Multiplier et diviser avec la calculatrice, avec des nombres à virgule.
Reconnaître un tableau de proportionnalité (maths, chapitre 8).
Savoir que 1 kg = 1 000 g et que 1 L = 1 000 mL.
Objectifs du chapitre :
C1 – Mesurer une masse (balance) et un volume (éprouvette graduée, déplacement d'eau).
C2 – Calculer une masse volumique avec ρ = m / V et l'exprimer avec son unité.
C3 – Calculer une masse (m = ρ × V) ou un volume (V = m / ρ) à partir de la masse volumique.
C4 – Convertir les unités de masse volumique usuelles (g/cm³, g/mL, kg/L, kg/m³).
C5 – Prévoir si un objet ou un liquide flotte sur l'eau en comparant les masses volumiques ; identifier une matière à l'aide d'un tableau.
1. Situation d'entrée — Deux poutres sur le chantier
Situation — Qui peut porter la poutre ?
Sur un chantier, Yanis voit deux poutres de même taille. Chacune a un volume de 0,1 m³.
La première est en bois de sapin. La seconde est en béton.
Yanis dit : « Elles ont la même taille, donc elles ont la même masse. On peut les porter à deux. »
Un petit morceau de chaque poutre tombe dans un seau d'eau.
Question 1 : Yanis a-t-il raison ? Quelle est la masse de chaque poutre ? Question 2 : dans le seau, quel morceau flotte, et quel morceau coule ?
Les réponses sont à la fin de la section 6.
2. Mesurer une masse et un volume (C1)
Définition
La massem d'un objet, c'est la quantité de matière qu'il contient. On la mesure avec une balance. Unités : le gramme (g), le kilogramme (kg).
Le volumeV d'un objet, c'est la place qu'il occupe. Unités : le millilitre (mL), le litre (L), le centimètre cube (cm³), le mètre cube (m³).
À savoir
1 mL = 1 cm³ : c'est le même volume, écrit de deux façons.
1 L = 1 000 mL et 1 m³ = 1 000 L.
2.1 Mesurer une masse avec une balance
ProtocolePeser un objet
1
J'allume la balance. Le plateau doit être vide.
2
J'appuie sur TARE (ou « zéro ») : l'écran affiche 0 g.
3
Je pose l'objet au milieu du plateau.
4
J'attends que le nombre ne bouge plus. Je l'écris avec son unité.
La balance affiche la masse du boulon : m = 156 g.
Attention
Pour peser un liquide, je pose d'abord le récipient vide, j'appuie sur TARE, puis je verse le liquide. La balance affiche alors la masse du liquide seul.
2.2 Mesurer le volume d'un liquide avec une éprouvette graduée
Définition
Une éprouvette graduée est un tube haut et étroit, avec des traits (des graduations) en mL.
À la surface, le liquide n'est pas plat : il forme un creux. Ce creux s'appelle le ménisque.
ProtocoleLire un volume sur une éprouvette
1
Je pose l'éprouvette sur la table, bien droite.
2
Je mets mon œil à la hauteur de la surface du liquide.
3
Je lis la graduation au niveau du bas du ménisque.
4
J'écris le volume avec son unité (mL).
Le bas du ménisque est sur le 4e petit trait au-dessus de 60 : le volume est V = 64 mL.
2.3 Mesurer le volume d'un solide par déplacement d'eau
Définition
Quand on plonge un solide dans l'eau, l'eau monte. Le volume gagné par l'eau est égal au volume du solide.
Cette méthode marche pour un objet de forme compliquée (un caillou, un boulon) qui coule dans l'eau.
ProtocoleMesurer le volume d'un solide
1
Je verse de l'eau dans l'éprouvette. Je lis le volume : V1.
2
J'incline l'éprouvette et je fais glisser doucement le solide dedans (sans éclabousser).
3
Je lis le nouveau volume : V2.
4
Je calcule le volume du solide : V = V2 − V1.
L'eau passe de 40 mL à 60 mL : le volume du boulon est V = 60 − 40 = 20 mL = 20 cm³.
Exemple : on mesure le volume du boulon pesé plus haut.
1
Avant : V1 = 40 mL.
2
Après : V2 = 60 mL.
3
V = V2 − V1 = 60 − 40 = 20 mL, soit 20 cm³.
À toi (C1)
Lina verse de l'eau dans une éprouvette : elle lit 50 mL.
Elle plonge un caillou. L'eau monte à 57 mL.
Quel est le volume du caillou, en cm³ ?
V = V2 − V1 = 57 − 50 = 7 mL.
Comme 1 mL = 1 cm³ : le caillou a un volume de 7 cm³.
À toi (C1)
Pour peser 100 mL d'huile, Karim pose un verre vide sur la balance. L'écran affiche 180 g.
Que doit-il faire avant de verser l'huile ?
Il appuie sur TARE : l'écran revient à 0 g.
Ensuite, il verse l'huile : la balance affiche la masse de l'huile seule, sans le verre.
3. Calculer une masse volumique (C2)
Définition
La masse volumique d'une matière, c'est la masse d'un cm³ (ou d'un litre, ou d'un m³) de cette matière.
On la note ρ (lettre grecque, on dit « rhô »).
Formule
ρ = m / V
m : la masse (en g ou en kg) ;
V : le volume (en cm³, mL, L ou m³) ;
ρ : la masse volumique. Son unité s'écrit avec une barre : unité de masse / unité de volume. Exemples : g/cm³, g/mL, kg/L, kg/m³.
On lit « g/cm³ » : « gramme par centimètre cube ».
MéthodeCalculer une masse volumique
1
J'écris la masse m et le volume V, avec leurs unités.
2
J'écris la formule : ρ = m / V.
3
Je divise la masse par le volume à la calculatrice.
4
J'écris le résultat avec son unité : unité de m / unité de V.
La balance a été tarée avec le verre vide : 50 mL d'huile ont une masse de 46 g.
Exemple : 50 mL d'huile de tournesol ont une masse de 46 g. Quelle est sa masse volumique ?
1
m = 46 g ; V = 50 mL.
2
ρ = m / V
3
ρ = 46 / 50 = 0,92
4
Unité : g / mL. Donc ρ = 0,92 g/mL. Un millilitre d'huile a une masse de 0,92 g.
Exemple 2 : le boulon de la section 2 a une masse de 156 g et un volume de 20 cm³.
ρ = m / V = 156 / 20 = 7,8 g/cm³.
3.1 La masse est proportionnelle au volume
Lien avec les maths
Pour une même matière, si le volume est 2 fois plus grand, la masse est 2 fois plus grande.
La masse est proportionnelle au volume. Le coefficient de proportionnalité est la masse volumique.
Volume d'huile (L)
1
2
5
Masse d'huile (kg)
0,92
1,84
4,6
Dans chaque colonne : masse ÷ volume = 0,92 kg/L. C'est toujours la même valeur : la masse volumique de l'huile.
Attention
On divise la masse par le volume (m / V), pas l'inverse.
Un résultat sans unité est faux : « 0,92 » ne veut rien dire, « 0,92 g/mL » oui.
La masse volumique dépend de la matière, pas de la taille de l'objet : un petit et un gros morceau d'aluminium ont la même masse volumique.
À toi (C2)
Un petit bloc d'aluminium a une masse de 54 g et un volume de 20 cm³.
Calcule sa masse volumique, avec son unité.
m = 54 g ; V = 20 cm³.
ρ = m / V = 54 / 20 = 2,7 g/cm³.
À toi (C2)
Un seau contient 10 L d'eau de mer. Sa masse est de 10,3 kg.
Calcule la masse volumique de l'eau de mer en kg/L.
m = 10,3 kg ; V = 10 L.
ρ = m / V = 10,3 / 10 = 1,03 kg/L.
4. Calculer une masse ou un volume (C3)
Trois formules, une seule relation
Pour trouver la masse : m = ρ × V
Pour trouver le volume : V = m / ρ
Pour trouver la masse volumique : ρ = m / V
Le triangle m, ρ, V : un aide-mémoire pour retrouver la bonne formule.
MéthodeCalculer une masse ou un volume
1
J'écris ce que je connais, avec les unités. J'écris ce que je cherche.
2
Je choisis la formule avec le triangle.
3
Je vérifie que les unités vont ensemble : ρ en kg/m³ avec V en m³ ; ρ en g/cm³ avec V en cm³.
4
Je calcule, puis j'écris le résultat avec son unité.
Exemple 1 — calculer une masse : une dalle de béton a un volume de 0,5 m³. Le béton a une masse volumique de 2 400 kg/m³. Quelle est la masse de la dalle ?
1
Je connais : ρ = 2 400 kg/m³ ; V = 0,5 m³. Je cherche : m.
2
m = ρ × V
3
ρ en kg/m³ et V en m³ : les unités vont ensemble.
4
m = 2 400 × 0,5 = 1 200 kg. La dalle pèse plus d'une tonne !
On connaît la masse d'huile et sa masse volumique. On cherche le volume.
Exemple 2 — calculer un volume : une bouteille contient 460 g d'huile. La masse volumique de l'huile est 0,92 g/mL. Quel volume d'huile contient-elle ?
1
Je connais : m = 460 g ; ρ = 0,92 g/mL. Je cherche : V.
2
V = m / ρ
3
m en g et ρ en g/mL : le volume sera en mL.
4
V = 460 / 0,92 = 500 mL, soit un demi-litre.
Astuce : pour vérifier, je refais le calcul dans l'autre sens. 0,92 × 500 = 460 g : c'est bien la masse de départ.
À toi (C3)
Un charpentier pose une poutre en sapin de volume 0,2 m³. Le sapin a une masse volumique d'environ 500 kg/m³.
Calcule la masse de la poutre.
On cherche m, donc m = ρ × V.
m = 500 × 0,2 = 100 kg.
À toi (C3)
Une bague en or a une masse de 3,86 g. L'or a une masse volumique de 19,3 g/cm³.
Calcule le volume de la bague.
On cherche V, donc V = m / ρ.
V = 3,86 / 19,3 = 0,2 cm³. C'est très petit : l'or est une matière très lourde pour sa taille.
5. Changer d'unité (C4)
À savoir par cœur
1 g/cm³ = 1 g/mL = 1 kg/L = 1 000 kg/m³
Pourquoi ?
1 cm³ = 1 mL, donc g/cm³ et g/mL, c'est pareil.
1 kg = 1 000 g et 1 L = 1 000 mL : 1 kg dans 1 L, c'est 1 000 g dans 1 000 mL, donc 1 g dans 1 mL.
1 m³ = 1 000 L : 1 kg dans 1 L, c'est 1 000 kg dans 1 m³.
Pour passer en kg/m³, on multiplie par 1 000. Pour revenir en g/cm³ ou en kg/L, on divise par 1 000.
MéthodeConvertir une masse volumique
1
Je repère l'unité de départ et l'unité d'arrivée.
2
Entre g/cm³, g/mL et kg/L : je garde le même nombre.
3
Vers kg/m³ : je multiplie par 1 000. Depuis kg/m³ : je divise par 1 000.
Exemple 1 : l'aluminium a une masse volumique de 2,7 g/cm³. En kg/m³ ?
1
De g/cm³ vers kg/m³.
2
Je multiplie par 1 000 : 2,7 × 1 000 = 2 700.
3
ρ = 2 700 kg/m³.
Exemple 2 : la glace a une masse volumique de 920 kg/m³. En g/cm³ ?
De kg/m³ vers g/cm³ : je divise par 1 000. 920 ÷ 1 000 = 0,92. Donc ρ = 0,92 g/cm³.
Attention
Avant de comparer deux masses volumiques, je les mets dans la même unité. 7 850 kg/m³ (l'acier) n'est pas « plus grand » que 19,3 g/cm³ (l'or) : en kg/m³, l'or fait 19 300 kg/m³.
À toi (C4)
a) Le béton a une masse volumique de 2 400 kg/m³. Écris-la en g/cm³.
b) L'huile a une masse volumique de 0,92 g/mL. Écris-la en kg/L, puis en kg/m³.
a) De kg/m³ vers g/cm³ : je divise par 1 000. 2 400 ÷ 1 000 = 2,4 g/cm³.
b) g/mL et kg/L : même nombre, 0,92 kg/L. Puis × 1 000 : 920 kg/m³.
6. Flotter ou couler, reconnaître une matière (C5)
6.1 Le tableau des masses volumiques
Chaque matière a sa masse volumique. Voici des valeurs pour des matières courantes (à 20 °C environ, valeurs arrondies) :
Matière
ρ en g/cm³ (ou kg/L)
ρ en kg/m³
Air
0,0012
1,2
Liège
environ 0,24
environ 240
Bois de sapin ou de pin (charpente)
environ 0,5
environ 500
Bois de chêne
environ 0,7
environ 700
Essence (carburant)
0,74
740
Huile de tournesol
0,92
920
Glace
0,92
920
Eau
1
1 000
Eau de mer
1,03
1 030
Béton
2,4
2 400
Verre (vitre)
2,5
2 500
Aluminium
2,7
2 700
Acier
7,85
7 850
Cuivre
8,9
8 900
Plomb
11,3
11 300
Or
19,3
19 300
Sources : Eurocode 1, norme NF EN 1991-1-1, annexe A (béton, acier, aluminium, cuivre, plomb) ; Engineering ToolBox, tables « Densities of Solids », « Wood Densities » et « Liquids Densities » (bois, liège, glace, verre, huile, essence, eau de mer, or) ; Wikipédia, « Masse volumique » (air à 20 °C). Pour le bois, la valeur change selon l'arbre et son humidité : le sapin et le pin vont de 0,35 à 0,55 g/cm³, le chêne de 0,6 à 0,9 g/cm³.
Astuce : la masse volumique change un peu avec la température. Quand l'eau gèle, elle gonfle : son volume augmente, sa masse ne change pas. C'est pourquoi la glace (0,92) a une masse volumique plus petite que l'eau liquide (1).
6.2 Flotter ou couler
Règle
On compare la masse volumique de l'objet (fait d'une seule matière, plein) avec celle de l'eau : 1 g/cm³.
ρ plus petite que 1 g/cm³ → l'objet flotte.
ρ plus grande que 1 g/cm³ → l'objet coule.
Pour deux liquides qui ne se mélangent pas : celui qui a la masse volumique la plus petite reste au-dessus.
Le liège, le sapin et la glace flottent ; l'aluminium et l'acier coulent. L'huile, moins lourde pour un même volume, reste au-dessus de l'eau.
MéthodePrévoir si un objet flotte ou coule
1
Je cherche la masse volumique de la matière (tableau ou calcul).
2
Je la mets en g/cm³ si besoin.
3
Je la compare à 1 g/cm³ (l'eau). Plus petite : il flotte. Plus grande : il coule.
Exemple : un glaçon flotte-t-il dans un verre d'eau ?
1
Glace : ρ = 0,92 g/cm³.
2
Elle est déjà en g/cm³.
3
0,92 est plus petit que 1 : le glaçon flotte. Mais 0,92 est proche de 1 : il flotte presque tout entier sous l'eau. C'est pareil pour un iceberg.
Attention
La règle marche pour un objet plein, fait d'une seule matière. Un bateau en acier flotte, alors que l'acier coule : le bateau est creux, rempli d'air. C'est tout le bateau (acier + air) qu'il faut regarder, pas l'acier seul.
6.3 Reconnaître une matière
MéthodeIdentifier une matière
1
Je mesure la masse m (balance) et le volume V (éprouvette).
2
Je calcule ρ = m / V.
3
Je cherche dans le tableau la valeur la plus proche. C'est sans doute cette matière.
Exemple : le boulon de la section 2 a une masse de 156 g et un volume de 20 cm³. En quelle matière est-il ?
1
m = 156 g ; V = 20 cm³.
2
ρ = 156 / 20 = 7,8 g/cm³.
3
Dans le tableau, la valeur la plus proche est 7,85 g/cm³ : le boulon est en acier. La petite différence vient de la précision des mesures.
À toi (C5)
Avec le tableau, dis si chaque objet flotte ou coule dans l'eau :
a) une planche de chêne ; b) une bille de verre ; c) un plomb de pêche.
a) Chêne : environ 0,7 g/cm³, plus petit que 1 : la planche flotte.
b) Verre : 2,5 g/cm³, plus grand que 1 : la bille coule.
c) Plomb : 11,3 g/cm³, plus grand que 1 : le plomb de pêche coule.
À toi (C5)
Après un accident, de l'essence se renverse dans une rivière. L'essence ne se mélange pas à l'eau.
Va-t-elle rester à la surface ou descendre au fond ?
Essence : 0,74 g/cm³. Eau : 1 g/cm³. L'essence a la plus petite masse volumique : elle reste à la surface et forme une couche sur l'eau.
À toi (C5)
Une cale en métal a une masse de 27 g et un volume de 10 cm³.
a) Calcule sa masse volumique. b) Avec le tableau, trouve son métal.
a) ρ = m / V = 27 / 10 = 2,7 g/cm³.
b) Dans le tableau, 2,7 g/cm³ correspond à l'aluminium.
Réponse à la situation d'entrée :
1
Sapin : m = ρ × V = 500 × 0,1 = 50 kg. Béton : m = 2 400 × 0,1 = 240 kg.
2
Yanis a tort : même taille ne veut pas dire même masse. La poutre en béton est presque 5 fois plus lourde. À deux, on porte la poutre en sapin ; pour le béton, il faut un engin de levage.
3
Dans le seau : sapin, 0,5 g/cm³, plus petit que 1 : il flotte. Béton, 2,4 g/cm³, plus grand que 1 : il coule.
7. L'essentiel à retenir
À retenir :
La masse se mesure avec une balance (penser à la tare). Le volume d'un liquide se lit sur une éprouvette, en bas du ménisque, l'œil à la hauteur du liquide.
Volume d'un solide : V = V2 − V1 (déplacement d'eau). 1 mL = 1 cm³.
Masse volumique : ρ = m / V, toujours avec son unité (g/cm³, kg/L, kg/m³…).
Masse : m = ρ × V. Volume : V = m / ρ. Le triangle m, ρ, V aide à s'en souvenir.
La masse est proportionnelle au volume ; le coefficient est la masse volumique.
1 g/cm³ = 1 g/mL = 1 kg/L = 1 000 kg/m³ : vers kg/m³, on multiplie par 1 000.
Eau : 1 g/cm³. Plus petit : l'objet flotte. Plus grand : il coule. Le liquide le plus léger reste au-dessus.
Pour reconnaître une matière : je calcule ρ et je cherche la valeur la plus proche dans un tableau.
Erreurs fréquentes
Lire le volume en haut du ménisque : on lit en bas du creux, l'œil à la hauteur du liquide.
Oublier la tare : on pèse alors le récipient en plus du liquide.
Calculer V / m au lieu de m / V : c'est la masse qu'on divise par le volume.
Oublier l'unité de la masse volumique : un nombre seul ne veut rien dire.
Croire que même taille = même masse : une poutre en béton est presque 5 fois plus lourde qu'une poutre en sapin de même taille.
Comparer deux valeurs dans des unités différentes : on met tout en g/cm³ (ou tout en kg/m³) avant de comparer.