Chapitre 8 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Durée : 1 h — Barème : /20 — Calculatrice autorisée
Les réponses doivent être justifiées. Le soin, les unités et le nombre de chiffres significatifs sont notés. On prendra \(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\).
Une bille de masse \(m=8{,}0\ \text{g}\) est lâchée sans vitesse initiale dans une huile. Elle subit son poids et une force de frottement fluide \(\vec{f}=-k\,\vec{v}\) avec \(k=0{,}16\ \text{kg·s}^{-1}\). On oriente l'axe \(Oz\) vers le bas.
1. Faire le bilan des forces sur la bille et donner leur projection sur \(Oz\). (2 pts)
2. Appliquer la 2ᵉ loi de Newton pour établir l'équation \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\). (2 pts)
3. Cette équation est de la forme \(y'=a\,y+b\). Donner les valeurs numériques de \(a\) et \(b\). (2 pts)
4. Que représente physiquement le régime permanent en termes de \(\dfrac{dv}{dt}\) ? (1 pt)
1. Deux forces : le poids \(\vec{P}\) (vers le bas, projection \(+mg\)) et le frottement \(\vec{f}=-k\vec{v}\) (vers le haut quand la bille descend, projection \(-k\,v\)). (1 pt par force)
2. 2ᵉ loi de Newton : \(m\,a_z=\sum F_z\) avec \(a_z=\dfrac{dv}{dt}\). Donc \(m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv\), soit après division par \(m\) : \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\).
3. \(\dfrac{k}{m}=\dfrac{0{,}16}{8{,}0\times10^{-3}}=20\ \text{s}^{-1}\). D'où \(a=-\dfrac{k}{m}=-20\ \text{s}^{-1}\) et \(b=g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\).
4. Le régime permanent correspond à \(\dfrac{dv}{dt}=0\) : la vitesse ne varie plus, elle est constante (vitesse limite).
On reprend la bille de l'exercice 1 : \(m=8{,}0\ \text{g}\), \(k=0{,}16\ \text{kg·s}^{-1}\).
1. Établir l'expression de la vitesse limite \(v_{lim}\) à partir de la condition de régime permanent, puis la calculer. (2 pts)
2. Calculer le temps caractéristique \(\tau=\dfrac{m}{k}\). (1,5 pt)
3. Écrire la loi horaire \(v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\) avec les valeurs numériques. (1,5 pt)
4. Quelle vitesse la bille a-t-elle atteinte à \(t=\tau\) ? Justifier par la valeur de \(e^{-1}\). (1,5 pt)
5. Sur un schéma de la courbe \(v(t)\), placer et nommer : l'asymptote, la tangente à l'origine et le point d'abscisse \(\tau\). (1,5 pt)
1. Régime permanent : \(\dfrac{dv}{dt}=0\Rightarrow 0=g-\dfrac{k}{m}v_{lim}\Rightarrow v_{lim}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{8{,}0\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}16}=\dfrac{0{,}0785}{0{,}16}\approx0{,}49\ \text{m·s}^{-1}\).
2. \(\tau=\dfrac{m}{k}=\dfrac{8{,}0\times10^{-3}}{0{,}16}=0{,}050\ \text{s}\).
3. \(v(t)=0{,}49\left(1-e^{-t/0{,}050}\right)\ \text{(m·s}^{-1}\text{)}\), soit \(v(t)=0{,}49\left(1-e^{-20\,t}\right)\).
4. À \(t=\tau\) : \(v(\tau)=v_{lim}(1-e^{-1})\). Avec \(e^{-1}\approx0{,}37\) : \(v(\tau)\approx0{,}49\times(1-0{,}37)=0{,}49\times0{,}63\approx0{,}31\ \text{m·s}^{-1}\) (soit 63 % de \(v_{lim}\)).
5. La courbe part de l'origine et croît vers l'asymptote horizontale \(v=v_{lim}\) ; la tangente à l'origine coupe l'asymptote à l'abscisse \(t=\tau\) ; au point d'abscisse \(\tau\), \(v\approx0{,}63\,v_{lim}\).
Pour vérifier le modèle, on filme la chute d'une bille dans de la glycérine et on relève sa vitesse :
| \(t\) (s) | 0 | 0,04 | 0,08 | 0,12 | 0,20 | 0,30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(v\) (m·s\(^{-1}\)) | 0 | 0,19 | 0,28 | 0,32 | 0,35 | 0,35 |
1. Identifier la vitesse limite \(v_{lim}\) et justifier. (1,5 pt)
2. Estimer le temps caractéristique \(\tau\) par la méthode des 63 %. (2 pts)
3. On mesure aussi \(v_{lim}\) autrement : en régime permanent la bille parcourt \(d=10{,}5\ \text{cm}\) en \(\Delta t=0{,}30\ \text{s}\). Calculer \(v_{lim}\) et comparer à la question 1. (1,5 pt)
1. À partir de \(t\approx0{,}20\ \text{s}\), la vitesse ne varie plus (\(0{,}35\ \text{m·s}^{-1}\)) : c'est le régime permanent, donc \(v_{lim}\approx0{,}35\ \text{m·s}^{-1}\).
2. \(0{,}63\,v_{lim}=0{,}63\times0{,}35\approx0{,}22\ \text{m·s}^{-1}\). Cette valeur est atteinte entre \(t=0{,}04\) et \(0{,}08\ \text{s}\), soit \(\tau\approx0{,}06\ \text{s}\).
3. \(v_{lim}=\dfrac{d}{\Delta t}=\dfrac{10{,}5\times10^{-2}}{0{,}30}=\dfrac{0{,}105}{0{,}30}=0{,}35\ \text{m·s}^{-1}\) : valeur identique à celle lue sur le plateau, les deux méthodes sont cohérentes.