Chapitre 9 – Ondes et signaux

Chapitre 9 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min

Illustration : Des élèves observent un signal sonore enregistré avec un microphone et un oscilloscope. — Observer un signal périodique avant d’étudier ses composantes fréquentielles.

Objectifs du chapitre :

Comprendre qu'un signal périodique se décompose en une composante continue et une somme de signaux sinusoïdaux.
Identifier, sur un spectre d'amplitude, la composante continue, le fondamental et les harmoniques ; déterminer le rang d'un harmonique.
Déterminer l'intervalle de fréquence nécessaire pour transmettre un signal comportant un ensemble d'harmoniques choisis.
Relever et exploiter le spectre d'un son ; distinguer son pur et son complexe, timbre et hauteur.
Exploiter la relation entre l'intensité acoustique \(I\) et le niveau sonore \(L\) en décibels (dB).
Exploiter les courbes de sensibilité de l'oreille (seuils d'audibilité et de douleur) ; décrire transmission et absorption d'un son.
Positionner les domaines fréquentiels des ondes électromagnétiques utilisées en communication ; relier fréquence et dimension des antennes ; comprendre la transposition fréquentielle.

Situation. Quand vous écoutez de la musique, votre casque reçoit un signal électrique qui, une fois amplifié, fait vibrer une membrane et produit un son. Ce signal n'est presque jamais une simple sinusoïde : c'est une forme d'onde compliquée. Pourtant, un théorème mathématique affirme que tout signal périodique, aussi complexe soit-il, se ramène à une somme de sinusoïdes bien choisies. Savoir « décomposer » un signal en fréquences, c'est comprendre comment on l'enregistre, comment on le transmet par une antenne ou une fibre, et pourquoi deux instruments jouant la même note ne sonnent pas pareil. C'est l'objet de ce chapitre.

1. Décomposition d'un signal périodique

Définition — signal périodique Un signal \(s(t)\) est périodique de période \(T\) si sa forme se répète identiquement à l'identique tous les intervalles de durée \(T\) : \(s(t+T)=s(t)\). Sa fréquence est

\(f=\dfrac{1}{T}\qquad\text{(}f\text{ en hertz, Hz ; }T\text{ en secondes, s)}\)

Un signal sinusoïdal \(s(t)=A\sin(2\pi f\,t)\) est le signal périodique le plus simple : c'est une « onde pure », d'amplitude \(A\) et de fréquence \(f\).

Décomposition en composante continue + sinusoïdes Tout signal périodique de fréquence \(f\) peut être décomposé en la somme de :

une composante continue : un terme constant \(s_0\), égal à la valeur moyenne du signal (aucune oscillation) ;
une composante sinusoïdale de fréquence \(f\), appelée fondamental ;
des composantes sinusoïdales de fréquences multiples entiers de \(f\) : \(2f,\ 3f,\ 4f,\dots\), appelées harmoniques.

\(s(t)=\underbrace{s_0}_{\text{continue}}+\underbrace{A_1\sin(2\pi f\,t+\varphi_1)}_{\text{fondamental}}+\underbrace{A_2\sin(2\pi\cdot 2f\,t+\varphi_2)+A_3\sin(2\pi\cdot 3f\,t+\varphi_3)+\cdots}_{\text{harmoniques}}\)

Cette décomposition est appelée décomposition en série de Fourier.

Définition — fondamental, harmoniques, rang

Le fondamental est la sinusoïde de plus basse fréquence \(f_1=f\) : c'est elle qui fixe la période (donc la fréquence) du signal complet.
Un harmonique de rang \(n\) est une sinusoïde dont la fréquence est \(f_n=n\times f_1\) (un multiple entier du fondamental). Le fondamental est l'harmonique de rang 1.

\(f_n=n\times f_1\qquad\Longleftrightarrow\qquad n=\dfrac{f_n}{f_1}\)

Le rang \(n\) d'un harmonique se déduit donc de sa fréquence : \(n=f_n/f_1\).

Exemple travaillé. Un signal périodique a pour fréquence fondamentale \(f_1=100\ \text{Hz}\). Sur son spectre, on lit des raies à \(100\), \(300\) et \(500\ \text{Hz}\).
Rangs : \(n=\dfrac{100}{100}=1\) (fondamental), \(n=\dfrac{300}{100}=3\) (harmonique 3), \(n=\dfrac{500}{100}=5\) (harmonique 5).
Le signal ne contient donc que les harmoniques impairs — situation typique d'un signal « carré ».

Mini-exercice 1. Un signal périodique a un fondamental à \(f_1=250\ \text{Hz}\). Un harmonique apparaît à \(1000\ \text{Hz}\). Quel est son rang ? Donner la fréquence de l'harmonique de rang 6.

Rang : \(n=\dfrac{1000}{250}=4\) → c'est l'harmonique de rang 4. Harmonique 6 : \(f_6=6\times250=1500\ \text{Hz}\).

2. Le spectre d'amplitude

Définition — spectre d'amplitude Le spectre d'amplitude d'un signal est le graphique qui donne, en fonction de la fréquence (en abscisse), l'amplitude de chaque composante sinusoïdale (en ordonnée). Il est constitué de raies (traits verticaux) :

une raie à la fréquence \(0\) (à gauche) représente la composante continue ; sa hauteur donne la valeur absolue de la valeur moyenne \(|s_0|\) ;
une raie à \(f_1\) : le fondamental ;
des raies à \(2f_1,\ 3f_1,\dots\) : les harmoniques, régulièrement espacées de \(f_1\).

Le spectre est la « carte d'identité fréquentielle » du signal : il indique quelles fréquences le composent et avec quelle amplitude.

Le spectre ne dit pas tout Le spectre d'amplitude donne les fréquences et les amplitudes, mais pas les déphasages. Deux signaux périodiques de formes différentes peuvent avoir le même spectre d'amplitude : l'amplitude seule ne suffit pas à caractériser complètement un signal.

Méthode — lire un spectre d'amplitude

Repérer la raie à \(f=0\) : sa hauteur donne la valeur absolue de la composante continue (elle peut être nulle).
Repérer la première raie non nulle à fréquence non nulle : sa fréquence est \(f_1\) (le fondamental).
Vérifier que les autres raies sont à des multiples entiers de \(f_1\) : ce sont les harmoniques ; leur rang vaut \(n=f_n/f_1\).
Lire l'amplitude de chaque raie sur l'axe vertical.

Mini-exercice 2. Un spectre présente une raie à \(0\ \text{Hz}\) de hauteur \(2\ \text{V}\), une raie à \(50\ \text{Hz}\) de hauteur \(3\ \text{V}\), une raie à \(150\ \text{Hz}\) de hauteur \(1\ \text{V}\). Donner : la composante continue, la fréquence du fondamental, le rang de la dernière raie.

Composante continue : \(s_0=2\ \text{V}\). Fondamental : \(f_1=50\ \text{Hz}\), amplitude \(3\ \text{V}\). Dernière raie : \(n=\dfrac{150}{50}=3\) → harmonique de rang 3, amplitude \(1\ \text{V}\).

Un signal carré est la somme des harmoniques impairs du fondamental, d'amplitude décroissante : \(\sin(x)+\tfrac13\sin(3x)+\tfrac15\sin(5x)+\cdots\). Déplace le curseur pour ajouter des harmoniques un à un : la somme partielle (violet) se rapproche du créneau (pointillés) à mesure qu'on en empile — une illustration directe de « signal = fondamental + harmoniques ».

Nombre d'harmoniques :

3. Transmission d'un signal : intervalle de fréquence (bande passante)

Définition — bande de fréquence nécessaire Pour transmettre fidèlement un signal, un canal (câble, fibre, liaison radio…) doit laisser passer toutes les composantes fréquentielles utiles du signal. L'intervalle de fréquence (ou bande) nécessaire s'étend de la fréquence de la composante la plus basse conservée à celle de la composante la plus haute conservée.

\(\Delta f = f_{\text{max}} - f_{\text{min}}\)

Si l'on transmet le fondamental et les harmoniques jusqu'au rang \(n\), la fréquence maximale utile est \(f_{\text{max}}=n\times f_1\).

Compromis fidélité / largeur de bande Plus on conserve d'harmoniques, plus le signal reçu ressemble à l'original (transmission fidèle), mais plus la bande de fréquence nécessaire est large. Si le canal coupe les harmoniques élevés, la forme du signal est déformée (arrondie). Choisir la bande, c'est arbitrer entre qualité et encombrement du canal.

Exemple travaillé. On veut transmettre un signal de fondamental \(f_1=1\ \text{kHz}\) en conservant le fondamental et les harmoniques jusqu'au rang \(5\).
Fréquence minimale utile : \(f_1=1\ \text{kHz}\). Fréquence maximale : \(f_5=5\times1=5\ \text{kHz}\).

\(\Delta f = 5 - 1 = 4\ \text{kHz}\)

Le canal doit laisser passer au moins la bande \([\,1\ \text{kHz}\,;\,5\ \text{kHz}\,]\). (Si on veut aussi la composante continue, la bande part de \(0\).)

Mini-exercice 3. Un signal a un fondamental à \(f_1=440\ \text{Hz}\). On veut transmettre le fondamental et les harmoniques jusqu'au rang 4. Quelle fréquence maximale le canal doit-il laisser passer ?

\(f_{\text{max}}=f_4=4\times440=1760\ \text{Hz}\). Le canal doit transmettre au moins jusqu'à \(1760\ \text{Hz}\approx1{,}76\ \text{kHz}\).

4. Sons purs et sons complexes : timbre et hauteur

Définition — son pur, son complexe Un son pur correspond à un signal sinusoïdal : son spectre ne comporte qu'une seule raie (le fondamental, sans harmonique). Un diapason produit un son quasi pur.
Un son complexe est un son périodique non sinusoïdal : son spectre comporte un fondamental et des harmoniques. La quasi-totalité des sons musicaux (voix, instruments) sont des sons complexes.

Définition — hauteur et timbre

La hauteur d'un son (grave ou aigu) est déterminée par la fréquence du fondamental \(f_1\) : plus \(f_1\) est grande, plus le son est aigu. Deux instruments jouant la même note ont le même fondamental.
Le timbre est ce qui permet de distinguer deux sons de même hauteur (reconnaître une guitare d'un piano jouant le même « la »). Il dépend du nombre et de l'amplitude relative des harmoniques : c'est la « signature spectrale » de l'instrument.

Mini-exercice 4. Une flûte et un violon jouent le même « la » à \(440\ \text{Hz}\). (a) Ont-ils le même fondamental ? (b) Pourquoi les distingue-t-on à l'oreille ? (c) Comment appelle-t-on la grandeur physique associée à la fréquence \(440\ \text{Hz}\) ?

(a) Oui : même note → même fondamental \(f_1=440\ \text{Hz}\). (b) Leurs harmoniques ont des amplitudes différentes → timbres différents. (c) \(440\ \text{Hz}\) fixe la hauteur du son.

5. Intensité acoustique et niveau sonore

Définition — intensité acoustique L'intensité acoustique \(I\) mesure la puissance sonore reçue par unité de surface. Elle s'exprime en watts par mètre carré (W·m\(^{-2}\)). L'oreille humaine perçoit des intensités s'étalant sur un domaine gigantesque (facteur \(10^{12}\)), d'où l'usage d'une échelle logarithmique.

\(I_0 = 10^{-12}\ \text{W·m}^{-2}\quad\text{: intensité de référence (seuil d'audibilité à 1 kHz)}\)

Définition — niveau sonore (décibel) Le niveau sonore \(L\) (de l'anglais level) se calcule à partir de l'intensité \(I\) par la relation :

\(L = 10\,\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\qquad\text{avec }I_0 = 10^{-12}\ \text{W·m}^{-2}\)

\(L\) s'exprime en décibels (dB). Le logarithme est le logarithme décimal (\(\log\)). Au seuil d'audibilité \(I=I_0\), on a \(L=10\log(1)=0\ \text{dB}\).

Méthode — passer de \(I\) à \(L\) et de \(L\) à \(I\)

Connaissant \(I\) : calculer le rapport \(I/I_0\), en prendre le \(\log\), multiplier par \(10\) → on obtient \(L\) en dB.
Connaissant \(L\) : inverser la relation :
\(\dfrac{I}{I_0}=10^{\,L/10}\qquad\Longrightarrow\qquad I = I_0\times 10^{\,L/10}\)
Repère utile : multiplier l'intensité \(I\) par \(10\) ajoute \(10\ \text{dB}\) ; la multiplier par \(2\) ajoute environ \(3\ \text{dB}\).

Exemple travaillé. Un point de mesure reçoit \(I = 10^{-5}\ \text{W·m}^{-2}\). Quel est le niveau sonore ?

\(L = 10\,\log\!\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}}\right)=10\,\log\!\left(10^{7}\right)=10\times 7 = 70\ \text{dB}\)

Un niveau de \(70\ \text{dB}\) correspond à une rue passante ou une conversation animée.

Exemple travaillé (calcul inverse). Un concert atteint \(L = 100\ \text{dB}\). Quelle est l'intensité acoustique correspondante ?

\(I = I_0\times 10^{\,L/10}=10^{-12}\times 10^{\,100/10}=10^{-12}\times 10^{10}=10^{-2}\ \text{W·m}^{-2}\)

Mini-exercice 5. (a) Calculer le niveau sonore pour \(I=10^{-4}\ \text{W·m}^{-2}\). (b) De combien augmente le niveau si l'intensité est multipliée par \(10\) ?

(a) \(L=10\log\!\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-12}}\right)=10\log(10^{8})=80\ \text{dB}\). (b) \(I\times10\) → \(L\) augmente de \(10\log(10)=\textbf{10\ dB}\) (donc \(90\ \text{dB}\)).

6. Sensibilité de l'oreille — transmission et absorption

Définition — domaine audible, seuils L'oreille humaine perçoit les sons dont la fréquence est comprise entre environ 20 Hz et 20 kHz (domaine audible). En dessous : infrasons ; au-dessus : ultrasons. Pour chaque fréquence, il existe :

un seuil d'audibilité : niveau minimal en dessous duquel le son n'est plus perçu ;
un seuil de douleur : niveau au-delà duquel le son devient douloureux et dangereux (\(\approx 120\ \text{dB}\)).

Courbes de sensibilité (courbes d'audition) La sensibilité de l'oreille dépend de la fréquence : elle est maximale entre \(1\) et \(5\ \text{kHz}\) (où le seuil d'audibilité est le plus bas), et bien moins bonne pour les sons très graves ou très aigus. Un son grave doit donc être plus intense qu'un son médium pour être entendu au même niveau perçu.

Définition — transmission et absorption d'un son Quand un son rencontre une paroi (mur, cloison, matériau) :

une partie est transmise (traverse le matériau et continue de l'autre côté) ;
une partie est absorbée (l'énergie sonore est convertie en chaleur dans le matériau) ;
une partie est réfléchie.

Un bon isolant phonique transmet peu et absorbe beaucoup : c'est le principe des matériaux d'isolation acoustique (mousses, laines) et des protections auditives.

Mini-exercice 6. (a) Un son de fréquence \(15\ \text{Hz}\) est-il audible ? Et un son de \(3\ \text{kHz}\) ? (b) Pour laquelle de ces deux fréquences l'oreille est-elle la plus sensible ? (c) Que fait un bon isolant phonique de l'énergie sonore ?

(a) \(15\ \text{Hz}\lt 20\ \text{Hz}\) : c'est un infrason, non audible ; \(3\ \text{kHz}\) est dans le domaine audible → audible. (b) L'oreille est la plus sensible vers \(3\ \text{kHz}\) (zone \(1\)–\(5\ \text{kHz}\)). (c) Il absorbe l'essentiel de l'énergie (convertie en chaleur) et n'en transmet qu'une faible part.

7. Ondes électromagnétiques et communication

Définition — onde électromagnétique, longueur d'onde Une onde électromagnétique (radio, micro-ondes, infrarouge, lumière visible, UV, X, γ) se propage dans le vide à la célérité de la lumière \(c=3{,}0\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}\). Sa fréquence \(f\) et sa longueur d'onde \(\lambda\) sont reliées par :

\(\lambda = \dfrac{c}{f}\qquad(\lambda\text{ en m},\ c\text{ en m·s}^{-1},\ f\text{ en Hz})\)

Grande fréquence ⟺ petite longueur d'onde. Les ondes utilisées en télécommunications se classent selon leur fréquence (ou leur longueur d'onde).

Fréquence et dimension des antennes Pour émettre ou recevoir efficacement une onde radio, la dimension d'une antenne doit être de l'ordre de la longueur d'onde \(\lambda\) (souvent \(\lambda/2\) ou \(\lambda/4\)). Comme \(\lambda=c/f\) :

onde de basse fréquence → grande longueur d'onde → antenne longue (pylônes de radio) ;
onde de haute fréquence → petite longueur d'onde → antenne courte (téléphone, Wi-Fi).

Exemple travaillé. Une station de radio FM émet à \(f=100\ \text{MHz}=100\times10^{6}\ \text{Hz}\). Longueur d'onde :

\(\lambda=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3{,}0\times10^{8}}{100\times10^{6}}=3{,}0\ \text{m}\)

Une antenne quart d'onde mesure alors \(\lambda/4=0{,}75\ \text{m}\), ce qui explique la taille des antennes FM.

Définition — transposition fréquentielle (modulation) Un signal « utile » (voix, musique) occupe des fréquences basses (quelques kHz), mal adaptées à la transmission par antenne. La transposition fréquentielle (réalisée par la modulation) déplace ce signal autour d'une fréquence porteuse beaucoup plus élevée, mieux adaptée au canal. À la réception, une opération inverse ramène le signal à sa place. Elle permet aussi de faire coexister plusieurs signaux différents dans un même milieu, chacun sur sa porteuse.

Mini-exercice 7. (a) Calculer la longueur d'onde d'une onde de fréquence \(f=3{,}0\ \text{GHz}=3{,}0\times10^{9}\ \text{Hz}\) (Wi-Fi/5G). (b) L'antenne sera-t-elle plus courte ou plus longue que pour la FM à \(100\ \text{MHz}\) ? Justifier.

(a) \(\lambda=\dfrac{3{,}0\times10^{8}}{3{,}0\times10^{9}}=0{,}10\ \text{m}=10\ \text{cm}\). (b) Fréquence plus élevée → longueur d'onde plus petite (10 cm contre 3 m) → antenne beaucoup plus courte, d'où les petites antennes intégrées des téléphones.

Erreurs fréquentes

❌ Croire que les harmoniques ont des fréquences quelconques → ✅ ce sont des multiples entiers du fondamental : \(f_n=n\,f_1\).
❌ Confondre timbre et hauteur → ✅ la hauteur = fréquence du fondamental ; le timbre = amplitude relative des harmoniques.
❌ Additionner des niveaux en dB comme des intensités → ✅ le dB est logarithmique : \(I\times10\) ajoute \(+10\ \text{dB}\), pas \(\times10\ \text{dB}\).
❌ Oublier \(I_0=10^{-12}\ \text{W·m}^{-2}\) dans \(L=10\log(I/I_0)\) → ✅ toujours diviser par la référence \(I_0\).
❌ Penser qu'une grande fréquence demande une grande antenne → ✅ c'est l'inverse : \(\lambda=c/f\), grande \(f\) → petit \(\lambda\) → antenne courte.
❌ Croire que le spectre d'amplitude caractérise entièrement le signal → ✅ deux signaux de formes différentes peuvent avoir le même spectre d'amplitude.

À retenir

Tout signal périodique = composante continue \(s_0\) + fondamental (\(f_1\)) + harmoniques (\(f_n=n\,f_1\)).
Le spectre d'amplitude montre les raies : \(f=0\) (continue), \(f_1\) (fondamental), \(2f_1,3f_1,\dots\) (harmoniques). Rang : \(n=f_n/f_1\).
Transmettre jusqu'au rang \(n\) : bande de \(0\) (ou \(f_1\)) à \(f_{\text{max}}=n\,f_1\), soit \(\Delta f=f_{\text{max}}-f_{\text{min}}\).
Son pur = 1 raie ; son complexe = fondamental + harmoniques. Hauteur = fréquence du fondamental ; timbre = harmoniques.
Niveau sonore : \(L=10\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) en dB, avec \(I_0=10^{-12}\ \text{W·m}^{-2}\) ; inverse : \(I=I_0\,10^{L/10}\). \(I\times10\Rightarrow +10\ \text{dB}\).
Audible : \(20\ \text{Hz}\)–\(20\ \text{kHz}\) ; sensibilité maximale vers \(1\)–\(5\ \text{kHz}\) ; un son est transmis, absorbé ou réfléchi par une paroi.
Ondes EM : \(\lambda=c/f\) avec \(c=3{,}0\times10^{8}\ \text{m·s}^{-1}\) ; antenne \(\sim\lambda\) (grande \(f\) → antenne courte) ; transposition fréquentielle (modulation) pour transmettre.