Chapitre 2 – Énergie et puissance

Chapitre 2 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30

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Illustration : Des élèves observent la consommation d’un petit appareil alimenté par une batterie basse tension. — Relever une puissance au cours du fonctionnement d’un appareil électrique.

Objectifs du chapitre :

Définir la puissance instantanée comme limite de la puissance moyenne sur un intervalle de temps infiniment petit.
Reconnaître la puissance instantanée comme la dérivée par rapport au temps de l'énergie : \(P=\frac{dE}{dt}\).
Déterminer l'énergie mise en jeu pendant un intervalle de temps à partir de la courbe \(P(t)\) : aire sous la courbe.
Utiliser un outil numérique (tableur, programme) pour passer d'un tableau de puissances à l'énergie, et inversement.
Estimer la durée de fonctionnement d'un système autonome (batterie, réservoir).
Distinguer puissance absorbée et puissance utile ; exploiter la relation du rendement d'une conversion ou d'un transfert.
Définir un fonctionnement réversible et non réversible pour un convertisseur d'énergie.

Situation. Un vélo à assistance électrique embarque une batterie. Sur un parcours vallonné, le moteur ne délivre jamais la même puissance : forte en côte, nulle en descente. Comment savoir combien d'énergie la batterie a réellement fournie sur tout le trajet, et donc quelle distance on pourra parcourir avant la panne ? La réponse relie deux grandeurs centrales de toute la filière STI2D : la puissance \(P\) (en watts, un débit d'énergie à chaque instant) et l'énergie \(E\) (en joules, ce qui est réellement transféré). Ce chapitre montre que ces deux grandeurs sont liées par la dérivée et par l'aire sous une courbe — les deux grands outils du calcul infinitésimal étudiés en mathématiques.

1. Énergie et puissance : rappels et unités

Définition — énergie et puissance moyenne L'énergie \(E\) est la grandeur qui mesure ce qu'un système peut transférer ou transformer ; elle se mesure en joules (J). La puissance moyenne \(P_{moy}\) sur une durée \(\Delta t\) est l'énergie \(\Delta E\) mise en jeu divisée par cette durée :

\(P_{moy}=\dfrac{\Delta E}{\Delta t}\qquad(\text{en watts, }1\ \text{W}=1\ \text{J·s}^{-1})\)

Une puissance est donc un débit d'énergie : elle indique la quantité d'énergie transférée par seconde.

Unités et ordres de grandeur

Le watt (W) est l'unité SI de puissance : \(1\ \text{W}=1\ \text{J·s}^{-1}\). On rencontre le kilowatt (kW, \(10^{3}\) W) et le mégawatt (MW, \(10^{6}\) W).
Le joule (J) est l'unité SI d'énergie. Dans la vie courante on utilise aussi le wattheure : \(1\ \text{Wh}=1\ \text{W}\times3600\ \text{s}=3600\ \text{J}\), et le kilowattheure \(1\ \text{kWh}=3{,}6\times10^{6}\ \text{J}\).
Ordres de grandeur : une LED \(\approx 5\) W, un vélo à assistance \(\approx 250\) W, un radiateur \(\approx 2000\) W, une éolienne \(\approx 2\) MW.

Exemple. Un radiateur de puissance constante \(P=1500\) W fonctionne pendant \(\Delta t=2{,}0\) h \(=7{,}2\times10^{3}\) s. L'énergie mise en jeu est \(E=P\times\Delta t=1500\times7{,}2\times10^{3}=1{,}08\times10^{7}\ \text{J}\), soit \(E=1500\times2{,}0=3{,}0\times10^{3}\ \text{Wh}=3{,}0\ \text{kWh}\).

Mini-exercice 1. Une ampoule de \(60\) W reste allumée \(5{,}0\) h. Calculer l'énergie consommée (a) en wattheures, (b) en joules.

(a) \(E=P\times\Delta t=60\times5{,}0=300\ \text{Wh}=0{,}30\ \text{kWh}\).
(b) En joules : \(\Delta t=5{,}0\times3600=1{,}8\times10^{4}\) s, donc \(E=60\times1{,}8\times10^{4}=1{,}08\times10^{6}\ \text{J}\).

2. De la puissance moyenne à la puissance instantanée

Quand la puissance varie au cours du temps (démarrage d'un moteur, côte puis descente…), la puissance moyenne ne dit pas ce qui se passe à un instant précis. On a besoin de la puissance instantanée \(P(t)\).

Définition — puissance instantanée (comme limite) La puissance instantanée à l'instant \(t\) est la limite de la puissance moyenne calculée sur un intervalle de temps \(\Delta t\) que l'on fait tendre vers \(0\) :

\(P(t)=\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta E}{\Delta t}\)

On mesure l'énergie \(\Delta E\) mise en jeu entre \(t\) et \(t+\Delta t\), on divise par \(\Delta t\), et on regarde vers quelle valeur ce rapport se rapproche quand \(\Delta t\) devient infiniment petit.

Puissance instantanée = dérivée de l'énergie Cette limite du rapport \(\dfrac{\Delta E}{\Delta t}\) est exactement la définition du nombre dérivé de la fonction \(E(t)\). Donc la puissance instantanée est la dérivée de l'énergie par rapport au temps :

\(P(t)=\dfrac{dE}{dt}\)

Autrement dit, la puissance mesure la vitesse à laquelle l'énergie varie : plus l'énergie transférée augmente vite, plus la puissance est grande.

Ne pas confondre La puissance moyenne \(P_{moy}=\Delta E/\Delta t\) utilise une durée \(\Delta t\) finie (par exemple une heure entière). La puissance instantanée \(P(t)=dE/dt\) correspond à un instant précis. Elles ne sont égales que si la puissance est constante sur l'intervalle.

Mini-exercice 2. Entre \(t=0\) et \(t=10\) s, un système fournit une énergie de \(\Delta E=800\) J. (a) Calculer la puissance moyenne sur cet intervalle. (b) Cette valeur suffit-elle à connaître la puissance à l'instant \(t=3\) s ? Expliquer.

(a) \(P_{moy}=\dfrac{\Delta E}{\Delta t}=\dfrac{800}{10}=80\ \text{W}\).
(b) Non : la puissance moyenne ne renseigne pas sur la valeur à un instant précis. Si la puissance varie (par ex. forte au début, faible ensuite), \(P(3\ \text{s})\) peut être très différente de \(80\) W. Il faudrait connaître la courbe \(P(t)\) ou la pente de \(E(t)\) en \(t=3\) s.

3. L'énergie comme aire sous la courbe P(t)

La relation \(P=\dfrac{dE}{dt}\) se lit aussi « à l'envers » : si l'on connaît la puissance à chaque instant, on peut reconstruire l'énergie mise en jeu. En mathématiques, l'opération inverse de la dérivée est l'intégrale, qui se lit graphiquement comme une aire.

Définition — énergie = aire sous la courbe P(t) L'énergie mise en jeu par un système entre les instants \(t_1\) et \(t_2\) est égale à l'aire comprise entre la courbe \(P(t)\), l'axe des temps et les deux verticales \(t=t_1\) et \(t=t_2\) :

\(E=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} P(t)\,dt\;=\;\text{aire sous la courbe }P(t)\text{ entre }t_1\text{ et }t_2\)

Cette aire se mesure en watts × secondes, c'est-à-dire en joules.

Cas de la puissance constante Si la puissance est constante \((P(t)=P)\), la courbe est une droite horizontale et l'aire est un simple rectangle :

\(E=P\times(t_2-t_1)=P\times\Delta t\)

On retrouve la relation du paragraphe 1 : elle n'est qu'un cas particulier de l'aire sous la courbe.

Méthode — calculer une énergie à partir d'une courbe P(t) par découpage Quand la courbe \(P(t)\) est faite de segments (paliers, rampes), on calcule l'aire par géométrie :

Découper l'aire en formes simples : rectangles (paliers) et trapèzes ou triangles (rampes).
Rappels d'aires : rectangle \(=\) base × hauteur ; triangle \(=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\) ; trapèze \(=\dfrac{(\text{grande base}+\text{petite base})}{2}\times\text{hauteur}\).
Additionner toutes les aires. Attention aux unités : temps en secondes → énergie en joules.

Exemple travaillé — aire sous une courbe P(t). Un appareil suit ce profil : de \(0\) à \(10\) s, puissance constante \(P=200\) W ; de \(10\) à \(20\) s, la puissance décroît linéairement de \(200\) W à \(0\) W.
• Phase 1 (rectangle) : \(E_1=200\times10=2000\ \text{J}\).
• Phase 2 (triangle) : \(E_2=\dfrac{10\times200}{2}=1000\ \text{J}\).

\(E=E_1+E_2=2000+1000=3000\ \text{J}=3{,}0\ \text{kJ}\)

Mini-exercice 3. Un moteur suit le profil suivant : de \(0\) à \(4{,}0\) s, la puissance monte linéairement de \(0\) à \(300\) W (rampe de démarrage) ; de \(4{,}0\) à \(9{,}0\) s, elle reste constante à \(300\) W. Calculer l'énergie totale mise en jeu (aire sous la courbe).

Phase 1 (triangle) : \(E_1=\dfrac{4{,}0\times300}{2}=600\ \text{J}\).
Phase 2 (rectangle), durée \(9{,}0-4{,}0=5{,}0\) s : \(E_2=300\times5{,}0=1500\ \text{J}\).
Total : \(E=600+1500=2100\ \text{J}=2{,}1\ \text{kJ}\).

Déplace le curseur pour faire varier la borne de temps \(t\) : l'aire sous la courbe \(P(t)\) se colorie de \(0\) à \(t\), et l'énergie \(E\) affichée est exactement cette aire (en joules).

Borne de temps \(t\) :

4. Outil numérique : passer de P(t) à E et inversement

En pratique, un capteur fournit un tableau de valeurs (puissance ou énergie relevée à intervalles réguliers). On utilise alors un tableur ou un programme pour passer de l'une à l'autre.

Méthode — de P(t) vers E : l'aire par la méthode des rectangles On dispose de la puissance \(P_i\) mesurée à chaque instant \(t_i\), tous les \(\Delta t\) (par exemple toutes les secondes). L'énergie totale est la somme des aires des rectangles :

\(E\approx\displaystyle\sum_i P_i\times\Delta t\)

C'est l'approximation de l'intégrale par la méthode des rectangles vue en mathématiques. Dans un tableur : colonne temps, colonne \(P\), puis on fait =P_i*Δt et enfin =SOMME(...). Plus \(\Delta t\) est petit, plus l'estimation est précise.

Méthode — de E(t) vers P : la puissance par taux de variation Inversement, si l'on connaît l'énergie \(E_i\) relevée à chaque instant, la puissance moyenne sur chaque intervalle est le taux de variation (approximation de la dérivée) :

\(P_i\approx\dfrac{E_{i+1}-E_i}{\Delta t}\)

Dans un tableur : \(P_i=(E_{i+1}-E_i)/\Delta t\). C'est la traduction numérique de \(P=\dfrac{dE}{dt}\).

Exemple. Un tableur relève la puissance d'un four toutes les \(\Delta t=60\) s : \(P=\{800;\;800;\;600;\;400\}\) W. Énergie par la méthode des rectangles :
\(E\approx(800+800+600+400)\times60=2600\times60=1{,}56\times10^{5}\ \text{J}\), soit environ \(0{,}043\ \text{kWh}\).

Estimer la durée de fonctionnement d'un système autonome Un système autonome (batterie, réservoir) dispose d'une énergie stockée \(E_{stock}\). S'il consomme une puissance moyenne \(P\), sa durée de fonctionnement (autonomie) est :

\(\Delta t=\dfrac{E_{stock}}{P}\)

C'est la relation \(E=P\times\Delta t\) réarrangée. Attention à travailler dans des unités cohérentes (Wh avec W, ou J avec W).

Exemple travaillé — autonomie d'une batterie. Une batterie de vélo stocke \(E_{stock}=500\ \text{Wh}\). En moyenne, le moteur consomme \(P=250\) W. L'autonomie en durée est :

\(\Delta t=\dfrac{E_{stock}}{P}=\dfrac{500}{250}=2{,}0\ \text{h}\)

À une vitesse moyenne de \(20\ \text{km·h}^{-1}\), cela correspond à une distance d'environ \(20\times2{,}0=40\) km.

Mini-exercice 4. Une lampe de secours consomme \(P=8{,}0\) W. Sa batterie stocke \(E_{stock}=48\ \text{Wh}\). Estimer sa durée d'autonomie.

\(\Delta t=\dfrac{E_{stock}}{P}=\dfrac{48}{8{,}0}=6{,}0\ \text{h}\). La lampe peut éclairer environ \(6\) heures.

5. Puissance absorbée, puissance utile et rendement

Un convertisseur d'énergie (moteur, transformateur, panneau solaire, chauffe-eau…) reçoit de l'énergie et en restitue une partie sous la forme voulue. Une autre partie est toujours perdue, le plus souvent en chaleur.

Définition — puissance absorbée, puissance utile, pertes Pour un convertisseur :

La puissance absorbée \(P_{a}\) est la puissance reçue en entrée.
La puissance utile \(P_{u}\) est la puissance fournie en sortie sous la forme recherchée.
La différence \(P_{pertes}=P_{a}-P_{u}\) est la puissance perdue (surtout dissipée en chaleur).

Définition — rendement Le rendement \(\eta\) (lettre grecque « êta ») d'une conversion ou d'un transfert est le rapport de la puissance utile à la puissance absorbée (ou, de façon équivalente, des énergies) :

\(\eta=\dfrac{P_{u}}{P_{a}}=\dfrac{E_{u}}{E_{a}}\)

C'est un nombre sans unité, souvent exprimé en pourcentage. Comme une partie de l'énergie est toujours perdue, on a toujours \(0\lt\eta\le 1\) (soit \(\eta\le 100\ \%\)) : le rendement ne peut pas dépasser 1.

Méthode — exploiter le rendement Selon la donnée manquante, on réarrange \(\eta=\dfrac{P_u}{P_a}\) :

puissance utile connue et rendement connu → \(P_a=\dfrac{P_u}{\eta}\) ;
puissance absorbée connue et rendement connu → \(P_u=\eta\times P_a\) ;
les deux puissances connues → \(\eta=\dfrac{P_u}{P_a}\), et pertes \(P_{pertes}=P_a-P_u\).

La même relation vaut avec les énergies : \(\eta=\dfrac{E_u}{E_a}\).

Exemple travaillé — rendement d'un moteur. Un moteur électrique absorbe une puissance électrique \(P_a=1200\) W et fournit une puissance mécanique utile \(P_u=1020\) W.
Rendement : \(\eta=\dfrac{P_u}{P_a}=\dfrac{1020}{1200}=0{,}85=85\ \%\).
Puissance perdue (en chaleur) : \(P_{pertes}=P_a-P_u=1200-1020=180\ \text{W}\).

Un rendement ne dépasse jamais 100 % Si un calcul donne \(\eta\gt 1\) (soit plus de \(100\ \%\)), c'est une erreur : on a probablement inversé \(P_u\) et \(P_a\). La puissance utile est toujours inférieure à la puissance absorbée, car il y a toujours des pertes.

Mini-exercice 5. Un panneau solaire reçoit une puissance lumineuse \(P_a=800\) W et délivre une puissance électrique utile \(P_u=160\) W. (a) Calculer son rendement. (b) Quelle est la puissance perdue ?

(a) \(\eta=\dfrac{P_u}{P_a}=\dfrac{160}{800}=0{,}20=20\ \%\).
(b) \(P_{pertes}=P_a-P_u=800-160=640\ \text{W}\) (dissipés surtout en chaleur).

Mini-exercice 6. Une pompe doit fournir une puissance utile \(P_u=750\) W. Son rendement est \(\eta=0{,}60\). Quelle puissance électrique \(P_a\) doit-elle absorber ?

\(P_a=\dfrac{P_u}{\eta}=\dfrac{750}{0{,}60}=1250\ \text{W}\). La pompe absorbe donc \(1{,}25\) kW pour n'en restituer utilement que \(0{,}75\) kW.

6. Convertisseur réversible ou non réversible

Définition — fonctionnement réversible et non réversible Un convertisseur d'énergie est dit réversible lorsqu'il peut fonctionner dans les deux sens de conversion, en échangeant les rôles de l'entrée et de la sortie. Il est dit non réversible lorsqu'il ne convertit l'énergie que dans un seul sens.

Exemples

Réversibles : une machine électrique tournante peut fonctionner en moteur (électrique → mécanique) ou en génératrice (mécanique → électrique) — c'est le principe du freinage régénératif d'un véhicule électrique. Un accumulateur (batterie) se charge (électrique → chimique) et se décharge (chimique → électrique).
Non réversibles : une lampe convertit l'électrique en lumière et chaleur, mais l'éclairer ne recharge pas le réseau ; une résistance chauffante transforme l'électrique en chaleur uniquement ; une pile (non rechargeable) ne fonctionne que dans un sens.

Mini-exercice 7. Pour chaque convertisseur, indiquer s'il est réversible ou non réversible : (a) un radiateur électrique ; (b) l'alterno-démarreur d'une voiture ; (c) une pile alcaline jetable ; (d) une batterie lithium rechargeable.

(a) non réversible (électrique → chaleur seulement) ; (b) réversible (démarreur : électrique → mécanique ; alternateur : mécanique → électrique) ; (c) non réversible (ne se recharge pas) ; (d) réversible (charge et décharge).

Erreurs fréquentes

❌ Confondre puissance et énergie → ✅ la puissance (W) est un débit, l'énergie (J) est ce qui est transféré ; \(E=P\times\Delta t\) si \(P\) est constante.
❌ Croire que \(P=dE/dt\) n'est valable que « en maths » → ✅ c'est la définition physique : la puissance instantanée est la dérivée de l'énergie par rapport au temps.
❌ Multiplier bêtement \(P\times\Delta t\) quand \(P\) varie → ✅ il faut alors calculer l'aire sous la courbe \(P(t)\) (rectangles, triangles, trapèzes ou méthode des rectangles).
❌ Mélanger heures et secondes → ✅ garder des unités cohérentes : W avec Wh, ou W avec J (et \(1\ \text{Wh}=3600\ \text{J}\)).
❌ Trouver un rendement \(\gt 100\ \%\) → ✅ on a inversé \(P_u\) et \(P_a\) : toujours \(\eta=\dfrac{P_u}{P_a}\le 1\).
❌ Croire qu'un moteur est forcément réversible → ✅ la réversibilité dépend du dispositif : une lampe ou une résistance ne convertit que dans un sens.

À retenir

Puissance = débit d'énergie : \(P_{moy}=\dfrac{\Delta E}{\Delta t}\), en watts \((1\ \text{W}=1\ \text{J·s}^{-1})\) ; \(1\ \text{Wh}=3600\ \text{J}\).
Puissance instantanée = limite de la puissance moyenne quand \(\Delta t\to 0\) = dérivée de l'énergie : \(P(t)=\dfrac{dE}{dt}\) (pente de la courbe \(E(t)\)).
Énergie mise en jeu = aire sous la courbe \(P(t)\) : \(E=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}P(t)\,dt\) (rectangle si \(P\) constante).
Outil numérique : \(E\approx\sum P_i\,\Delta t\) (méthode des rectangles) et \(P_i\approx\dfrac{E_{i+1}-E_i}{\Delta t}\) (taux de variation).
Autonomie d'un système : \(\Delta t=\dfrac{E_{stock}}{P}\).
Rendement : \(\eta=\dfrac{P_u}{P_a}=\dfrac{E_u}{E_a}\), sans unité, avec toujours \(0\lt\eta\le 1\) ; pertes \(P_{pertes}=P_a-P_u\).
Convertisseur réversible = fonctionne dans les deux sens (moteur/génératrice, batterie) ; non réversible = un seul sens (lampe, résistance, pile jetable).