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Chapitre 9 – Aspects énergétiques du mouvement

Chapitre 9 | Première STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

⏱ Durée de lecture estimée : ~20 min

Illustration : Deux élèves suivent un chariot descendant un rail incliné, avec une règle de hauteur et un capteur de passage.
Relier la hauteur de départ, le mouvement et les échanges d’énergie.
Objectifs du chapitre :
Situation. Pour lancer un TGV de \(0\) à \(300\ \text{km·h}^{-1}\), il faut lui « communiquer de l'énergie de mouvement ». Pour maintenir ensuite cette vitesse constante malgré la résistance de l'air et le frottement des rails, il faut encore fournir de la puissance — non pour accélérer, mais pour compenser les frottements. Comment relier l'énergie du mouvement, le travail des forces et la puissance des moteurs ? Ce chapitre construit ces trois grandeurs — énergie cinétique, travail, puissance — et le lien fondamental qui les unit, en réinvestissant le produit scalaire et la projection étudiés en mathématiques.

1. Énergie cinétique

Définition — énergie cinétique L'énergie cinétique d'un point matériel de masse \(m\) animé de la vitesse \(v\) est l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement :
\(E_c=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2\)
\(E_c\) s'exprime en joules (J) lorsque \(m\) est en kilogrammes (kg) et \(v\) en mètres par seconde (m·s\(^{-1}\)). Un objet immobile (\(v=0\)) a une énergie cinétique nulle.
Ne pas confondre La vitesse intervient au carré : si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par \(2^2=4\) ; si elle triple, elle est multipliée par \(9\). C'est pourquoi la distance de freinage d'un véhicule augmente très vite avec la vitesse.
Exemple travaillé. Une voiture de masse \(m=1200\ \text{kg}\) roule à \(v=90\ \text{km·h}^{-1}\).
On convertit d'abord la vitesse en unités SI : \(v=\dfrac{90}{3{,}6}=25\ \text{m·s}^{-1}\).
\(E_c=\dfrac12\times1200\times25^2=\dfrac12\times1200\times625=3{,}75\times10^{5}\ \text{J}\)
Soit \(375\ \text{kJ}\), l'énergie qu'il faudra « retirer » à la voiture pour l'arrêter.
Mini-exercice 1. Un cycliste et son vélo ont une masse totale \(m=80\ \text{kg}\) et roulent à \(v=36\ \text{km·h}^{-1}\). Calculer leur énergie cinétique. (Convertir la vitesse en m·s\(^{-1}\).)

\(v=\dfrac{36}{3{,}6}=10\ \text{m·s}^{-1}\). \(E_c=\dfrac12\times80\times10^2=\dfrac12\times80\times100=4{,}0\times10^{3}\ \text{J}=4{,}0\ \text{kJ}\).

2. Travail d'une force constante lors d'un mouvement rectiligne

Une force peut modifier le mouvement d'un objet, mais son effet dépend de sa direction par rapport au déplacement. La grandeur qui mesure « combien une force agit le long d'un déplacement » est le travail de la force.

Définition — travail d'une force constante Lorsqu'un point matériel se déplace en ligne droite de \(A\) vers \(B\) sous l'action d'une force constante \(\vec F\), le travail de cette force est le produit scalaire de la force par le vecteur déplacement \(\vec{AB}\) :
\(W_{AB}(\vec F)=\vec F\cdot\vec{AB}=F\times d\times\cos\alpha\)
où \(F=\lVert\vec F\rVert\) est la valeur de la force (en N), \(d=\lVert\vec{AB}\rVert=AB\) est la longueur du déplacement (en m) et \(\alpha\) est l'angle entre la force \(\vec F\) et le déplacement \(\vec{AB}\). Le travail s'exprime en joules (J).
Lecture du produit scalaire : projection sur l'axe du déplacement Le terme \(F\cos\alpha\) est la projection orthogonale de la force sur l'axe du déplacement (l'axe dirigé par \(\vec{AB}\)). Seule cette composante « utile », dans la direction du mouvement, travaille : le travail est donc la projection de la force sur le déplacement, multipliée par la longueur du déplacement. La composante de \(\vec F\) perpendiculaire au déplacement ne travaille pas.
Travail d'une force constante : W = F·d·cos α A B déplacement AB — longueur d F α F·cos α composante utile
Cas particuliers utiles
Exemple travaillé. Un ouvrier tire une caisse sur \(d=8{,}0\ \text{m}\) en exerçant une force constante \(F=150\ \text{N}\) dont la direction fait un angle \(\alpha=30^\circ\) avec le sol horizontal (le déplacement est horizontal).
\(W=F\,d\cos\alpha=150\times8{,}0\times\cos 30^\circ=150\times8{,}0\times0{,}87\approx1{,}0\times10^{3}\ \text{J}\)
Seule la projection horizontale de la force, \(F\cos 30^\circ\approx130\ \text{N}\), fait avancer la caisse ; la composante verticale ne travaille pas.
Mini-exercice 2. Une force constante \(F=200\ \text{N}\) est parallèle et de même sens qu'un déplacement rectiligne \(d=5{,}0\ \text{m}\). (a) Que vaut l'angle \(\alpha\) ? (b) Calculer le travail \(W\).

(a) La force est dans le sens du déplacement : \(\alpha=0^\circ\), donc \(\cos\alpha=1\). (b) \(W=F\,d\cos\alpha=200\times5{,}0\times1=1{,}0\times10^{3}\ \text{J}=1{,}0\ \text{kJ}\).

3. Travail moteur, résistant ou nul

Définition — signe du travail Le signe du travail dépend du signe de \(\cos\alpha\), donc de l'orientation de la force par rapport au déplacement :
Signe du travail selon la direction de la force F W > 0 moteur F W = 0 F W < 0 résistant
Exemple — travail du poids sur un plan incliné. Un objet de masse \(m=2{,}0\ \text{kg}\) glisse le long d'un plan incliné et descend d'une hauteur verticale \(h=1{,}5\ \text{m}\). Le poids \(\vec P\) est vertical, dirigé vers le bas (\(P=mg\), avec \(g=9{,}8\ \text{m·s}^{-2}\)). Le travail du poids ne dépend que du dénivelé vertical :
\(W(\vec P)=+m\,g\,h=2{,}0\times9{,}8\times1{,}5\approx29\ \text{J}\)
Il est positif car l'objet descend (le poids favorise la descente) : le poids est moteur.
Mini-exercice 3. Une caisse est poussée horizontalement. Son poids \(\vec P\) est vertical et la réaction normale \(\vec R\) du sol est verticale aussi. Quel est le travail de \(\vec P\) et de \(\vec R\) au cours de ce déplacement horizontal ? Justifier.

Le poids et la réaction normale sont perpendiculaires au déplacement horizontal (\(\alpha=90^\circ\), \(\cos 90^\circ=0\)). Leur travail est donc nul : \(W(\vec P)=0\) et \(W(\vec R)=0\).

4. Théorème de l'énergie cinétique

Théorème de l'énergie cinétique Au cours d'un déplacement de \(A\) vers \(B\), la variation d'énergie cinétique d'un point matériel est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s'exercent sur lui :
\(\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)=\sum W_{AB}(\vec F)\)
soit \(\dfrac12 m v_B^2-\dfrac12 m v_A^2=\displaystyle\sum W\). Ce théorème relie directement l'énergie du mouvement (cinématique) et les forces (dynamique).
Interprétation
ΔEc = somme des travaux A v_A B v_B > v_A F (W > 0) travail moteur ⇒ l'objet accélère
Méthode — appliquer le théorème de l'énergie cinétique
  1. Choisir le système (le point matériel) et les deux instants (positions \(A\) et \(B\)).
  2. Faire le bilan des forces et calculer le travail de chacune entre \(A\) et \(B\).
  3. Écrire \(\dfrac12 m v_B^2-\dfrac12 m v_A^2=\sum W\).
  4. Isoler la grandeur cherchée (\(v_B\), une force, une distance…) et faire l'application numérique en unités SI.
Exemple travaillé — distance de freinage. Une voiture de masse \(m=1000\ \text{kg}\) roule à \(v_A=20\ \text{m·s}^{-1}\) et freine jusqu'à l'arrêt (\(v_B=0\)). La force de freinage \(F\), constante, est opposée au mouvement. Trouver la distance de freinage \(d\) si \(F=5{,}0\times10^{3}\ \text{N}\).
Le travail de la force de freinage est \(W=-F\,d\) (force opposée au déplacement). Théorème :
\(\dfrac12 m v_B^2-\dfrac12 m v_A^2=-F\,d\quad\Rightarrow\quad 0-\dfrac12\times1000\times20^2=-F\,d\)
Soit \(-2{,}0\times10^{5}\ \text{J}=-F\,d\), donc \(d=\dfrac{2{,}0\times10^{5}}{5{,}0\times10^{3}}=40\ \text{m}\).
Mini-exercice 4. Un chariot de masse \(m=50\ \text{kg}\), initialement au repos (\(v_A=0\)), est tiré par une force constante et horizontale de travail total \(\sum W=2500\ \text{J}\) (frottements négligés). Quelle est sa vitesse \(v_B\) à la fin du déplacement ?

Théorème : \(\dfrac12 m v_B^2-0=\sum W\), donc \(v_B^2=\dfrac{2\sum W}{m}=\dfrac{2\times2500}{50}=100\), soit \(v_B=\sqrt{100}=10\ \text{m·s}^{-1}\).

5. Travail et puissance moyenne

Définition — puissance moyenne La puissance moyenne caractérise la rapidité avec laquelle un travail est fourni : c'est le travail rapporté à la durée pendant laquelle il est effectué :
\(P=\dfrac{W}{\Delta t}\)
\(P\) s'exprime en watts (W) lorsque \(W\) est en joules (J) et \(\Delta t\) en secondes (s) : \(1\ \text{W}=1\ \text{J·s}^{-1}\). Fournir le même travail en moins de temps demande une puissance plus grande.
Puissance et vitesse (mouvement rectiligne) Pour une force constante \(\vec F\) accompagnant un mouvement rectiligne à la vitesse moyenne \(v\), on peut aussi écrire la puissance moyenne sous la forme \(P=F\,v\cos\alpha\). En particulier, si la force est dans le sens du mouvement (\(\alpha=0\)) : \(P=F\,v\). Cette écriture est commode pour estimer la puissance d'un moteur qui maintient une vitesse.
Exemple travaillé. Un moteur de treuil soulève une charge en fournissant un travail \(W=1{,}2\times10^{4}\ \text{J}\) en \(\Delta t=8{,}0\ \text{s}\).
\(P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{1{,}2\times10^{4}}{8{,}0}=1{,}5\times10^{3}\ \text{W}=1{,}5\ \text{kW}\)
Mini-exercice 5. Un ascenseur fournit un travail \(W=3{,}0\times10^{4}\ \text{J}\) pour monter d'un étage en \(\Delta t=6{,}0\ \text{s}\). Calculer la puissance moyenne développée.

\(P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{3{,}0\times10^{4}}{6{,}0}=5{,}0\times10^{3}\ \text{W}=5{,}0\ \text{kW}\).

6. Estimer une puissance moyenne

Méthode 1 — puissance pour modifier une vitesse Pour faire passer un objet de la vitesse \(v_A\) à la vitesse \(v_B\) en une durée \(\Delta t\) :
  1. Calculer la variation d'énergie cinétique \(\Delta E_c=\dfrac12 m v_B^2-\dfrac12 m v_A^2\).
  2. Par le théorème, le travail utile à fournir est \(\sum W=\Delta E_c\) (frottements négligés).
  3. La puissance moyenne nécessaire est \(P=\dfrac{\Delta E_c}{\Delta t}\).
Exemple travaillé — accélérer une voiture. Une voiture de masse \(m=1200\ \text{kg}\) passe de \(v_A=0\) à \(v_B=100\ \text{km·h}^{-1}\) en \(\Delta t=10\ \text{s}\) (on néglige les frottements). Estimer la puissance moyenne fournie.
Conversion : \(v_B=\dfrac{100}{3{,}6}\approx27{,}8\ \text{m·s}^{-1}\).
Variation d'énergie cinétique : \(\Delta E_c=\dfrac12\times1200\times27{,}8^2-0\approx4{,}6\times10^{5}\ \text{J}\).
\(P=\dfrac{\Delta E_c}{\Delta t}=\dfrac{4{,}6\times10^{5}}{10}\approx4{,}6\times10^{4}\ \text{W}\approx46\ \text{kW}\)
Méthode 2 — puissance pour maintenir une vitesse constante malgré les frottements À vitesse constante, \(\Delta E_c=0\) : d'après le théorème, la somme des travaux est nulle. Le travail moteur compense donc exactement le travail (négatif) des frottements. Pour maintenir la vitesse \(v\) contre une force de frottement \(f\) constante et opposée au mouvement, la puissance à fournir est :
\(P=f\times v\)
Exemple travaillé — vaincre les frottements. Une voiture roule à vitesse constante \(v=30\ \text{m·s}^{-1}\) (soit \(108\ \text{km·h}^{-1}\)). La force de frottement totale (air + route) opposée au mouvement vaut \(f=600\ \text{N}\). Estimer la puissance que le moteur doit fournir pour maintenir cette vitesse.
\(P=f\times v=600\times30=1{,}8\times10^{4}\ \text{W}=18\ \text{kW}\)
À vitesse constante, toute cette puissance sert uniquement à compenser les frottements (l'énergie cinétique ne change pas).
Mini-exercice 6. Un cycliste roule à vitesse constante \(v=8{,}0\ \text{m·s}^{-1}\) contre une force de frottement totale \(f=25\ \text{N}\). Quelle puissance moyenne doit-il développer pour maintenir cette vitesse ?

À vitesse constante, la puissance sert à compenser les frottements : \(P=f\times v=25\times8{,}0=2{,}0\times10^{2}\ \text{W}=200\ \text{W}\).

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