Puissance en régime sinusoïdal — Première Bac Pro ERA-MA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Un moteur consomme I = 10 A sous U = 230 V, avec \(\cos \varphi = 0{,}85\).
a) Écrire la formule : \(P = ... \times ... \times ...\)
b) Calculer : \(P = 230 \times 10 \times 0{,}85 = ...\) W
a) \(P = U \times I \times \cos \varphi\)
b) \(P = 230 \times 10 \times 0{,}85 = \mathbf{1\,955}\) W
Pour le même moteur (U = 230 V, I = 10 A) :
a) Calculer la puissance apparente : \(S = 230 \times 10 = ...\) VA
b) La puissance active (1 955 W) est-elle plus grande ou plus petite que la puissance apparente ?
a) \(S = 230 \times 10 = \mathbf{2\,300}\) VA
b) La puissance active (1 955 W) est plus petite que la puissance apparente (2 300 VA). La différence correspond à l'énergie réactive.
Compléter le tableau :
| Appareil | \(\cos \varphi\) |
|---|---|
| Radiateur électrique | ... |
| Moteur de toupie à pleine charge | 0,80 à ... |
| Moteur à vide | 0,20 à ... |
| Appareil | \(\cos \varphi\) |
|---|---|
| Radiateur électrique | 1,00 |
| Moteur de toupie à pleine charge | 0,80 à 0,90 |
| Moteur à vide | 0,20 à 0,40 |
Un compresseur branché sous 230 V consomme I = 9,2 A. Un wattmètre mesure P = 1 590 W.
a) Calculer \(U \times I = 230 \times 9{,}2 = ...\)
b) Calculer \(\cos \varphi = \dfrac{1\,590}{...} = ...\)
a) \(U \times I = 230 \times 9{,}2 = \mathbf{2\,116}\) VA
b) \(\cos \varphi = \dfrac{1\,590}{2\,116} = \mathbf{0{,}75}\)
Cocher la bonne réponse pour chaque affirmation :
a) Un \(\cos \varphi\) faible entraîne : ☐ des économies d'énergie / ☐ des pertes accrues dans les câbles
b) EDF demande un \(\cos \varphi\) : ☐ ≥ 0,93 / ☐ ≤ 0,50
c) Pour une résistance pure, on a : ☐ \(P = U \times I\) / ☐ \(P < U \times I\)
d) Le watt (W) mesure la puissance : ☐ active / ☐ apparente
a) Un \(\cos \varphi\) faible entraîne des pertes accrues dans les câbles.
b) EDF demande un \(\cos \varphi\) ≥ 0,93.
c) Pour une résistance pure : \(P = U \times I\) (car \(\cos \varphi = 1\)).
d) Le watt mesure la puissance active.
Barème : 20 points
Un moteur consomme I = 8 A sous U = 230 V, avec \(\cos \varphi = 0{,}90\).
a) Écrire la formule : \(P = ... \times ... \times ...\)
b) Calculer : \(P = 230 \times 8 \times 0{,}90 = ...\) W
a) \(P = U \times I \times \cos \varphi\)
b) \(P = 230 \times 8 \times 0{,}90 = \mathbf{1\,656}\) W
Pour le même moteur (U = 230 V, I = 8 A) :
a) Calculer la puissance apparente : \(S = 230 \times 8 = ...\) VA
b) La puissance active (1 656 W) est-elle plus grande ou plus petite que la puissance apparente ?
a) \(S = 230 \times 8 = \mathbf{1\,840}\) VA
b) La puissance active (1 656 W) est plus petite que la puissance apparente (1 840 VA). La différence correspond à l'énergie réactive.
Compléter le tableau :
| Appareil | \(\cos \varphi\) |
|---|---|
| Lampe à incandescence | ... |
| Moteur de scie à ruban à pleine charge | 0,82 à ... |
| Moteur à faible charge | 0,30 à ... |
| Appareil | \(\cos \varphi\) |
|---|---|
| Lampe à incandescence | 1,00 |
| Moteur de scie à ruban à pleine charge | 0,82 à 0,88 |
| Moteur à faible charge | 0,30 à 0,50 |
Un moteur de ventilation branché sous 230 V consomme I = 6,5 A. Un wattmètre mesure P = 1 200 W.
a) Calculer \(U \times I = 230 \times 6{,}5 = ...\)
b) Calculer \(\cos \varphi = \dfrac{1\,200}{...} = ...\)
a) \(U \times I = 230 \times 6{,}5 = \mathbf{1\,495}\) VA
b) \(\cos \varphi = \dfrac{1\,200}{1\,495} = \mathbf{0{,}80}\)
Cocher la bonne réponse pour chaque affirmation :
a) La puissance apparente S se mesure en : ☐ watts (W) / ☐ voltampères (VA)
b) Un bon facteur de puissance est : ☐ proche de 0 / ☐ proche de 1
c) Pour un chauffage électrique, on a : ☐ \(\cos \varphi = 1\) / ☐ \(\cos \varphi < 1\)
d) Le voltampère (VA) mesure la puissance : ☐ active / ☐ apparente
a) La puissance apparente S se mesure en voltampères (VA).
b) Un bon facteur de puissance est proche de 1.
c) Pour un chauffage électrique : \(\cos \varphi = 1\) (charge purement résistive).
d) Le voltampère mesure la puissance apparente.
Barème : 20 points
Une dégauchisseuse d'un atelier de menuiserie consomme I = 14 A sous U = 230 V avec un facteur de puissance \(\cos \varphi = 0{,}85\).
a) Calculer la puissance apparente S.
b) Calculer la puissance active P.
a) \(S = U \times I = 230 \times 14 = \mathbf{3\,220}\) VA
b) \(P = U \times I \times \cos \varphi = 230 \times 14 \times 0{,}85 = \mathbf{2\,737}\) W ≈ 2,7 kW
Le moteur d'une aspiration centralisée dans un atelier d'agencement consomme I = 8,5 A sous 230 V. Le facteur de puissance est \(\cos \varphi = 0{,}82\).
a) Calculer la puissance active de ce moteur.
b) Si ce moteur fonctionnait comme une résistance pure (\(\cos \varphi = 1\)), quelle serait sa puissance ? Comparer.
a) \(P = 230 \times 8{,}5 \times 0{,}82 = \mathbf{1\,603}\) W ≈ 1,6 kW
b) Si \(\cos \varphi = 1\) : \(P = 230 \times 8{,}5 = 1\,955\) W
La puissance active du moteur (1 603 W) est inférieure de 352 W à la puissance apparente.
Sur un oscilloscope, on observe que le courant est en retard de \(\Delta t = 2{,}5\) ms sur la tension pour le moteur d'une toupie. La fréquence est 50 Hz.
a) Calculer la période T.
b) Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés.
a) \(T = 1/f = 1/50 = \mathbf{0{,}020}\) s = 20 ms
b) \(\varphi = \dfrac{\Delta t}{T} \times 360° = \dfrac{2{,}5}{20} \times 360° = \mathbf{45°}\)
Un menuisier agenceur relève les données suivantes pour un moteur de compresseur : U = 230 V, P = 1 800 W (mesuré au wattmètre), I = 10,5 A.
a) Calculer le facteur de puissance de ce moteur.
b) Ce facteur de puissance est-il satisfaisant selon les exigences du fournisseur d'énergie ? Justifier.
a) \(\cos \varphi = \dfrac{P}{U \times I} = \dfrac{1\,800}{230 \times 10{,}5} = \dfrac{1\,800}{2\,415} = \mathbf{0{,}745} \approx 0{,}75\)
b) EDF demande \(\cos \varphi \geq 0{,}93\). Ici \(\cos \varphi = 0{,}75\), ce qui est insuffisant. L'installation bénéficierait d'une compensation par condensateurs.
Deux appareils d'un atelier sont branchés sous 230 V et consomment chacun 10 A :
a) Calculer la puissance active de chaque appareil.
b) Expliquer pourquoi le moteur fournit moins de puissance utile alors qu'il consomme le même courant.
a) Radiateur : \(P_A = 230 \times 10 \times 1{,}00 = \mathbf{2\,300}\) W
Moteur : \(P_B = 230 \times 10 \times 0{,}85 = \mathbf{1\,955}\) W
b) Le moteur a un déphasage entre tension et courant (\(\cos \varphi < 1\)). Une partie du courant circule « en réactif » sans produire de travail utile. Les câbles doivent supporter les mêmes 10 A, mais la puissance réellement consommée est moindre.
Barème : 20 points
Un ébéniste utilise une raboteuse dont le moteur consomme I = 11 A sous U = 230 V avec un facteur de puissance \(\cos \varphi = 0{,}82\).
a) Calculer la puissance apparente S.
b) Calculer la puissance active P.
a) \(S = U \times I = 230 \times 11 = \mathbf{2\,530}\) VA
b) \(P = U \times I \times \cos \varphi = 230 \times 11 \times 0{,}82 = \mathbf{2\,075}\) W ≈ 2,1 kW
Le moteur d'un compresseur dans un atelier de menuiserie consomme I = 7,0 A sous 230 V. Le facteur de puissance est \(\cos \varphi = 0{,}78\).
a) Calculer la puissance active de ce moteur.
b) Si ce moteur fonctionnait comme une résistance pure (\(\cos \varphi = 1\)), quelle serait sa puissance ? Comparer.
a) \(P = 230 \times 7{,}0 \times 0{,}78 = \mathbf{1\,255}\) W ≈ 1,3 kW
b) Si \(\cos \varphi = 1\) : \(P = 230 \times 7{,}0 = 1\,610\) W
La puissance active du moteur (1 255 W) est inférieure de 355 W à la puissance apparente.
Sur un oscilloscope, on observe que le courant est en retard de \(\Delta t = 4{,}0\) ms sur la tension pour le moteur d'une défonceuse. La fréquence est 50 Hz.
a) Calculer la période T.
b) Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés.
a) \(T = 1/f = 1/50 = \mathbf{0{,}020}\) s = 20 ms
b) \(\varphi = \dfrac{\Delta t}{T} \times 360° = \dfrac{4{,}0}{20} \times 360° = \mathbf{72°}\)
Un technicien d'agencement relève les données suivantes pour un moteur de pompe : U = 230 V, P = 1 400 W (mesuré au wattmètre), I = 8,2 A.
a) Calculer le facteur de puissance de ce moteur.
b) Ce facteur de puissance est-il satisfaisant selon les exigences du fournisseur d'énergie ? Justifier.
a) \(\cos \varphi = \dfrac{P}{U \times I} = \dfrac{1\,400}{230 \times 8{,}2} = \dfrac{1\,400}{1\,886} = \mathbf{0{,}742} \approx 0{,}74\)
b) EDF demande \(\cos \varphi \geq 0{,}93\). Ici \(\cos \varphi = 0{,}74\), ce qui est insuffisant. L'installation bénéficierait d'une compensation par condensateurs.
Deux appareils d'un atelier sont branchés sous 230 V et consomment chacun 12 A :
a) Calculer la puissance active de chaque appareil.
b) Expliquer pourquoi le moteur fournit moins de puissance utile alors qu'il consomme le même courant.
a) Four : \(P_A = 230 \times 12 \times 1{,}00 = \mathbf{2\,760}\) W
Moteur : \(P_B = 230 \times 12 \times 0{,}80 = \mathbf{2\,208}\) W
b) Le moteur a un déphasage entre tension et courant (\(\cos \varphi < 1\)). Une partie du courant circule « en réactif » sans produire de travail utile. Les câbles supportent les mêmes 12 A, mais la puissance réellement convertie en travail est moindre (552 W de différence).
Barème : 20 points
Un moteur de puissance active P = 2 000 W est branché sous 230 V. Son facteur de puissance est \(\cos \varphi = 0{,}80\).
a) Calculer l'intensité consommée par ce moteur.
b) Si le facteur de puissance valait 1, quelle serait l'intensité ? En déduire l'intensité « gaspillée ».
a) \(I = \dfrac{P}{U \times \cos \varphi} = \dfrac{2\,000}{230 \times 0{,}80} = \dfrac{2\,000}{184} = \mathbf{10{,}9}\) A
b) Si \(\cos \varphi = 1\) : \(I = \dfrac{2\,000}{230} = 8{,}7\) A
Intensité « gaspillée » : \(10{,}9 - 8{,}7 = \mathbf{2{,}2}\) A de courant supplémentaire qui circule sans produire de travail utile.
Sur un oscilloscope, on mesure un décalage \(\Delta t = 3{,}3\) ms entre la tension et le courant d'un moteur d'aspiration. La fréquence est 50 Hz.
a) Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés.
b) En déduire le facteur de puissance \(\cos \varphi\).
c) Que peut-on dire de l'état de charge de ce moteur ? Justifier.
a) \(T = 1/50 = 0{,}020\) s = 20 ms. \(\varphi = \dfrac{3{,}3}{20} \times 360° = \mathbf{59{,}4°}\)
b) \(\cos \varphi = \cos(59{,}4°) = \mathbf{0{,}51}\)
c) Le facteur de puissance est très faible (0,51). Le moteur est probablement à vide ou très peu chargé. Un moteur à pleine charge aurait \(\cos \varphi\) entre 0,80 et 0,90.
Un atelier d'agencement possède les appareils suivants, tous sous 230 V :
| Appareil | I (A) | \(\cos \varphi\) |
|---|---|---|
| Toupie | 18 | 0,85 |
| Aspiration centralisée | 12 | 0,80 |
| Éclairage LED | 2,5 | 0,95 |
a) Calculer la puissance active de chaque appareil.
b) Calculer la puissance active totale de l'atelier.
a) Toupie : \(P = 230 \times 18 \times 0{,}85 = \mathbf{3\,519}\) W
Aspiration : \(P = 230 \times 12 \times 0{,}80 = \mathbf{2\,208}\) W
LED : \(P = 230 \times 2{,}5 \times 0{,}95 = \mathbf{546}\) W
b) Total : \(3\,519 + 2\,208 + 546 = \mathbf{6\,273}\) W ≈ 6,3 kW
Les valeurs efficaces du secteur français sont U = 230 V et f = 50 Hz.
a) Calculer la tension maximale \(U_{\max}\) sachant que \(U = \dfrac{U_{\max}}{\sqrt{2}}\).
b) Calculer la période T du signal.
c) Expliquer pourquoi un voltmètre en mode AC affiche 230 V et non 325 V.
a) \(U_{\max} = U \times \sqrt{2} = 230 \times 1{,}414 = \mathbf{325}\) V
b) \(T = 1/f = 1/50 = \mathbf{0{,}020}\) s = 20 ms
c) Le voltmètre en mode AC affiche la valeur efficace, qui est la valeur équivalente en continu pour le même effet thermique. La valeur maximale (325 V) n'est atteinte que brièvement à chaque alternance.
Un artisan menuisier constate que son disjoncteur général de 40 A déclenche régulièrement. Voici les appareils en fonctionnement simultané :
| Appareil | P active (W) | \(\cos \varphi\) |
|---|---|---|
| Toupie | 3 500 | 0,85 |
| Aspiration | 2 200 | 0,80 |
| Radiateur | 2 000 | 1,00 |
a) Calculer l'intensité consommée par chaque appareil.
b) Calculer l'intensité totale et expliquer pourquoi le disjoncteur déclenche.
a) Toupie : \(I = \dfrac{3\,500}{230 \times 0{,}85} = \dfrac{3\,500}{195{,}5} = \mathbf{17{,}9}\) A
Aspiration : \(I = \dfrac{2\,200}{230 \times 0{,}80} = \dfrac{2\,200}{184} = \mathbf{12{,}0}\) A
Radiateur : \(I = \dfrac{2\,000}{230 \times 1{,}00} = \mathbf{8{,}7}\) A
b) Intensité totale : \(17{,}9 + 12{,}0 + 8{,}7 = \mathbf{38{,}6}\) A
38,6 A est proche de la limite de 40 A. Avec les courants d'appel au démarrage des moteurs, l'intensité dépasse momentanément 40 A, ce qui fait déclencher le disjoncteur.
Barème : 20 points
Un moteur de puissance active P = 1 500 W est branché sous 230 V. Son facteur de puissance est \(\cos \varphi = 0{,}75\).
a) Calculer l'intensité consommée par ce moteur.
b) Si le facteur de puissance valait 1, quelle serait l'intensité ? En déduire l'intensité « gaspillée ».
a) \(I = \dfrac{P}{U \times \cos \varphi} = \dfrac{1\,500}{230 \times 0{,}75} = \dfrac{1\,500}{172{,}5} = \mathbf{8{,}7}\) A
b) Si \(\cos \varphi = 1\) : \(I = \dfrac{1\,500}{230} = 6{,}5\) A
Intensité « gaspillée » : \(8{,}7 - 6{,}5 = \mathbf{2{,}2}\) A de courant supplémentaire qui circule sans produire de travail utile.
Sur un oscilloscope, on mesure un décalage \(\Delta t = 4{,}0\) ms entre la tension et le courant d'un moteur de scie à ruban. La fréquence est 50 Hz.
a) Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés.
b) En déduire le facteur de puissance \(\cos \varphi\).
c) Que peut-on dire de l'état de charge de ce moteur ? Justifier.
a) \(T = 1/50 = 0{,}020\) s = 20 ms. \(\varphi = \dfrac{4{,}0}{20} \times 360° = \mathbf{72°}\)
b) \(\cos \varphi = \cos(72°) = \mathbf{0{,}31}\)
c) Le facteur de puissance est très faible (0,31). Le moteur est probablement à vide ou très peu chargé. Un moteur à pleine charge aurait \(\cos \varphi\) entre 0,80 et 0,90.
Un atelier de menuiserie possède les appareils suivants, tous sous 230 V :
| Appareil | I (A) | \(\cos \varphi\) |
|---|---|---|
| Scie à ruban | 15 | 0,82 |
| Compresseur | 10 | 0,78 |
| Éclairage halogène | 4 | 1,00 |
a) Calculer la puissance active de chaque appareil.
b) Calculer la puissance active totale de l'atelier.
a) Scie : \(P = 230 \times 15 \times 0{,}82 = \mathbf{2\,829}\) W
Compresseur : \(P = 230 \times 10 \times 0{,}78 = \mathbf{1\,794}\) W
Halogène : \(P = 230 \times 4 \times 1{,}00 = \mathbf{920}\) W
b) Total : \(2\,829 + 1\,794 + 920 = \mathbf{5\,543}\) W ≈ 5,5 kW
Les valeurs efficaces du secteur français sont U = 230 V et f = 50 Hz.
a) Calculer la tension maximale \(U_{\max}\) sachant que \(U = \dfrac{U_{\max}}{\sqrt{2}}\).
b) Calculer la période T du signal.
c) Expliquer pourquoi un wattmètre mesure la puissance active et non la puissance apparente.
a) \(U_{\max} = U \times \sqrt{2} = 230 \times 1{,}414 = \mathbf{325}\) V
b) \(T = 1/f = 1/50 = \mathbf{0{,}020}\) s = 20 ms
c) Le wattmètre mesure la puissance active car il tient compte du déphasage entre tension et courant. Il effectue la moyenne du produit instantané \(u(t) \times i(t)\), ce qui donne \(P = U \times I \times \cos \varphi\) et non \(S = U \times I\).
Un ébéniste constate que son disjoncteur général de 32 A déclenche régulièrement. Voici les appareils en fonctionnement simultané :
| Appareil | P active (W) | \(\cos \varphi\) |
|---|---|---|
| Dégauchisseuse | 2 800 | 0,82 |
| Aspiration | 1 800 | 0,78 |
| Éclairage | 500 | 1,00 |
a) Calculer l'intensité consommée par chaque appareil.
b) Calculer l'intensité totale et expliquer pourquoi le disjoncteur déclenche.
a) Dégauchisseuse : \(I = \dfrac{2\,800}{230 \times 0{,}82} = \dfrac{2\,800}{188{,}6} = \mathbf{14{,}8}\) A
Aspiration : \(I = \dfrac{1\,800}{230 \times 0{,}78} = \dfrac{1\,800}{179{,}4} = \mathbf{10{,}0}\) A
Éclairage : \(I = \dfrac{500}{230 \times 1{,}00} = \mathbf{2{,}2}\) A
b) Intensité totale : \(14{,}8 + 10{,}0 + 2{,}2 = \mathbf{27{,}0}\) A
27 A est proche de la limite de 32 A. Avec les courants d'appel au démarrage des moteurs, l'intensité dépasse momentanément 32 A, ce qui fait déclencher le disjoncteur.