approfondissement
Exercice 7Dimensionnement d'un bras de levageApprofondissement
Un fabricant de meubles conçoit un bras de levage pivotant pour manipuler des plateaux de tables en bois massif. Le bras est horizontal et pivote autour d'un axe fixé au mur. On donne :
Longueur du bras : \(L = 2{,}50\) m
Masse du bras (répartie uniformément) : \(m_b = 15\) kg (centre de gravité à \(L/2\))
Masse maximale du plateau à soulever : \(m_p = 60\) kg (accroché à l'extrémité du bras)
Un câble de rappel est fixé à une distance \(d_c\) de l'axe et forme un angle de 90° avec le bras
a) Calcule le moment total des charges (bras + plateau) par rapport à l'axe. b) Le câble peut supporter une tension maximale de 800 N. À quelle distance minimale \(d_c\) de l'axe faut-il fixer le câble pour maintenir l'équilibre ? c) Si le câble est fixé à 1,50 m de l'axe, quelle est la tension dans le câble à l'équilibre ?
Correction A1 a) Moment du bras : \(M_b = m_b \times g \times \dfrac{L}{2} = 15 \times 9{,}8 \times 1{,}25 = 183{,}75\) N·m
Moment du plateau : \(M_p = m_p \times g \times L = 60 \times 9{,}8 \times 2{,}50 = 1\,470\) N·m
Moment total : \(M_{\text{total}} = 183{,}75 + 1\,470 = 1\,653{,}75\) N·m
b) À l'équilibre : \(T \times d_c = M_{\text{total}}\)
\(d_c = \dfrac{M_{\text{total}}}{T_{\max}} = \dfrac{1\,653{,}75}{800} \approx 2{,}07\) m
Le câble doit être fixé à au moins 2,07 m de l'axe.
c) \(T \times 1{,}50 = 1\,653{,}75\)
\(T = \dfrac{1\,653{,}75}{1{,}50} = 1\,102{,}5\) N
La tension est de 1 102,5 N, ce qui dépasse la limite du câble (800 N). Il faudrait un câble plus résistant ou le fixer plus loin de l'axe.
Exercice 8Porte de garage basculanteApprofondissement
Un technicien d'agencement étudie le mécanisme d'une porte de garage basculante. La porte, de dimensions 3,00 m × 2,50 m, a une masse de 120 kg. Elle pivote autour d'un axe horizontal situé en haut de l'ouverture. Deux ressorts de torsion assistent l'ouverture.
a) Calcule le poids de la porte. b) Quand la porte est verticale (fermée), le centre de gravité est à 1,25 m sous l'axe. Quel est le moment du poids par rapport à l'axe ? La porte tend-elle à s'ouvrir ou se fermer ? c) Quand la porte est horizontale (ouverte), le centre de gravité est à 1,50 m de l'axe. Quel moment chaque ressort doit-il fournir pour maintenir la porte en équilibre horizontal (on suppose 2 ressorts identiques) ? d) Le fabricant souhaite que la porte reste en équilibre dans n'importe quelle position. Explique pourquoi les ressorts sont indispensables et pourquoi un contrepoids simple ne suffirait pas.
Correction A2 a) \(P = m \times g = 120 \times 9{,}8 = 1\,176\) N
b) Quand la porte est verticale, la droite d'action du poids (verticale) passe par l'axe si le centre de gravité est exactement sous l'axe. Dans ce cas, le bras de levier est nul : \(M = 0\) N·m. La porte ne tend ni à s'ouvrir ni à se fermer par le seul effet du poids (équilibre instable).
Remarque : en pratique, le centre de gravité est légèrement décalé vers l'intérieur du garage, ce qui crée un petit moment tendant à fermer la porte.
c) Porte horizontale : \(M_P = 1\,176 \times 1{,}50 = 1\,764\) N·m
Chaque ressort : \(M_r = \dfrac{1\,764}{2} = 882\) N·m
d) Lorsque la porte change d'angle, le bras de levier du poids varie (il est nul en position verticale et maximal en position horizontale). Un contrepoids fixe aurait un moment constant, ce qui ne compenserait le poids que dans une seule position. Les ressorts de torsion, en revanche, produisent un moment qui varie avec l'angle d'ouverture, ce qui permet de compenser le poids dans toutes les positions.
Exercice 9Équilibre d'une grue de chantier (type BTS)Approfondissement
Lors de la construction d'un bâtiment, une grue à tour est utilisée pour lever des éléments de charpente en bois. La flèche de la grue (bras horizontal) mesure 30 m. La contre-flèche mesure 10 m et porte un contrepoids.
Charge maximale à lever : 2 000 kg, à 25 m de l'axe
Poids propre de la flèche : 8 000 N (centre de gravité à 15 m de l'axe)
Poids propre de la contre-flèche : 3 000 N (centre de gravité à 5 m de l'axe)
a) Calcule le poids de la charge. b) Calcule le moment total côté flèche (charge + poids propre de la flèche). c) Calcule le moment du poids propre de la contre-flèche. d) Détermine la masse minimale du contrepoids, placé à 8 m de l'axe sur la contre-flèche, pour assurer l'équilibre. e) En pratique, on ajoute un coefficient de sécurité de 1,5. Quelle masse de contrepoids réelle faut-il prévoir ?
Correction A3 a) \(P_{\text{charge}} = 2\,000 \times 9{,}8 = 19\,600\) N