Définir le moment d'une force par rapport à un axe de rotation
Calculer un moment : \(M = F \times d\) (bras de levier)
Énoncer et appliquer la condition d'équilibre en rotation : somme des moments = 0
Déterminer le centre de gravité d'un solide et étudier les conditions de basculement
Socle
DS – Niveau Socle (durée : 30 min)
Exercice 1 – Questions de cours (6 pts)
a) Complète la phrase : Le moment d'une force se calcule avec la formule \(M = \ldots \times \ldots\) (1 pt)
b) Quelle est l'unité du moment d'une force ? (1 pt)
c) Qu'est-ce que le bras de levier ? Entoure la bonne réponse : (1 pt)
A. La longueur de la force
B. La distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force
C. La masse de l'objet
d) Un solide est en équilibre quand la somme des moments est égale à … (1 pt)
e) Un meuble bascule quand la verticale passant par le centre de gravité sort de la … (1 pt)
f) Pour augmenter la stabilité d'un meuble, faut-il abaisser ou élever son centre de gravité ? (1 pt)
Correction a) \(M = F \times d\) b) Le newton-mètre (N·m) c) Réponse B d) Zéro (0) e) Base de sustentation f) Il faut abaisser le centre de gravité
Exercice 2 – Calcul de moment (6 pts)
Un poseur de cuisines serre une vis avec un tournevis à levier. Il exerce une force de \(F = 20\) N à une distance \(d = 0{,}15\) m de l'axe de la vis.
a) Écris la formule du moment : \(M = \ldots \times \ldots\) (1 pt)
b) Remplace par les valeurs : \(M = \ldots \times \ldots = \ldots\) N·m (2 pts)
c) Si la force passe à 40 N (on double la force), recalcule le moment. (2 pts)
d) Quand on double la force, le moment est-il doublé ? (1 pt)
Correction a) \(M = F \times d\) b) \(M = 20 \times 0{,}15 = 3\) N·m c) \(M = 40 \times 0{,}15 = 6\) N·m d) Oui, quand on double la force, le moment est doublé (proportionnalité).
Exercice 3 – Équilibre (8 pts)
Une étagère de 1,00 m est fixée au mur par un pivot. Une charge de poids \(P = 60\) N est posée à \(d_1 = 0{,}80\) m du mur. Un câble exerce une force verticale \(F\) à \(d_2 = 0{,}60\) m du mur.
a) Calcule le moment du poids : \(M_P = P \times d_1 = \ldots\) N·m (2 pts)
b) Écris la condition d'équilibre : \(M_P = \ldots\) (2 pts)
c) Calcule la force \(F\) du câble : \(F = \dfrac{M_P}{d_2} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) N (4 pts)
Correction a) \(M_P = 60 \times 0{,}80 = 48\) N·m b) \(M_P = F \times d_2\) (condition d'équilibre) c) \(F = \dfrac{48}{0{,}60} = 80\) N
Standard
DS – Niveau Standard (durée : 45 min)
Exercice 1 – Questions de cours (5 pts)
a) Définir le moment d'une force par rapport à un axe de rotation. (2 pts) b) Énoncer la condition d'équilibre d'un solide en rotation. (1 pt) c) Dans quels cas le moment d'une force est-il nul ? (2 pts)
Correction a) Le moment d'une force par rapport à un axe de rotation est le produit de l'intensité de la force par le bras de levier (distance perpendiculaire entre l'axe et la droite d'action de la force) : \(M = F \times d\). Il s'exprime en N·m. b) Un solide en rotation est en équilibre lorsque la somme algébrique des moments de toutes les forces par rapport à l'axe est nulle : \(\sum M = 0\). c) Le moment est nul lorsque : la droite d'action de la force passe par l'axe de rotation (\(d = 0\)) ; ou lorsque la force est parallèle à l'axe de rotation ; ou lorsque l'intensité de la force est nulle.
Exercice 2 – Porte de placard (7 pts)
Un menuisier agenceur installe une porte relevable de placard de masse 12 kg et de profondeur 0,60 m. Ouverte à l'horizontale, la porte est articulée sur son bord supérieur par des charnières d'axe horizontal. Le centre de gravité est situé à 0,30 m de l'axe des charnières. Un vérin à gaz exerce une force verticale à 0,45 m de l'axe.
a) Calcule le poids de la porte. (1 pt) b) Calcule le moment du poids par rapport à l'axe des charnières. (2 pts) c) Quelle force minimale le vérin doit-il exercer pour maintenir la porte ouverte à l'horizontale ? (2 pts) d) Si le vérin exerce 90 N à cette position, la porte est-elle en équilibre ? Indique son sens de rotation initial. (2 pts)
Correction a) \(P = 12 \times 9{,}8 = 117{,}6\) N b) \(M_P = 117{,}6 \times 0{,}30 = 35{,}28\) N·m c) À l'équilibre : \(F_v \times 0{,}45 = 35{,}28\)
\(F_v = \dfrac{35{,}28}{0{,}45} = 78{,}4\) N d) Le moment du vérin vaut \(90 \times 0{,}45 = 40{,}5\) N·m, contre 35,28 N·m pour le poids. Les moments ne se compensent pas : la porte n'est pas en équilibre et tend d'abord à s'ouvrir davantage. Une butée ou la variation géométrique du vérin peut ensuite l'immobiliser, mais les seules données ne permettent pas de l'affirmer.
Exercice 3 – Stabilité d'un meuble (8 pts)
Un installateur d'agencement pose une armoire haute : hauteur 2,40 m, profondeur 0,40 m, masse 55 kg. Le centre de gravité à vide est à 1,20 m du sol et à 0,20 m du bord avant.
On charge l'étagère du haut (à 2,10 m du sol) avec 25 kg d'objets.
a) L'armoire à vide est-elle stable ? Justifie. (2 pts) b) Calcule la position horizontale \(x_G\) de l'ensemble par rapport au bord avant, puis sa hauteur \(z_G\). Pour chaque coordonnée, utilise la moyenne pondérée \(\dfrac{m_1q_1+m_2q_2}{m_1+m_2}\), avec \(x_1=x_2=0{,}20\) m, \(z_1=1{,}20\) m et \(z_2=2{,}10\) m. (4 pts) c) L'ensemble est-il stable ? Propose une solution si nécessaire. (2 pts)
Correction a) Le centre de gravité à vide est à 0,20 m du bord avant, or la profondeur est 0,40 m. La verticale de G tombe dans la base → stable.
b) \(x_G = \dfrac{55 \times 0{,}20 + 25 \times 0{,}20}{55 + 25} = \dfrac{16}{80} = 0{,}20\) m.
\(z_G = \dfrac{55 \times 1{,}20 + 25 \times 2{,}10}{80} = \dfrac{118{,}5}{80} = 1{,}481\) m ≈ 1,48 m.
La charge reste centrée horizontalement, mais elle fait monter le centre de gravité de 1,20 m à 1,48 m.
c) À la verticale, \(x_G=0{,}20\) m reste dans la base \([0;0{,}40]\) m : l'ensemble est stable dans le modèle statique. Toutefois, le centre de gravité plus haut réduit l'inclinaison nécessaire au basculement ; les données ne permettent pas de garantir la tenue à un choc. Solution professionnelle : fixer l'armoire au mur avec des équerres adaptées.
Approfondissement
DS – Niveau Approfondissement (durée : 55 min)
Exercice 1 – Système de levage d'un établi (8 pts)
Un artisan menuisier utilise un établi à plateau relevable. Le plateau (masse 30 kg, longueur 1,80 m) pivote autour d'une charnière située à une extrémité. Un vérin pneumatique est fixé à 0,60 m de la charnière et exerce une force perpendiculaire au plateau.
a) Calcule le poids du plateau et son moment par rapport à la charnière (le centre de gravité du plateau est au milieu). (2 pts) b) Calcule la force nécessaire du vérin pour maintenir le plateau horizontal. (2 pts) c) On pose une pièce de bois de 15 kg à l'extrémité libre du plateau. Calcule la nouvelle force nécessaire du vérin. (2 pts) d) Si le vérin ne peut fournir que 600 N, à quelle distance minimale de la charnière faut-il le fixer pour supporter le plateau chargé ? (2 pts)
Correction a) \(P = 30 \times 9{,}8 = 294\) N
\(M_P = 294 \times 0{,}90 = 264{,}6\) N·m
b) \(F_v \times 0{,}60 = 264{,}6\)
\(F_v = \dfrac{264{,}6}{0{,}60} = 441\) N
c) Poids de la pièce : \(15 \times 9{,}8 = 147\) N
Moment supplémentaire : \(147 \times 1{,}80 = 264{,}6\) N·m
Moment total : \(264{,}6 + 264{,}6 = 529{,}2\) N·m
\(F_v = \dfrac{529{,}2}{0{,}60} = 882\) N
d) \(600 \times d = 529{,}2\)
\(d = \dfrac{529{,}2}{600} = 0{,}882\) m
Le vérin doit être fixé à au moins 0,88 m de la charnière.
Un technicien d'agencement conçoit une enseigne en bois à fixer en drapeau sur la façade d'un magasin. L'enseigne est un panneau rectangulaire de 1,20 m × 0,80 m, en chêne massif (masse volumique du chêne : 750 kg/m³, épaisseur du panneau : 30 mm). Le panneau est fixé au mur par une potence horizontale en acier de 0,80 m, elle-même fixée au mur par un axe de rotation et un hauban (câble en acier) incliné à 45° par rapport au mur.
a) Calcule la masse du panneau en bois. (2 pts) b) Le panneau est accroché au bout de la potence (à 0,80 m du mur). La potence elle-même a une masse de 5 kg (centre de gravité à 0,40 m du mur). Calcule le moment total de l'ensemble par rapport à l'axe de fixation au mur. (3 pts) c) Le hauban est fixé au mur à 0,80 m au-dessus de l'axe de rotation et à l'extrémité de la potence. Calcule le bras de levier de la tension du hauban par rapport à l'axe de rotation. (3 pts) d) Détermine la tension dans le hauban à l'équilibre. (2 pts) e) Le hauban peut supporter une tension de 500 N. Y a-t-il un risque de rupture ? (2 pts)
Correction a) Volume du panneau : \(V = 1{,}20 \times 0{,}80 \times 0{,}030 = 0{,}0288\) m³
Masse : \(m = \rho \times V = 750 \times 0{,}0288 = 21{,}6\) kg
b) Poids du panneau : \(P_p = 21{,}6 \times 9{,}8 = 211{,}7\) N
Moment du panneau : \(M_p = 211{,}7 \times 0{,}80 = 169{,}4\) N·m
Poids de la potence : \(P_t = 5 \times 9{,}8 = 49\) N
Moment de la potence : \(M_t = 49 \times 0{,}40 = 19{,}6\) N·m
Moment total : \(M = 169{,}4 + 19{,}6 = 189\) N·m
c) Le hauban va du point d'attache au mur (0,80 m au-dessus de l'axe) au bout de la potence (0,80 m du mur, à la hauteur de l'axe). Il forme un angle de 45° avec l'horizontale. Le bras de levier est la distance perpendiculaire de l'axe à la droite d'action du hauban.
Le triangle formé est isocèle rectangle. Le bras de levier vaut :
\(d = \dfrac{0{,}80 \times 0{,}80}{\sqrt{0{,}80^2 + 0{,}80^2}} = \dfrac{0{,}64}{0{,}80\sqrt{2}} = \dfrac{0{,}80}{\sqrt{2}} \approx 0{,}566\) m
d) À l'équilibre : \(T \times d = M_{\text{total}}\)
\(T \times 0{,}566 = 189\)
\(T = \dfrac{189}{0{,}566} \approx 334\) N
e) \(T = 334\) N < 500 N (limite fournie). Dans le modèle statique de l'exercice, la limite n'est pas dépassée. Le rapport \(\dfrac{500}{334} \approx 1{,}5\) donne la marge par rapport à cette limite ; une conclusion de sécurité réelle demanderait aussi de connaître les efforts dynamiques et le coefficient réglementaire exigé.