Devoir Surveillé – Chapitre 15

Chapitre 15 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(F\) primitive de \(f \iff F' = f\) ; primitive de \(x^n\) : \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) ; \(A\cos(\omega t + \varphi) \to \dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi)\), \(A\sin(\omega t + \varphi) \to -\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi)\) ; Euler : \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n)\), \(t_{n+1} = t_n + h\).

Exercice 1 — Calculs de primitives (7 points)

1. Déterminer les primitives de \(f(x) = 6x^2 - 4x + 3\). (2 pts)

2. Déterminer une primitive de \(g(t) = 8\cos(4t)\). (1,5 pt)

3. Déterminer une primitive de \(h(t) = 3\sin\!\big(2t + \tfrac{\pi}{6}\big)\). (1,5 pt)

4. Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) (question 1) qui vérifie \(F(0) = 5\). (2 pts)

1. \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + k\), \(k \in \mathbb{R}\).

2. \(G(t) = \dfrac{8}{4}\sin(4t) = 2\sin(4t)\).

3. \(H(t) = -\dfrac{3}{2}\cos\!\big(2t + \tfrac{\pi}{6}\big)\).

4. \(F(0) = k = 5\), donc \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + 5\).

Exercice 2 — Loi horaire d'un mouvement (7 points)

Un objet lâché sans vitesse initiale a une accélération constante \(a(t) = 9{,}8\) (en m/s²). On note \(v\) sa vitesse et \(x\) sa position (axe orienté vers le bas), avec \(v(0) = 0\) et \(x(0) = 0\).

1. Sachant que \(v\) est une primitive de \(a\), déterminer \(v(t)\) en utilisant \(v(0) = 0\). (2 pts)

2. Sachant que \(x\) est une primitive de \(v\), déterminer \(x(t)\) en utilisant \(x(0) = 0\). (2,5 pts)

3. Calculer la vitesse et la distance parcourue au bout de \(2\) s. (1,5 pt)

4. Au bout de combien de temps l'objet a-t-il parcouru \(19{,}6\) m ? (1 pt)

1. Primitives de \(a = 9{,}8\) : \(v(t) = 9{,}8\,t + k\). \(v(0) = k = 0\), donc \(v(t) = 9{,}8\,t\).

2. Primitives de \(v(t) = 9{,}8\,t\) : \(x(t) = 9{,}8 \times \dfrac{t^2}{2} + k = 4{,}9\,t^2 + k\). \(x(0) = k = 0\), donc \(x(t) = 4{,}9\,t^2\).

3. \(v(2) = 9{,}8 \times 2 = 19{,}6\) m/s ; \(x(2) = 4{,}9 \times 4 = 19{,}6\) m.

4. \(4{,}9\,t^2 = 19{,}6 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2\) s (\(t \gt 0\)).

Exercice 3 — Méthode d'Euler (6 points)

On considère le problème de Cauchy \(y' = 2t + 1\), \(y(0) = 1\). On applique la méthode d'Euler avec un pas \(h = 0{,}5\).

1. Rappeler le schéma d'Euler pour ce problème. (1 pt)

2. Calculer \(y_1\), \(y_2\) et \(y_3\) (approximations de \(y(0{,}5)\), \(y(1)\), \(y(1{,}5)\)). (3 pts)

3. Déterminer la solution exacte \(y(t)\) (primitive de \(2t + 1\) valant \(1\) en \(0\)). (1,5 pt)

4. Comparer \(y_3\) à la valeur exacte \(y(1{,}5)\) et commenter. (0,5 pt)

1. \(y_{n+1} = y_n + 0{,}5\,(2t_n + 1)\), \(t_{n+1} = t_n + 0{,}5\).

2. \(t_0 = 0,\ y_0 = 1\) ; \(f(0) = 1\) donc \(y_1 = 1 + 0{,}5 \times 1 = 1{,}5\) (\(t_1 = 0{,}5\)).

\(f(0{,}5) = 2 \times 0{,}5 + 1 = 2\) donc \(y_2 = 1{,}5 + 0{,}5 \times 2 = 2{,}5\) (\(t_2 = 1\)).

\(f(1) = 2 \times 1 + 1 = 3\) donc \(y_3 = 2{,}5 + 0{,}5 \times 3 = 4\) (\(t_3 = 1{,}5\)).

3. Primitives de \(2t + 1\) : \(t^2 + t + k\). \(y(0) = k = 1\), donc \(y(t) = t^2 + t + 1\).

4. \(y(1{,}5) = 1{,}5^2 + 1{,}5 + 1 = 2{,}25 + 1{,}5 + 1 = 4{,}75\). Euler donne \(4\) : l'approximation sous-estime la valeur exacte ; l'écart (\(0{,}75\)) diminuerait avec un pas plus petit.