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Chapitre 7 – Mouvements plans et lois de Newton

Chapitre 7 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Une balle lancée suit une trajectoire courbe dans une cour d’établissement.
Observer la trajectoire d’un projectile après son lancer.
Objectifs du chapitre :
Situation. Un basketteur tire au panier : le ballon s'élève, ralentit, puis retombe en suivant une courbe régulière. Dans un tube cathodique ou un spectromètre, un faisceau d'électrons est dévié en passant entre deux plaques métalliques chargées. Dans les deux cas, un objet décrit un mouvement plan : sa trajectoire est une courbe contenue dans un plan, et sa vitesse change à la fois de valeur et de direction. Pour prévoir cette trajectoire, un seul outil : les lois de Newton, qui relient les forces appliquées à la variation du mouvement. C'est cette mécanique — celle qui décrit aussi bien un ballon qu'une particule chargée — que nous construisons dans ce chapitre.

1. Repérer un mouvement plan : position, vitesse, accélération

Définition — vecteur position et coordonnées Dans un plan muni d'un repère \((O,\vec i,\vec j)\), la position d'un point \(M\) à l'instant \(t\) est repérée par ses coordonnées \(x(t)\) et \(y(t)\). Le vecteur position est \(\overrightarrow{OM}=x(t)\,\vec i+y(t)\,\vec j\). La courbe décrite par \(M\) au cours du temps est la trajectoire.
Définition — vecteur vitesse Le vecteur vitesse \(\vec v\) est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Ses coordonnées sont les dérivées des coordonnées de position :
\(v_x=\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\qquad v_y=\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\)
Le vecteur \(\vec v\) est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. Sa valeur (norme) est \(v=\sqrt{v_x^{\,2}+v_y^{\,2}}\), en m·s\(^{-1}\).
Définition — vecteur accélération Le vecteur accélération \(\vec a\) décrit comment le vecteur vitesse varie au cours du temps. Ses coordonnées sont les dérivées des coordonnées de la vitesse :
\(a_x=\dfrac{\mathrm dv_x}{\mathrm dt}\qquad a_y=\dfrac{\mathrm dv_y}{\mathrm dt}\)
L'accélération se mesure en mètre par seconde carré (m·s\(^{-2}\)). Elle est non nulle dès que la vitesse change — que ce soit en valeur (l'objet accélère ou ralentit) ou en direction (l'objet tourne). Sa valeur est \(a=\sqrt{a_x^{\,2}+a_y^{\,2}}\).
Lien maths — dérivée et primitive Passer de la position à la vitesse puis à l'accélération, c'est dériver deux fois. Inversement, connaissant l'accélération, on remonte à la vitesse puis à la position en cherchant des primitives :
\(x(t)\ \xrightarrow{\;\text{dériver}\;}\ v_x(t)\ \xrightarrow{\;\text{dériver}\;}\ a_x(t)\qquad\qquad a_x(t)\ \xrightarrow{\;\text{primitiver}\;}\ v_x(t)\ \xrightarrow{\;\text{primitiver}\;}\ x(t)\)
À chaque primitivation apparaît une constante, fixée par les conditions initiales (position et vitesse à \(t=0\)).
Vitesse (tangente) et accélération sur une trajectoire x y O M v a
Mini-exercice 1. Un mobile a pour coordonnées de vitesse \(v_x(t)=3\) (constante) et \(v_y(t)=-10\,t\) (en m·s\(^{-1}\), \(t\) en s). Donner les coordonnées \(a_x\) et \(a_y\) du vecteur accélération.

\(a_x=\dfrac{\mathrm dv_x}{\mathrm dt}=0\) (la dérivée d'une constante est nulle) ; \(a_y=\dfrac{\mathrm dv_y}{\mathrm dt}=-10\ \text{m·s}^{-2}\). Le vecteur accélération est vertical, dirigé vers le bas : \(\vec a=(0\,;\,-10)\).

2. Exploiter un enregistrement (pointage) : mesurer une accélération

Définition — enregistrement et pointage Pour étudier un mouvement, on filme l'objet (ou on utilise une chronophotographie) et on pointe sa position à des instants successifs séparés par une durée constante \(\tau\) (l'intervalle entre deux images). On obtient une suite de points \(M_0, M_1, M_2, \dots\) dont on lit les coordonnées \((x_i,y_i)\).
Méthode — vitesse et accélération par pointage On estime la vitesse à l'instant du point \(M_i\) par la vitesse moyenne entre les points voisins \(M_{i-1}\) et \(M_{i+1}\) (méthode dite de l'encadrement) :
\(v_x(t_i)\approx\dfrac{x_{i+1}-x_{i-1}}{2\tau}\qquad v_y(t_i)\approx\dfrac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2\tau}\)
Puis on estime l'accélération à partir des vitesses obtenues, de la même façon :
\(a_x(t_i)\approx\dfrac{v_x(t_{i+1})-v_x(t_{i-1})}{2\tau}\qquad a_y(t_i)\approx\dfrac{v_y(t_{i+1})-v_y(t_{i-1})}{2\tau}\)
C'est l'application numérique de \(a_x=\mathrm dv_x/\mathrm dt\) : on remplace la dérivée par un taux de variation sur un petit intervalle de temps.
Chronophotographie d'un projectile (pointage) M₀M₁M₂ M₃M₄M₅M₆ durée τ constante entre deux points
Exemple travaillé — mesurer une accélération par pointage. Lors d'un pointage vertical (mouvement rectiligne), on relève les positions \(y\) (en m) toutes les \(\tau=0{,}040\) s : \(y_1=0{,}20\) ; \(y_2=0{,}28\) ; \(y_3=0{,}39\) ; \(y_4=0{,}53\).
Vitesses par encadrement : \(v_2=\dfrac{y_3-y_1}{2\tau}=\dfrac{0{,}39-0{,}20}{0{,}080}=2{,}4\ \text{m·s}^{-1}\) et \(v_3=\dfrac{y_4-y_2}{2\tau}=\dfrac{0{,}53-0{,}28}{0{,}080}=3{,}1\ \text{m·s}^{-1}\).
Accélération entre ces deux instants : \(a\approx\dfrac{v_3-v_2}{\tau}=\dfrac{3{,}1-2{,}4}{0{,}040}\approx17\ \text{m·s}^{-2}\) (ordre de grandeur cohérent pour une chute accélérée par un dispositif).
Mini-exercice 2. Un pointage horizontal donne \(x_1=0{,}10\) m, \(x_2=0{,}25\) m, \(x_3=0{,}40\) m avec \(\tau=0{,}050\) s. Calculer la vitesse \(v_2\) au point \(M_2\). Le mouvement est-il accéléré à cet instant ?

\(v_2=\dfrac{x_3-x_1}{2\tau}=\dfrac{0{,}40-0{,}10}{0{,}100}=3{,}0\ \text{m·s}^{-1}\). Les points sont régulièrement espacés (\(0{,}15\) m à chaque intervalle) : la vitesse est constante, le mouvement n'est pas accéléré ici (\(a\approx0\)).

3. Bilan des forces

Définition — force et bilan des forces Une force modélise une action mécanique exercée sur l'objet ; c'est un vecteur \(\vec F\) (direction, sens, valeur en newton N). Faire le bilan des forces, c'est recenser toutes les forces qui s'exercent sur l'objet étudié (le « système »), puis les représenter par des vecteurs appliqués au système.
Forces usuelles pour un mouvement plan
Bilan des forces (objet sur un plan incliné) P R f
Mini-exercice 3. Une balle de tennis en plein vol (on néglige l'air) : faire le bilan des forces qui s'exercent sur elle. Combien y en a-t-il ?

En négligeant l'action de l'air, une seule force s'exerce sur la balle : son poids \(\vec P=m\vec g\), vertical vers le bas. C'est la situation de la chute libre (section 6).

4. Les trois lois de Newton

1re loi — principe d'inertie Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces appliquées à un objet est nulle (\(\sum\vec F=\vec 0\)), alors son vecteur vitesse est constant : l'objet est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Réciproquement, si le mouvement est rectiligne uniforme, les forces se compensent.
2e loi — principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel galiléen, la somme des forces appliquées à un objet est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération :
\(\sum\vec F=m\,\vec a\)
C'est une égalité vectorielle : elle se projette sur chaque axe. \(\vec a\) a toujours même direction et même sens que la résultante des forces. Une force en newton (N), une masse en kg, une accélération en m·s\(^{-2}\).
3e loi — principe des actions réciproques Si un corps A exerce sur un corps B une force \(\vec F_{A/B}\), alors B exerce sur A une force \(\vec F_{B/A}\) de même valeur, même direction, mais de sens opposé :
\(\vec F_{A/B}=-\,\vec F_{B/A}\)
Ces deux forces s'exercent sur deux corps différents : elles ne se compensent donc jamais entre elles.
Méthode — appliquer le principe fondamental (\(\sum\vec F=m\vec a\))
  1. Choisir le système et un référentiel galiléen ; définir un repère \((O,\vec i,\vec j)\).
  2. Faire le bilan des forces et les dessiner.
  3. Écrire \(\sum\vec F=m\vec a\), puis projeter sur \(\vec i\) et sur \(\vec j\) pour obtenir \(a_x\) et \(a_y\).
  4. En primitivant, remonter aux coordonnées de vitesse puis de position (via les conditions initiales).
Exemple travaillé — accélération à partir des forces. Un chariot de masse \(m=0{,}50\) kg est tiré horizontalement par une force \(F=2{,}0\) N ; les frottements exercent une force opposée \(f=0{,}5\) N. Calculons l'accélération.
Projection horizontale de \(\sum\vec F=m\vec a\) : \(F-f=m\,a\), donc
\(a=\dfrac{F-f}{m}=\dfrac{2{,}0-0{,}5}{0{,}50}=3{,}0\ \text{m·s}^{-2}\)
L'accélération est dirigée dans le sens du mouvement.
Mini-exercice 4. Un palet de masse \(m=0{,}20\) kg glisse sur une table à coussin d'air (frottements nuls) à vitesse constante en ligne droite. Que vaut la somme des forces ? Justifier par une loi de Newton.

Mouvement rectiligne uniforme (\(\vec v\) constant) → d'après le principe d'inertie (1re loi), \(\sum\vec F=\vec 0\). Ici le poids et la réaction du support se compensent exactement ; l'accélération est nulle.

5. Force et champ électrostatiques

Définition — champ et force électrostatiques Une région de l'espace où une charge subit une force électrique est le siège d'un champ électrostatique \(\vec E\) (en volt par mètre, V·m\(^{-1}\)). Une particule de charge \(q\) (en coulomb, C) placée dans ce champ subit la force électrostatique :
\(\vec F=q\,\vec E\)
Si \(q>0\), \(\vec F\) a le même sens que \(\vec E\) ; si \(q<0\) (électron), \(\vec F\) est de sens opposé à \(\vec E\). La valeur de la force est \(F=|q|\,E\).
Champ uniforme entre deux armatures planes Entre deux plaques métalliques planes et parallèles (armatures) portées à des potentiels différents, le champ électrostatique est uniforme : même direction, même sens, même valeur en tout point. Il est perpendiculaire aux armatures et dirigé de la plaque « + » vers la plaque « − ». Si \(U\) est la tension entre les armatures et \(d\) leur distance :
\(E=\dfrac{U}{d}\)
avec \(E\) en V·m\(^{-1}\), \(U\) en volt (V) et \(d\) en mètre (m).
Champ uniforme entre deux armatures (E = U/d) + − E + F d
Exemple travaillé — champ et force entre armatures. Deux plaques distantes de \(d=4{,}0\) cm \(=0{,}040\) m sont soumises à une tension \(U=200\) V.
Valeur du champ : \(E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{200}{0{,}040}=5{,}0\times10^{3}\ \text{V·m}^{-1}\).
Force sur un ion de charge \(q=+1{,}6\times10^{-19}\) C : \(F=|q|\,E=1{,}6\times10^{-19}\times5{,}0\times10^{3}=8{,}0\times10^{-16}\ \text{N}\), dirigée dans le sens de \(\vec E\).
Signe de la charge et sens de la force \(\vec F=q\vec E\) : le signe de \(q\) fixe le sens. Pour un électron (\(q=-e<0\)), la force est opposée au champ. Ne pas confondre \(E\) (champ, en V·m\(^{-1}\)) avec \(U\) (tension, en V) : les deux sont reliés par \(E=U/d\).
Mini-exercice 5. Entre deux armatures distantes de \(d=2{,}0\) cm, la tension est \(U=100\) V. (a) Calculer \(E\) en V·m\(^{-1}\). (b) Un électron (\(|q|=1{,}6\times10^{-19}\) C) y est placé : calculer la valeur de la force qu'il subit.

(a) \(d=0{,}020\) m ; \(E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{100}{0{,}020}=5{,}0\times10^{3}\ \text{V·m}^{-1}\).
(b) \(F=|q|\,E=1{,}6\times10^{-19}\times5{,}0\times10^{3}=8{,}0\times10^{-16}\ \text{N}\) (sens opposé à \(\vec E\) car l'électron est négatif).

6. Chute libre d'un projectile : lois horaires et trajectoire

Définition — chute libre Un objet est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son poids (on néglige l'action de l'air). Le principe fondamental donne alors \(m\vec a=\vec P=m\vec g\), soit :
\(\vec a=\vec g\)
L'accélération est constante, égale à \(\vec g\) : verticale, vers le bas, de valeur \(g\approx9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\). Elle ne dépend pas de la masse.
Méthode — établir les lois horaires d'un projectile On lance un projectile depuis l'origine \(O\) avec une vitesse initiale \(\vec v_0\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale. Le repère : \(\vec i\) horizontal, \(\vec j\) vertical vers le haut. Alors \(\vec g=(0\,;\,-g)\).
① Accélération : \(a_x=0\) et \(a_y=-g\).
② Vitesse (primitives, avec \(v_x(0)=v_0\cos\alpha\), \(v_y(0)=v_0\sin\alpha\)) :
\(v_x(t)=v_0\cos\alpha\qquad v_y(t)=-g\,t+v_0\sin\alpha\)
③ Position (primitives, avec \(x(0)=0\), \(y(0)=0\)) :
\(x(t)=(v_0\cos\alpha)\,t\qquad y(t)=-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}+(v_0\sin\alpha)\,t\)
Équation de la trajectoire (parabole) Pour obtenir la trajectoire \(y=f(x)\), on tire \(t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}\) de la loi de \(x(t)\) et on remplace dans \(y(t)\) :
\(y=-\dfrac{g}{2\,v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,x^{2}+(\tan\alpha)\,x\)
C'est une fonction du second degré en \(x\) : la trajectoire est une parabole (tournée vers le bas). Dans le cas d'un tir horizontal (\(\alpha=0\)), elle se réduit à \(y=-\dfrac{g}{2\,v_0^{2}}\,x^{2}\).
Trajectoire parabolique et vecteurs vitesse / accélération x y O v₀ α v (sommet) g
Lien maths — méthode d'Euler pour reconstruire le mouvement Quand on ne sait pas (ou ne veut pas) primitiver, on obtient numériquement la vitesse puis la position à partir de l'accélération par la méthode d'Euler, avec un petit pas de temps \(\Delta t\) :
\(v_{x}(t+\Delta t)=v_x(t)+a_x(t)\,\Delta t\qquad x(t+\Delta t)=x(t)+v_x(t)\,\Delta t\)
(et de même sur l'axe \(y\)). On part des conditions initiales et on itère pas à pas. Pour la chute libre, \(a_x=0\) et \(a_y=-g\) : la méthode d'Euler redonne, quand \(\Delta t\to0\), les paraboles exactes ci-dessus.

Exemple travaillé — portée d'un tir. Un ballon est lancé depuis le sol avec \(v_0=12\ \text{m·s}^{-1}\) à \(\alpha=30^\circ\) (\(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\)).
Composantes : \(v_0\cos30^\circ=12\times0{,}87=10{,}4\ \text{m·s}^{-1}\) ; \(v_0\sin30^\circ=12\times0{,}50=6{,}0\ \text{m·s}^{-1}\).
Le ballon retombe au sol quand \(y=0\), soit \(t\big(-\tfrac12 g\,t+v_0\sin\alpha\big)=0\) → \(t=\dfrac{2\,v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{2\times6{,}0}{9{,}81}\approx1{,}2\ \text{s}\).
Portée : \(x=(v_0\cos\alpha)\,t=10{,}4\times1{,}2\approx13\ \text{m}\).
Mini-exercice 6. Une bille est lancée horizontalement (\(\alpha=0\)) d'une table avec \(v_0=2{,}0\ \text{m·s}^{-1}\). Écrire les lois horaires \(x(t)\) et \(y(t)\) (\(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\)), puis l'équation de la trajectoire \(y=f(x)\).

Avec \(\alpha=0\) : \(v_0\cos\alpha=2{,}0\), \(v_0\sin\alpha=0\).
\(x(t)=2{,}0\,t\) et \(y(t)=-\tfrac12\times9{,}81\,t^{2}=-4{,}9\,t^{2}\).
Trajectoire : \(t=\dfrac{x}{2{,}0}\), donc \(y=-4{,}9\left(\dfrac{x}{2{,}0}\right)^{2}=-1{,}2\,x^{2}\). C'est bien une parabole tournée vers le bas.

Erreurs fréquentes
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