Chapitre 6 – Radioactivité

Chapitre 6 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 14:45

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Illustration : Des élèves utilisent un compteur pour observer les événements provenant d’un échantillon sous surveillance. — Mesurer des événements de désintégration avant l’étude statistique de la demi-vie.

Objectifs du chapitre :

Définir la radioactivité α, β⁻, β⁺ et l'émission γ.
Écrire l'équation d'une réaction nucléaire à l'aide des lois de conservation de la charge et du nombre de nucléons.
Interpréter la relation \(\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t\) en explicitant chaque terme.
Établir la loi de décroissance \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\) et montrer l'analogie avec une réaction d'ordre 1.
Exploiter une courbe de décroissance radioactive.
Définir le temps de demi-vie \(t_{1/2}\) et le relier à \(\lambda\) par \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Définir l'activité \(A\) et son unité, le becquerel \((A=\lambda N,\ A(t)=A_0\,e^{-\lambda t})\).
Citer des applications (radiothérapie, scintigraphie, datation au carbone 14) et choisir des modalités de protection.

Situation. Dans un service de médecine nucléaire, on injecte à un patient un traceur radioactif : le noyau émet un rayonnement que la caméra détecte, ce qui permet de « voir » un organe. Quelques heures plus tard, l'activité du produit a chuté de moitié : le corps n'est plus irradié. À l'inverse, un géologue prélève un morceau de bois enfoui : en comptant les désintégrations du carbone 14 restant, il en déduit l'âge du site. Un même phénomène — la désintégration spontanée de noyaux instables — sert à soigner, à imager et à dater. Ce chapitre décrit ce phénomène, l'écrit sous forme d'équations, puis en modélise la décroissance dans le temps avec les outils mathématiques de l'exponentielle et du logarithme.

1. Noyau, nucléides et notation

Définition — noyau, nucléons, notation \(^{A}_{Z}\text{X}\) Un noyau est constitué de nucléons : des protons (charge positive) et des neutrons (neutres). On le représente par :

\(^{A}_{Z}\text{X}\)

\(Z\) = numéro atomique = nombre de protons (il fixe l'élément chimique X).
\(A\) = nombre de masse = nombre total de nucléons (protons + neutrons).
Le nombre de neutrons vaut \(N_{\text{neutrons}}=A-Z\).

Exemple : \(^{14}_{6}\text{C}\) possède \(Z=6\) protons, \(A=14\) nucléons, donc \(14-6=8\) neutrons.

Définition — isotopes, nucléide radioactif Deux isotopes ont le même \(Z\) (même élément) mais des \(A\) différents (nombre de neutrons différent) : \(^{12}_{6}\text{C}\) et \(^{14}_{6}\text{C}\) sont deux isotopes du carbone. Certains noyaux sont instables : ils se transforment spontanément en émettant un rayonnement. On dit qu'ils sont radioactifs (on parle aussi de radio-isotope ou de radionucléide).

Mini-exercice 1. Pour le noyau d'uranium \(^{238}_{92}\text{U}\), donner : (a) le nombre de protons ; (b) le nombre de neutrons ; (c) le nombre total de nucléons.

(a) \(Z=92\) protons ; (b) \(A-Z=238-92=146\) neutrons ; (c) \(A=238\) nucléons.

2. Les trois radioactivités et l'émission γ

Définition — radioactivité α, β⁻, β⁺ et émission γ Un noyau instable (le noyau père) se désintègre en un noyau fils en émettant une particule :

Radioactivité α : le noyau émet un noyau d'hélium \(^{4}_{2}\text{He}\) (particule α, 2 protons + 2 neutrons).
Radioactivité β⁻ : un neutron se transforme en proton ; le noyau émet un électron \(^{\ 0}_{-1}\text{e}\) (particule β⁻).
Radioactivité β⁺ : un proton se transforme en neutron ; le noyau émet un positon \(^{0}_{+1}\text{e}\) (particule β⁺, antiparticule de l'électron).
Émission γ : le noyau fils, formé dans un état excité, se désexcite en émettant un rayonnement électromagnétique très énergétique (photon γ, symbole \(^{0}_{0}\gamma\)). Elle accompagne souvent une désintégration α ou β ; elle ne change ni \(Z\) ni \(A\).

Pouvoir de pénétration des rayonnements Les rayonnements ne traversent pas la matière de la même façon :

α : très ionisant mais peu pénétrant, arrêté par une feuille de papier (ou la peau).
β : plus pénétrant, arrêté par quelques mm d'aluminium.
γ : très pénétrant, atténué seulement par une forte épaisseur de plomb ou de béton.

3. Écrire l'équation d'une réaction nucléaire

Méthode — lois de conservation (Soddy) Toute réaction nucléaire s'écrit \(^{A}_{Z}\text{X}\ \longrightarrow\ ^{A'}_{Z'}\text{Y}\ +\ ^{a}_{z}\text{p}\), où \(^{a}_{z}\text{p}\) est la particule émise. On l'équilibre grâce à deux lois de conservation :

Conservation du nombre de nucléons : la somme des \(A\) est la même de chaque côté \(\big(A=A'+a\big)\).
Conservation de la charge électrique : la somme des \(Z\) est la même de chaque côté \(\big(Z=Z'+z\big)\).

On identifie ensuite l'élément Y par son numéro atomique \(Z'\) dans la classification périodique.

Les particules et leur notation

Émission	Particule	Notation	Effet sur le noyau
α	noyau d'hélium	\(^{4}_{2}\text{He}\)	\(A\) → \(A-4\), \(Z\) → \(Z-2\)
β⁻	électron	\(^{\ 0}_{-1}\text{e}\)	\(A\) inchangé, \(Z\) → \(Z+1\)
β⁺	positon	\(^{0}_{+1}\text{e}\)	\(A\) inchangé, \(Z\) → \(Z-1\)
γ	photon	\(^{0}_{0}\gamma\)	\(A\) et \(Z\) inchangés

Exemple travaillé — désintégration α de l'uranium 238. On écrit \(^{238}_{92}\text{U}\longrightarrow\ ^{A'}_{Z'}\text{Y}\ +\ ^{4}_{2}\text{He}\).
Conservation des nucléons : \(238=A'+4\Rightarrow A'=234\).
Conservation de la charge : \(92=Z'+2\Rightarrow Z'=90\). L'élément de numéro 90 est le thorium (Th).

\(^{238}_{92}\text{U}\ \longrightarrow\ ^{234}_{90}\text{Th}\ +\ ^{4}_{2}\text{He}\)

Exemple travaillé — désintégration β⁻ du carbone 14. \(^{14}_{6}\text{C}\longrightarrow\ ^{A'}_{Z'}\text{Y}\ +\ ^{\ 0}_{-1}\text{e}\).
Nucléons : \(14=A'+0\Rightarrow A'=14\). Charge : \(6=Z'+(-1)\Rightarrow Z'=7\), l'azote (N).

\(^{14}_{6}\text{C}\ \longrightarrow\ ^{14}_{7}\text{N}\ +\ ^{\ 0}_{-1}\text{e}\)

Mini-exercice 2. Le fluor 18, utilisé en imagerie TEP, est un émetteur β⁺ : \(^{18}_{9}\text{F}\longrightarrow\ ^{A'}_{Z'}\text{Y}\ +\ ^{0}_{+1}\text{e}\). Compléter et nommer le noyau fils.

Nucléons : \(18=A'+0\Rightarrow A'=18\). Charge : \(9=Z'+1\Rightarrow Z'=8\) → oxygène (O). Équation : \(^{18}_{9}\text{F}\longrightarrow\ ^{18}_{8}\text{O}\ +\ ^{0}_{+1}\text{e}\).

4. La loi de décroissance radioactive

Définition — désintégration aléatoire, relation \(\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t\) On ne peut pas prévoir l'instant où un noyau donné se désintègre : le phénomène est aléatoire. Mais sur un grand nombre \(N\) de noyaux, la variation \(\mathrm{d}N\) du nombre de noyaux pendant une durée courte \(\mathrm{d}t\) est proportionnelle à \(N\) et à \(\mathrm{d}t\) :

\(\mathrm{d}N=-\lambda\,N\,\mathrm{d}t\)

\(N\) : nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant \(t\) ;
\(\mathrm{d}N\) : variation de ce nombre pendant \(\mathrm{d}t\) (elle est négative : les noyaux disparaissent) ;
\(\lambda\) : constante de désintégration (ou constante radioactive), en s\(^{-1}\) ; elle mesure la probabilité qu'un noyau se désintègre par unité de temps ;
le signe \(-\) traduit la diminution de \(N\).

Établir la loi \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\) En divisant par \(\mathrm{d}t\), la relation devient une équation différentielle :

\(\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda\,N\)

Les fonctions \(N\) vérifiant \(N'=-\lambda N\) sont les fonctions \(N(t)=C\,e^{-\lambda t}\) (fonctions exponentielles). À \(t=0\), on a \(N(0)=C=N_0\) (nombre initial de noyaux). D'où la loi de décroissance radioactive :

\(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\)

C'est une décroissance exponentielle : \(N\) diminue de plus en plus lentement et tend vers 0. En effet \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}e^{-\lambda t}=0\) (limite de l'exponentielle), donc \(N(t)\to 0\).

Analogie avec une réaction chimique d'ordre 1 Une réaction d'ordre 1 a une vitesse proportionnelle à la concentration du réactif : \(\dfrac{\mathrm{d}[\text{A}]}{\mathrm{d}t}=-k\,[\text{A}]\), d'où \([\text{A}](t)=[\text{A}]_0\,e^{-kt}\). La décroissance radioactive obéit exactement à la même équation, avec \(N\) à la place de \([\text{A}]\) et \(\lambda\) à la place de \(k\). Le nombre de noyaux joue le rôle de la concentration, la constante \(\lambda\) celui de la constante de vitesse.

Courbe de décroissance

La courbe \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\) part de \(N_0\) et décroît vers 0. Chaque fois que le temps augmente d'une demi-vie \(t_{1/2}\), le nombre de noyaux est divisé par 2.

Mini-exercice 3. Interpréter en une phrase chaque terme de \(\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t\), puis expliquer pourquoi \(\mathrm{d}N\) est négatif.

\(N\) = nombre de noyaux radioactifs présents ; \(\lambda\) = constante de désintégration (probabilité de désintégration par unité de temps, en s\(^{-1}\)) ; \(\mathrm{d}t\) = petite durée ; \(\mathrm{d}N\) = variation de \(N\) pendant \(\mathrm{d}t\). \(\mathrm{d}N<0\) car les noyaux disparaissent : leur nombre diminue au cours du temps (d'où le signe \(-\)).

5. Temps de demi-vie

Définition — temps de demi-vie \(t_{1/2}\) Le temps de demi-vie \(t_{1/2}\) est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés :

\(N\!\left(t_{1/2}\right)=\dfrac{N_0}{2}\)

Il est caractéristique d'un radionucléide (ex. \(t_{1/2}=5730\) ans pour le carbone 14, \(8{,}0\) jours pour l'iode 131, quelques minutes pour certains traceurs médicaux).

Relation entre \(t_{1/2}\) et \(\lambda\) En écrivant \(N(t_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}\) dans la loi \(N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}=\dfrac{N_0}{2}\), on simplifie par \(N_0\) : \(e^{-\lambda t_{1/2}}=\dfrac12\). On applique le logarithme népérien : \(-\lambda t_{1/2}=\ln\!\left(\tfrac12\right)=-\ln 2\), d'où :

\(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}\quad(\ln 2\approx0{,}693)\)

Plus \(\lambda\) est grand, plus \(t_{1/2}\) est court : le noyau se désintègre vite.

Exemple travaillé — iode 131. L'iode 131 a une demi-vie \(t_{1/2}=8{,}0\) jours. Sa constante de désintégration vaut :

\(\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{8{,}0}\approx0{,}087\ \text{jour}^{-1}\)

Au bout de 8 jours il reste \(N_0/2\) ; au bout de 16 jours (\(2\,t_{1/2}\)) il reste \(N_0/4\) ; au bout de 24 jours (\(3\,t_{1/2}\)) il reste \(N_0/8\).

Fais varier le temps de demi-vie \(t_{1/2}\) (donc \(\lambda=\ln 2/t_{1/2}\)) et observe comment la courbe de décroissance se resserre ou s'étale. Les traits verticaux marquent \(t_{1/2},\ 2t_{1/2},\ 3t_{1/2}\), où il reste \(N_0/2,\ N_0/4,\ N_0/8\).

Demi-vie \(t_{1/2}\) :

Mini-exercice 4. Le technétium 99m, très utilisé en scintigraphie, a une demi-vie \(t_{1/2}=6{,}0\) h. Calculer sa constante de désintégration \(\lambda\) (en h\(^{-1}\)).

\(\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{6{,}0}\approx0{,}12\ \text{h}^{-1}\).

Mini-exercice 5. Un échantillon contient au départ \(N_0=8{,}0\times10^{9}\) noyaux d'un isotope de demi-vie \(t_{1/2}=3\) jours. Combien de noyaux restent après 9 jours ?

\(9\) jours \(=3\,t_{1/2}\). À chaque demi-vie, \(N\) est divisé par 2 : après \(3\,t_{1/2}\), \(N=\dfrac{N_0}{2^3}=\dfrac{N_0}{8}=\dfrac{8{,}0\times10^{9}}{8}=1{,}0\times10^{9}\) noyaux.

6. Activité d'une source

Définition — activité \(A\), le becquerel L'activité \(A\) d'une source est le nombre de désintégrations par seconde. Elle est proportionnelle au nombre \(N\) de noyaux présents :

\(A=\lambda\,N\)

Son unité SI est le becquerel (symbole Bq) : \(1\ \text{Bq}=1\) désintégration par seconde. Comme \(N\) décroît, \(A\) décroît de la même façon :

\(A(t)=A_0\,e^{-\lambda t}\qquad\text{avec}\qquad A_0=\lambda N_0\)

L'activité suit donc la même loi exponentielle que \(N\) et possède la même demi-vie \(t_{1/2}\) : elle est divisée par 2 à chaque demi-vie.

Exemple travaillé — activité initiale. Une source contient \(N_0=1{,}0\times10^{12}\) noyaux d'un isotope de constante \(\lambda=2{,}0\times10^{-3}\ \text{s}^{-1}\). Son activité initiale vaut :

\(A_0=\lambda N_0=2{,}0\times10^{-3}\times1{,}0\times10^{12}=2{,}0\times10^{9}\ \text{Bq}\)

soit \(2{,}0\) GBq (\(2\) milliards de désintégrations par seconde).

Ne pas confondre \(N\) et \(A\) \(N\) est un nombre de noyaux (sans unité) ; \(A=\lambda N\) est un débit de désintégrations (en Bq). Deux sources peuvent contenir le même nombre de noyaux mais avoir des activités très différentes si leurs \(\lambda\) (donc leurs demi-vies) diffèrent.

Mini-exercice 6. Une source a une activité initiale \(A_0=4{,}0\times10^{8}\) Bq et une demi-vie \(t_{1/2}=5\) h. Quelle est son activité après 15 h ?

\(15\) h \(=3\,t_{1/2}\) : l'activité est divisée par \(2^3=8\). \(A=\dfrac{A_0}{8}=\dfrac{4{,}0\times10^{8}}{8}=5{,}0\times10^{7}\ \text{Bq}\).

7. Applications et protection

Applications en médecine et dans l'industrie

Radiothérapie : des rayonnements (souvent γ) détruisent les cellules cancéreuses d'une tumeur.
Scintigraphie / imagerie : on injecte un traceur radioactif (technétium 99m, fluor 18…) ; le rayonnement émis, détecté par une caméra, révèle le fonctionnement d'un organe.
Datation au carbone 14 : un être vivant contient une proportion constante de \(^{14}_{6}\text{C}\). À sa mort, l'échange s'arrête et le carbone 14 décroît (\(t_{1/2}=5730\) ans). En mesurant l'activité restante, on remonte à l'âge d'un vestige (bois, os, tissu).
Industrie : contrôle d'épaisseur, stérilisation, radiographie de soudures (gammagraphie), traceurs de fuites.

Comparer des sources et se protéger On rencontre des sources naturelles (rayonnement cosmique, radon, potassium 40 du corps) et artificielles (médecine, industrie, centrales). Comparer deux sources, c'est comparer leurs activités (en Bq). Face à un rayonnement, la protection repose sur trois principes :

Temps : réduire la durée d'exposition.
Distance : s'éloigner de la source (l'intensité diminue avec la distance).
Écran : interposer un matériau adapté (papier/peau pour α, aluminium pour β, plomb ou béton pour γ).

À partir d'un document (fiche de source, tableau d'activités), on choisit l'écran et les consignes selon le type de rayonnement et l'activité.

Mini-exercice 7. Un manipulateur travaille avec une source émettrice γ de forte activité. Quelles modalités de protection choisir ? Une simple blouse en coton suffit-elle ?

Le rayonnement γ est très pénétrant : une blouse en coton (≈ papier) ne l'arrête pas. Il faut jouer sur les trois leviers : limiter le temps d'exposition, s'éloigner de la source et interposer un écran de plomb ou de béton. On manipule aussi la source avec une pince (distance) derrière un blindage plombé.

Erreurs fréquentes

❌ Oublier une loi de conservation → ✅ équilibrer à la fois le nombre de nucléons (\(A\)) et la charge (\(Z\)).
❌ Écrire \(N(t)=N_0\,e^{+\lambda t}\) → ✅ la décroissance donne un exposant négatif : \(N_0\,e^{-\lambda t}\).
❌ Confondre \(\lambda\) et \(t_{1/2}\) → ✅ ils sont inverses l'un de l'autre : \(t_{1/2}=\ln 2/\lambda\) ; grand \(\lambda\) ⇒ petit \(t_{1/2}\).
❌ Confondre nombre de noyaux \(N\) et activité \(A\) → ✅ \(A=\lambda N\) est un débit (Bq), \(N\) est un nombre.
❌ Croire qu'une blouse arrête le γ → ✅ seul un écran de plomb/béton atténue efficacement le γ.

À retenir

Notation \(^{A}_{Z}\text{X}\) : \(Z\) protons, \(A\) nucléons, \(A-Z\) neutrons.
Radioactivités : α (émet \(^{4}_{2}\text{He}\)), β⁻ (émet un électron \(^{\ 0}_{-1}\text{e}\)), β⁺ (émet un positon \(^{0}_{+1}\text{e}\)) ; émission γ = photon de désexcitation (\(A\), \(Z\) inchangés).
Équilibrer une réaction nucléaire : conservation de \(A\) et de \(Z\).
\(\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t\) ⇒ \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\) : décroissance exponentielle, analogue à une réaction d'ordre 1.
Demi-vie : \(N(t_{1/2})=N_0/2\) et \(t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Activité : \(A=\lambda N\) en becquerels (Bq) ; \(A(t)=A_0\,e^{-\lambda t}\), divisée par 2 à chaque \(t_{1/2}\).
Applications : radiothérapie, scintigraphie, datation \(^{14}\text{C}\). Protection : temps, distance, écran (papier/α, alu/β, plomb/γ).