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Ch05 – Minimiser les transferts thermiques

Exercices | Première Bac Pro ERA-MA – Groupement 3

Rappels
T_int mur λ₁, e₁ isolant λ₂, e₂ BA13 λ₃, e₃ T_ext Φ
Paroi multicouche : R_th = Σ(eᵢ/λᵢ·S)

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Conductance d'un mur (guidé) Socle
Un mur en béton a les caractéristiques suivantes : S = 10 m², e = 20 cm, \(\lambda = 1{,}7\) W/m·K.

Étape 1 : Convertir l'épaisseur en mètres.
\(e = 20 \text{ cm} = \ldots \text{ m}\)

Étape 2 : Écrire la formule de la conductance.
\(G = \dfrac{\ldots \times \ldots}{\ldots}\)

Étape 3 : Remplacer et calculer.
\(G = \dfrac{\ldots \times \ldots}{\ldots} = \ldots\) W/K
Correction :
Étape 1 : \(e = 20 / 100 = 0{,}20\) m
Étape 2 : \(G = \dfrac{\lambda \times S}{e}\)
Étape 3 : \(G = \dfrac{1{,}7 \times 10}{0{,}20} = \dfrac{17}{0{,}20} = 85\) W/K
Exercice 2 Flux thermique (guidé) Socle
Le mur de l'exercice précédent sépare une pièce à 19 °C de l'extérieur à 5 °C.

Étape 1 : Calculer la différence de température.
\(\Delta T = T_1 - T_2 = \ldots - \ldots = \ldots\) K

Étape 2 : Écrire la formule du flux thermique.
\(\Phi = G \times \ldots\)

Étape 3 : Calculer.
\(\Phi = \ldots \times \ldots = \ldots\) W

Étape 4 : Convertir en kW.
\(\Phi = \ldots\) kW
Correction :
Étape 1 : \(\Delta T = 19 - 5 = 14\) K
Étape 2 : \(\Phi = G \times (T_1 - T_2)\)
Étape 3 : \(\Phi = 85 \times 14 = 1\,190\) W
Étape 4 : \(\Phi = 1{,}19\) kW
Exercice 3 Comparer deux matériaux (guidé) Socle
Calculer la conductance G de deux plaques de même surface (S = 8 m²) et même épaisseur (e = 10 cm) :

Matériau\(\lambda\) (W/m·K)G (W/K)
Béton1,7… = …
Laine de verre0,032… = …
Quel matériau est le meilleur isolant ?
Correction :
Béton : \(G = \dfrac{1{,}7 \times 8}{0{,}10} = 136\) W/K
Laine de verre : \(G = \dfrac{0{,}032 \times 8}{0{,}10} = 2{,}56\) W/K

La laine de verre est le meilleur isolant (G = 2,56 W/K, soit 53 fois moins que le béton).
Exercice 4 Énergie perdue (guidé) Socle
Un mur laisse passer un flux \(\Phi = 500\) W pendant 8 heures.

Étape 1 : Convertir \(\Phi\) en kW.
\(\Phi = \ldots\) kW

Étape 2 : Calculer l'énergie en kWh.
\(E = \Phi \times t = \ldots \times \ldots = \ldots\) kWh

Étape 3 : Calculer le coût (0,18 €/kWh).
Coût = \(\ldots \times 0{,}18 = \ldots\) €
Correction :
Étape 1 : \(\Phi = 0{,}500\) kW
Étape 2 : \(E = 0{,}500 \times 8 = 4\) kWh
Étape 3 : Coût = \(4 \times 0{,}18 = 0{,}72\) €

Exercices d'application

Exercice 5 Isolation d'une cloison d'atelier Standard
Un menuisier agenceur installe une cloison entre son atelier chauffé (18 °C) et un local de stockage non chauffé (6 °C). La cloison mesure 3 m × 4 m = 12 m².
SolutionMatériau\(\lambda\) (W/m·K)Épaisseur (cm)
APlaco seul0,251,3
BPlaco + polystyrène0,0358 (isolant)
CPlaco + laine de verre0,03210 (isolant)
  1. Calculer la conductance G de chaque solution (pour l'isolant uniquement dans B et C). (3 pts)
  2. Calculer le flux thermique \(\Phi\) pour chaque solution. (3 pts)
  3. Calculer l'énergie perdue en un mois (200 heures de chauffage) pour chaque solution en kWh. (2 pts)
  4. Quelle solution recommander ? Justifier. (2 pts)
Correction :
\(\Delta T = 18 - 6 = 12\) K

1. A : \(G = 0{,}25 \times 12 / 0{,}013 = 230{,}8\) W/K
B : \(G = 0{,}035 \times 12 / 0{,}08 = 5{,}25\) W/K
C : \(G = 0{,}032 \times 12 / 0{,}10 = 3{,}84\) W/K

2. A : \(\Phi = 230{,}8 \times 12 = 2\,770\) W
B : \(\Phi = 5{,}25 \times 12 = 63\) W
C : \(\Phi = 3{,}84 \times 12 = 46{,}1\) W

3. A : \(E = 2{,}770 \times 200 / 1000 = 554\) kWh
B : \(E = 0{,}063 \times 200 = 12{,}6\) kWh
C : \(E = 0{,}046 \times 200 = 9{,}2\) kWh

4. La solution C (laine de verre 10 cm) est la plus performante (flux le plus faible). La solution A est catastrophique (60 fois plus de pertes que C).
Exercice 6 Fenêtre simple vs double vitrage Standard
Un poseur de cuisines remplace une fenêtre de S = 2 m². Intérieur : 20 °C, extérieur : 3 °C.
  1. Calculer G et \(\Phi\) pour le simple vitrage. (2 pts)
  2. Pour le double vitrage, calculer G de la lame d'air seule (l'air est l'élément isolant principal). (2 pts)
  3. Calculer le flux à travers le double vitrage (en utilisant G de l'air). (2 pts)
  4. Calculer le rapport des flux. Par combien l'isolation est-elle améliorée ? (2 pts)
  5. Calculer l'énergie économisée en un hiver (150 jours, 12 h de chauffage/jour). (2 pts)
Correction :
\(\Delta T = 20 - 3 = 17\) K

1. Simple vitrage :
\(G = 1{,}0 \times 2 / 0{,}004 = 500\) W/K
\(\Phi = 500 \times 17 = 8\,500\) W = 8,5 kW (!)

2. Lame d'air :
\(G = 0{,}025 \times 2 / 0{,}016 = 3{,}125\) W/K

3. \(\Phi = 3{,}125 \times 17 = 53{,}1\) W

4. Rapport : \(8\,500 / 53{,}1 = 160\). L'isolation est améliorée d'un facteur 160.
Note : en réalité, le simple vitrage a aussi des pertes par convection et rayonnement. Le calcul montre surtout l'importance de la lame d'air.

5. Heures : \(150 \times 12 = 1\,800\) h
Économie en puissance : \(8{,}500 - 0{,}053 = 8{,}447\) kW
Énergie : \(8{,}447 \times 1\,800 = 15\,205\) kWh
Coût économisé : \(15\,205 \times 0{,}18 = 2\,737\) €
Exercice 7 Influence de l'épaisseur Standard
Un ébéniste isole le plafond de son atelier (S = 50 m², \(\Delta T = 15\) K) avec de la laine de verre (\(\lambda = 0{,}032\)). Il hésite entre 10 cm et 20 cm d'épaisseur.
  1. Calculer G et \(\Phi\) pour 10 cm. (2 pts)
  2. Calculer G et \(\Phi\) pour 20 cm. (2 pts)
  3. Par combien le flux est-il réduit en doublant l'épaisseur ? (1 pt)
  4. Calculer l'économie annuelle de chauffage en passant de 10 à 20 cm (2 000 heures, 0,18 €/kWh). (2 pts)
  5. Le surcoût de l'isolant est de 5 €/m² pour les 10 cm supplémentaires. Calculer le temps de retour sur investissement. (1 pt)
Correction :
1. e = 10 cm : \(G = 0{,}032 \times 50 / 0{,}10 = 16\) W/K
\(\Phi = 16 \times 15 = 240\) W

2. e = 20 cm : \(G = 0{,}032 \times 50 / 0{,}20 = 8\) W/K
\(\Phi = 8 \times 15 = 120\) W

3. \(240 / 120 = 2\). Le flux est divisé par 2.

4. \(\Delta \Phi = 240 - 120 = 120\) W = 0,12 kW
\(E = 0{,}12 \times 2\,000 = 240\) kWh
Économie : \(240 \times 0{,}18 = 43{,}20\) €/an

5. Surcoût : \(50 \times 5 = 250\) €
Retour : \(250 / 43{,}20 = 5{,}8\) ans ≈ 6 ans.

Exercices d'approfondissement

Exercice 8 Mur composite Approfondissement
Un installateur d'agencement doit calculer les pertes à travers un mur composite constitué de :
CoucheÉpaisseur (cm)\(\lambda\) (W/m·K)
Enduit extérieur21,15
Parpaing201,10
Laine de roche120,034
Placo1,30,25
Surface du mur : S = 15 m². Températures : intérieur 20 °C, extérieur 2 °C.
  1. Calculer la résistance thermique de chaque couche : \(R = e / (\lambda \cdot S)\). (4 pts)
  2. Calculer la résistance totale. (1 pt)
  3. En déduire la conductance totale \(G = 1/R\). (1 pt)
  4. Calculer le flux thermique \(\Phi\). (1 pt)
  5. Quelle couche assure la quasi-totalité de l'isolation ? Calculer son pourcentage dans la résistance totale. (2 pts)
  6. Calculer l'énergie perdue en un hiver (180 jours, 12 h/jour) et son coût (0,18 €/kWh). (1 pt)
Correction :
1. \(R = e / (\lambda \times S)\) :
Enduit : \(0{,}02 / (1{,}15 \times 15) = 0{,}00116\) K/W
Parpaing : \(0{,}20 / (1{,}10 \times 15) = 0{,}01212\) K/W
Laine de roche : \(0{,}12 / (0{,}034 \times 15) = 0{,}23529\) K/W
Placo : \(0{,}013 / (0{,}25 \times 15) = 0{,}00347\) K/W

2. \(R_{\text{total}} = 0{,}00116 + 0{,}01212 + 0{,}23529 + 0{,}00347 = 0{,}25204\) K/W

3. \(G = 1 / 0{,}25204 = 3{,}97\) W/K

4. \(\Phi = 3{,}97 \times (20 - 2) = 3{,}97 \times 18 = 71{,}4\) W

5. Laine de roche : \(0{,}23529 / 0{,}25204 \times 100 = 93{,}4\) %. L'isolant assure 93 % de la résistance thermique totale.

6. \(E = 0{,}0714 \times 180 \times 12 = 154{,}2\) kWh. Coût : \(154{,}2 \times 0{,}18 = 27{,}76\) €.
Exercice 9 Bilan thermique d'un local Approfondissement
Un fabricant de mobilier souhaite calculer la puissance de chauffage nécessaire pour son showroom (8 m × 6 m × 3 m). Températures : intérieur 20 °C, extérieur 0 °C.
ParoiS (m²)G (W/K)
Murs (isolés)6012
Toit (isolé 15 cm)485,1
Sol488,6
Fenêtres (double vitrage)1233,6
Porte d'entrée410
Le renouvellement d'air (VMC) entraîne une perte supplémentaire de 250 W/K.
  1. Calculer le flux thermique de chaque paroi. (3 pts)
  2. Calculer le flux dû à la VMC. (1 pt)
  3. Calculer le flux total. Quelle puissance de chauffage est nécessaire ? (1 pt)
  4. Quel poste représente les plus grandes pertes ? Proposer des améliorations. (2 pts)
  5. Si le chauffage fonctionne 10 h/jour, 180 jours/an, calculer le coût annuel (0,18 €/kWh). (2 pts)
  6. En remplaçant les fenêtres par du triple vitrage (G divisé par 2,5), recalculer les pertes totales et l'économie annuelle. (1 pt)
Correction :
\(\Delta T = 20\) K

1. Murs : \(12 \times 20 = 240\) W
Toit : \(5{,}1 \times 20 = 102\) W
Sol : \(8{,}6 \times 20 = 172\) W
Fenêtres : \(33{,}6 \times 20 = 672\) W
Porte : \(10 \times 20 = 200\) W

2. VMC : \(250 \times 20 = 5\,000\) W

3. Total : \(240 + 102 + 172 + 672 + 200 + 5\,000 = 6\,386\) W ≈ 6,4 kW. Prévoir ~8 kW avec une marge de sécurité.

4. La VMC (78 % des pertes). Solutions : VMC double flux (récupère 70-80 % de la chaleur), ou réduire le débit quand le local est inoccupé.

5. \(E = 6{,}386 \times 10 \times 180 / 1000 = 11\,495\) kWh. Coût : \(11\,495 \times 0{,}18 = 2\,069\) €/an.

6. Nouvelles fenêtres : \(G' = 33{,}6 / 2{,}5 = 13{,}44\) W/K. \(\Phi' = 13{,}44 \times 20 = 268{,}8\) W.
Nouveau total : \(240 + 102 + 172 + 268{,}8 + 200 + 5\,000 = 5\,982{,}8\) W.
Économie : \((6\,386 - 5\,983) \times 10 \times 180 / 1000 \times 0{,}18 = 130{,}6\) €/an.
Exercice 10 Problème ouvert : choix d'isolant Approfondissement
Un aménageur d'intérieur doit isoler les combles perdus d'une maison (S = 80 m²). Température intérieur : 20 °C, combles : 5 °C en hiver. Budget isolant : 2 000 €. Chauffage : 2 000 h/an à 0,18 €/kWh.
Isolant\(\lambda\) (W/m·K)Prix (€/m²) pour 10 cmPrix (€/m²) pour 20 cm
Laine de verre0,032611
Laine de bois0,0381528
Ouate de cellulose0,040814
  1. Calculer G et \(\Phi\) pour chaque isolant en 10 cm et en 20 cm.
  2. Calculer le coût total de chaque solution (6 combinaisons).
  3. Identifier les solutions qui rentrent dans le budget de 2 000 €.
  4. Pour les solutions possibles, calculer l'énergie économisée par rapport à l'absence d'isolant (hypothèse : combles non isolés → pertes = 2 000 W).
  5. Recommander la meilleure solution en justifiant (performance, coût, impact environnemental).
Correction :
\(\Delta T = 15\) K

1. Laine verre 10 cm : \(G = 0{,}032 \times 80 / 0{,}10 = 25{,}6\) → \(\Phi = 384\) W
Laine verre 20 cm : \(G = 12{,}8\) → \(\Phi = 192\) W
Laine bois 10 cm : \(G = 0{,}038 \times 80 / 0{,}10 = 30{,}4\) → \(\Phi = 456\) W
Laine bois 20 cm : \(G = 15{,}2\) → \(\Phi = 228\) W
Ouate 10 cm : \(G = 0{,}040 \times 80 / 0{,}10 = 32\) → \(\Phi = 480\) W
Ouate 20 cm : \(G = 16\) → \(\Phi = 240\) W

2. Coûts :
Laine verre 10 cm : \(80 \times 6 = 480\) € | 20 cm : \(80 \times 11 = 880\) €
Laine bois 10 cm : \(80 \times 15 = 1\,200\) € | 20 cm : \(80 \times 28 = 2\,240\) €
Ouate 10 cm : \(80 \times 8 = 640\) € | 20 cm : \(80 \times 14 = 1\,120\) €

3. Dans le budget : laine verre 10 cm (480 €), laine verre 20 cm (880 €), laine bois 10 cm (1 200 €), ouate 10 cm (640 €), ouate 20 cm (1 120 €). Hors budget : laine bois 20 cm (2 240 €).

4. Économie par rapport à 2 000 W (sans isolant) :
Laine verre 20 cm : \(\Delta\Phi = 2000 - 192 = 1808\) W → \(E = 1{,}808 \times 2000 = 3\,616\) kWh → \(651\) €/an
Ouate 20 cm : \(\Delta\Phi = 1760\) W → \(3\,520\) kWh → \(634\) €/an
Laine verre 10 cm : \(\Delta\Phi = 1616\) W → \(3\,232\) kWh → \(582\) €/an

5. Laine de verre 20 cm : meilleur rapport performance/prix (880 € d'investissement, 651 €/an d'économie → amortissement en 1,4 an). La ouate de cellulose 20 cm est une alternative écologique intéressante (matériau recyclé, 1 120 €, amortissement en 1,8 an).
Première Bac Pro ERA-MA – Groupement 3 | Physique-Chimie – Chapitre 5 | maths-sciences-lp.github.io