← Retour au sommaire

Chapitre 1 – Mesure et incertitudes au laboratoire

Chapitre 1 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Deux élèves mesurent un unique bloc métallique au pied à coulisse ; une balance vide et un schéma reliant les incertitudes de masse et de volume à celle de la masse volumique complètent la scène.
Relier plusieurs sources d’incertitude au résultat calculé pour un même objet.
Objectifs du chapitre :
Situation. Au laboratoire, on détermine la concentration \(c\) d'une solution par un dosage. Le résultat ne dépend pas d'une seule mesure : il combine un volume prélevé à la pipette jaugée, un volume équivalent lu à la burette et une concentration de titrant — chacun affecté de sa propre incertitude. En Première, on a appris à évaluer l'incertitude d'une grandeur (type A ou type B). En Terminale, on franchit une étape : quand la grandeur cherchée est calculée à partir de plusieurs autres, comment composer ces incertitudes pour obtenir l'incertitude finale ? Et comment savoir quelle source pèse le plus, pour améliorer le protocole là où c'est utile ? C'est tout l'objet de ce chapitre.

1. Rappels de Première : type A et type B

On reprend les deux façons d'évaluer une incertitude-type \(u(x)\), c'est-à-dire l'ordre de grandeur de la fluctuation de la valeur mesurée. Le choix dépend de la manière dont la mesure est obtenue.

Définition — évaluation de type A (série de mesures) Quand on répète \(n\) fois la mesure dans les mêmes conditions (répétabilité), le résultat est la moyenne \(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i\) et l'incertitude-type s'obtient par une méthode statistique de type A :
\(u(x)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\qquad\text{avec}\qquad s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}\)
\(s\) est l'écart-type expérimental (fonction ECARTYPE du tableur). Plus \(n\) est grand, plus \(u(x)\) est petite.
Définition — évaluation de type B (notice, tolérance, résolution) Quand on ne fait qu'une seule mesure, l'incertitude vient de l'instrument. On l'évalue par une méthode de type B, à partir d'une relation fournie ou d'une notice constructeur :
\(u(x)=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\quad(\text{tolérance }\pm a)\qquad\qquad u(x)=\dfrac{\Delta}{2\sqrt{3}}\quad(\text{résolution }\Delta)\)
Pour la verrerie jaugée on utilise la tolérance de classe donnée par la notice ; pour un appareil numérique, la résolution (dernier chiffre affiché).
Exemple travaillé — les deux évaluations.
Type A. Cinq titrages donnent un volume équivalent \(V_{éq}\) (mL) : 12,4 ; 12,6 ; 12,5 ; 12,3 ; 12,7. Le tableur donne \(\overline{V}=12{,}5\) mL et \(s=0{,}16\) mL. Alors \(u(V_{éq})=\dfrac{0{,}16}{\sqrt{5}}=\dfrac{0{,}16}{2{,}24}\approx0{,}07\) mL.
Type B. Une pipette jaugée de 20 mL classe A porte \(\pm0{,}03\) mL. Alors \(u(V)=\dfrac{0{,}03}{\sqrt{3}}=\dfrac{0{,}03}{1{,}73}\approx0{,}02\) mL.
Mini-exercice 1. Une balance affiche la masse au centigramme près : sa résolution est \(\Delta=0{,}01\) g. Évaluer l'incertitude-type de type B \(u(m)=\dfrac{\Delta}{2\sqrt{3}}\).

\(u(m)=\dfrac{0{,}01}{2\sqrt{3}}=\dfrac{0{,}01}{3{,}46}\approx0{,}003\ \text{g}\). (Pour une double pesée — tare puis échantillon — on composera deux fois cette incertitude, voir §4.)

2. Sources d'erreurs : identifier et comparer leur poids

Les principales sources d'erreurs au laboratoire Un même résultat cumule plusieurs origines d'incertitude : Certaines produisent une dispersion (erreurs aléatoires, évaluées par type A) ; d'autres un décalage constant (erreurs systématiques, à corriger par ré-étalonnage).
Comparer le poids des sources d'erreurs Quand un résultat dépend de plusieurs grandeurs, on ne cherche pas seulement l'incertitude finale : on veut savoir quelle source domine. La méthode (fournie dans l'énoncé) consiste à comparer les incertitudes relatives \(\dfrac{u(a)}{a},\ \dfrac{u(b)}{b},\dots\) de chaque grandeur. La plus grande impose l'essentiel de l'incertitude finale : c'est sur elle qu'il faut agir pour améliorer le protocole.
Poids relatif des sources d'incertitude u/x pipette V₁ burette V_éq titrant c₀ source dominante
Mini-exercice 2. Dans un calcul de concentration, on relève \(\dfrac{u(V_1)}{V_1}=0{,}1\,\%\), \(\dfrac{u(V_{éq})}{V_{éq}}=1{,}2\,\%\) et \(\dfrac{u(c_0)}{c_0}=0{,}3\,\%\). Quelle source domine ? Sur quoi agir en priorité pour réduire l'incertitude finale ?

La plus grande incertitude relative est celle de \(V_{éq}\) (1,2 %) : c'est la burette qui domine. Il faut agir sur cette source (burette plus fine, meilleure appréciation de l'équivalence, prise d'essai plus grande) — réduire l'incertitude sur \(V_1\) ou \(c_0\) ne changerait presque rien.

3. Choisir le matériel adapté à la précision attendue

Méthode — adapter le matériel à la précision Le matériel doit être ni trop grossier ni inutilement précis pour l'objectif visé : Améliorer un protocole = réduire l'incertitude de la source dominante (§2) : augmenter la prise d'essai, utiliser une verrerie de classe A, répéter la mesure (type A, \(u\) divisée par \(\sqrt{n}\)), étalonner l'appareil.
Précision utile Peser un étalon de 200 mg sur une balance au centigramme donne \(u\approx0{,}003\) g, soit \(1{,}5\,\%\) — souvent trop pour un étalonnage. Une balance au dixième de mg ramène cette source à \(0{,}02\,\%\). À l'inverse, mesurer 100 mL d'eau de dilution à la pipette de précision est du temps perdu : le trait de jauge de la fiole fixe déjà le volume final.
Mini-exercice 3. On prépare 250,0 mL d'une solution étalon. Pour (a) prélever exactement 25 mL de solution mère, (b) compléter jusqu'au trait de jauge avec de l'eau distillée — quel matériel choisir dans chaque cas et pourquoi ?

(a) Pipette jaugée de 25 mL classe A : le volume prélevé doit être précis, il entre directement dans le calcul de concentration. (b) Pissette / bécher : c'est le trait de jauge de la fiole de 250,0 mL qui fixe le volume final ; l'eau ajoutée avant le trait n'a pas besoin d'être mesurée précisément.

4. Composer les incertitudes (plusieurs sources d'erreurs)

Le cœur du programme de Terminale : quand la grandeur cherchée \(G\) est calculée à partir de plusieurs grandeurs mesurées, chacune apporte son incertitude. On les compose à l'aide d'une relation quadratique (toujours fournie dans l'énoncé). On distingue deux cas usuels.

Relation quadratique — somme ou différence Si \(G=a\pm b\) (grandeurs additionnées ou soustraites), les incertitudes-types se composent en quadrature (les carrés s'ajoutent) :
\(u(G)=\sqrt{\big(u(a)\big)^2+\big(u(b)\big)^2}\)
Exemple : masse d'un solide obtenue par différence \(m=m_2-m_1\) (deux pesées).
Relation quadratique — produit ou quotient Si \(G\) est un produit ou un quotient de grandeurs, par exemple \(G=\dfrac{a\times b}{d}\), ce sont les incertitudes relatives qui se composent en quadrature :
\(\dfrac{u(G)}{G}=\sqrt{\left(\dfrac{u(a)}{a}\right)^2+\left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2+\left(\dfrac{u(d)}{d}\right)^2}\)
On calcule d'abord \(\dfrac{u(G)}{G}\) (incertitude relative, sans unité, souvent exprimée en %), puis \(u(G)=G\times\dfrac{u(G)}{G}\).
Somme quadratique, pas somme simple On n'additionne pas les incertitudes relatives : on additionne leurs carrés puis on prend la racine. Conséquence importante : une source deux ou trois fois plus petite que la dominante devient négligeable une fois au carré. C'est pourquoi il suffit souvent d'agir sur la source dominante (§2).
Exemple travaillé — concentration par dosage (produit/quotient). La concentration cherchée vaut \(c=\dfrac{c_0\times V_{éq}}{V_1}\), avec : Valeur : \(c=\dfrac{0{,}100\times15{,}0}{10{,}00}=0{,}150\ \text{mol·L}^{-1}\).
\(\dfrac{u(c)}{c}=\sqrt{(1{,}0\,\%)^2+(0{,}67\,\%)^2+(0{,}20\,\%)^2}=\sqrt{1{,}00+0{,}45+0{,}04}\,\%=\sqrt{1{,}49}\,\%\approx1{,}2\,\%\)
D'où \(u(c)=c\times1{,}2\,\%=0{,}150\times0{,}012\approx0{,}002\ \text{mol·L}^{-1}\), et le résultat s'écrit \(c=(0{,}150\pm0{,}002)\ \text{mol·L}^{-1}\).
On voit que \(c_0\) domine (1,0 %) : pour gagner en précision, il faut d'abord une solution titrante mieux connue.
Animation — composition d'incertitudes relatives. Fais varier chaque source (en %) et observe l'incertitude relative finale \(u(G)/G\), somme quadratique. Constate qu'une source bien plus petite que la dominante n'influe presque pas.


Mini-exercice 4. Une masse volumique se calcule par \(\rho=\dfrac{m}{V}\), avec \(\dfrac{u(m)}{m}=0{,}5\,\%\) et \(\dfrac{u(V)}{V}=2{,}0\,\%\). Calculer l'incertitude relative \(\dfrac{u(\rho)}{\rho}\) par la relation quadratique. Quelle source faut-il améliorer en priorité ?

\(\dfrac{u(\rho)}{\rho}=\sqrt{(0{,}5\,\%)^2+(2{,}0\,\%)^2}=\sqrt{0{,}25+4{,}0}\,\%=\sqrt{4{,}25}\,\%\approx2{,}1\,\%\). La source dominante est le volume (2,0 %) : c'est sur la mesure de \(V\) qu'il faut agir (verrerie plus précise).

Mini-exercice 5. Une masse est obtenue par différence \(m=m_2-m_1\) avec \(u(m_1)=u(m_2)=0{,}003\) g (double pesée). Calculer \(u(m)\) par la relation quadratique de la somme/différence.

\(u(m)=\sqrt{u(m_1)^2+u(m_2)^2}=\sqrt{0{,}003^2+0{,}003^2}=0{,}003\sqrt{2}\approx0{,}004\ \text{g}\). L'incertitude de la masse par différence est \(\sqrt2\) fois celle d'une pesée simple.

5. Écrire un résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

Méthode — écriture d'un résultat Un résultat de mesure s'écrit \(x=x_{mes}\pm u(x)\ (\text{unité})\). Règles :
Exemple. Un calcul donne \(c_{mes}=0{,}14985\ \text{mol·L}^{-1}\) et \(u(c)=0{,}0018\ \text{mol·L}^{-1}\). Incertitude à 1 chiffre significatif : \(0{,}002\) ; valeur arrondie à la même décimale (millièmes) : \(c=(0{,}150\pm0{,}002)\ \text{mol·L}^{-1}\).
Mini-exercice 6. Un dosage aboutit à \(c_{mes}=0{,}05213\ \text{mol·L}^{-1}\) et \(u(c)=0{,}00042\ \text{mol·L}^{-1}\). Écrire correctement le résultat.

\(u(c)\approx0{,}0004\) (1 chiffre significatif) ; valeur arrondie au dix-millième : \(c=(0{,}0521\pm0{,}0004)\ \text{mol·L}^{-1}\).

6. Valider un résultat : écart normalisé \(z\)

Méthode — écart normalisé (nombre d'incertitudes-types) Pour comparer un résultat \(x=x_{mes}\pm u(x)\) à une valeur de référence \(x_{réf}\), on calcule l'écart normalisé :
\(z=\dfrac{|\,x_{mes}-x_{réf}\,|}{u(x)}\)
  1. \(z\le2\) : l'écart vaut moins de 2 incertitudes-types → résultat compatible avec la référence.
  2. \(z\gt2\) : écart trop grand → désaccord, on suspecte une erreur systématique (protocole biaisé, étalonnage, réactif).
La référence est-elle dans la barre d'incertitude ? valeur x_mes x_mes − u x_mes + u x_réf z ≤ 2 → compatible
Exemple travaillé. Un dosage donne \(c=(0{,}150\pm0{,}002)\ \text{mol·L}^{-1}\). La valeur attendue est \(c_{réf}=0{,}155\ \text{mol·L}^{-1}\). Écart normalisé : \(z=\dfrac{|\,0{,}150-0{,}155\,|}{0{,}002}=\dfrac{0{,}005}{0{,}002}=2{,}5\gt2\). Le résultat est en désaccord : on suspecte une erreur systématique (titrant sous-estimé, prise d'essai mal prélevée).
Mini-exercice 7. Une masse volumique mesurée vaut \(\rho=(2{,}68\pm0{,}05)\ \text{g·cm}^{-3}\). La référence de l'aluminium est \(\rho_{réf}=2{,}70\ \text{g·cm}^{-3}\). Calculer \(z\) et conclure.

\(z=\dfrac{|\,2{,}68-2{,}70\,|}{0{,}05}=\dfrac{0{,}02}{0{,}05}=0{,}4\le2\). Le résultat est compatible avec l'aluminium : rien n'indique d'erreur systématique.

7. Comparer des protocoles : justesse et fidélité (au tableur)

Définition — justesse et fidélité On compare deux protocoles en exploitant la dispersion de leurs séries indépendantes : le plus juste a la moyenne la plus proche de la référence ; le plus fidèle a le plus petit écart-type. Un bon protocole est à la fois juste et fidèle.
Justesse et fidélité (analogie de la cible) ni juste ni fidèle fidèle non juste juste non fidèle juste et fidèle
Traiter les données au tableur / avec un programme Pour exploiter une série au laboratoire, on utilise un tableur (ou un court programme) :
Comparer deux protocoles par leur histogramme valeur mesurée effectif référence protocole 1 étroit, centré : juste + fidèle protocole 2 large, décalé : moins juste, moins fidèle
Mini-exercice 8. On dose une eau de concentration vraie \(20{,}0\ \text{mmol·L}^{-1}\). Protocole A : 22,0 ; 22,1 ; 21,9. Protocole B : 19,0 ; 21,0 ; 20,0 (mmol·L\(^{-1}\)). Lequel est le plus fidèle ? le plus juste ? Que dire de leurs histogrammes ?

A est très fidèle (valeurs resserrées, histogramme étroit) mais peu juste (moyenne 22,0 décalée de la vraie 20,0). B est peu fidèle (histogramme large) mais plus juste (moyenne 20,0). Aucun n'est à la fois juste et fidèle : A a une erreur systématique, B une forte erreur aléatoire.

Erreurs fréquentes
À retenir