Exploiter la conservation de l'énergie mécanique en l'absence de frottements
Réaliser un bilan énergétique avec frottements (dissipation thermique)
Situation. Sur des montagnes russes, un wagon est hissé au sommet de la première colline, puis lâché : il dévale la pente à grande vitesse sans aucun moteur. D'où vient cette vitesse ? Comment prévoir la vitesse atteinte en bas, ou la hauteur de la colline suivante qu'il pourra franchir ? L'énergie mécanique permet de répondre.
1. Définition de l'énergie mécanique
Définition
L'énergie mécanique \(E_m\) d'un objet est la somme de son énergie cinétique \(E_c\) et de son énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp}\) :
\[E_m = E_c + E_{pp} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,z\]
avec \(m\) en kg, \(v\) en m/s, \(g\approx 9{,}8\) N/kg, \(z\) la hauteur en m. \(E_m\) s'exprime en joules (J).
Échange entre les deux formes
Au cours d'un mouvement, \(E_c\) et \(E_{pp}\) varient sans cesse : quand l'objet descend, il perd de la hauteur (\(E_{pp}\) diminue) et gagne de la vitesse (\(E_c\) augmente) ; quand il monte, c'est l'inverse (\(E_c \to E_{pp}\)).
Méthode — calculer une énergie mécanique
Choisir l'origine des altitudes \(z=0\) (souvent le sol ou le point le plus bas) : c'est là que \(E_{pp}=0\).
Convertir si besoin (\(v\) en m/s, \(z\) en m, \(m\) en kg) ; rappel : \(1\) km/h \(=\dfrac{1}{3{,}6}\) m/s.
Calculer \(E_c=\tfrac12 m v^2\) (attention au carré) et \(E_{pp}=m g z\).
Additionner : \(E_m=E_c+E_{pp}\), résultat en joules.
Exemple travaillé. Une cabine de téléphérique (\(m=1{,}5\times10^3\) kg) monte à \(v=18\) km/h et se trouve à \(z=200\) m au-dessus de la vallée (origine \(z=0\) en vallée).
Vitesse en m/s : \(v=\dfrac{18}{3{,}6}=5{,}0\) m/s.
\(E_c=\tfrac12\times1{,}5\times10^3\times5{,}0^2=\tfrac12\times1{,}5\times10^3\times25=1{,}875\times10^4\) J \(\approx 1{,}9\times10^4\) J.
\(E_{pp}=m g z=1{,}5\times10^3\times9{,}8\times200=2{,}94\times10^6\) J.
\(E_m=E_c+E_{pp}=1{,}9\times10^4+2{,}94\times10^6\approx 2{,}96\times10^6\) J. Ici l'énergie de position domine très largement l'énergie de vitesse.
Mini-exercice 1. Un skateur de masse \(m=60\) kg roule à \(v=4{,}0\) m/s à une hauteur \(z=2{,}0\) m dans un bowl. Calcule \(E_c\), \(E_{pp}\) puis \(E_m\) (\(g=9{,}8\) N/kg).
Conservation (sans frottement)En l'absence de frottements (et sans moteur ni force extérieure motrice), l'énergie mécanique se conserve : elle reste constante au cours du mouvement.
\[E_m = \text{constante}\qquad\Longrightarrow\qquad E_m(A)=E_m(B)\]
Tout ce que \(E_{pp}\) perd, \(E_c\) le gagne (et réciproquement).
Exemple — vitesse en bas d'un toboggan. Un enfant part sans vitesse (\(v_A=0\)) du haut d'un toboggan de hauteur \(h=3{,}0\) m, sans frottement.
Conservation : \(E_m(A)=E_m(B)\) soit \(\tfrac12 m v_A^2 + mgh = \tfrac12 m v_B^2 + 0\).
Avec \(v_A=0\) : \(mgh=\tfrac12 m v_B^2\). La masse se simplifie : \(gh=\tfrac12 v_B^2\), d'où
\[v_B=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9{,}8\times3{,}0}=\sqrt{58{,}8}\approx 7{,}7\ \text{m/s}.\]
La vitesse en bas ne dépend pas de la masse, seulement de la hauteur.
Méthode — calculer une vitesse ou une hauteur par conservation
Repérer deux positions A et B et choisir l'origine des altitudes (\(z=0\)).
Écrire la conservation : \(\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B\).
Remplacer les valeurs connues (souvent \(v_A=0\) en haut, ou \(z_B=0\) en bas).
Simplifier par \(m\) si possible, puis isoler l'inconnue.
Pour une vitesse : \(v=\sqrt{2gh}\). Pour une hauteur : \(h=\dfrac{v^2}{2g}\).
Mini-exercice 2. Un pendule est lâché sans vitesse d'une hauteur \(h=0{,}45\) m au-dessus de son point le plus bas. Sans frottement, quelle est sa vitesse au point le plus bas ?
Mini-exercice 3. Un skieur arrive au pied d'un tremplin à \(v=12\) m/s. Sans frottement et sans élan supplémentaire, jusqu'à quelle hauteur peut-il monter ?
En haut \(v=0\) : \(\tfrac12 m v^2 = mgh\Rightarrow h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{12^2}{2\times9{,}8}=\dfrac{144}{19{,}6}\approx 7{,}3\) m.
3. Cas réel : frottements et dissipation
Définition
En présence de frottements (air, contact), l'énergie mécanique diminue : une partie est dissipée et convertie en énergie thermique (échauffement de l'objet et du milieu). On a alors \(E_m(B) \lt E_m(A)\).
Bilan avec frottements
La variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces de frottement (négatif) :
\[\Delta E_m = E_m(B)-E_m(A) = W_{\text{frottements}} \lt 0\]
L'énergie « perdue » par le mouvement n'est pas détruite : elle est transférée sous forme de chaleur (conservation globale de l'énergie).
Exemple — bilan avec frottements. Un wagon de masse \(m=200\) kg part du repos au sommet d'une descente de hauteur \(h=10\) m. En bas, on mesure \(v_B=12\) m/s.
Sans frottement on aurait : \(v_{\text{th}}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9{,}8\times10}=14{,}0\) m/s.
\(E_m(A)=mgh=200\times9{,}8\times10=1{,}96\times10^4\) J (départ au repos, \(E_c=0\)).
\(E_m(B)=\tfrac12 m v_B^2=\tfrac12\times200\times12^2=1{,}44\times10^4\) J.
Énergie dissipée : \(|\Delta E_m| = 1{,}96\times10^4 - 1{,}44\times10^4 = 5{,}2\times10^3\) J, transformée en chaleur par les frottements.
Méthode — réaliser un bilan énergétique avec frottements
Calculer l'énergie mécanique au départ \(E_m(A)\) et à l'arrivée \(E_m(B)\) (avec la même origine des altitudes).
Comparer : si \(E_m(B)\lt E_m(A)\), il y a eu dissipation.
Énergie dissipée par les frottements (transformée en chaleur) : \(E_{\text{dissipée}}=|\Delta E_m|=E_m(A)-E_m(B)\).
Vérifier la conservation globale : \(E_m(A)=E_m(B)+E_{\text{thermique}}\) — rien ne se perd, tout se transforme.
Mini-exercice 4. Un VTT et son cycliste (\(m=80\) kg) descendent une côte de hauteur \(h=15\) m en partant du repos. En bas, le cycliste roule à \(v_B=14\) m/s. Calcule l'énergie mécanique dissipée par les frottements (\(g=9{,}8\) N/kg).
\(E_m(A)=mgh=80\times9{,}8\times15=1{,}176\times10^4\) J (départ au repos).
\(E_m(B)=\tfrac12 m v_B^2=\tfrac12\times80\times14^2=\tfrac12\times80\times196=7{,}84\times10^3\) J.
\(E_{\text{dissipée}}=E_m(A)-E_m(B)=1{,}176\times10^4-7{,}84\times10^3=3{,}9\times10^3\) J transformés en chaleur.
Mini-exercice 5. Une bille lâchée d'une hauteur \(h=1{,}0\) m sur une piste sans frottement remonte de l'autre côté. Jusqu'à quelle hauteur remonte-t-elle ? Et s'il y a des frottements, sera-ce plus ou moins haut ?
Sans frottement, \(E_m\) se conserve : la bille remonte exactement à la même hauteur \(h=1{,}0\) m (même \(E_{pp}\), car \(v=0\) au sommet des deux côtés). Avec frottements, une partie de \(E_m\) est dissipée en chaleur : elle remonte moins haut que \(1{,}0\) m.
Erreurs fréquentes
❌ Croire que \(E_m\) est toujours constante. ✅ Elle n'est conservée que sans frottement (et sans moteur).
❌ Penser que l'énergie « disparaît » à cause des frottements. ✅ Elle est convertie en chaleur : l'énergie totale se conserve.
❌ Oublier que la vitesse \(v=\sqrt{2gh}\) ne dépend pas de la masse. ✅ Le \(m\) se simplifie dans la conservation.
❌ Utiliser \(v\) au lieu de \(v^2\) dans \(E_c\). ✅ \(E_c=\tfrac12 m v^2\), penser à élever au carré.
4. Applications
Montagnes russes. Le train est hissé une seule fois au sommet de la première colline : on lui donne là toute son énergie sous forme d'énergie potentielle \(E_{pp}\). Ensuite, plus aucun moteur : à chaque descente, \(E_{pp}\) se transforme en \(E_c\) (vitesse maximale en bas) ; à chaque montée, \(E_c\) se reconvertit en \(E_{pp}\). C'est pourquoi aucune colline suivante ne peut être plus haute que la première : avec les frottements (rails, air), \(E_m\) ne fait que diminuer.
Barrage hydraulique. L'eau retenue en hauteur derrière un barrage possède une grande énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp}=mgz\). En tombant dans les conduites, cette \(E_{pp}\) se transforme en énergie cinétique \(E_c\) : l'eau arrive très vite sur les turbines, qui entraînent les alternateurs et produisent de l'électricité.
Exemple : un débit donne \(m=1{,}0\times10^3\) kg d'eau lâchée d'une chute de hauteur \(z=80\) m. Énergie potentielle libérée : \(E_{pp}=mgz=1{,}0\times10^3\times9{,}8\times80=7{,}8\times10^5\) J. C'est l'énergie maximale récupérable par la turbine pour cette quantité d'eau (le rendement réel, étudié au chapitre suivant, est inférieur à 100 %).
Autour de nous.
Pendule, balançoire : échange permanent \(E_c \leftrightarrow E_{pp}\) ; sans frottement le pendule reviendrait toujours à la même hauteur.
Saut à ski, plongeon : la hauteur de départ fixe la vitesse atteinte (\(v=\sqrt{2gh}\) sans frottement).
Distance de freinage : toute l'énergie cinétique du véhicule est dissipée par les freins (échauffement) — d'où l'importance du carré de la vitesse.
À retenir
\(E_m = E_c + E_{pp} = \tfrac12 m v^2 + m g z\) (en joules).