← Retour au sommaire

Chapitre 1 – Mesure et incertitudes

Chapitre 1 | Terminale STI2D — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~20 min

Illustration : Deux élèves mesurent un unique bloc métallique au pied à coulisse ; une balance vide et un schéma reliant les incertitudes de masse et de volume à celle de la masse volumique complètent la scène.
Relier plusieurs sources d’incertitude au résultat calculé pour un même objet.
Objectifs du chapitre :
Situation. Dans un bureau d'études, on ne mesure presque jamais directement la grandeur qui intéresse : on la calcule à partir d'autres mesures. La masse volumique d'un matériau se déduit d'une masse et d'un volume ; la puissance d'un moteur d'une tension et d'une intensité. Chaque mesure porte son incertitude, et toutes se combinent dans le résultat final. Comment obtenir l'incertitude sur une grandeur calculée ? Quelle mesure faut-il améliorer en priorité ? Et une fois le résultat écrit \(x=x_{mes}\pm u(x)\), comment décider s'il est en accord avec une valeur de référence ? Ce chapitre répond à ces trois questions, au cœur de la validation d'une mesure en STI2D.

1. Rappels : incertitude-type d'une mesure directe

Rappel — incertitude-type de type A (série de mesures) Quand on répète \(n\) fois une mesure, on retient la moyenne \(\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\). L'incertitude-type sur cette moyenne s'évalue par une approche statistique dite de type A :
\(u(x)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\)
où \(s\) est l'écart-type expérimental de la série et \(n\) le nombre de mesures. Plus \(n\) est grand, plus \(u(x)\) est petite. Elle a la même unité que la grandeur.
Rappel — incertitude-type d'une mesure unique Quand on ne fait qu'une seule mesure, l'incertitude vient de la résolution de l'instrument. Pour un instrument dont la plus petite graduation (ou la résolution affichée) vaut \(\delta\), on prend souvent la relation fournie :
\(u(x)=\dfrac{\delta}{\sqrt{12}}=\dfrac{\delta}{2\sqrt{3}}\)
Cette relation traduit une répartition uniforme de la valeur vraie dans l'intervalle de largeur \(\delta\) autour de la lecture. Elle est toujours donnée dans l'énoncé : on n'a pas à la retrouver.
Exemple — mesure unique. Une éprouvette graduée a une résolution \(\delta=2\ \text{mL}\). Une lecture unique donne \(V=48\ \text{mL}\). L'incertitude-type vaut
\(u(V)=\dfrac{\delta}{\sqrt{12}}=\dfrac{2}{3{,}46}\approx0{,}6\ \text{mL}\)
On écrira \(V=(48{,}0\pm0{,}6)\ \text{mL}\).
Mini-exercice 1. Un chronomètre a une résolution \(\delta=0{,}01\ \text{s}\). On lit une durée unique \(t=3{,}47\ \text{s}\). Calculer l'incertitude-type \(u(t)\) avec la relation \(u=\delta/\sqrt{12}\), puis écrire le résultat.

\(u(t)=\dfrac{0{,}01}{\sqrt{12}}=\dfrac{0{,}01}{3{,}46}\approx0{,}003\ \text{s}\). Résultat : \(t=(3{,}470\pm0{,}003)\ \text{s}\).

2. Grandeur calculée : la propagation des incertitudes

Définition — grandeur composée Une grandeur \(y\) est dite composée (ou calculée) lorsqu'elle s'obtient par une formule à partir de plusieurs grandeurs mesurées \(a, b, c, \dots\) : par exemple \(\rho=\dfrac{m}{V}\), \(P=U\times I\), \(v=\dfrac{d}{t}\). Chaque grandeur mesurée porte son incertitude-type \(u(a), u(b), \dots\) ; ces incertitudes se propagent dans le résultat \(y\).
Idée-clé Une seule mesure imprécise suffit à rendre le résultat imprécis. L'incertitude finale ne se contente donc pas d'« hériter » d'une seule mesure : elle combine toutes les sources d'erreur. La façon de les combiner n'est pas une simple addition — c'est une somme quadratique (paragraphe 3).
Propagation des incertitudes m ± u(m) V ± u(V) formule ρ = m/V ρ ± u(ρ) incertitude composée

3. Incertitude-type composée : la somme quadratique

Définition — incertitude-type composée L'incertitude-type composée \(u(y)\) est l'incertitude sur une grandeur calculée, obtenue en combinant les incertitudes des grandeurs mesurées par une somme quadratique (on additionne les carrés, puis on prend la racine). On distingue deux cas usuels.
Cas 1 — somme ou différence : \(y=a+b\) ou \(y=a-b\) Les incertitudes absolues se combinent en somme quadratique :
\(u(y)=\sqrt{\,u(a)^2+u(b)^2\,}\)
Cas 2 — produit ou quotient : \(y=a\times b\) ou \(y=\dfrac{a}{b}\) Ce sont les incertitudes relatives \(\dfrac{u}{\text{valeur}}\) qui se combinent en somme quadratique :
\(\dfrac{u(y)}{y}=\sqrt{\left(\dfrac{u(a)}{a}\right)^2+\left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2}\)
On calcule d'abord \(\dfrac{u(y)}{y}\), puis \(u(y)=y\times\dfrac{u(y)}{y}\). Ces relations sont fournies en STI2D.
Pourquoi une somme quadratique et non une simple addition ? Additionner directement (\(u(y)=u(a)+u(b)\)) reviendrait à supposer que toutes les erreurs sont maximales en même temps et dans le même sens, ce qui est très improbable pour des erreurs aléatoires indépendantes. La somme quadratique tient compte du fait qu'elles se compensent partiellement : elle donne une incertitude plus réaliste (et toujours plus petite que l'addition simple).
Exemple travaillé — masse volumique \(\rho=m/V\). On mesure \(m=(250{,}0\pm0{,}5)\ \text{g}\) et \(V=(92{,}0\pm1{,}0)\ \text{cm}^3\).
Valeur : \(\rho=\dfrac{250{,}0}{92{,}0}=2{,}717\ \text{g·cm}^{-3}\).
Incertitudes relatives : \(\dfrac{u(m)}{m}=\dfrac{0{,}5}{250{,}0}=0{,}0020\) ; \(\dfrac{u(V)}{V}=\dfrac{1{,}0}{92{,}0}=0{,}0109\).
\(\dfrac{u(\rho)}{\rho}=\sqrt{0{,}0020^2+0{,}0109^2}=\sqrt{4{,}0\times10^{-6}+1{,}19\times10^{-4}}\approx0{,}0111\)
Donc \(u(\rho)=2{,}717\times0{,}0111\approx0{,}030\ \text{g·cm}^{-3}\). Résultat : \(\rho=(2{,}72\pm0{,}03)\ \text{g·cm}^{-3}\).
Méthode — évaluer une incertitude composée (produit/quotient)
  1. Calculer la valeur de la grandeur \(y\) avec la formule.
  2. Calculer chaque incertitude relative \(\dfrac{u(a)}{a}\), \(\dfrac{u(b)}{b}\)…
  3. Faire la somme quadratique de ces incertitudes relatives → \(\dfrac{u(y)}{y}\).
  4. Multiplier par \(y\) pour obtenir \(u(y)\) (en unité).
  5. Écrire \(y=y_{mes}\pm u(y)\) en arrondissant correctement.
Avec un outil numérique Un tableur ou un programme Python évalue l'incertitude composée sans risque d'erreur de calcul. Par exemple, pour \(P=U\times I\), on peut écrire (Python) :
P = U*I
uP = P*((uU/U)**2 + (uI/I)**2)**0.5
Le programme donne directement \(P\) et \(u(P)\). Le BO recommande explicitement cet usage d'un outil numérique pour l'incertitude composée.
Mini-exercice 2. On calcule une puissance \(P=U\times I\) avec \(U=(12{,}0\pm0{,}2)\ \text{V}\) et \(I=(2{,}50\pm0{,}05)\ \text{A}\). Calculer \(P\) et \(u(P)\) par somme quadratique des incertitudes relatives.

\(P=12{,}0\times2{,}50=30{,}0\ \text{W}\). Relatives : \(\dfrac{0{,}2}{12{,}0}=0{,}0167\) ; \(\dfrac{0{,}05}{2{,}50}=0{,}0200\).
\(\dfrac{u(P)}{P}=\sqrt{0{,}0167^2+0{,}0200^2}=\sqrt{2{,}78\times10^{-4}+4{,}00\times10^{-4}}\approx0{,}0260\).
\(u(P)=30{,}0\times0{,}0260\approx0{,}8\ \text{W}\). Résultat : \(P=(30{,}0\pm0{,}8)\ \text{W}\).

Mini-exercice 3. Une longueur totale vaut \(L=L_1+L_2\) avec \(L_1=(45{,}0\pm0{,}3)\ \text{mm}\) et \(L_2=(30{,}0\pm0{,}4)\ \text{mm}\). Calculer \(L\) et \(u(L)\).

Somme → incertitudes absolues en somme quadratique. \(L=45{,}0+30{,}0=75{,}0\ \text{mm}\). \(u(L)=\sqrt{0{,}3^2+0{,}4^2}=\sqrt{0{,}09+0{,}16}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\ \text{mm}\). Résultat : \(L=(75{,}0\pm0{,}5)\ \text{mm}\).

4. Comparer le poids des sources d'erreur et améliorer un protocole

Repérer la source d'erreur dominante Dans une somme quadratique, le terme le plus grand impose sa loi : c'est lui qui limite la précision. Comparer les incertitudes relatives permet de savoir quelle mesure améliorer en priorité. Améliorer une mesure déjà précise ne sert presque à rien si une autre est beaucoup plus grossière.
Exemple — quelle mesure améliorer ? Reprenons \(\rho=m/V\) : \(\dfrac{u(m)}{m}=0{,}0020\) contre \(\dfrac{u(V)}{V}=0{,}0109\). Le carré de la seconde (\(1{,}19\times10^{-4}\)) est près de 30 fois plus grand que celui de la première (\(4{,}0\times10^{-6}\)). C'est donc la mesure du volume qui pèse le plus. Pour gagner en précision, il faut d'abord améliorer la mesure de \(V\) (éprouvette plus fine, méthode par pesée d'eau déplacée…) : affiner la balance ne changerait presque rien.
Poids de chaque source (carré de l'incertitude relative) masse 4,0×10⁻⁶ volume 1,19×10⁻⁴ domine
Méthode — proposer des améliorations d'un protocole Pour réduire l'incertitude d'une mesure :
Mini-exercice 4. Pour \(v=d/t\), on a \(\dfrac{u(d)}{d}=0{,}005\) et \(\dfrac{u(t)}{t}=0{,}020\). Quelle mesure faut-il améliorer en priorité pour réduire \(u(v)\) ? Justifier.

Carrés : \(0{,}005^2=2{,}5\times10^{-5}\) contre \(0{,}020^2=4{,}0\times10^{-4}\). Le terme du temps est 16 fois plus grand : c'est la mesure de \(t\) qui domine l'incertitude. Il faut améliorer en priorité la mesure du temps (chronomètre plus résolu, déclenchement automatique).

5. Comparer un résultat à une valeur de référence : le nombre d'incertitudes-types

Définition — valeur de référence et écart normalisé La valeur de référence \(x_{réf}\) est la valeur attendue (valeur tabulée, valeur d'un modèle, valeur du cahier des charges). Pour comparer une mesure \(x_{mes}\pm u(x)\) à cette référence, on calcule le nombre d'incertitudes-types (ou écart normalisé) qui les séparent :
\(z=\dfrac{\left|\,x_{mes}-x_{réf}\,\right|}{u(x)}\)
\(z\) est un nombre sans unité : il indique « combien de barres d'incertitude » séparent la mesure de la référence.
Discuter la validité d'un résultat Le seuil dépend du contexte, mais on retient le critère usuel : Le seuil \(z=2\) correspond à l'idée que la valeur vraie a de bonnes chances de se trouver à moins de deux incertitudes-types de la mesure.
Nombre d'incertitudes-types z entre mesure et référence x_mes x_réf z ≤ 2 → compatible x_mes x_réf z > 2 → désaccord (erreur systématique ?)
Exemple travaillé — validité d'une mesure. On mesure la masse volumique d'un métal : \(\rho=(2{,}72\pm0{,}03)\ \text{g·cm}^{-3}\). Référence de l'aluminium : \(\rho_{réf}=2{,}70\ \text{g·cm}^{-3}\).
\(z=\dfrac{|\,2{,}72-2{,}70\,|}{0{,}03}=\dfrac{0{,}02}{0{,}03}\approx0{,}7\)
\(z\lt 2\) : la mesure est compatible avec l'aluminium. L'écart de \(0{,}02\) s'explique par les incertitudes ; rien n'indique d'erreur systématique.
Exemple — cas de désaccord. Une mesure de \(g\) donne \(g=(9{,}55\pm0{,}05)\ \text{m·s}^{-2}\), la référence est \(g_{réf}=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\).
\(z=\dfrac{|\,9{,}55-9{,}81\,|}{0{,}05}=\dfrac{0{,}26}{0{,}05}=5{,}2\)
\(z\gt 2\) : le résultat est en désaccord avec la référence. Un écart de plus de 5 incertitudes-types ne relève pas du hasard : il faut chercher une erreur systématique (protocole, étalonnage).
Mini-exercice 5. On mesure la vitesse du son : \(v=(347\pm3)\ \text{m·s}^{-1}\). Référence : \(v_{réf}=340\ \text{m·s}^{-1}\). Calculer \(z\) et discuter la validité.

\(z=\dfrac{|\,347-340\,|}{3}=\dfrac{7}{3}\approx2{,}3\). Comme \(z\gt 2\), le résultat est en désaccord (limite) avec la référence : l'écart est un peu trop grand pour être attribué au seul hasard, on suspecte une petite erreur systématique et on vérifierait le protocole.

6. Chiffres significatifs et écriture d'un résultat

Définition — chiffres significatifs Les chiffres significatifs sont les chiffres connus avec certitude plus le premier chiffre incertain ; ils indiquent la précision. Les zéros à gauche du premier chiffre non nul ne comptent pas (\(0{,}0042\) : 2 chiffres significatifs) ; ceux entre ou après des chiffres non nuls comptent (\(1{,}20\) : 3). L'écriture scientifique \(a\times10^{n}\) (avec \(1\le a\lt 10\)) lève toute ambiguïté.
Méthode — écrire un résultat avec son incertitude Pour un produit/quotient, le résultat garde autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins ; pour une somme/différence, autant de décimales que la donnée qui en a le moins.
Exemple. Un calcul donne \(x_{mes}=12{,}3746\ \text{g}\) et \(u(x)=0{,}08\ \text{g}\). On garde 1 chiffre significatif pour l'incertitude et on arrondit la valeur à la même décimale (centièmes) : \(x=(12{,}37\pm0{,}08)\ \text{g}\).
Mini-exercice 6. Un calcul donne \(v_{mes}=343{,}82\ \text{m·s}^{-1}\) et \(u(v)=2{,}4\ \text{m·s}^{-1}\). Écrire le résultat correctement (incertitude à 1 chiffre significatif).

Incertitude à 1 chiffre significatif : \(u(v)\approx2\ \text{m·s}^{-1}\). Valeur arrondie à l'unité : \(v=(344\pm2)\ \text{m·s}^{-1}\). (On accepte aussi 2 chiffres : \(v=(343{,}8\pm2{,}4)\ \text{m·s}^{-1}\).)

Erreurs fréquentes
À retenir